有哪些美麗或神奇的理科公式？

11-28

類似歐拉定理一樣的美麗而神奇的公式（定理）

感謝 @冀諸超 @PENG Bo 和 @Patrick Zhang 等知友精彩且專業的回答。提到美（牛）到不行的公式，我常常會想起公式和生活相結合的場景：百層高樓的電梯是怎麼設計的，防震裝置如何讓其屹立不倒的？、關燈後，燈都到哪裡去了？、為什麼天上的星星除了月球外，肉眼看大小都差不多？而不是看起來有大有小地分布在夜空？

這些生活中的細節，或許我們從來未曾注意過，但是它卻真實地存在。每一個奇特之處，也許都可以用公式來解釋。我們將部分站內「公式之美，生活之美」的內容製作成短片，希望可以更好地幫助你和我理解生活中的那些神奇。好了，現在我來用視頻的形式回答問題了：

@好大的風：為什麼從棉簽盒中取走一部分棉簽，剩餘的棉簽會以呈螺旋狀排列？這不是偶然，想想筷子筒和小蠻腰，是不是感覺有些熟悉呢？原因就是單葉雙曲面方程： $frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}-frac{z^{2}}{c^{2}}=1$

@antares：洗牌八次會怎樣？根據數學公式：f(f(f(f(f(f(f(f(x))))))))=(256*x) %51，由於256 除以 51 的餘數正好是 1，所以上面這個式子正好等於 x……你看，學會了「正確」的洗牌方式，人人都是魔術師。

@Patrick Zhang：為什麼在打開白熾燈開關的一瞬間其燈絲容易熔斷？初中的物理知識，將會一直存在你的生活當中。電阻公式 $R= ho _{0} (1+alpha heta )frac{L}{S}$ 告訴我們，溫度越高，電阻就越大。

@豬小寶：為什麼對木棍、鐵棒等，折斷比拉斷更容易？想想你是不是已經習慣了這種折斷的方式和方法，為什麼分享黃瓜的時候，會不自覺地選擇折斷呢？力學公式 $N=fA$ 表示，拉力要比折斷多好多倍……

更多關於這四個現象與公式的詳細解釋，可以查看四位知友的專業回答。此外，視頻中提到的那些公式，我們現在都可以支持輸入了。為了更好地滿足專業領域的創作需求，我們也對編輯器的公式功能進行了集中地優化：

公式工具欄進行了擴充，提供了基本的公式符號，包括希臘字母，常用數學運算符、關係符、上下標、積分號以及箭頭等；
如果想輸入更豐富的公式，可以通過輸入 LaTeX 代碼添加；
公式渲染也採用矢量高清的 SVG 格式，支持在任何屏幕上都可高清展示；
報錯提示更加友好等等……

歡迎大家使用知乎編輯器的公式撰寫功能分享你生活中的「那些牛（美）到不行的公式」~大家在使用過程中有任何問題，歡迎聯繫我。

#和生活一樣，公式簡單但又不簡單。我們每一個習以為常，都存在其道理。

完成了「知一聲」的第一個回答，我也自我介紹下：我是知乎家族的新成員，略懂產品和技術，了解知乎產品功能，不定期地將知乎的功能或產品的優化升級告知大家，歡迎大家關注和私信我。

來到拉馬努金的世界感受極致混亂的美吧!

本帖長期施工:敬請關注

拉馬努金圓周率公式

${frac {1}{pi }}={frac {2{sqrt {2}}}{99^{2}}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(4k)!}{k!^{4}}}{frac {26390k+1103}{396^{4k}}}$

拉馬努金圓周率公式是一些形如:

$frac{1}{pi}=frac{sqrt{n}}{3}sum_{m=0}^{infty}(6v(k)m+ar{G}(k_1,k))b_mc^m(k)$

的公式,取不同的 $n$ 值可以得到不同的圓周率公式.

但並不是所有的自然數都能取的, 只有當 $n$ 為所謂的 虛二次域理想類數 時才有這個美妙的關係.

這名字好中二啊, 58 就是虛二次理想類數為2的數 ,這類數的性質之一如下:

$e^{pi sqrt{58}} approx 396^4 - 104$ ,可以用計算器驗證下哦,57,59都沒有這個性質哦.

拉馬努金髮現了這個關係並且計算了十多個這樣的級數.

那個時候可沒有計算器, 而且這些參數計算極端複雜, 可以參見Wiki上滿頁的公式:Ramanujan-Sato series, 在那個時代幾乎只能靠數感猜了...

這類級數收斂與類數有關, 拉馬努金不可能不知道使用163這個神奇的數字收斂的最快

但是 $n=163$ 這個級數的複雜程度已經非手工能及,藉助現代高速的計算機,我們總算能一睹這個函數的真容:

$frac {1}{pi }={frac {12}{(640320)^{3/2}}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}left(-262537412640768000 ight)^{k}}}$

基於: $e^{pi {sqrt {163}}}approx 640320^{3}+744$ ,這個數精度高達小數點後十位.

哦對了,這個數 $e^{pi {sqrt {163}}}$ 也被稱為拉馬努金常數

拉馬努金求和

施工中:

拉馬努金連分數

可以毫不客氣的說, 連分數就是拉馬努金髮揚光大的.

從前沒人知道連分數還能玩出這麼多花樣

$r=dfrac{1}{1 + dfrac{e^{-2pi}}{ 1 + dfrac{e^{-4pi}}{1 + cdots}}} = frac{sqrt[4]{5} sqrt{varphi} - varphi}{e^{-2pi/5}}approx1$

這個比較著名, 因為將黃金分割, 自然對數和圓周率聯繫在了一起...

當然拉馬努金的發現從來都不是一個而是一類:

$r=1+frac{e^{-2 sqrt{5} pi }}{1+frac{e^{-4 sqrt{5} pi }}{1+frac{e^{-6 sqrt{5} pi }}{1+frac{e^{-8 sqrt{5} pi }}{1+e^{-10 sqrt{5} pi }}}}}=frac{1}{e^{frac{2 pi }{sqrt{5}}} left(frac{sqrt{5}}{sqrt[5]{5^{3/4} (phi -1)^{5/2}-1}+1}-phi ight)}approx1$

施工中:

拉馬努金積分

$int_{0}^{infty}frac{dx}{(1 + x^{2})(1 + r^{2}x^{2})(1 + r^{4}x^{2})cdots} = frac{pi}{2(1 + r + r^{3} + r^{6} + r^{10} + cdots)}$

這個很著名...因為很好理解...

然後拉馬努金髮現(猜想) $r>1$ 有:

$int_{0}^{infty}frac{(1 + arx)(1 + ar^{2}x)cdots}{(1 + x)(1 + rx)(1 + r^{2}x)cdots}x^{n - 1},dx = frac{pi}{sin npi}prod_{m= 1}^{infty}frac{(1 - r^{m - n})(1 - ar^{m})}{(1 - r^{m})(1 - ar^{m - n})}$

這難度就不一樣了, 一頭霧水看不懂怎麼就推出來這個了...

拉馬努金的很多積分...直到現在軟體都求不出...

比如拉馬努金對數三角積分

$int_0^{frac{pi }{2}} frac{sqrt{frac{log ^2(cos ( heta ))}{ heta ^2+log ^2(cos ( heta ))}}}{sqrt{ heta ^2+log ^2(cos ( heta ))}} , d heta =frac{pi}{2log (2)}$

這個積分像個坦克一樣的笨重...

而且我說了拉馬努金的發現從來不是一個而是一類

$int _0^{frac{pi }{2}}frac{sqrt{frac{1}{2} sqrt{frac{log ^2(cos ( heta ))}{ heta ^2+log ^2(cos ( heta ))}}+frac{1}{2}}}{sqrt[4]{ heta ^2+log ^2(cos ( heta ))}}d heta=frac{pi}{2sqrt{log (2)}}$

Mathematica表示一臉懵逼, 只能驗算下這個是對的...

拉馬努金恆等式

叫拉馬努金恆等式的也有好幾個吧...

一個拉馬努金求和恆等式比較有名.

考慮不定方程 $a^3+b^3-c^3=pm1$ 的正整數解.

拉馬努金髮現可以用三個分式的函數展開式表示解:

$egin{aligned} A_n=frac{9 x^2+53 x+1}{x^3-82 x^2-82 x+1}\ B_n=frac{-12 x^2-26 x+2}{x^3-82 x^2-82 x+1}\ C_n=frac{-10 x^2+8 x+2}{x^3-82 x^2-82 x+1}\ end{aligned}$

令人窒息的操作...

