水星近日點進動用牛頓力學怎麼算出的5557.62角秒每世紀？

11-28

不是說相對論的那43秒。希望給出詳細解釋，或給出相關文章。本人是高三學生，不太玄的數學式子還是能看懂的。

完整的水星進動包括這幾項：歲差、其餘行星攝動、廣義相對論效應、太陽的非球形（四極矩）效應。
歲差佔了最大的一頭，但這只是幾何學的內容，我們不管。
其餘行星的攝動，我們考慮通過某種意義上的級數進行計算：
首先，我們不考慮其餘行星軌道的偏心率非零所帶來的後果（說實話我並不清楚如何系統的計算這一效應）
其次，我們假定，對於長期的作用，其餘行星對水星的作用相當於均勻分布在其軌道上的圓環（事實上，我們可以將這些行星的周期運動按傅里葉級數展開，均勻分布的圓環相當於級數中的領頭項）
那麼，我們可以寫出水星所處的外勢場
$[V(r) = - frac{{G{M_s}m}}{r} - sumlimits_i {int_0^{2pi } {frac{{G{M_i}m}}{{sqrt {R_i^2 + {r^2} - 2{R_i}rcos heta } }}} } frac{{{ m d} heta }}{{2pi }}]$
各字母意義自明
領頭的一項自然是太陽的引力勢，後面的求和為各行星的作用。
這樣一個根號我們不好處理，將其按照 $r/R_i$ 展開
$[V(r) = - frac{{G{M_s}m}}{r} - sumlimits_{i,j} {frac{{G{M_i}m}}{{{R_i}}}int_0^{2pi } {{{left( {frac{r}{{{R_i}}}} ight)}^j}{P_j}(cos heta )} frac{{{ m d} heta }}{{2pi }}} ]$
式中P為勒讓德多項式。
計算上面的積分，我們有
$[sumlimits_j {int_0^{2pi } {{{left( {frac{r}{{{R_i}}}} ight)}^j}{P_j}(cos heta )} frac{{{ m d} heta }}{{2pi }}} = 1 + frac{1}{4}{left( {frac{r}{{{R_i}}}} ight)^2} + frac{9}{{64}}{left( {frac{r}{{{R_i}}}} ight)^4} + frac{{25}}{{256}}{left( {frac{r}{{{R_i}}}} ight)^6} + ...]$
現在我們需要的是計算在 $frac{1}{r}$ 勢的基礎上，附加這樣一個微擾後，行星的進動。
由於這是有心力，我們可以寫下這兩個守恆方程
$frac{1}{2}m({dot r}^2+r^2{dot heta}^2)+V(r)=E\ mr^2{dot heta}=L$
從而得到微分關係
${ m d} heta=frac{L { m d}r}{r^2 sqrt{2m[E-V(r)]-frac{L^2}{r^2}}}$
將上式由近日點積分到遠日點，再乘個2，扣去 $2pi$ ，便是行星一個周期內的進動角。
假定其他行星的作用相對與太陽是個小量，我們能得到一個更直接的表達式
$[delta heta=2mfrac{partial }{{partial L}}int_{{r_{min }}}^{{r_{max }}} {frac{{delta V(r){ m d}r}}{{sqrt {2mleft( {E + frac{{G{M_s}m}}{r}} ight) - frac{{{L^2}}}{{{r^2}}}} }}} ]$
為方便計算這個積分，引入參量 $psi$ 滿足 $r=a(1+e cos psi)$ ，我們有
$delta heta = sqrt{frac{2m}{-E}}frac{partial }{{partial L}}int_0^{pi}{a(1+ecos psi)delta V(r){ m d}psi}$
將前面得到的勢能帶入此式做計算，得到水星一個周期內進動的角度
$[delta heta = pi sqrt {1 - {e^2}} sumlimits_i {frac{{{M_i}}}{{{M_s}}}left[ {frac{3}{2}{{left( {frac{r}{{{R_i}}}} ight)}^3} + frac{{45}}{{16}}left( {1 + frac{3}{4}{e^2}} ight){{left( {frac{r}{{{R_i}}}} ight)}^5} + frac{{525}}{{64}}left( {1 + frac{5}{2}{e^2} + frac{5}{8}{e^4}} ight){{left( {frac{r}{{{R_i}}}} ight)}^7} + ...} ight]} ]$
僅考察第一項，我們得到的結果是：進動速度與外行星與太陽的質量比成正比，與水星軌道半徑與外行星軌道半徑比的三次方成正比
而我們要求的是地球100個周期內進動的角秒，那麼
$Delta heta =frac{180 imes3600}{pi} imes 100 left(frac{a_{earth}}{r} ight)^{3/2}delta heta$
根據這個結果，我們可以算得水星一個世紀內的進動約為六百角秒，與扣除了歲差的精確值532角秒基本相符。
但是，將外行星近似為均勻分布的一個環，這對於金星而言是及其不靠譜的。金星和水星軌道周期之比在高精度下為5:2，這意味著相對水星而言金星的運動是周期的，這會導致一個完全不同的攝動結果。這也是我上面寫下的結果只寫了一位有效數字的原因。
關於更精細的考慮，我建議題主參考天體力學有關的書籍。

