航天器變軌是「差之毫釐，謬以千里」嗎？

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之前嫦娥變軌時說是突破了很難的技術壁壘，看火星救援裡面也把航天器變軌描繪成如果變軌的時間計算失誤就無法修正和挽回，變軌的技術真的很難嗎？怎麼確保在正確的時間變軌的？

這個真心取決於軌道設計工程師的功力了，先po一張Robert W. Farquhar(宇航太空界傳奇老爺爺，有興趣可以搜一搜他的人生)設計的軌道圖

（圖片來自微博：英國那些事）
對，這是人類第一顆捕捉到彗星（成為彗星的衛星）的人造衛星軌道圖。是不是覺得物理書上的衛星軌道模型都是騙人的....

軌道長得這麼鬼畜，很大的原因是為了滿足誤差設計。
嗯，誤差是可以設計的。首先我們必須認識到，誤差是不可避免的。其次，為了理解這個鬼畜的軌道以及誤差設計，我們需要先了解一個鬼畜的概念：條件數。

條件數&<=向前誤差/向後誤差

用簡單的話講，如果條件數=1000，那麼就是當輸入偏差為1時，所得結果的偏差就會成為&<=1000。為了使大家更好的理解這個概念有多鬼畜，這裡就舉一個很常見的微積分例子：

用簡單的分部積分，我們很容易得到

所以只需要計算I的初值，就可以遞推到I[20]

然後經過迭代，鬼畜發生了：

簡單分析遞推式，我們可以明確（1）I遞減（2）I大於0
（更正：這兩點是由積分式得到的而不是遞推式，感謝評論區的朋友）
然而上表得到的I[n]忽正忽負，忽增互減。這時候用條件數的概念來理解就很容易明白了：上迭代式的I[n]對I[n-1]的條件數為5，意味著每次迭代，就把誤差從1放大到了&<=5，經過20次迭代，誤差放大了&<=5^20，嗯，雖然初值精確到了10^-6，一切在5^20面前，並無卵用。
那如何計算n=20時的積分值？這裡有一個小小的trick：I[n-1]對I[n]的條件數為0.2！意味著如果我們倒推（由I[n]來計算I[n-1]）的話，結果就會非常精確。所以問題的關鍵變成了如何確定初值（假設初值是I[30]）。既然條件數如此小，從30倒推到20，輸入的1誤差到最後變成0.2^10的誤差，所以輸入量真的就沒那麼make sense了。由於I[0]是0.18左右，I數列遞減且大於0，不妨令I[30]=1，可以看出I[20]已經足夠精確了

看官們可能覺得這個。。很不靠譜，沒關係，我們乾脆直接倒推到I[0]與之前積分得到的I[0]比較，完全一樣！有沒有！
所以，有時候可以「失之毫釐，謬之千里」，方法設計得當的話，有可能出現「失之千里而謬之毫釐」的理想現象。當然，不是所有科學實驗都能找到這麼完美的計算公式.......宇航軌道的設計還和其他星體的時間、飛行器各種參數、飛行器自身的修正等等有關，只能說更好的軌道計算確實能在很大程度上減小最終的實際誤差。

我只是在一門航空航天的概論課中聽老師說到可以用數值分析的方法來減少航天器實際變軌中的誤差，我也恰好了解數值分析的相關知識，遂在這裡分享。至於具體怎樣操作，很抱歉，我也確實不甚清楚。
需要說的是，由於實際過程中各方面的限制，能將「差之毫釐，謬以千里」的修正到「差之毫厘，謬以百里」已經是非常非常了不起了。

還有許多人說沒有看懂，這裡再貼出倒推過程中的具體數值，初值I30分別取1，10和100

可以看出，初值的選擇，對之後的結果的影響微乎其微。希望對大家理解能有幫助！

上面的答案都沒有給出具體數字讓人直觀感受一下「毫釐」和「千里」之差到底有多大。這裡抄一下書：

中間推公式我覺得也沒人會看，所以直接給結論頁吧：

對於地球到火星的霍曼轉移軌道，關機時速度變化 1.1m/s 時，如果中途不進行軌道修正，目標軌道半徑將產生 153,000 km 的誤差，作為對照的是，火星半徑僅為 3,390 km，SOI（影響球）半徑為 577,000 km