拉馬努金六-十-八恆等式:

$egin{aligned} 64[(a+b+c)^6-(a+b+d)^6-(a+c+d)^6+(a-d)^6+(b+c+d)^6-(b-c)^6]\ imes[(a+b+c)^{10}-(a+b+d)^{10}-(a+c+d)^{10}+(a-d)^{10}+(b+c+d)^{10}-(b-c)^{10}]\ =45[(a+b+c)^8-(a+b+d)^8-(a+c+d)^8+(a-d)^8+(b+c+d)^8-(b-c)^8]^2 end{aligned}$

正當數學家懵逼之際,拉馬努金趁勢推出了:

拉馬努金六-十-八恆等式強化版:

$egin{aligned} 64 left(-(x (a+b)+y (a-b))^6-(y (2 a+b)+b x)^6+(y (a+2 b)+a x)^6+(x (a+b)-y (a-b))^6+(b x-y (2 a+b))^6-(a x-y (a+2 b))^6 ight)\ -(x (a+b)+y (a-b))^{10}-(y (2 a+b)+b x)^{10}+(y (a+2 b)+a x)^{10}+(x (a+b)-y (a-b))^{10}+(b x-y (2 a+b))^{10}-(a x-y (a+2 b))^{10}\ 45 left(-(x (a+b)+y (a-b))^8-(y (2 a+b)+b x)^8+(y (a+2 b)+a x)^8+(x (a+b)-y (a-b))^8+(b x-y (2 a+b))^8-(a x-y (a+2 b))^8 ight)^2\ end{aligned}$

拉馬努金餘弦,雙曲恆等式

$left(1+2sum _{n=1}^{infty }{frac {cos(n heta )}{cosh(npi )}} ight)^{-2}+left(1+2sum _{n=1}^{infty }{frac {cosh(n heta )}{cosh(npi )}} ight)^{-2}={frac {2Gamma ^{4}left({frac {3}{4}} ight)}{pi }}$

施工中:

Collected Papers of Srinivasa Ramanujan

這本書上有幾千個這個樣子的公式...明天再打了...

有意思，還帶比誰打公式更快的？我決定秀一下我的 LaTeX，看看和 @知一聲 @中國科普博覽比哪家強？

下面進入正題。

在我的研究方向里，我覺得，愛因斯坦係數是一個非常漂亮的結果。

大家可不要覺得愛因斯坦只提出了相對論哦（雖然這可能是他最大的成就）。他本身就是量子力學的奠基人之一，提出了光量子假說，還有他對布朗運動的研究，以及從理論上預測了玻色—愛因斯坦凝聚現象。而我要說的「愛因斯坦係數」呢，則是他在光譜學上的偉大貢獻。

愛因斯坦係數確定了吸收（Absorption）、自發輻射（Spontaneous Emission）和受激輻射（Stimulated Emission）三者之間的關係。我們說，量子體系（可以是原子、分子等等）的能量是分立存在的，叫做「能級」。體系在兩個能級之間躍遷（transition），靠的是吸收/發射光子。吸收一個光子，體系就可以從低能級躍遷到高能級；而釋放一個光子，體系就可以從高能級回落到低能級。這光子的能量 $epsilon=h u$ ，需要等於兩個能級之間的能量差。但是，輻射的過程有兩種，一種是自發的，因為高能級總是相較於低能級更不穩定，最終總是會回落到低能級；一種則是受到外界的「刺激」，受激輻射。這是說，外界正好有一個和兩個能級的能量差相等能量的光子照到處在高能級的體系，它就吸收那個光子，掉到低能級上去，然後放出兩個一模一樣的光子。

對於一個給定的體系和能級，這個吸收或者輻射的速率是固定的，並不是你想吸收就吸收，想輻射就輻射的。這個速率就由愛因斯坦係數來決定。

$B_{12}=frac{|mu_{12}|^2}{6epsilon_0hbar^2}$

其中， $mu_{12}$ 是這個躍遷的躍遷矩（transition dipole）： $mu_{12}=langlepsi_2|m{mu}|psi_1 angle$

而且，愛因斯坦說，這個吸收的速率，其實和受激輻射的速率是一樣的， $B_{12}=B_{21}$ 。從直覺上（以及熱力學上）來講，我們覺得一個處在熱力學平衡的體系，它的高能級的粒子數 $n_2$ 肯定要比低能級的 $n_1$ 低，這個分布由玻爾茲曼分布來決定：

$frac{n_2}{n_1} =frac{g_1}{g_2} expBig(-frac{E_2-E_1}{kT}Big)$

如果說只有吸收和受激輻射的話，兩者速率一樣，那 $n_2$ 和 $n_1$ 也應該一樣才對。造成熱力學平衡狀態下 $n_2<n_1$ 的，就是自發輻射。這個自發輻射的速率，應該和「黑體輻射」的強度相等。

所以在從受激輻射速率常數 $B_{21}$ 推導自發輻射速率常數 $A_{21}$ 的時候，用的就是這一招：把速率方程、玻爾茲曼分布和黑體輻射公式聯立在一起，解出來的。於是，

$A_{21}=frac{8pi h u_{21}^3}{c^3}B_{21}$

我當時上光譜課的時候，覺得這個推導雖然很巧妙，但是有點不「本質」——我們怎麼就可以默認熱力學平衡態的分布就是玻耳茲曼分布，輻射強度就是黑體輻射呢？我就問教授，能不能從第一性原理上推出自發輻射速率。他說可以，課後發給了我們一套講義，打開一看，量子場論云云，說真空漲落產生的正反粒子引發了自發輻射。我一個做實驗的是看不懂了，遂作罷。

我個人認為，愛因斯坦係數的巧妙和實用之處，在於它把一個隨時間演化的量子力學體系，簡化成了一個類似於化學細緻平衡態的純動力學過程。然後你就可以直接解速率方程組了，不用再去做複雜的量子力學計算了。否則，按照計算含時薛定諤方程演化的方法，用微擾法去做，公式就不是打幾行，而是幾頁了。

愛因斯坦係數的偉大之處，還在於它在理論上預測了激光的存在，而且告訴人們怎樣的能級體系才可能實現激光。

激光要求高能級的粒子數大於低能級的粒子數（粒子數反轉），因此使得受激輻射的速率超過吸收速率，光就會通過受激輻射得到放大。但從我上面的文字可以看到，一個純粹的二能級體系，因為自發輻射的存在，在熱力學平衡狀態下是不可能實現粒子數反轉的。所以，我們至少需要引入第三個能級，來人為構造一個局部的非熱力學平衡態。

這個三能級系統怎麼工作呢？我們要尋找這樣一個系統，其中 $2 ightarrow3$ 的非輻射轉移速率，遠遠大於 $3 ightarrow1$ 的自發輻射速率。這樣，我們先用外部的泵浦，把大量粒子從能級 1 搬運到能級 2；它們很快就通過其他非輻射過程，跌落到能級 3 上；但是之後就卡住了，久久不能返回到能級 1。時間久了，粒子就會在能級 3 上累積，最終實現 $n_3>n_1$ 的粒子數反轉。

靠三能級系統工作的激光實例，有紅寶石激光器。世界上第一台激光器，就是紅寶石激光器。

但是，其實更常用的是四能級系統，四能級系統比三能級系統更加容易實現。這是因為，三能級系統中，能級 1 是基態，本來粒子數就是最多的。我們要讓 3 比 1 還多，要花非常大的力氣清空能級 1 上的粒子。這就要求我們的泵浦非常給力。而四能級系統中，我們不但可以讓粒子卡在能級 3 上，還可以讓 $4 ightarrow1$ 的速率非常快，清空少量處在能級 4 上的粒子。這樣，即使泵浦不是特彆強，或者 $A_{23}$ 並沒有比 $A_{34}$ 快太多，也有機會實現能級 3 和 4 之間的粒子數反轉。

靠四能級系統工作的激光實例，有 Nd:YAG 等等。其中，我認為最完美的實例就是準分子激光（excimer laser）——它通過特殊的反應機理，使得體系在 4 這個能級的狀態是不穩定的，直接解離掉。於是，能級 4 上的粒子數幾乎為 0，可以說是完美的粒子數反轉了。

謝謝邀請。

當我看到這題的時候，首先想到的兩個公式都已經有人提到了。

我心中最美麗的公式是什麼？

麥克斯韋方程組。

我心中最困難的公式是什麼？

納維-斯托克斯方程（Navier–Stokes equations）。

那麼，當他們湊到一塊兒時會出現什麼？

歡迎走進磁流體力學 (Magnetohydrodynamics; MHD) 的世界。

能夠運用到MHD的地方有很多，比如等離子體、液態金屬、電介質等等。後文以最為典型的等離子體著重介紹。

在不需考慮單個粒子運動的前提下，等離子體具有很多和普通流體相同的性質，但它是由帶電粒子構成的，一方面電磁場會與之發生作用，另一方面等離子體本身的運動也會產生電磁場。因此在描述等離子體的宏觀運動的時候，與描述中性流體的普通流體力學方程不同，我們必須考慮電磁場與等離子體之間的相互作用。而這套動力學理論稱為磁流體動力理論。

於是，麥克斯韋方程和納維-斯托克斯方程就這樣在一起了。

引用wiki的話就是：

The set of equations that describe MHD are a combination of the Navier–Stokes equations of fluid dynamics and Maxwell"s equations of electromagnetism.

