一個直徑1厘米的球和一個直徑1米的球，對平面的壓強是一樣的？

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初中的兒子問我一個問題：如果球放置在平面上，根據數學的描述，認為球和平面只有一個點相交。而數學又認為點是沒有面積的，就是說面積為0。那麼無論球的直徑是多大、無論球是什麼材質做成的，這個球對平面的壓強都會是無窮大（因為壓強等於壓力除以面積）。結論是，直徑一厘米的球，一公里的球，對平面的壓強是一樣的。都是無窮大。引申的結論是，球放置在平面上，註定會穿破任意平面掉下去。當然這個都是悖論。但是悖論何在？問題出在哪兒？我回答不了。

其實在接觸力學的理論中，這個所謂的壓強不僅是有限的，而且還可以精確得計算出來，它叫做Hertzian pressure，通常用 $p_0$ 來表示。

兩個圓柱沿邊線相互接觸，只要不發生塑性形變，在彈性範圍內其接觸面就是一條邊長為2a的長方形；同理，一個球放在平面上，其接觸面就是一個半徑為a的圓。只要兩種材料的楊氏模量，泊松比和尺寸已知，材料內部的接觸應力通通都是可以計算出來的。

像上圖這種情況，對於給定的壓力 $P$ ：
$a=sqrt{frac{4PR^*}{{pi}E^*}}$
$p_0=sqrt{frac{PE^*}{pi{R^*}}}$
其中：
$1/E^*=(1- u_1^2)/E_1+(1- u_2^2)/E_2$ ,
$1/R^*=1/R_1+1/R_2$ 。
類似的，一個球放在平面，材料內部的應力分布可以見下圖：

數學上假設的接觸點，顯然是忽略了材料本身的性質，因為這個接觸面的尺寸相對於整個系統確實是可以忽略不計的，況且數學中要解決的問題不需要這個input；但如果要計算壓強，接觸面的尺寸就必須要計算了，因為這是這個問題的input啊。所以，任何近似都是有前提條件和計算範圍的，就好像牛頓的經典力學忽略了物體運動時質量的變化，這個近似是因為物體運動的足夠慢。

另外一個很有意思的知識是，這類接觸所產生的正應力，最大值在材料表面（surface）沒錯，但最大的切應力，卻在接觸面的下方（subsurface）一點的位置，距離接觸面大約0.5a-0.7a的長度。如果兩種接觸材料都是鋼，這個a的值大約是0.5 mm。而材料的失效，比如裂紋的萌生和擴展，都和切應力有很大關係，所以很多零部件是從內部開始損壞的，表面上看著光潔如新，內部其實早已是裂紋叢生（這裡只是說材料本身，沒有別的暗指，將來宣傳和報道上如果有偏差你們是要負責任的）。

那麼你會說，研究球和面的接觸有什麼用呢？哈哈，因為世界上有這樣一種發明：

軸承君。

球和平面都不是絕對剛體，一有形變接觸就不是點而是面了

我們即使假設為理想環境雖然瞬間的壓強是無窮大但是下一時刻球下降後接觸面積就會變大

數學描述的是理想世界，不是客觀世界。說的不嚴謹一點，數學只存在於智慧生命的大腦里，只是碰巧能在某種程度上描述我們的世界。

我們的這個客觀世界裡，沒有數學意義上的「直線」、沒有「平面」、沒有「點」、沒有「圓」、沒有「球」……客觀世界不一定要遵照數學規律，或者說，沒有什麼機制能夠保證客觀世界是遵照我們構想出來的數學來運行的。

討論壓強問題，或者說，物理問題，出發點和依據應該是「實驗」，在我們的客觀世界裡，拿兩個球去實際測量；而不是在腦海里，用兩個數學意義上的「球」去推理。描述物理世界的各種常數，大多數都是實驗測出來的，不是用數學推理推出來的。

再具體到這個問題，需要考慮的不是「幾何」問題，而是「力學」問題。確切的說，是「材料力學」問題，或者再確切一點，是「材料力學」里的「接觸力學」問題。接觸力學接觸力學的維基頁面就有一個球壓平面的 gif 動畫。

至於說壓強到底是多少，呃，初中肯定不會提及的。想知道的話，將來讀研究生的時候學習一下高等材料力學吧。

上圖引用自 Advanced Mechanics of Material, A.P. Boresi, R.J. Schmidt, 第五版，圖18.13。

既然是數學的思維，就不要帶入物理量，在這種情況下平面也是理想平面，即可以承擔無窮大的壓強以及壓力的

數學我學的不好，其他的先不說了，只是說一點：無窮大和無窮大，是不相等的。。。

典型的面面接觸問題，要考慮接觸點的形變，變為面接觸

利用布希內斯克解來處理彈性球體的接觸問題。

由於是軸對稱，接觸面的周界是一個圓，半徑 $r$ 未知。假定兩球的半徑, $R_1$ $R_2$ 比 $r$ 大得多，則局部變形可用半空間的結果來分析。

壓力分布（並不是最後結果）：
$q=q_0(1-frac{r^2_1}{a^2})^frac{1}{2}$ ， $r_1$ 為距球心的距離。

$q_0$ 與R1，R2有關，還有外加壓力有關。

分析過程挺複雜的，如果感興趣可以看關於接觸問題的書。

看完題主的描述，單就描述中的內容來講，既然把球與面的接觸視作一個點，且按數學中這個點的面積是零，按照我的理解，可不可以說在這種情況下可以視為球與面根本沒有接觸的。
還有就是上面所說的物體都是有形變的。
最後一個就是，本人才疏學淺，一直就只記得小學的老師在試卷上用一個又一個大大的紅叉告訴了我分母是不能為零的！