參考資料：
Solar System
Apsidal precession
劉川，理論力學

附：關於將行星視作圓環
標準的勢場應該寫作
$V(r,t)=-frac{GMm}{sqrt{R(t)^2+r^2-2R(t)rcos heta(t)}}$
其中 $R(t)$ 為行星的矢徑隨時間變化的函數，設其角頻率為 $omega_0$
將勢場在時域上做傅里葉分解
$V(r,t)=sumlimits_{n = - infty }^infty {{a_n}(r){e^{in{omega _0}t}}}$
係數由下式給出
$a_n=frac{omega_0}{2pi}int_0^{2pi/omega_0}{V(r,t)e^{-inomega_0 t}{ m d}t}$
取 $n=0$ ，得到
$[{a_0} = frac{{{omega _0}}}{{2pi }}int_0^{2pi /{omega _0}} { - frac{{GMm{ m d}t}}{{sqrt {R{{(t)}^2} + {r^2} - 2R(t)rcos heta(t) } }}} ]$
假定行星做圓周運動，用 ${ m d} heta$ 替換掉dt，我們就可以得到之前那個關於勢能的近似表達式，即表現為傅里葉級數的第零項。
另外，我們也可以注意到，高階項仍然保留著有心力的形式，這讓我們可以繼續使用有心力的理論進行處理。

@梁昊說的挺清楚了…補充一個計算的比較奇怪的地方然後再提供一種方法。

最直觀的方法就是說勢能有一個微擾。我們把角度的嚴格表達式按照微擾展開到一階就得到了近動角。

但是如果你這樣做的話你會發現直接展開到一階的積分是發散的!!!所以需要Landau的trick就是先寫成對積分號求導，然後積分收斂得到一個有限值，然後再對有限值求導得到結果。

很自然的我們需要知道為什麼直接泰勒展開會得到發散的結果。於是我們可以用另外一種方法，也就是我們考慮軌道的微分方程通過逐階近似求解微分方程來得到結果。

這樣做下去就能看到發散實際上對應微分方程的共振項。有共振情況下二階常係數常微分方程的解會發生變化。由於我們實際上沒有共振，因此通過共振項係數為零就可以得到軌道的進動周期了。

近日點進動的角速度為： $Omega = T frac{2pi m}{ell^2} frac{partial^2}{partial u^2} Big|_{u=u_{max}} !!!!!! !!!!!!V(u)$ ，

這裡， $T$ 為水星軌道周期；
$ell$ 為軌道角動量；
$V(u) = V(1/r)$ 為水星感受到的平均引力勢能， $u = 1/r$ ，例如，太陽貢獻的經典引力勢能為 $-frac{GMm}{r} = -GMm ,u$ ；
$M = M_odot + M_ ext{Mercury} approx M_odot$ 為總質量， $m = frac{M_odot M_ ext{Mercury}}{M_odot + M_ ext{Mercury}} approx M_ ext{Mercury}$ 為水星的約化質量；
$partial^2_u$ 表示對 $u$ 求兩次導數。

這個公式可以從Binet方程 $frac{d^2u}{d heta^2} + u = - frac{m}{ell^2} frac{partial V(u)}{partial u}$ 中得到。

對 $V(1/r)$ 的主要貢獻來自：其他行星的攝動、廣義相對論、太陽引力的非球對稱性。

由於近日點進動的積分本質，其他行星的攝動可以用高斯方法計算，即，將施加的擾動行星用其軌道上的一圈質量代替，任意一點的密度反比於行星在該點的速度。很顯然，這相當於將施擾行星的勢能做時間上的平均。還有其他更精密的方法。歷史上，太陽系行星的一階攝動係數被做成表格，便於比較和計算。

廣義相對論貢獻的額外引力勢能為，
$- frac{ell^2}{mc^2}frac{GM}{r^3} = - frac{ell^2}{mc^2} GM, u^3$ ，
這裡， $c$ 為光速。