（朗道這本書和MHD理論還稍有不同。）

以下內容順帶介紹MHD理論，先說說最簡單的模型。

對於無黏、絕熱、理想導電的等離子體，稱為理想導電流體，與之對應的是理想磁流體力學方程組（Ideal MHD equations）。

${frac {partial ho }{partial t}}+ abla cdot ( ho mathbf {v})=0$

$ho left({frac {partial }{partial t}}+mathbf {v} cdot abla ight)mathbf {v} =mathbf {J} imes mathbf {B} - abla p$

$abla imes {oldsymbol {E}}=-{frac {partial {oldsymbol {B}}}{partial t}}$

$abla imes {oldsymbol {B}}=mu _{0}{oldsymbol {J}}$

$abla cdot mathbf {B} =0$

${oldsymbol {E}}+mathbf {v} imes {oldsymbol {B}}=0$

$p ho ^{{-gamma }}={mathrm {const}}$

以上公式構成了完整和封閉的理想磁流體力學方程組。當然，對於一個物理問題的完整求解，除了方程組外還需要足夠且合適的邊界條件。

理想磁流體力學方程組已經能描述很多物理現象了，其中最為著名的就是阿爾芬波（Alfvén wave）。其發現者瑞典物理學家漢尼斯·阿爾文也因此於1970年獲得諾貝爾物理學獎，並被認為是磁流體力學的開創者。

阿爾芬波：一種沿磁場方向傳播的波。圖片來自http://science.sciencemag.org/content/318/5856/1572

但是在實際情況中，遇到的絕大多數都是非理想情況。

比如當電阻不可忽略時，需要用到廣義歐姆定律進行修正，與之對應的是電阻磁流體力學方程組（Resistive MHD equations）。在這種情況下將會出現各種奇奇怪怪的物理現象，上到宇宙中的太陽耀斑（solar flare），下到實驗室中的撕裂模（tearing mode）。

在某些特殊情況下（比如在處理撕裂模時），上面的電阻磁流體方程可以通過引入標量場與矢量場之間的變換來導出一組簡化的封閉方程組，使得計算難度大幅降低，被稱為約化(Reduced) MHD方程組。這像不像降維攻擊？

除了電阻以外，黏性是另一種常見的非理想效應。這往往是在磁流體具有不可忽略的流速或流速場剪切時需要考慮的重要因素。常用的處理方法是通過在歐拉運動方程中加入黏性力項來計算。

通常的等離子體是由電子和離子構成的，最簡單的情況是等離子體中只有一種離子。由於電子和離子的質量差別很大，在滿足適當條件下，可以將高度電離的等離子體看作是由電子流體和離子流體兩種成分組成的，我們可以分別對他們列出各自的流體力學方程，並且考慮它們之間的耦合，這就是等離子體的雙流體（Two-fluid）描述。

以上介紹的是磁流體動力理論中一些常見的模型。除此以外，磁流體理論中還有諸如考慮了動理學效應（kinetic effects）的磁流體模型、電子磁流體（Electron Magnetohydrodynamics； EMHD）理論、霍爾磁流體 ( Hall-magnetohydrodynamics; HMHD) 理論、無碰撞（collisionless）等離子體等等。

大家知道在數學上納維-斯托克斯方程的求解是極其困難的，但現在畢竟是在研究物理問題，那麼就需要根據具體情況尋找各種簡化條件，比如常用的奇異攝動理論。

在等離子體物理中，主要有兩種表述方式，即磁流體描述與動理學描述。有關動理學在我之前的回答中已有相關介紹：知乎用戶：物理動理學是門怎樣的學科？

磁流體理論也是我碩博階段一直在研究的方向，至今仍在此坑中雲深不知處。

本回答中提到的一些概念在知乎上也有討論：

陶哲軒這篇關於 N-S 方程的證明具體是得出了什麼結論，對 CFD 會有什麼深遠影響嗎？

什麼是磁場重聯？怎樣理解三維磁重聯？

等離子體對邊界層粘度和熱傳導的影響？

怎麼回答這個問題呢？

第一步，先去外面抓些不同領域的老師回來，請他們說說他們心中的最美（牛）公式（定理）。

然後發現，雖然公式（定理）「美（牛）」這事見仁見智，不過從已有回答里能看到，還是和好多知友有共鳴。唯一遺憾的是，這麼好的問題，來晚了！為了找出有多少趣味相投的知友，險些看瞎了雙眼……有的公式，在非科研領域的知名度也相當高，堪稱「國民方程」，例如， @吳奕韜 @baozx 等都提到的歐拉公式， @fr0zen bear 提到的質能方程；有的公式雖然不太熟悉，但對業內人來說也是繆斯般的存在，例如 @何史提提到的麥克斯韋方程，@Patrick Zhang 提到的曼德博集合， @畢導提到的熱力學Gibbs方程， @qfzklm @賈晨琦提到的塔珀自指公式，這個公式名字里的「自指」實在是太妙了……

第二步，再去外面抓個小哥哥試用下公式編輯器，上手一波操作。、

第三步，具體聊聊為什麼這些公式「美（牛）」到不行。

先來知名度特別高的「國民方程」系列。

1）質能方程 $E=mc^{2}$

這個方程極其簡單，沒有複雜的運算關係，看起來有一種簡潔的美感。如果現代物理學的理論都能像這個公式這麼簡單，那所有搞物理的人都應該放下手中的工作慶祝三天三夜，而他們之所以沒能停下手中的工作來慶祝，就是為了實現這樣的目標！

物理學是為了看透複雜世界背後的簡單本質。公式中，E代表的是能量，m代表的是質量，c代表的是真空中的光速，這個公式表明任何有質量的物體都具有能量，反之亦然。以後胖的人可以自豪的說，質能方程表明，質量大的人具有更大的能量，而且是正比於光速的平方增長的……

這一方程是愛因斯坦在奇蹟年也就是1905年的一篇論文中寫下的，是從狹義相對論中得到的。質能方程表明，靜止的有質量的物體也具有內稟能量，是靜止能量，當它動起來時，除了靜止能量，還有動能，靜止能量和動能之和是總的能量，這樣換算出的質量就會變大，也就是動質量會大於靜質量。核武器以及核電站利用的核能，以及我們的太陽能，都是是原子核在發生反應時由於微小的質量虧損而釋放出的巨大能量，原子彈和核電站是利用重核裂變；太陽內部是輕核的聚變；科學家們一直致力於在地球上實現可控核聚變，一勞永逸地解決能源問題。既然是等式，轉換就是雙向的，宇宙大爆炸初期是沒有物質存在的，高能光子的碰撞產生了輕子夸克等粒子，宇宙逐漸冷卻才形成現在的物質。

2）萬有引力定律 $F=G frac{m_{1}m_{2}}{R^{2}}$

萬有引力定律可以說是最為著名的物理定律之一了。艾薩克·牛頓在其1687年出版的《自然哲學的數學原理》中，詳細闡述了其三大運動定律和萬有引力定律。

書的原文是用拉丁文寫成的，讀過該書的人會知道，這本書遠非我們所知曉的一些定律這麼簡單。它可以說是科學研究的典範，在引論部分先給出定義、公理或運動定律，接下來三部分就是論物體運動的兩卷和論宇宙的系統。

在該書中，牛頓詳細推導了在引力作用下的三種軌道即橢圓、雙曲線和拋物線，裡面所用到的幾何學的知識和技巧，即使是現代人，也很難想到。而且在《原理》一書中，可以看出牛頓已經應用了微積分的思想，而他關於微積分的詳細論述則在其他數學著作中。（傳說牛頓是在蘋果樹下被蘋果砸中受啟發而發現萬有引力定律，現在劍橋三一學院以及劍橋大學植物園內還保留著這棵蘋果樹的後裔，中國科學院上海分院還嫁接了一枝。）

萬有引力定律將地上的蘋果落地現象、大海的潮汐以及天上日月星辰的運動統一了起來，表明任何兩個有質量的物體之間都存在引力作用。雖然現在廣義相對論是描述引力本質的理論，今年諾貝爾物理學獎發現的引力波也再次證明廣義相對論的正確性，但並不代表萬有引力定律的失效，宏觀天體在引力作用下的運動用萬有引力定律來解決，仍然十分方便和精確，而且在天文觀測上也有很重要的意義。1846年，法國數學家和天文學家勒維耶根據引力定律計算得到一顆未知行星對天王星公轉軌道的引力攝動，建議柏林天文台尋找這顆未知行星，結果找到了天王星，而且觀測到的天王星的位置與勒維耶的計算結果只差1°，可以說明引力定律仍然是十分精確的和應用廣泛的。另外，描述真空中點電荷的相互作用的庫侖定律，也是類似的平方反比定律。平方反比這一關係，在很多其他情況下也應用廣泛，是很好的近似。

3）歐拉公式 $e^{ipi}+1=0$

題主的提問里，就是用它做的例子，你說美不美~

這個公式是由瑞士數學家歐拉發現。該公式由5個數學上最簡單的符號組成，它通過3種基礎運算，即加法、乘法和冪運算就將1、0、 $pi$ 、i和e這五個數學中最重要的數字聯繫在了一起，堪稱天才的完美之作。

它是數學與世界之間兼具理性色彩與深邃之美的巔峰之筆。它是純粹的數學之美，淋漓盡致地展現出數學作為跨文化、跨種族的通用語言的簡單與和諧，讓人們得以一窺數學穿越宇宙時空通行無礙的完美特性。

再來知名度略低但見到就容易愛上的最美（牛）公式（定理）

1） 圓周率的級數表達公式 $frac{pi}{4}=1- frac{1}{3}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+…$

