如果一個外星文明的數學中，沒有整數的概念，它的數學體系、信息媒介、文化會和人類文明有何區別？
2017.03.28
看完所有回答，對題目做一個描述。
結合各位的觀點，「沒有整數的概念」有3個層次。
最小的一層@羅本身 的回答，人類中很原始的一支，語言中沒有1,2，3，只有「許多」，「一些」。
更大的一層，該文明先發現無理數、有理數，不以整數為數學的根基，整數像π,i一樣，這樣的文明和人類的文明可以有互相理解的基礎。
最寬泛的一層，這個問題最深層的思考，該文明觀測到的世界是連續的而非離散的，不需要整數這種離散的概念。
在微觀量子層面，世界是連續的是有可能的。
再者，在沒有看Ted Chaing的《你一生的故事》之前，我也想像不出來決定論的世界會是什麼樣子，更沒想過決定論的世界和我們的世界可以是同一個，然而《你一生的故事》確實給出了一個自洽的、可能存在的描述。
這個問題真的提得非常差，非常非常差。我對這個問題本體很沒興趣，但是想了想，也接過好幾個類似問題的邀請，就拉在一起說一下
（題主給我發了私信，說了他關於這個問題的想法。我也再補充一句。我之所以覺得這個問題提得差，是因為我是一個嚴於律己，也嚴於律人的人……不免以更高的標準要求別人。並沒有鄙視題主的意思。以自己的思考習慣要求別人，是不好的，但是我改不了，打我唄？）
科幻的核心構造不是單純的開腦洞，而是從腦洞開始邏輯推演，完成世界結構的閉環。
你開了一個腦洞「沒有整數的概念」，那你必須理解整數的概念是什麼，它的內含和外延，它由什麼產生，由它出發，又引發了什麼？必須有這些概念，才談得上由此設想一個外星文明。
整數是最基本的數學概念。它最基礎涉及到生物對數量規模的判斷。左邊一個食物，右邊兩個食物，應該選哪邊？關鍵並不是「意識」到數學概念，而是生物生存演化過程最基本的資源獲取邏輯問題。意識是物質的上層結構，如果你要設計一個「意識不到整數」的物質文明系統，你首先要去掉「整數數量」的生物物質體系。
最基本來說，這個物質體系首先要沒有獨立體的量化概念，只有連續體的量化概念。「小團」——「大團」——「超大團」。這個體系不允許通過獨立個體數來進行量化比較。
直接跳遠一點，到達文明體系的層次，這個文明也不允許存在「單個自我」的概念，沒有「我」「你」的獨立個體意識，必須是「群概念」。否則中間必須有整數概念填充來支持這個自我認知。
但是從認知邏輯上，這個跳躍走不通。假設這個生物物質系統不存在科技文明概念，這個邏輯是大致能走通的，但如果存在科技，那麼最基礎的東西就是「量化」概念的存在。沒有量化，是沒有辦法做出超越生物簡單生理直覺的科學概念的。簡單生理知覺限制了你不可能發育出「科技」這個東西，這個我不在這裡討論。如果有量化，那麼整數永遠是最基礎的概念。即使生命是粘菌文明，100萬粘菌是一個強意識體，10萬粘菌是一個弱意識體，他們也會以彼此的比例關係來建立基準邏輯， 那麼最多是有理數對它們來說沒有區別，不認知整數，分數差異。
也就是說，如果有數學，那麼唯一可能是不產生獨立的「整數」概念。把有理數作為一個統一概念存在。
實際上，我現在已經重新規範了題主的問題：包括「沒有整數概念」的定義這個核心意思。可能與題主的意思無關了。
我見到很多寫科幻的新人，開腦洞之後整個邏輯走不通，故事跟核心設定無關，都是這樣來的。沒有規範清除自己設計的是什麼。沒有弄清楚這個設定的內含，外延，影響，推廣邏輯。只是隨口來一個「如果XX」，而自己根本不明白這個「xx」是什麼。
如果「XX」能成立，那麼支撐它成立的原因是什麼？這個支撐原因還會引發了什麼東西的變化？這兩個問題需要先回答。
XX成立之後，它又會引發什麼變化？這其實是後續的問題。