所以差之毫厘，謬之千里絕對不是虛的。

參考資料：《軌道力學》，作者: 柯蒂斯（http://book.douban.com/subject/4149932/）

首先回答：航天器變軌是「差之毫釐，謬以千里」嗎？
是的。
舉一個簡單的例子：當你在黑夜裡獨自一人走在一望無際的沙漠中時，頭頂上是浩瀚的星空，對講機內響起了這樣的聲音「左轉32度12分20秒，然後加速12.7秒至1.71米每秒，保持該速度4376秒，既可到達目的地」，而你手中只有一台陀螺儀、一塊秒錶和一台六分儀，還有一台能發射若干種不同頻率電波的電台。你認為自己能走到目的地嗎？
航天器也是如此。依靠陀螺儀和星光定位以及地面站測繪得到的數據，在專用的坐標系中獲取自己的位置。同時，航天器還受到太陽系內天體的引力作用，一般來說不太可能直線飛行。
所以軌道設計變成了一件麻煩事，若是只受一個天體的引力影響，軌道還是比較簡單的圓錐曲線，可太陽系中有那麼多的天體，近地軌道還好說，一旦進入深空，地球的引力成距離的平方下降，雖說其他天體的距離都很遠，但總還是有那麼幾個的引力能強到影響到航天器。所以計算軌道就只能交給計算機去做了。
先說說繞地飛行：

航天器變軌時，要有加速或減速動作。假設航天器在左面的近地點PE加速，此時航天器速度增加而位置相對來說幾乎不變，遠地點AP高度明顯提高且速度明顯減少。如果此時航天器發動機晚關閉了2秒，AP就可能遠超過設計AP高度。記住：AP越高，航天器在PE加速時，AP高度增長越快。
如果航天器燃料充足，而你在PE一直加速，AP就會越來越高直至軌道由橢圓變成雙曲線中的一條。然後經過一段時間的飛行，航天器進入繞日飛行軌道。
當然，在PE發動機晚關閉2秒也並非不可挽回的事故，及時將航天器發動機噴口調轉180°並再開機2秒興許還能回到設計軌道，或者等你從AP繞了一圈回到PE再減速可能也不遲。這樣，你只需對你的主管上級說：「剛剛我讓衛星轉了一圈並且讓發動機多工作了4秒鐘，所以咱們的項目預算要增加10萬美元」，而不是在招聘會上對面試官說：「我一年前離職是因為把一顆價值2億美元的HEO通信衛星送入了繞日軌道，具體細節請查閱維基百科」。
然後再說霍曼轉移軌道：

在曲率引擎或者核聚變火箭發動機投入使用之前，我們不得不用霍曼轉移軌道來將航天器送入深空，因為現在的火箭發動機的推力和比沖都太小了。霍曼轉移軌道充分應用於深空飛行，比如說登月：

上圖實際上講的是地月拉格朗日點，當前的發動機在PE加速將AP提高至月球軌道還是做得到的。剛才說過，AP越高，航天器在PE加速時，AP高度增長越快。在PE的加速過程越精細，AP位置就越能接近設計軌道的位置。經過精密的計算，在月球和地球引力的共同影響下，航天器進入地月轉移軌道並成功被月球引力捕獲。雖說捕獲，但此時航天器還只是切入而沒進入繞月軌道，因為航天器和月球相對速度太大。怎麼辦？開發動機！此時我們和航天器之間已經有一秒鐘還多的通信延遲了，地面站發出的任何指令都是在1秒鐘之後執行的，而且航天器距離地面站越遠測控數據誤差越大。此時發動機開多大、開多久、什麼時間開什麼時間關以及航天器什麼樣的姿態，嚴重影響繞月軌道的精度，所以這種事必須交給超算去做。我們當然不能滿足於只在地月系內飛行，既然來到了月球，就藉助月球的引力彈射出去！