自古以來，人們就痴迷於如何計算圓的周長。以拉丁字母標記的圓周率，其定義就是一個圓的周長相對於其直徑的比。儘管圓是如此地簡單和完美，在生活中更是有舉足輕重的應用，但是眾多先賢對計算 $pi$ 的精確值卻一籌莫展。

早在古希臘時期，主流的畢達哥拉斯學派就認為世界上所有的數都是有理數。具有諷刺意義的是，無理數正是畢達哥拉斯的弟子所發現，因為和主流思想相悖，最終被其學派迫害身亡。然而對 $pi$ 是有理數還是無理數的爭論，以及如何簡單便捷地計算出 $pi$ 的具體值卻困擾了人們1000多年。

早在南北朝時期，中國的祖沖之用古老的算籌計算出圓周率 $pi$ 的近似值介於3.1415926到3.1415927之間。如此精確地測量圓周率 $pi$ 有著積極的現實意義。他因此能夠修正古代的量器容積的計算，極大地改進了生產實踐的需要。儘管如此，祖沖之的方法雖然簡單，但卻需要極為持久的耐心和仔細，以至於他的記錄直到一千多年後才被打破。圓周率 $pi$ 就好像一份寶藏，為它的主人牢牢地守護著自己的秘密。

這個公式將圓周率精確地表達為數學的級數公式，一舉揭示了作為無理數 $pi$ 的終極秘密。它是由德國數學家萊布尼茨在1673年發現，也因此被後世稱為萊布尼茨公式。事實上，與萊布尼茨同時期的蘇格蘭數學家格列固里、印度數學家索馬亞吉均獨立發現了類似的級數公式。在參與人們的生活數千年後，圓周率 $pi$ 終於第一次清晰地展露出自己的的真實面目。

2）納維-斯托克斯方程式 $ho frac{dv}{dt}$

納維-斯托克斯方程是以克勞德·路易·納維和喬治·斯托克斯命名，廣泛應用於流體物質的方程。流體，其實簡單說就是流動的物體，比如空氣和液體。通過依賴微分方程的形式來描述流體的運動，並不是普通的代數方程，納維-斯托克斯方程所表示的是一個變化的過程，正如沒有絕對靜止的流體。

為什麼說這個方程式美呢？這又不得不回到它的描述對象，流體。舉個最簡單的例子，水。水美不美，集剛柔於一身，既有「海神東過惡風來，浪打天門石壁開」這等氣勢磅礴，亦有「柔情似水,佳期如夢,忍顧鵲橋歸路.兩情若是久長時,又豈在朝朝暮暮」這般纏綿入骨。除了詩人的文采，難道大家就不好奇都是水，到底它們內在的差別是什麼？納維-斯托克斯方程便是這條發現之路不可缺少的指南針。最後附一張流體電鏡圖。

3）阿倫尼烏斯方程 $k=Ae^{-E_{a}/RT}$ 或 $ln k=-frac{E_{a}}{RT}+ln A$

阿倫尼烏斯方程是最早由范特霍夫提出，瑞典科學家阿倫尼烏斯進一步分析得到的溫度和反應速率的關係，並且提出能壘Ea的存在。

我認為整個方程最精華的地方在於提出了能壘這個概念，也就是說，Ea不變的情況下，無論如何改變外界條件,比如溫度濃度等，反應都不會發生。能壘在自然界中是普遍存在的現象，大部分的非自發反應都需要從外界獲取能量以跨越能壘使反應能夠得以發生。很多化學反應的條件十分苛刻，原因就在於能壘極高，反應想要發生需要汲取天地日月之精華（從外界獲得極高的能量）

就好像你無法得到心儀姑娘的心一樣，條件不過硬，說啥都白扯，你們之間的化學反應就是沒法發生。那麼我們有什麼辦法降低反應的能壘也就是Ea呢？

答案是長得帥（催化劑）。

科學家們開發出各種各樣的催化劑，讓Ea變得更低，使得以前在較為溫和的條件下無法發生的反應現在可以發生。阿倫尼烏斯方程導出了能壘的概念，加深了我們對化學反應的理解，在藥物合成，化工生產，材料研究中應用極廣。

5）Student"s t test（簡稱T檢驗） $t=frac{ar{X}-mu}{frac{sigma x}{sqrt{n-1}}}$

生物學是充滿了個體不確定性的研究科目，尤其是基礎生物類都是尋找現象解釋機理，缺乏像數學和物理那樣準確的定量描述。並且生物本身是沒有什麼所謂的生物公式，基本就是統計學由來，物理學由來或者微積分的簡單公式。

所以在此，我想寫一個作為資深生物工作者，又或者對於99.5%以上的科研工作者來說，最美的公式：Student"s t test，簡稱T檢驗。幾乎每一篇設計結果置信度的科研論文都會使用到t檢驗，t檢驗是主要用於樣本含量較小（例如n&<30），總體標準差σ未知的正態分布。

該公式的名字極具後現代意識流風格，其背後的故事更是令人莞爾乃至惋惜。1908年，當時供職於都柏林健力士釀酒廠的統計學家戈斯特發表了t檢驗的相關論文。該檢驗完美的契合了釀酒廠對於產品質檢的需求，並馬上在工程及科研領域得到廣泛應用。然而，工廠老闆認為該公式的發明人屬於商業機密，戈斯特最終被迫使用筆名「學生」（student）來命名這一公式，從而失去了一個名垂史冊的機會。

用t分布理論來推論差異發生的概率，從而比較兩個平均數的差異是否顯著。研究里最常用的顯著性水平是0.05，0.01。也就是說，當科研工作人員得出實驗組和比較組顯著水平小於0.05時，就可以高舉雙手歡呼：是的！看我有了多麼了不起的世界級新發現！

當然，有時候我們在論文里寫道，我們以其中幾個為樣本進行了深入的研究，其實潛台詞非常可能是，如果再加兩個樣本或更多，顯著水平就會大於0.05，就變得毫無意義了……

6）范德華狀態方程式 $left( ho+frac{am^{2}}{V^{2}} ight)left( V-mb ight)=mRT$

1834年，物理學家埃米爾·克拉佩龍（Beno?t Paul émile Clapeyro）提出了理想氣體的狀態方程：PV=nRT，從而將氣體的壓強、體積和溫度聯繫了起來。關於理想氣體有幾個假設：氣體分子不佔空間，一直作直線運動，撞在容器壁上不發生變化，像彈力球一樣回彈，此外分子間沒有任何關係，都是孤獨的分子，也不會變成液體或固體。

而1873年物理學家范德華（Johannes van der Waals）提出了實際氣體狀態方程。其特點在於將被理想氣體所忽略的氣體分子自身體積和分子間作用力考慮在內了。自此對氣體的宏觀物理特性有了更精確的描述。

我為什麼覺得這個公式牛呢？因為它是人類歷史上第一個既能反映氣、液各相性質，又能描述相變和臨界現象的狀態方程。它描述了熱力學系統平衡狀態的獨立參量與溫度之間的關係。由於形式簡單，物理意義清楚，這個方程成為了熱力學和統計物理學的追捧對象。范德華描述方程中分子間作用力時所使用的研究方法，實際上就是後來所說的平均場方法，這一方法對鐵磁、超導、超流等眾多物理系統相變和臨界現象的研究，對熱力學和統計物理理論的發展都產生過重大影響。

7）塔珀自指公式 $frac{1}{2}<left[mod(left[ frac{y}{17} ight]2x^{-17left[ x ight]-mod(left[ y ight],17)},2) ight]$

這個說的挺多了，妙就妙在公式的二維圖像與公式本身外觀一模一樣

8）曼德博集合 $f_{c}(z)=z^{2}+c$

這個也說的挺多了。其中，c是一個複數參數，如果我們把複數c表示成複平面上的點，在這個平面上，曼德博集合就是分形的人大代表。

上圖中後一個圖像是前面圖像的局部放大。分形圖可以無限重複，無數的圓圈圍繞包括原點在內的心形，把無數較小的圓圈限定到圓。另外，如果放大周圍環境，可以發現周圍環境形狀和這個分形圖非常相似。如果把我們每個人想像成其中的一份子，很多「我們」形成了體積更大的「我們」，沒有盡頭，沒有終點，無限循環，想來是不是挺可怕的？

9）魏爾斯特拉斯函數 $fleft( x ight)=sum_{n=0}^{infty}{a^{n}cosleft( b^{n} pi x ight)}$

其中0&1+frac{3}{2}pi" eeimg="1"> ，這個函數的特點是處處連續而又處處不可導。根據魏爾斯特拉斯在他的論文中所描述，早期的許多數學家，包括高斯等都曾經假定連續函數不可導的部分是有限或可數的。這可能是因為直觀上想像一個連續但在不可數個點上不可導的函數是很困難的事。當我們繪製函數的圖像時，總會畫出較為規則的圖形，比如滿足利普希茨條件的函數圖像。

圖為區間[?2, 2]上的魏爾斯特拉斯函數。這個函數具有分形特性：某些部分會和整體自相似。

魏爾斯特拉斯函數可以被看作第一個分形函數，儘管這個名詞當時還不存在。無論如何放大，函數圖像都不會顯得更加光滑，也不存在單調的區間。把魏爾斯特拉斯函數在任何一點放大，得到的局部圖都和整體圖形相似。這個函數和上面的曼德博集合類似，「你的身體的任何一小部分都是另一個你自己！