不考慮前置原因，前置原因引發的系列反應，那就是魔法。就算你引入克拉克三定律，一切高科技對低級文明來說都像魔法：「一個超超級文明抹去了一個常規認識整數的文明的整數認知，然後這個文明會發生什麼？」你也需要明白整數在數學，物理，工程學中的意義，才能往下推會發生什麼。
有符合「沒有整數概念」的物種，但是它們能不能發展出文明甚至科技，那是不確定的。
我記得有某種水母，叫做管水母。它們雖然有個體，但個體無法單獨存活——因為他們分化出了完全不同的功能結構，他們會彼此銜接，構成一個新的巨大生命體——這個生命體不是比喻，不是像「蜂群」這種類似整個生命體的群體，而是真的集合成一個巨大的生命體——一部分原本的個體只負責進食，一部分原本的個體只負責消化，一部分只負責生殖，營養傳輸則依靠它們身體能彼此銜接的特殊構造。——每部分，除了負責的功能，其他作為一個水母該有的結構，都沒有。
這類比到人類世界，就是有的人只長了嘴，有的只長了腸子，有的只長了屌，然後這些個體組合成新的生命體，如果某部分壞死了影響整體生命體存在，他們就各自散去，再去找其他「人」組構新的生命體。
對於這種生命，它們是不可能有真正的整數概念的——因為它們既有個體又沒有個體。所以我們人類把他們的個體，只稱作個員，個員沒有完整的體。
如果他們要進化出科技，可能與我們藉助外物來實現技術的方式不同，也許他們的科技是生長出來的——比如《異形》前傳《普羅米修斯》中的飛船、彈藥，全都是長出來的，而且似乎沒有生殖隔離。
再比如《阿凡達》，任何個體之間都有插頭一樣的東西共享思想。
雖然電影是以我們的「整數個體」思維來安插情節——但是我們設身處地地思索一下，他們真的可能有「個體」概念嗎？
就像《新世紀福音戰士》的「一起變橙汁兒」那個情節——人類是莉莉絲分解出的物種，但是前幾個「使徒」仍然保留著創世之初的存在形態，即「混沌一體，無知無識」的「先天懵懂」存在——總之這與我們的「個體」思維完全不搭邊。
那麼他們的科技形態，應該也如同他們的存在方式那樣，沒有個體意識——隨時可以組夠出新態生命，或者解構。
如果我們的細胞有獨立意識，那我想他們估計是不會有整數概念的——其實我們人類的整數概念，也是經不起推敲的——因為眾所周知，世界上的任何物質都是處於各種轉化中的——只不過我們的意識，是站在轉化得不那麼快的視角上的，所以安插了一個「個體」概念。
那麼最核心的問題來了——意識這種東西，它產生的先決條件，有沒有「轉化得不能太快」這一條呢？
以及意識快慢和時間長短之間的關係——如果宇宙有意識，或星球有意識——它們會認為人類是個體生命嗎？
說了這麼一大圈，我們也可以從古老的人類文明傳說里得到些啟發——分身術，也就是分身與主身、分神與主神、分靈與主靈、應身佛與報身佛等之間的關係。以及擁有這種關係的物種的思維方式——「三千世界，不見眾生」「十方諸佛，是一非二」——你確定你真的準備好迎接這個層次的文明了嗎？
比如一位「主神」，化身百千萬億，分成六十億個意識來收集地球資料，然後如此源源不斷地獲得地球全方位各個角度的資料——地球或宇宙真的會認為我們所謂的個體與整數，是個真實的概念嗎？
其實我們現代科技已經可以提供給我們這種思維方式了——小說里經常說的「位面」——如果我們需要知道在另一個星球生活的感覺，我們真的要身體親自過去嗎？——像《阿凡達》那樣傳遞意識不就可以了？
從這個意義上來說，成為神明的降世，並不是說你會得到永生，而是說你在現在這個生命體獲得的思維是有意義的，值得被儲存起來或轉移的——這繞了一圈兒，又回到被很多人詬病的「輪迴轉世」機構了——難說，要是科技真的達到阿凡達那種水平，人為控制的轉世系統難道不是分分鐘的事兒嗎？
腦洞太大了——要說什麼來著？哦對了，沒有整數概念——我們還可以構想一種類似「太歲」的半肉半液生命，就像磁鐵，任何被分出去的一部分，都能獨立生成一個新個體，每融合起來，又都毫無隔離地生成新個體。
