「三體」問題無解嗎？為什麼？

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知道三個物體某一時刻的動量不就能夠知道下一刻的運動狀態嗎？為什麼還是無解的

說無解是不準確的。相對準確的說法是沒有一般形式的穩定解。題主提到的「知道某個時刻的動量，就知道下一個時刻的動量」，從數值分析的角度來說，在誤差允許的範圍內是這樣的。從下一個時刻的動量出發，繼續預測下下個時刻的動量，誤差就開始積累了。如果誤差積累的過快，以致於還沒算到需要的那個時刻，計算結果就已經發散了，繼續迭代下去就是沒有意義的。我們稱這樣的數值問題為「病態問題」（ill-posed problem）。病態問題的一般特點是計算髮散（不收斂）、收斂過程不穩定（即使能收斂，也很脆弱，各種敏感）、收斂結果不唯一（就算最終穩定收斂了，也有可能收斂到奇葩的答案上了）。
對付病態問題的一般方法是規則化。例如，假設橢圓軌道、假設所有軌道都在同一個平面內，等等，這些約束條件未必合理，所以得到的穩定解的代價就是注入了先驗的偏差。另外還可以使用微擾法，例如，如果已知三體中的某個質量非常小，或者某兩個質量非常小，可以先將三體系統近似成兩個兩體系統，然後檢驗精度是否足夠，如果精度不足，再一階修正、兩階修正的往上加。
總之，三體問題沒有那麼邪乎，不是不可解的，不是哲學問題，就是實實在在的、非常普遍的數值問題而已，散發著大自然濃濃的惡意。

因為微分方程可能沒有解析解而只有數值解
而三體問題是混沌問題，微小誤差會被極度放大
因此數值解不可靠，即可能與實際情況偏差極大
故可理解為無解問題，但實際上說無解是不準確的

你說的無解要從兩方面看，一方面是解析解，每個引力方程可以轉化為6個一階微分方程。三個就是十八個，但是目前，我們只能找到十六個積分，無法求解這個十八階的微分方程租，其實也不是目前，1941年時，西格爾已經證明了不可能找全的，所以解析解別想了。除非特殊情況，那就等於增加了約束。
另一方面是數值解，關鍵在於求解過程中每一步計算都存在誤差，疊加起來使得結果無法穩定收斂。所以也解不出。
綜上所述，這問題解析解無解。數值解依賴於演算法和計算機的發展

Wolfram 網站上列舉了三體問題的各種奇葩解的圖像，你可以改變他們的相對質量，初始位置和初始速度，挺有意思。網址如下：

Wolfram Demonstrations Project

微分方程組對初值的敏感性，就像你打撞球，稍微偏一點球的軌跡就完全不一樣了，。而你要測量天體的速度和位置，是肯定有誤差的

那我問個為什麼，為什麼不能累積一段時間的觀察值，作為一段可能的「歷史」去匹配可能的解呢？

從我個人的觀點，用不嚴謹的比喻，三體問題的解族可以這麼解釋：
三體問題全部周期性解族=整數；三體問題全部非碰撞解族=有理數；三體問題全部解族=實數。
要找到解析解，就等同於嘗試只用0-9的整數或小數形式表示上述數族，顯然在非碰撞解族中就無法實現。
然後是關於周期性解族，目前人類只找到16組解族，也就類似於「發現了16個整數」。周期性解族數目是否有限，不好說，我個人認為是無限多的。但即使周期性解族無限多，我相信未來的某天，人類有辦法做到找到某種方法表示全部周期性解族。

按小說的設定，是有解的。

在另一篇回答里看到，摧毀三體的光粒文明，之所以能擊中三體的一顆恆星，是因為他們解出了三體運動，才能精確擊中……

我覺得應該說是，目前人們還寫不出方程的解析解，但是方程只要滿足定解條件，解其實是存在的，只是人們目前無法用演繹或者其他任何方法寫出來。因為宇宙中有實實在在的三體運動，他們的運動軌跡就是三體的解啦。只是人們目前還無法用解析式表達出解曲線。

蝴蝶效應，就算是精確位數不同最後得到的結果會相差很遠，但是你不可能無限的取精確位數。

關於時間並非一致收斂，時間越長需要收斂半徑越小

禁不住無限算力的積分，如果要算幾億年的三體問題，請先擁有無窮算力的電腦。

假設任意三個點組成的三條最短線段中的任意兩條一定不相等，則1+1！=2(1+1約=2)且完美圓不存在，1+1=2是一種方便彼此溝通的工具，並非事實，1如果是一種定態，會隨時間變成非1，時間不具有絕對性，因為1的改變會影響整個空間進而影響規律(蝴蝶效應)。這個假設有點奇怪的感覺，不過看上去詮釋了三體問題的困境，就像我們定義的1沒法用來描述圓周率(只能近似)。