作者：黃逸文枕草子雁丘客翼蕩漾喵張璞

出品：科普中國

監製：中國科學院計算機網路信息中心

唔，我比較喜歡光學，所以說說光學裡面的一些公式吧。

相信大家都學過透鏡成像公式吧： $frac{1}{u}+frac{1}{v}=frac{1}{f}$

可能也有人了解光的折射規律，但是有沒有仔細想過，光的折射規律明明是帶有三角函數的，為什麼最後透鏡成像公式是這麼簡單一個式子？

因為實際中的透鏡比較薄，在這個條件下，許多公式的複雜性一下就消失了，要麼互相抵消、要麼根本就不存在。化簡到最後，就是這麼一個簡單優美的公式。簡單到，即使在初中的課堂上，老師都可以教給小朋友；簡單到，根本無需計算器，在紙上畫幾條線用尺子一量就立馬能得到結果（類似於計算尺），這在計算機出現以前的年代，可是大大簡化了無數繁複的運算。要知道，在計算機出現以前人們就造出了可以高質量成像的相機鏡頭，所依賴的基礎，就是這個透鏡成像公式而已。

（補充一下「在紙上畫幾條線用尺子一量就立馬能得到結果」。如下圖，已知透鏡焦距 f 和物距 u，先隨便畫一條黑色實線，在兩頭按焦距和物距兩個長度畫兩條垂直的紅色線段，用線連起來，量出藍色線段的長度，就是像距 v）

另一個我覺得非常優美的是費馬原理：光總是沿著所花時間最短的路徑前進。

這個也許稱不上是個「公式」，但是所描述的形式之簡潔，所涵蓋的範圍之廣泛，所蘊藏的思想之深刻，都令人嘆為觀止。要知道，整個幾何光學的大廈，什麼折射定律反射定律，什麼透鏡成像公式，什麼像差理論，全部都可以化歸到這一句話裡面去。以這一句話為基石，即可構建出整座幾何光學的大廈。

美得令人驚嘆。

謝謝 @知一聲邀請。

看山從小就喜歡冰滑，海水結冰的時候就會很開心。

不過，想要讓海水結冰可不容易，因為鹽溶液的凝固點比純水低呀：

$Delta T = -K_{f} m$

觀海教我的，這叫「稀溶液的依數性」

$K_{f}=1.858^{circ} ext{C}cdot ext{kg/mol}$

而在海洋里，大部分的溶質來自於可溶性的 $ce{NaCl}$ , $ce{MgCl2}$ 等鹽類，它們各自的濃度大概是這樣的：

計算可得出，海水的冰點會比純水下降大約 -2.1°C。

從我的專業角度，我也來答一下吧。我是學習水文學及水資源專業的，在接觸到的公式中，我覺得最牛的公式應該是水流連續性方程，牛在哪裡，牛在採訪了水利專業的同學都異口同聲的認為就是它！

$Q=A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}$

Q是流量， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 為過水斷面面積， $v_{1}$ 、 $v_{2}$ 為斷面平均流速。

為什麼是它？原因只有一個，我們只能記住它，其他的不翻資料一概寫不出來！到這裡，有很長的路要走了。在水文專業，常常遇到的困惑是，我們在計算中想盡辦法，仍無法得到問題的解析解。原因在於自然界過於複雜，而水利行業所研究的恰好又是充滿了隨機性的水流運動、設計洪水、泥沙起動等等。好吧，明說就是我們研究不出來這些問題的物理成因，給不出能表達它們的準確方程式。所以在不了解物理機制的情況下，總要通過統計學方法來分析規律，這樣產生的問題是我們總是以有限樣本資料來估計總體，在估計過程中主觀性、準確性、經驗性等問題難以避免，這也導致了各種經驗公式極其複雜。

那麼連續性方程就準確嗎？好巧不巧，它準確，它其實是在物理學中質量守恆定律在水力學中的一種特殊形式。如果認為水流是不可壓縮的，那麼1.在任意兩個過水斷面所通過的流量相等，也就是上游斷面進入了多少流量，下游斷面必然流出多少流量（質量守恆）；2.建立了液體運動時，平均流速與過水斷面面積之間的關係。試想一下，若水流連續性方程不成立，進入上游斷面的流量不等於流出下游斷面的流量，那麼還談什麼物質守恆。當然這裡忽略了沿程的損失。

連續性方程形式簡單，但意義重大，在水利行業的各個領域都有廣泛的應用。其與能量方程、動量方程統稱為水利上的三大基本方程。分別反映了物理學忠的質量守恆、能量守恆與動量守恆。

舉幾個直接應用的例子：

第一，石油行業中的管道設計、管徑確定離不開連續性方程。當我們探測出石油儲量，規劃處開採年限，我們也就確定了開採流量，管徑與流速也就是權衡的問題了。因為實際當中有著損失的存在，因此管道流速必然有著一定的限制，這樣相應的斷面面積通過流量和流速求出，管徑也就得到了。

第二，物料輸送。其實與石油管道設計有共通之處，是通過水流能量攜帶固體物料傳送到指定位置。同樣，管道輸沙、填海造田也都應用到了這種管流攜帶物料的方法。但不同之處是在這種管道內存在著固體和液體兩相流，其中沿程的壓力分布、損失情況、淤積問題都是研究的重心，但連續性方程仍是其理論基礎。

上圖是我們在小浪底水庫進行的管道輸沙實驗的管道布設情況，如果有感興趣的同學可以相互討論。其實在石油管道、物料輸送管道設計中，研究的核心往往在於壓力分布、沿程損失、材料磨損等方面，我們在小浪底管道輸沙實驗中進行的研究工作也是針對水力損失與臨界不淤流速進行的分析，而並不是水流連續性，因為我們認為水流連續性是確定性的是公認的，是隱藏在這一切分析背後的基礎。

第三，泥石流的危害。泥石流有別於一般流體，不屬於牛頓流，而是一種偽一相流或稱為賓漢流體。這種特殊性質導致了泥石流在運動過程保持著斷面長時間不擴大。所以，從連續性方程的角度，我們很簡單的理解了流量不變的情況下，斷面面積始終保持較小的狀態，泥石流流速較快，衝擊力強是很自然的。

在網上找了一個典型的圖片，由於泥石流自身結構性質，斷面保持穩定，因此在地表留下的只是窄窄的一條溝，但衝擊力卻是巨大的。

第四，水動力學模型中的應用。水動力學模型在現在水利領域研究工作中極為普遍，以一維模型為例，其控制方程或理論基礎是聖維南方程，也就是連續性方程與運動方程。在輸入上邊界條件後，基於控制方程求解下游出口斷面的水力特徵指標。

$frac{?Q}{?x}+frac{?A}{?t}=q$

$frac{?Q}{?t}+frac{partialleft( alphafrac{Q^{2}}{A} ight)}{?x}+gAfrac{?h}{?x}+frac{gQleft| Q ight|}{C^{2}AR}=0$

這裡的連續性方程是上述方程的一種微分表達形式，反映了河道中的水量平衡。推導過程如下：

如圖所示，選取上游u-u斷面和下游d-d斷面之間控制體內的液體作為研究對象。流段長度為ds。

首先分析t時刻至t+dt時刻時段內，由於交換而引起的質量變化。u-u斷面t時刻的流量記為Q，則d-d斷面流量為 $Q+frac{?Q}{?s}ds$ 。由於交換而產生質量變化的主因是流量隨流程坐標變化，則在dt時段內流量的變化屬高階微量，計算時可不予考慮，兩斷面均選取t時刻的值。

dt時段內由u-u斷面流入的液體質量為：ρQdt；

dt時段內由d-d斷面流出的液體質量為： $holeft( frac{?Q}{?s}+Q ight)dt$ ;

則，dt時段內由於交換而引起控制體內液體的質量增量為: $ρQdt- holeft(frac{?Q}{?s}+Q ight)dt$ ;

再分析dt時段內由於控制體體積變化而產生其質量的變化。產生這個變化的主因是不同時刻各斷面的水位不同。t時刻斷面面積記為A，則t+dt時刻斷面面積為 $frac{?Q}{?s}dt+A$ 。水位隨流程坐標的變化屬於高階微量，可以忽略。即無論是計算t時刻還是計算t+dt時刻控制體體積時，均以u-u斷面的值進行計算。

t時刻控制體內液體質量為:

t+dt時刻控制體內液體質量為： $holeft( frac{?Q}{?s}+A ight)ds$

則，dt時段內由於非恆定而引起控制體內液體的質量增量為: $holeft( frac{?Q}{?s}+A ight)ds-ρAds$ 。

由質量守恆定律，dt時段內由於交換而引起控制體內液體的質量增量與由於非恆定而引起控制體內液體的質量增量相等：

$ρQdt- holeft( frac{?Q}{?s}+Q ight)dt= holeft(frac{?Q}{?s}+A ight)-ρAds$

可得： $frac{?Q}{?s}+frac{?A}{?t}=0$

此式即為聖維南方程組中連續性微分方程式的形式[1]。與經典形式完全相同[2]。

另外，說一個我自己身上體驗的有趣的事。是我和導師在沿海地區出差時，在海邊逛。導師向我提問，你站在沙灘上感受一下，為什麼漲潮時沙子被沖走的少，而退潮時腳底下的沙子被帶走很多？這是我印象深刻的無意義而有趣的科普故事。

參考文獻：

[1] 李占松, 師冰雪. 一個簡潔的聖維南方程組推導過程[J]. 高教學刊, 2016(18):97-98.