這種思維也不算新鮮，畢竟奇妙的印度大陸從一開始就有這種神奇的思維(雖然只存在於宗教)。可如果要我們人類進入這種思維而設身處地地存在，估計是不大可能的——這裡諸多答主明確表示出他們認為離散與整數必然是因果關係——但我給出的從「意識速度」和「對個體概念的認知」這兩個視角來看，即便有所謂離散態，也不一定會產生整數概念，甚至數的概念都不會產生。
其實離散這個概念，也是連續概念的特殊情況，或者說是人為認定的特殊情況，這取決於我們的意識速度。
比如電影膠片的畫面確實是離散的，但當它連續起來放映，我們的意識卻認為那是連續的。
同理，我們認為我們彼此的身體是離散的，但從上帝視角看，也許他一眨眼，我們人類的十幾代生命就演化過去了，想像一下他眼中的人類是什麼？似乎和我們眼中看到的液體差不多。
強答一波
這個問題讓我第一反應是想到七肢桶語言，就是下面這篇小說里的語言。這種語言是不區分字和字母的，而是把所有的表達意思混合在一起。對物理事件的理解也不是時間順序的，而是整體性理解的。可以說，對他們來講基本上整數並不比任何其它有理數或無理數更有意義。
想看的網上有很多版本，下面是一個豆瓣的版本。
https://m.douban.com/group/topic/27007597/
豆瓣
特德·姜《你一生的故事》
machlie 2012
順便說一下，這個故事聽說還被改編成了電影，降臨。
整數意味著重複，如果拋棄整數的概念，就需要完全避免重複。
文字如果沒有重複，連基本的記錄和認知功能都無法實現，更不用說演化出數學，乃至形成文明。
沒有整數就沒有素數。沒有素數自然就沒有數學
好問題。題主的疑問實際上探討到了數學的核心：數學究竟是什麼，是一種工具，還是宇宙最本質的真理？如果是一種工具，是否可能實現跳躍式發展？
首先來回答樓主的第一部分疑問，是否可能存在這樣一個種族，擁有「智慧文明」，甚至擁有相當發達的技術力量，但卻沒有「發明」整數的概念？
這樣的文明當然有可能存在，但一定不是自然進化出來的文明，更可能是一種，怎麼說呢，次生文明，人工種族，有智能的工具？
試想一下，人類某一天終於離開了地球向宇宙遷移，將地球留給了帶不走的機器人。在數萬年的機器學習後，留在地球的計算機網路獲得了自我意識，開始有資格被稱為「一個種族」，那麼這個種族從誕生之日起就已經掌握了人類離開地球所能達到的最高檔次的數學水準。在這樣一套體系中，「整數」的概念很可能是無關緊要的。對這樣一個機器人文明而言，確實可以說，在「發現」整數之前，他們就已經擁有了一套完善的數學體系。宇宙這麼大，這種次生文明的數量很可能比原生文明多幾個數量級，他們很可能擁有完善的技術網路卻沒有與之匹配的基礎科學體系，或者說把技術當成巫術的一種，僅僅學會了維護現有系統卻無力發展進步。
接下來是問題的下一步，這樣沒有發明整數概念的文明是否可能長存？
答案是不可能。整數概念並不複雜，數學作為一種工具理應解釋世間萬物。即使是對於一個靠撿垃圾建立起工業社會的次生文明而言，他們也很容易獨立發現整數體系，以及其他的一整套基礎科學體系。當然，或許他們會止步於此，數學只需要發展到很初級的階段，接下來全盤接受高等文明留下來的知識遺產就足夠了，他們的數學很可能從古希臘水平直接跳轉到太空文明，中間的微積分啦泛函啦之類的「過度工具」統統跳過，但整數理論實在是太簡單了，再怎麼跳也會被智慧生物歸納總結出來的。
用一個簡明的比喻就是，你不會操作，沒關係，開腳本跑自動就行。但是，在觀察腳本的運行中，只要你不是白痴，就必然學會基礎的連招。
瀉藥，（能在科幻問題上說瀉藥，還挺激動）
斯拉哥達畢，古代著名數學家，主張無理數能解釋世間萬物，直到有天他的弟子發現了整數...