當然這也是人類的無奈之舉，計算各種複雜的轉移軌道，苦苦等待短暫的轉移窗口，只為藉助月球進行引力助推，因為咱們的火箭發動機真的太弱了。
我是說，咱們人類的火箭發動機，太弱了。
剛剛切入月球引力範圍時，如果不開發動機，月球引力就會像彈弓一樣把航天器甩出去，所以引力助推又叫引力彈弓。但具體怎麼甩，這是月球引力說了算的。簡單的說，就是根據動量守恆，通過減少月球的動量來增加航天器的動量。切入的角度、速度和位置必須精確，引力助推才能正確發揮它的作用，將航天器正確送入預定軌道。
綜上所述，航天器軌道設計是一項極其精細的工作，需要大量的人力物力的保證。距地球越遠，航天器狀態數據的誤差越大，通信帶寬越窄，操控也越困難，改變預訂軌道就越困難；距離地球越近，雖然操控越簡單，改變預訂軌道越容易，但控制遠地點的精度越低。合理布置軌道中的變軌點，盡量減少滑行中的修正，綜合考慮測控精度和燃料消耗，爭取用最少的錢完成最多的任務。只要離開了地球引力範圍，很多情況下就是一鎚子買賣，錯過了就是錯過了，甚至沒有任何補救的機會。
最後，向所有撥開迷霧，開啟人類太空時代黎明的先驅者們致敬。

手機打字，簡單描述下。其實變軌的理論說穿了不難，什麼霍曼轉移，雙橢圓轉移，蘭伯特轉移，書上的知識誰看誰懂，但體現在工程技術上難度還是很大的。
說下這個流程吧，首先在做軌控之前航天器需要知道自己在哪，要做定軌計算或者軌道預報，能夠精確的知道自己的位置就可以根據軌道動力學理論來計算變軌的位置和所需要速度衝量，近地軌道航天器一般用gps來獲取位置信息，經過濾波演算法得到的位置誤差可以在幾米以內，這對於近地軌道變軌夠用了，知道位置信息和目標軌道後，計算出施加噴氣的位置和所需的噴氣時間，到了那位置開始噴氣就可以了，推力器這東西也是帶有各種誤差的，比如安裝角度和實際推力大小的，實際噴氣的時間也是不能完全受指令決定的，這樣實際上航天器得到的速度增量與理論值有差異，經過軌控後進入的軌道與目標軌道有誤差，這沒關係，大家都是繞地的，逃不出地球的手掌心，比如同一個圓軌道的不同位置處兩個航天器，一個要撞上另一個只需要經過調相機動，將原軌道變成橢圓軌道，軌道周期變了，只要另外一個航天器到達交點時剛好我也到達交點，咱倆就撞上了，誤差的存在讓這變得並沒那麼容易，但是可以經過多次機動控制可以把誤差縮得很小，這種情況一般不會差得很厲害，總可以補救回來，因為大家是同一軌道，相對距離最大不過軌道直徑。但如果另一個航天器是大橢圓軌道，遠地點在火星那邊，那錯過交點一次，那等待重逢的時間就很長了，相對距離會因為控制誤差而變的很大，失之千里不是假的，這有點像哈雷彗星重返地球那樣，要等好多個月好多年才有機會重逢。對於嫦娥，它先經過近地軌道變軌成大橢圓的奔月軌道，奔月軌道與繞月軌道存在交點，要在交點施加控制使其滿足交點處的速度要求，從而可以被月球捕獲，到奔月後GPS基本不能用了，這時利用中繼衛星、地面站來定位帶來的誤差都是比較大的，再加上時間延遲，指令都是事先發送，實際的控制效果很難把握，而錯過了那個位置或者速度過大，都可能最終偏離目標軌道，甚至無法進入繞月軌道，再加上燃料限制，距離遙遠，修正的可能性就更小了。

用子彈瞄準時差一點命中時會差很遠來比喻航天不完全對，因為航天器途中是會修正的，更接近導彈的運動方式。（如果發射階段就出問題那也不算差之毫厘了，發射時間本來就很短，你差1秒，那是差姥姥家去了）
所以並不是說稍微差一點就會擴展成巨大的誤差，而是說原本目標範圍就很小，錯過了就錯過了