[2] 吳持恭.水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室（四川大學）.水力學（第4版）（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2008:76-80.

看見了 @中國科普博覽的視頻，我也簡單截屏了下......

居然沒有人提簡單粗暴耳熟能詳的經典公式，理想氣體方程嗎。

$pV=nRT$

非常簡潔而美妙的一個公式，初中生都知道 1 mol 理想氣體標準狀態下的體積為 22.4 L 。關鍵是，它是可以直接從微觀推導過來的。

氣體是大量分子的集合，不斷做無規則運動，彼此之間且與容器壁之間做完全彈性碰撞。容器壁的壓強，來自於分子的動量改變。

考慮一個分子，它的速度在三維上分別為 $u_{x},u_{y},u_{z}$ 。

根據分子運動的無規律性，三個方向上的速度必然相同。根據能量守恆，很容易知道：

$u_{x}^{2}=u_{y}^{2}=u_{z}^{2}=frac{1}{3}u_{}^{2}$ 。

那麼如果它在 $u_{x}dtdA$ 這個體積內，則說明在dt的時間內它能撞擊到dA的面積上。

假設一共有N個分子在V的體積內，那麼一共有 $u_{x}dtdAfrac{N}{2V}$ 個分子會撞擊。這裡有個1/2是因為速度有正負，速度為負的時候是離開這個容器壁，並不能發生撞擊。

那麼總的動量變化就是：

$P=2mu_{x} imes u_{x}dtdA frac{N}{2V}$ 。

前面的兩倍是完全彈性碰撞。壓強是力與面積的比值，也就是動量和面積與時間的比值：

$p=frac{F}{A}=frac{P}{At}=mu_{x}^{2}frac{N}{V}$ 。

其中m是一個分子的質量。再結合一開始的速度的關係，有：

$pV=frac{1}{3}mu^{2}N$

注意這裡是分子的平均動能。

Boyle-Marriote定律：

考慮到熱力學第零定律和能量的傳遞，可以認為分子的平均動能是溫度的函數，即：

$frac{1}{2}mu_{}^{2}=f(T)$

那麼在固定的溫度下，N不變， $pV=frac{1}{3}mu_{}^{2}N=C$ ，即為一個常數。

Charles-Gay-Lussac定律：

低壓實驗表明，pV和攝氏溫度有線性關係。那麼，選擇一個合適的溫標T，在定壓下，可以有：

$V_{T}=C$

Avogadro定律：

兩種氣體溫度相同時，平均平動能相同。那麼在p和V也相同的情況下，分子數量必然也相同：

$N_{1}=N_{2}$

這也就是大家熟知的標準情況下所有氣體 22.4 L都是 1 mol。

結合上面三個定律就能得到理想氣體方程。把V看成是p,T,N的函數，有：

$V=f(p,T,N)$

$dV=frac{partial V}{partial p}dp+frac{partial V}{partial T}dT+frac{partial V}{partial N}dN$

最後一項因為固定分子量為0，又根據B-M定律有V=C/p，那麼：

$frac{partial V}{partial p}=-frac{C}{p^{2}}=-frac{V}{p}$

根據C-G-L定律， $V_{T}=C$ ，類似的有 $frac{partial V}{partial T}=frac{V}{T}$ 。

代入之後有：

$dV=-frac{V}{p}dp+frac{V}{T}dT$

積分之後得到：

$ln V+ln p=ln T+常數$

認為此時是 1 mol，常數可以當成lnR。再在兩邊同時乘以物質的量n，就得到了：

$pV=nRT$

參考資料：南大物理化學第五版上冊，傅獻彩等編著。

補充幾個沒人說過的，形式簡單優美，內涵複雜深刻，更貼近數學發展前沿的公式。

1) Poisson 求和公式。【數論】

$sum_{n in mathbb{Z}} f(n) = sum_{n in mathbb{Z}} hat{f}(n)$

這裡 $hat{f}$ 是 $f$ 的傅立葉變換。不但黎曼 zeta 函數與各種 theta 級數的函數方程、modularity、解析延拓全靠它，還可推出 function field 的 Riemann-Roch，更可以推廣到 trace formula，你說厲害不厲害。它的本質更是非常簡潔純粹：就是在說 Dirac comb 的傅立葉變換等於它自己；用這個思路去推廣就對了。另外，在工程學和信號處理方面也會用到它。

2) Equivariant Localization。【幾何】

${1 over d_M} int_M alpha(xi) = sum_F {1 over d_F} int_F {alpha(xi) over e_T(F)(xi)}$

這是微分幾何的公式，但比被許多數學愛好者奉為神話的 index theorem 更"厲害」，可以做許多相當深刻的問題，如表示論的各種 character formula，在 loop group 的應用，Verlinde formula，各種Witten，.... 可謂藏寶庫。為什麼它這麼厲害？最粗略地說，它所要求和創造出的結構的複雜程度剛剛好，東西太少就不夠用，東西太多就不通用，剛剛好是最有用的。具體一點說，對於幾何體之間的覆蓋，研究分歧點的情況是很有威力的（可以把整體的情況局部化），就像數域擴張的分歧，黎曼面之間的覆蓋，Morse theory，等等。

3) Yoneda Lemma。【這屬於範疇論，又稱"抽象廢話"（abstract nonsense）】我們謹用一張圖說明它的證明。

大家會問：這是什麼鬼？這是可以解釋的，但卻不一定能讓聽眾理解（get the point）… 因為這個引理只有自己證一遍才可能開始真正體會。所以靜靜地感受一下這張圖吧。這可能是數學中最哲學的定理，它已經達到"禪意"：它好像說了什麼，但其實它什麼都沒說，但它又確實什麼都說了。

如果舉個生活的例子，Yoneda Lemma 似乎告訴我們：你是什麼樣的人，取決於你做了什麼事；你做了什麼事，決定了你是什麼樣的人。所以，讓我們從自己做起，儘力讓世界變得更美好吧！【偽·雞湯】

對了，我最近也在寫一個數學教程：【數學中的具體計算】包括一些幾何、表示論、數論內容，當然也有 Langlands 的更多細節（需要一定的數學基礎）。歡迎閱讀和提意見建議（有哪裡看不明白，也可以在那邊留言給我）。

有趣的數學公式（轉自人人小站）

能把圓周率和e聯繫起來的初等公式在數學界是少之又少，是數學王國中的國寶級公式。除了大名鼎鼎的歐拉公式，恐怕就是這個式子比較出名了。這個公式的形式異常的漂亮，只可惜它只是個近似公式。所以排名第九。雖然是個近似公式，但是近似程度相當的高，有七位有效數字是相同的，也就是說二者的差別在千萬分之一以內。您不妨用電腦上的計算器一試。

這個公式就是著名的梅欽公式，熟悉圓周率計算方法的人應該對這個公式不陌生。這個公式的神奇之處在於它將圓周率表示為了兩個分數的反正切之和。利用複數的指數表達式可以直接證明這個式子。它是歷史上第一個用於快速計算圓周率的公式，因為上式中的反正切函數值可以被泰勒級數所逼近。真不知道如果祖沖之知道了這個計算圓周率的方法會埋頭算到小數點後幾百位……

這個神奇的公式傳說是約翰-伯努利發現的。式子的神奇之處就不用我說了吧，連續與離散的關係被表現的淋漓盡致。如果你自認為你的微積分水平還不錯，可以挑戰一下這個已經具有300多年歷史的公式，看你能否證明它。

話說世人皆知勾三股四弦五，而鮮有知道這個簡單等式的。這個簡單的式子可以在英國分析學大師G·H·哈代（就是拉馬努金在英國的合作者）所著的《數論導引》中找到，它是一類三次不定方程最簡單的特解。

這個公式來自於印度數學奇才拉馬努金。他曾經深入的研究了形如上式的無窮根式並得到了這個神奇的結果。傳說拉馬努金曾經把這個結果放在《印度數學會刊》上徵集證明，結果數月內無人能應。各位看官有沒有蠢蠢欲動的？

這個結果來自於卡爾-高斯。不消說，這個餘弦特殊值足以說明：正十七邊形是可以尺規作圖的。在發現此式之前人們找到的、能用根式表達餘弦值的角度大部分還停留在歐幾里得時期的水平。高斯也因為他在19歲就做出的這項了不起的成果而開始從事數學研究。古典文學從此永遠的失去了高斯。在作出這項告慰古希臘先賢們的貢獻之後，小高斯就建立了一個自己的科學筆記，專門介紹自己最新的數學發現。

這個貌似神奇的式子來自50多年前的《Scientific American》。當時著名的趣味數學大師馬丁·加德納所主持的一個專欄上出現了這個公式，只可惜出版的當天日期是4月1號。這個式子或許可以蒙普通讀者，但是絕對蒙不了數學家，因為根據著名的林德曼定理容易判定等式左邊的e指數一定是一個超越數，絕對不可能是一個整數。然而如果你用mathematica去計算的話會驚奇的發現：這個超越數的值是：262537412640768743.9999999999992500725972…… ...

