n個一元硬幣兩兩接觸，n是否存在最大值，若存在為多少？

11-28

2015 年 3 月 2 日陳浩補充：
三維空間中五個硬幣的做法在「五個硬幣要求每個硬幣與其他四個接觸，可否擺出？若不能，如何用幾何證明不能？ - 數學」一題中已經有多人給出。請不要再重複，請給出六個硬幣的做法，或者證明六個硬幣不可能。高維推廣我已經在 MathOverflow 提問。
此處「硬幣」指高度遠小於半徑的圓柱體。

有一個粗略的解釋（但不是嚴格證明）。道理類似於三個三維空間中的曲面確定一個交點。

假設硬幣1與硬幣2接觸點是硬幣1上的A點。設硬幣1的中心點為O。取硬幣1上的任意的另一點為B（只需要B不同於A，O）。固定A點於空間中任意位置。這時O點可能的位置是一個以A為球心，OA長度為半徑的球面（嚴格來說是球面的一個部分，因為硬幣2佔據了一些位置使得O點不可能在某些位置）。也就是說，確定O的位置需要兩個參數。O的位置確定後，B點可能的位置顯然是一個圓環。也就是說，固定O.A後，B點的位置需要一個參數描述。因此，固定硬幣1，2的接觸點A之後，還餘下三個自由參數可以調整，所以一般來說，硬幣1還可以和三個硬幣想接觸。再加上硬幣1，2總共是5個硬幣。

高維空間（n維實數空間）中可以做同樣的分析。固定硬幣1，2的交點A，O點可能的位置構成一個n-1維球面。固定OA後，B點可能的位置構成n-2維球面。所以，一般的，n維空間中可能最多有2n-1個硬幣兩兩接觸。

當然，這只是猜測和不嚴格的粗略的解釋。但這個解釋導致2n-1這個猜測。把硬幣換成其他形狀也可做同樣的猜測。當然，也可能存在特殊的位置關係使得更多的硬幣可以兩兩接觸（就好像n個n元方程的解可能有多個，甚至解集不一定是0維的）。也可能由於形狀原因上界小於2n-1。

另外，不能用硬幣厚度為0的情況作為硬幣厚度趨於0的代替。硬幣厚度為0的情況下，可以有無窮多個硬幣相交。如下圖擺法（俯視圖）

上圖中所有硬幣相交於相同的一個點。

關於這個問題Matrix67寫過一篇文章：http://www.matrix67.com/blog/archives/5521
對於普通的硬幣來講，下面是一個 n = 5 的情形。不過他也沒講這是不是最值。

如果將問題一般化為全等圓柱體兩兩接觸甚至等粗無限長兩兩接觸，問題就更複雜了，看M67的文章吧，雖然他也沒有講到太多拓展。
希望有了解過這個問題的人進一步發表見解。

最小值是2