比較典型的一種情況是大氣制動，速度較快的航天器會擦過行星的大氣層，利用摩擦減速。行星間飛行往往要使用這種方式減速進入行星軌道。一般行星的大氣厚度也就相當於籃球上放的一張紙，航天器的速度每秒幾公里，大氣層可能只有幾十公里，容錯範圍很小。而這種機會只有一次，錯過自然就全完。而且不管科技多麼先進，只要是採用大氣制動，就必然會受這個限制。

還有的是對行星掠過式探索或者藉助引力彈弓加減速，一般會提前幾天喚醒飛船，過了目標才喚醒，那就毛用沒有。很多探測器都是一路上沒什麼問題，就最後一億分之一的路程沒走好，就掛了。你會覺得還不如一開始就壞掉，省得浪費感情。

航天是一種很慢節奏的工作，一個任務可能飛幾年，然而關鍵時間只有幾秒鐘，所有遙控都有幾秒甚至幾小時的延時，只能預先把準備工作做好，到了關鍵時刻除了搞搞封建迷信活動也沒什麼好做的。

有一個現成的例子，日本的隼鳥是歷史上第一個從小行星返回的航天器，預訂返回時間到了，飛船居然失聯，錯過窗口時間，只能等3年後再起飛。日本宇航局一堆人跑去神社扔錢求籤。後來NEC的人想出一招，啟動發動機讓飛船在小行星上翻滾，總能有一個位置天線是對者地球的，居然給救回來了。

我覺得，如果題主你只是想要一個直觀的印象，而不是為了學習如何計算軌道從而明白為什麼事情這麼難做的話，可以去steam上買一個Kerbal Space Program自己來玩玩。遊戲裡面包括所有人類有過沒有過的航天活動。更重要的是，一切都是手動操作的（包括噴氣變軌什麼的），可酸爽了。

我多次把小綠人送上天，沒下來……

主要還是發動機技術和錢。
大坎星人都知道，只要還有橙罐就能救。（突然想起來，還要補充一點，別飛到繞日軌道去，救回來的周期太長，不如新打一發）
然而現實的航天活動不會有土豪綁四個橙罐只為了進近地軌道的…那就真的錯過了沒法救了。因為找不到燃料製造額外的ΔV了。

推薦看看阿波羅十三。阿波羅十三返回地球的時候就必須嚴格控制入大氣層的角度在一個極小的範圍，小了的話就會打水漂彈回太空，大了的話就會燒毀飛船。當時自動控制系統已經壞了，宇航員是手動控制的。反例是科羅廖夫的那次任務，軌道出了點問題結果只能眼睜睜看著自己的飛船墜毀了

建議你玩玩坎巴拉太空計劃這個遊戲，見過的最真實的太空遊戲，從組建飛船到空間站建設，全部模擬。你可以不藉助插件手動發射一枚運載火箭到目標軌道，就會發現，要麼入軌成功，但浪費了大量燃料來修正軌道，要麼因為發動機在變軌計劃點，點火多了或少了那麼幾秒，你的整個任務就失敗了——太空多了一塊兒漂浮的垃圾，或直接墜毀。

圖侵刪。

樓主你不知道有種東西叫做「軌道中途修正 」嗎？另外，如果多次利用引力彈弓的話，大行星的引力也可以幫助改變航向。

是的。記得航天界有個比方：就象從華盛頓扔個籃球，準確的投到費城某體育館的籃筐內。

坎巴拉太空計劃，玩玩你就知道

難。需要在準確的時間準確的地點準確的方向，準確的速度。但是這樣做成功了之後，就是一勞永逸，就像滑翔。如果不成功，就要一直調整，近距離還行，要是想往很遠的地方，比如出太陽系什麼的，以現在的技術，燃料不夠啊！

這種東西顯然不能手操，只能讓計算機自控，在給定的時刻做出特定的機動，而且過程肯定是閉環反饋的（機動-測量效果-修正機動……）。
關鍵難點在於使用合適的技術手段，讓航天器能知道自己與天體的相對位置，而且對定位有相當的精度要求。