上面歐拉公式的漂亮之處就不用我解釋了吧。人們經常把它與老愛同志的E=mc^2並列為數學和物理學公式中的雙子星。歷史上的歐拉是一位全才數學家，同時也是一名虔誠的教徒，篤信上帝的存在。據說有一次俄國的葉卡捷琳娜二世邀請狄德羅來訪問她的宮廷，而狄德羅是一名不折不扣的無神論者。不久葉卡捷琳娜二世就厭倦了狄德羅那喋喋不休的無神論說教之詞，讓歐拉來好好教訓他一頓。歐拉開門見山的質問道：「e^i*pi+1=0（就是歐拉公式），所以上帝存在，請回答！」結果不懂數學的狄德羅被弄得一頭霧水，無言以對。

拉馬努金的著名連分數公式這個絕美的公式不僅像歐拉公式一樣聯繫起了圓周率和e，同時它還將黃金分割數也包含在內！在1913年，來自南印度的小職員拉馬努金，給當時32歲就已經執掌英國數學界牛耳的哈代去了一封長達9頁的信，信中附帶了120條拉馬努金自己發現的公式，上面這個公式就是其中的一條。這條公式令哈代完全摸不到頭腦，他這輩子都沒見過這樣的公式，連稍微接近點的都沒有！但是哈代確信這個公式是對的，因為沒有人能有這樣的想像力去編造這樣漂亮的公式。

聽說知乎有了新版的公式編輯器，所以總覺得回答這個問題時應該多寫幾個公式。我來說一些下面的回答里沒有提到的公式吧。

（1）Logistic 映射

$x_{n+1} = r x_n(1-x_n)$

這個公式看起來很簡單，但這個公式中已經包含了一些微小的非線性，因而有複雜的動力學。它的物理意義也很明確，可以看成是在描述某種物種的生長情況。簡單地看，這就是一個迭代公式，物種的繁殖（下一時刻個體的數目 $x_{n+1}$ ）與當前時刻的個體的數目 $x_n$ 成正比，然而同時，環境中存在著某種「最大容量」，即當空間擠滿了這種生物時，其繁衍的速度又會減慢，所以下一時刻個體的數目也與剩餘的空間 $1-x_n$ 也成正比。

在這個公式中，有一個參數 r，它反映的是物種的增長率，可以有繁殖和死亡率計算得到。當 r 接近0 時，物種的增長速度很慢，一旦在某個時刻個體的數目降低到接近 0 時，系統最後就會停留在 0 附近，這就是「不動點」。然而隨著 r 的增加，不動點的數目變化卻會出現很複雜的現象，它可以用如圖所示的分支圖（圖片來源：維基百科）來表示。在某些 r 的取值，系統會出現多個分支，在另外某些取值時，系統會出現混沌的現象，而這一切都是由一個簡單的公式所導致的。

（2）Gauss-Bonnet-Chern 定理

$int_M ext{Pf}(Omega)=(2pi)^nchi(M)$

這個定理建立起了曲面的幾何（由曲率表徵）和拓撲（由示性數表徵）之間的聯繫，同時，它還建立了空間的局部性質和整體性質之間的聯繫。定理名字中的「Chern」即為陳省身先生，他證明了這個定理的內蘊形式。（圖片來源：2D/3D Shape Manipulation, 3D Printing）

（3）Stokes 公式

$int_{Omega}domega=int_{partialOmega}omega$

這個公式也非常漂亮，而且非常精鍊，一個公式頂過去無數個公式，其中不但包括微積分的基本定理，Green 公式、Gauss 公式，也包括大量電磁學的公式。它讓空間內部的積分變成了在空間邊界上的積分，例如，在三維空間中，Stokes 定理就把「向量場的旋度的曲面積分」跟「向量場在曲面邊界上的線積分」之間建立了聯繫，而更簡單的情況就是微積分基本定理，一個函數的積分變成了原函數在邊界點上的加減法。

（4）漲落耗散定理

$S_x(omega)=frac{2k_BT}{omega} ext{Im}hat{chi}(omega)$

在統計物理學中，「漲落」是一個重要的研究對象，從它能看到系統到底會發生怎樣的擾動，以及在受到擾動後怎樣恢復到平衡態。而「耗散」可以直觀地理解成某種阻力，由於耗散，系統的能量被轉移了出去。漲落耗散定理聯繫起了漲落和耗散這兩個看似不同的領域，揭示出其背後更為本質的東西。在關於布朗運動的愛因斯坦公式中其實已經出現了這個定理的雛形（如下圖所示），而在日常的研究中，我們通過計算漲落來計算比熱其實也隱藏了這一定理。關於這一定理更多的解釋可以參考我以前曾經在知乎上提過的一個問題：怎樣直觀地解釋漲落耗散定理？

我來貼一個丑到不行的吧：

這是粒子物理標準模型的拉格朗日密度，好像沒有加入右手中微子項。雖然丑到不行，但是可以描述宇宙中除了萬有引力之外的幾乎一切自然現象。當然描述萬有引力的公式就美到不行了：

左面第一項表示時空彎曲的程度，最右面那一項表示時空中物質的分布，中間那一項是為了描述宇宙加速膨脹而加入的常量。
按照現有的觀測結果，宇宙今後會膨脹得越來越快，直到把所有宇宙中的所有物質撕裂成為基本粒子。所以珍惜這個美好的時代吧。

我來給大家一個比較好玩的公式。。

上面這個公式，包括了x和y兩個自變數，如果把一個平面區域上的整點的坐標記做（x，y），把滿足以上不等式的整點都塗黑，你就能夠看到這個公式所給出的圖像，它是這樣的：

對對對，你沒有看錯，這個公式，給出了它自身。。

當然，上面的論述有些不完整，完整表述的請戳這裡：Tupper"s self-referential formula

$int_{partial D} omega = int_D mathrm{d}omega$

碰到這種問題，雖然理智上一萬個不想答，但終究還是裝逼要緊。
不過話說回來，我的觀點還是：理科的發展，尤其是數學物理，早已脫離了以各種「公式」為中心的時代。所以，任何公式在理科的最前線都是做具體計算的工具，而真正的牛逼思想有很多都不是用公式寫出來的。
不過觀眾老爺想看公式咱就放公式。這種就仁者見仁智者見智了。盡量不放和別人重複的。

1. Partition function
量子力學：
$Z = ext{Tr}(e^{iS})$
統計力學：
$Z = ext{Tr}(e^{-eta H})$
兩大物理分支使用的是同一套理論系統，雖然名字不一樣：前者叫路徑積分，後者叫系綜平均。處理對象也有微妙差別：前者處理的是量子漲落，後者處理的是熱漲落。
當然，這兩個式子其實不算是「公式」啦，只能說是不同理論中「配分函數」的定義式，但反正都有等號，大家湊合著看嘍。

2. Optical theorem
$sigma_{tot} = frac{4pi}{k}mathrm{Im}f(0)$
這是標題黨，因為它雖然是在光學中被發現的，但是現在用於所有的量子散射理論。它把「向前散射」振幅的虛部和散射的總截面聯繫起來。它的一個常用的應用即是把粒子質量的虛部和它的衰變率聯繫起來。這是一個適用範圍非常廣的公式，但是存在感卻相當低。

3.Atiyah–Singer index theorem
dim Ker(D) ? dim Ker(D*) = ch(D)Td(X)[X]
左邊是橢圓算符D的分析指標（Analytical index），右邊是它的拓撲指標（Topological index）。具體的別問我，我講不清楚。我只知道它不管在數學領域還是物理領域都很！牛！逼！

4.Einstein"s Equation
$G^{mu u} = 8pi T^{mu u}$
想了很久，還是放上來了。因為它實在太牛逼，標誌著幾何研究進入物理領域。而我掃了一眼竟然沒看到別人貼上來。
P.S.不過倒是有人貼了指標定理 @w明威握爪！

5. Dirac Equation
$(ipartial!!!/ + m)psi = 0$
和上一條同理。開啟旋量新時代。我覺得這是群論真正踏入物理領域的標誌性事件。竟然沒看到別人貼，不能忍。

6. Black hole thermodynamics
$eta = 8pi M$
$S = A/4$
又是一次偉大的跨界！

哈哈如果有心你會發現上面的每一條都是聯繫理科中的大分支的橋樑性成果。說21實際是跨界的世紀，其實科學界的跨界早就開始了~

Maxwell"s equation

第1個公式：概率分布公式

$Phi(X)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(X-mu)^{2}}{2 {sigma}^{2}}}$

它的圖像如下：

我對這個概率分布公式的認識是在上《普通物理》（我讀書時大學物理叫做普通物理）時，記得是講解氣體分子的碰撞。

參加工作後，我在研發彩色玻璃著色技術時，需要把彩色玻璃粉料噴洒在紅熱的玻璃板帶上，怎麼噴也不均勻，總是中間濃兩側稀，且怎麼調節噴塗設備的噴口都沒有用。就在一籌莫展時，我到圖書館看書，偶然在一本數學書中看到了這個概率公式，突然明白我的噴塗設備出了什麼問題了：原來這就是概率分布的特徵，是自然規律。後來重新設計了噴頭結構，解決了這個難題。