如果沒有整數概念那麼可以說明該外星文明沒有探索宇宙的能力。因為星球，星系的數量就是整數概念。還有該星球是液體組成。因為固體必然發展出整數概念。也不會有個體的區分，有可能是單個的超級生命，所以不存在信息交流。還有一種可能，該文明所在星球並沒有這些要求，只是單純的未發展出數學，可參考史前人類，或者螞蟻虎鯨
一個文明，可能發展不一樣，但是基礎的東西都是相通的，整數是最基礎的數學概念，你說直接發現無理數，那他在沒有整數前提的情況下如何去描述無理數，虛數？至於只有「一些」，」許多」這樣的描述，如果一個文明只有這種模糊的描述來反映客觀現實，那這個文明基本活不長
……倘若這文明先認知無理數，那你怎麼讓他們表示他們的無理數和我們的是同樣的東西呢？
仔細想來人類造物里也有類似物。許多跑在虛擬機上的語言，明明沒有認知地址的概念，卻有著引用類型。
這樣一想，也許可以說他們的數學思維里存在一個黑箱模塊（「虛擬機」），通常的思維像是跑在這個「虛擬機」上的語言。
這個「虛擬機」封裝了整數概念和運算，暴露出（我不知如何描述）的一些「指令」。它做整數運算應該比通常思維快很多，以至於該文明一開始沒有從頭造輪子的慾望，而是傾向從「指令」上發展數學。
他們一開始並非不能處理整數，只是意識不到自己在處理。
不過，他們在數學發展到一定水平後就不得不重新認知整數，否則數學寸步難行。
這麼一想，除了「虛擬機」實在是不自然以外也能說得通。
「整數作為黑箱」的思維太不自然了，而且完全看不出必要性，也許是高等文明出於興趣植入的。
又或者是某些基因「恰好」（過於恰好了）能讓該生物形成這種結構，導致有天生運算能力者生存能力大大加強，從而保留下該基因。
個人覺得它不過是一個有生命的純·模擬信號處理裝置。或許地球生物一開始也可以視作這種裝置。個人猜測它和語言無數詞的人類一樣，都在發展數學之前的階段。
題主說的是另一個宇宙的文明吧……
至少在我們的宇宙里，文明創造的邏輯體系，必然以形如「整數」這樣的概念為基礎，再逐步發展出更加深刻的概念，比如地球人發展出的數學。
現代數學的基礎是集合論，而任意集合的基數，都是整數或超限數，很難想像用其它代數結構來描述集合的基數。
當然，題主可以設想一種世界，其邏輯規律不同於我們所認知的邏輯，甚至可以是不可定義的存在，無法用語言來描述。但這樣的世界是我們無法理解的，對我們而言也沒有什麼意義（我想這句話就回答了題主的問題），最多寫進科幻題材的設定里，擴充一下逼格。
如果要探討這類問題，還是考慮可以根據我們的邏輯來推演的東西，這樣就顯得有意義多了。
古代世界各個地方的文明基本上沒有什麼交流，可是他們都無一例外的有整數，有圓周率，有勾股定理。
沒有整數概念的生命的前提是進化過程中沒有明確的個體肉體，產生肉體不可避免出現要數個數，使得該文明存在整數的意義。
但如果該文明是元素生命、光能生命、霧狀生命，在其早期居住環境里彼此之間不分你我個體存在，永遠是連在一起的整體的話，倒是有可能:今天心情好大家一起擺一個圓周率，明天在擺一個別的。但就是不明白123456789是什麼意思，因為全世界只有一個整體（簡單的說不發展算數，但幾何學發展程度可能很高），直到他們從氣態星球跑到了宇宙中觀測到明確的個體存在才學會數個數。知道見到地球人才學會你這個詞。
………………
這樣的文明通常不存在個體的概念，只有整體的概念，估計看到第一次地球人會認為地球人是不是受傷了，被分割成了那麼多塊，然後抱著善意把70億人捏成一整塊肉團，然後才試著跟地球人溝通……