純理論討論結果是這樣啊
但實際上不是

有質量的球放在平面上平面和球都會產生形變接觸面怎麼都不會是一個質點始終是有面積的
所以「理論上成立」的事情是不會發生的

↑
為非專業回答……

初中物理充滿了「假設」和「忽略」，當然主要是為了降低難度，因此只要稍微想深一點就是破綻百出。

題主和您的兒子是默認把球和平面都當成剛體了，只有剛體才會不發生形變。而事實上球和平面在接觸的部分是一定會發生形變的，這導致接觸的部分是一個面而非一個點。再運用材料力學中有關應力極限的知識就可以判斷平面是否會被球壓壞。

沒那麼複雜，就用假設和數學吧。

首先我們看題主假設的前提：

如果球放置在平面上，根據數學的描述，認為球和平面只有一個點相交。而數學又認為點是沒有面積的，就是說面積為0。那麼無論球的直徑是多大、無論球是什麼材質做成的，這個球對平面的壓強都會是無窮大（因為壓強等於質量除以面積）。

PS：壓強等於壓力除以面積

首先我們要假設下面這個平面的強度是多少？譬如說下面這個平面是剛體？那強度就是無窮大，結果就是不管你多大的壓強，這平面不會形變，愛咋咋的，所以球不會穿下去。

而且，壓力是相對的（牛三），所以球對平面施多大壓力，平面就對球施加同樣大的。故而球對平面有無窮大的壓強的同時，平面對球也有無窮大的壓強。如果球和平面都是剛體，那啥事兒沒有，誰也幹不了誰，不會穿過去。

如果球不是剛體，球就會形變，那接觸面積就不會是一個點了。同樣的平面不是剛體，平面也就會形變，接觸面積也不會是一個點。接觸面積不是一個點，壓強就不是無窮大而是可以計算的了。

綜上所述，引申的結論根本就沒有任何依據，沒有任何悖論。

結論是，直徑一厘米的球，一公里的球，對平面的壓強是一樣的。都是無窮大。
引申的結論是，球放置在平面上，註定會穿破任意平面掉下去。

上面的答案都跑題了，物理數學理論中討論的理想情況與實際的情況當然是不同的。但別忘了一個廣為接受的理論一定得是自洽的！也就是說即使在理想情況下也不可能討論出什麼球一定會穿破任意平面掉下去這樣的結論。

這並不是悖論。
原因在於，這是一個純剛性的球，同時還是一個純剛性的地板。
——兩者都完全沒有彈性，在接觸的時候完全沒有形變。

純剛性意味著完全是脆的——所以這倆碰一起，要麼地板碎了，要麼球碎了，要麼倆一塊兒碎了。

比如放入液氮之後的蘋果一砸就碎了。（印象中有個視頻是將橡皮放入液氮裡面，然後摔在地上橡皮碎了，但沒找到這個視頻。）視頻封面

液氮砸蘋果視頻

物理研究雖然通常喜歡引用理想條件，但是，理想化也要合理啊！！
對於球和平面的模型來考慮壓強，就不能把接觸面理想化成一個點！
如果討論運動問題可以理想化成一個點。

球會彈性形變，接觸的是一個曲面

正如樓上所說的，中學階段的物理是忽略了幾乎一切的實際因素簡化出來的。

在實際接觸過程中不可能是一個點，球和平面都會發生變形，然後壓強就下降了。

不是悖論啊，
在你力無窮大接觸面無窮小的接觸面和平面接觸的時候，會有兩個結果，一個是球比較硬，平面上就有一個小坑把圓托住了。一個是平面比較硬，球被壓扁了一點點，這時候接觸面就不是無窮小啦，壓力大小就可以計算啦。它就不會掉下去啦╮(╯▽╰)╭
如果你兒子說「如果兩個東西都完全不會變形呢」(????ω????)
那麼你就說「完全不會形變的物體在物理學是不存在的呦！」( ????? )

If球和承載面均為剛體，則接觸面為點，但由於均為剛體所以承載面不會被捅穿。真實情況下的界面有應力應變，所以最終會形變到平衡狀態。

你告訴你兒子，世界上沒有剛體。

數學中的點模型是用來描述坐標的，並沒有實體，沒有表示面積的能力，而壓強問題一定要考慮到面積，即便接觸部分是一個點也是有面積的，哪怕是一個原子的面積，這裡的點是不能用數學中的點來代替的。模型一旦用錯了就會影響到問題的分析，所以在分析問題的時候一定要正確考慮到問題的本質

順便給出這個問題的正確答案：
只有在球是剛體球的情況下才會出現一點接觸（剛體就是在任何受力情況下都不會產生形變的理想模型），不過實際中的情況是，剛體是不存在的，球與面的一點接觸也是不存在的，為什麼呢？因為接觸部分的那個點承受的壓強太大了，這個數值趨近於無窮，而任何一種材料本身的強度都是有限的，於是這個點就會被壓進球面中，直到接觸面變形到（也就是面積增大到）所承受的壓強會小於等於材料的抗變形強度為止。

我高中的時候也特別愛思考物理問題的本質，不過對於一個初高中生的水平來說，所做的基本都是徒勞的，因為這些東西都需要用到許多沒學過的知識來解釋，即便去問老師也講不清楚，為考試的話，把題做會就可以了，千萬別在這上面浪費太多的精力。

如果你把球看成純數學意義上的球，為何又把平面看成現實中的平面呢？