這件事我寫入知乎專欄文章中，就是這篇：發明的記憶。

雖然概率分布公式本身並不美，可是用它改進了我的彩色玻璃噴塗設備，製作出來的玻璃卻是美麗的：

第二個公式，是著名的Mandelbrot集

這個式子一點也不美，但它的圖像：

它的圖像描繪了整個世界！！！

1980年當B.B.Mandelbrot第一次畫出Mandelbrot集（以下簡稱M集）的圖形以來，M集被認為是數學上最為複雜的集合之一，並吸引了大批科學家。然而至今在數學上還有很多沒有解決的問題，如此複雜的現象出現在如此簡單的、經典的迭代中，因此M集被稱為「數學恐龍」。今天，M集已經成為混沌和分形最為重要的標誌之一。

簡單講一下：

1是M集原圖，象個甲殼蟲。2是在甲殼蟲頸部放大，我們看到有數不清的芽孢，而且這些芽孢也呈現甲殼蟲的模樣。這就是分形的特徵：細節與總體近似，叫做自相似。3把這些芽孢放大，我們看到甲殼蟲芽孢的細節。4圖把芽孢及周圍細節再次放大，我們看到了環繞結構。5圖和6圖把環繞結構兩次放大，我們看到了驚人的細節結構。7圖中我們似乎又看到了甲殼蟲。8圖看到甲殼蟲周圍的細節。9圖把甲殼蟲頭部放大，幾乎和1圖類似，這就是分形的自相似。10圖再次把甲殼蟲頸部放大，我們看到了芽孢結構。11和12把芽孢放大，我們看到了環繞結構。13是環繞結構外圍的一個點被放大。14中我們看到雙環繞結構。15圖中我們似乎再次看到了它內部的甲殼蟲結構。

注意幾點：

1.M集中所有的點都是連通的；

2.M集中存在自相似現象，這是分形的特徵；

3.第15圖叫做Julia集。J集與M集存在密切的相關性。

有人說，M集是一本書，而J集只是其中的一頁。並且J集也存在自相似現象。

我在學校圖書館看到一本很老的書《混沌、分形及其應用》，是王東生和曹磊編著的，中國科學技術大學出版社出版。我不知道這本書是否有再版。有興趣的知友可以去看這本書。

我們看這頭貓，它也是分形。我們看到了自相似現象：

還有這幅圖，我們能看到自相似現象，以及它的芽孢結構：

第三個公式，就是它：

$frac{df(x)}{dx}=lim_{h ightarrow 0}{frac{ f(x+h)-f(x)}{h}}$

這個公式，讀過微積分的人無人不知無人不曉，是最牛的公式之一。

這個公式還有一個特殊的意義，叫做消逝量的鬼魂。據說，英國某位著名大主教說這個公式中出現的無窮小量代表著鬼魂。他說：我們在用這個公式證明時，一會兒讓無窮小量等於零，一會兒又不讓它等於零，可見無窮小量介於「在」與「不在」之間，可不就證明了鬼魂的存在嗎？

後來，經過柯西等人的努力，用極限論的方法證明了無窮小量是以零為極限的變數，由此徹底地摒棄了鬼魂說。

另外，與這個公式有點關係的另外一個公式——牛頓-萊布尼茨公式，甚至還引起引起了國家之間的口水戰。

牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間 [ a，b ] 上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[ a，b ]上的增量。牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式，1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。

由於牛頓是英國人，萊布尼茨是德國人，兩個國家當時又是敵對關係，於是圍繞發明權雙方的科學家發生爭執，一直鬧到兩國的皇帝那兒，兩位皇帝也爭執不休，甚至以發動戰爭來威脅。這件事最後當然擺平了。可見，這個公式還是很有點歷史價值的。

第四個公式，就是麥克斯韋公式

麥克斯韋方程組，是經典物理學的集大成者，也是大學物理中的精華和難點，而其應用也到了無所不在的程度。只要存在電磁現象，就一定要用到它，無論是手機，還是微波爐，或者是斷路器（電磁操動和電磁脫扣器），甚至是高鐵和動車，麥克斯韋方程組的運用無所不在。

從麥克斯韋方程組可以推導出歐姆定律，也許歐姆定律應當改為歐姆定理。歐姆定律U=IR在電學中的運用無所不在；從麥克斯韋方程組可以推出電磁電動力公式 $F=B^2A/2mu_0$ ，是計算電磁力的最基本公式。

曾經看過一本書，叫做《從牛頓到愛因斯坦》，書里把愛因斯坦仔細研究麥克斯韋理論的原因和過程解釋得惟妙惟肖，讓人深受啟發。

難怪把麥克斯韋方程組列入改變人類命運的10個最偉大方程之中，當然就是最牛的公式之一了。

第五個公式是它：勾股定理，或者叫做畢達哥拉斯定理

勾股定理，它的應用已經到了無法統計的地步。我們看黃鶴樓的屋檐角和尖頂角，遠處電視塔塔身的斜角，無以計數的屋頂傾角，可不都與勾股定理有關嗎？

看下圖：

我們看到熱水杯頂蓋的斜角，筆記本顯示器的最大張角，書本封面的長寬比，這些都與勾股定理有關。還有ABB中A字兩斜邊的傾角，不知道和勾股定理有沒有關係？

最有趣是公司一位德國工程師，他用遊標卡尺來量自己的鼻子，然後用勾股定理和正弦函數，計算出自己鼻子相對顏面的角度，以證明自己鼻子有多大。儘管有點好笑，但這也是勾股定理的一項運用。

我們再來看看分形三角形。它裡面有多少等邊三角形和直角三角形？它們和勾股定理有關嗎？

勾股定理，從古希臘時代就有了，它應當是最牛公式之首。

第六個公式：斐波那契黃金分割數列，也即1、1、2、3、5、8、13、21、……

F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

斐波那契數列很有意思，它的後項等於前兩項之和。並且，斐波那契數列與一道題關聯起來了：

斐波那契數列在自然界有大量的實例，在計算中也有許多運用。

我們看向日癸的花盤：

花盤中的葵花子排列就是按斐波那契數列排布的。還有菊花，甚至菠蘿和松子的排列也是。

據說，連海螺內部的螺旋也是。

有意思的是，雖然斐波那契數列是用自然數的排列，但它的通項公式卻用無理數來表達，並且隨著項數增大，它的後項與前項之比越來越接近黃金分割數0.618。於是，裴波那契數列與黃金分割掛上了鉤。

我們看斐波那契數列後項與前項之比：

1/1=1，1/2=0/5，2/3=0.666……，5/5=0.6，5/8=0.625，……，

46368/75025=0.6180339886……。

我們來簡單證明：

根據斐波那契數列的定義，有： $F_n+F_{n+1}=F_{n+2}$

我們在上式的兩邊同時除以 $F_{n+1}$ ，得到下式：

$frac{F_n}{F_{n+1}}+1=frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$ ，設此式為1式。

我們先假設首項的極限存在，也即： $lim_{n ightarrow infty}{frac{F_n}{F_{n+1}}}=varphi$ ，於是有：

$lim_{n ightarrow infty}{frac{F_n}{F_{n+1}}}=lim_{n ightarrow infty}{frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}}=varphi$ 。

我們把結果代入1式，得到：

$左邊=frac{F_n}{F_{n+1}}+1=varphi+1$ ，

$右邊=frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}=frac{1}{frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}}=frac{1}{varphi}$ 。也即： $varphi+1=frac{1}{varphi}$

我們已經知道， $varphi>0$ ，求解上式：

$varphi+1=frac{1}{varphi}\ varphi^2+varphi-1=0\ varphi=frac{sqrt{5}-1}{2}=0.6180339887……$

這個結果恰好就是黃金分割之比。

據說達芬奇特別喜歡黃金分割數。於是在電影《達芬奇密碼》中，黃金分割數成了電影的主線之一。

某次我到銀行辦事，一位老人家不知該如何選擇銀行卡密碼，他說生日日期和身份證後六位都有可能泄密。我給他提建議，就用斐波那契數列的前六項吧，又好記，又不容易泄密，老人家欣然同意。至於這位老人家最後選什麼密碼，不得而知。

0.618這個數，與優選法有關。

不久前看華羅庚教授的傳記，看到他在年齡已經很大時，在全國到處宣講優選法，其核心就是0.618。0.618曾經在全國掀起一股技術革新浪潮，不管是選種，還是配方，甚至還有學生成績歸類，似乎都用0.618來分類優選。

有點意思吧。

第七個公式：有趣的時鐘鐘面刻度分析

這個鐘面有點意思，它牽涉到許多有趣的數學公式。

1點鐘：
1點鐘其實是二進位的表示法。 $B_{L}^{$ ，也即右邊的第一位 $a^{0}$ 位。

2點鐘：

$sum_{t}^{infty}{frac{1}{2^{t}}}=lim_{t ightarrow infty}{{frac{1}{2^0}}+frac{1}{2^1}+frac{1}{2^3}+cdotcdotcdot+frac{1}{2^t}}\=lim_{t ightarrow infty}{frac{1 imes(1-frac{1}{2^{t}})}{frac{1}{2}}}=2$