其他特徵:無需語言，純精神交流，而且很可能是自己跟自己交流；人類理解幾何學需要通過數字來輔助，而他們或他直接通過圖型來展示；缺乏對生與死的概念，整個生命體是連續的，只有今天上邊少了一塊，下邊多了一塊這種理解；
這種文明肯定是很難和地球人溝通的，能不能認知到對方是生命都難。
如果是「沒有整數的概念」而不是簡單的「沒有整數」的話，這是一個非常大而且非常恐怖的假設（個人假定題主的問題每個字都是仔細推敲過的）。
這意味著不僅是形式上的整數不能存在，任何相似的東西都不能有，樓上那位朋友提到的那本書里的段落，恐怕是不合格的，有朋友提到有集合就可以了，個人認為恐怕也是不可以的。
個人認為，這就意味著所有基於「離散」的概念都不能存在，集合論恐怕也難以建立。由於現在幾乎所有的數學體系都是通過人類的直覺，從離散推演到連續的，個人雖然不敢妄言沒了離散就完全不行，但是實在是自己腦補不出來這樣的世界會是什麼樣子了……
不用到外星，地球上有的語言體系中就沒有整數的概念，只有多與少
整數是皮亞諾公理定義的,沒有整數就沒有數學,所以問題不成立
劉宇昆?思維的形狀?里有類似"該文明觀測到的世界是連續的而非離散的"這樣的設定!!但主要筆墨不是在數字層面，更多是眼中世界的樣子，狀態的連續。而在語言中體現出來的是:他們描述狀態也不是一個個分立的形容詞，而是痛過肢體動作的細微變化表現某狀態的不同程度。
這是很有意思的一篇小說，有空再來填坑!!要想回答這個問題，首先得跳出"人類邏輯"這個無比正確的穹頂。就像佛教里對三十三天的描述，哪一天是可以以"人類邏輯"理解的呢?也許只有最接近我們的四天王天吧。
假如從一開始就沒有整數概念，也就是說這個文明是從直覺的角度去感知這個宇宙的，有很多東西他們只需要利用不需要知道為什麼(畢竟生存下來是第一位，知道為什麼是第二位的——當然，我這個推測也有可能只是人類邏輯)。
假如有這樣一個文明，我想他們的科技會是以應用為首要的。或許就像魔法世界，甚至比它更加不一樣。
總之，這個只能想像無法具體說明。
《計算中的上帝》中的呂特人應該是題主所說意思
呂特人語言中的一到四十六隻是名詞，並不是數詞，畢竟四十六以下的數量可以直接感知，超過四十六就無能為力了，並不需要這些數字作為數詞時之間的運算
作為一名數學系大二學生想要強行回答一波。整數應該是用來計數的，或者更準確的來說是正整數，1，2，3。。。在最開始的時候可能都沒有數字這一概念，但是必然會有各種符號來計數，也就是說，正整數應該是在"數學"這一概念出現之前就必然存在的概念。然後在生活與學習中由於社會的進步，科學的發展人們會慢慢發現正整數不夠用，於是有了0來表示沒有，以及負整數來表示和正整數相反的意義，比如前進和後退等等，這樣才有了"整數"這個概念。
額，作為一個文明的發展過程，整數的出現應該是一個必經階段吧，之前從地球文明的發展過程來說是這樣，或許如果有其他世界的基本規則和地球上的不一樣？？比如。。沒有"離散"的概念？？？那是一個"連續"的世界？？？這樣的世界好難想像。。或許可以用拓撲學的知識來轉換離散和連續？不過作為剛剛學拓撲的大二數學渣渣實在無能為力了←_←
然後如果腦洞更大一點，假如連"連續"的概念都沒有？好吧，我已經想像不出那個規則和地球完全不同的世界了。
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