黑洞的體積是無限小還是有半徑的？

11-28

首先要知道黑洞這個東西也只不過是個可能性很大的猜想而已。
然後看這個問題：人們常說某某黑洞半徑多少多少，都知道這個半徑其實是史瓦西半徑或者說是視界半徑，然而視界內部真正的那個核心是啥樣的？還是說目前所有的猜想中都沒有定論？

黑洞這個天體確實有很多有趣的性質……

黑洞是由足夠大質量的恆星在燃料耗盡後即使是中子間的互斥力也不足以支撐強大的引力，導致星體密度變得更高最終坍塌而成，其引力很強就連光也無法從中逃逸。
我對問題的結論：關於視界中的核心，因為光也無法從視界中逃逸所以我們沒有能力觀察它，我們也不知道是否存在一種粒子的斥力比中子還強能使天體維持一定體積。如果沒有的話核心會一直坍塌成一個體積無窮小密度無窮大的奇點，物理定律在奇點上將失效，這樣這個天體就沒有體積。另外我們常說的黑洞半徑確實是指史瓦西半徑，因為對史瓦西半徑外的觀察者而言能看到的就是史瓦西半徑外的事件，史瓦西半徑內「一片黑」，我們無法觀察，對外面來說這個半徑以內就是「黑洞」了。但對於一個在史瓦西半徑內的觀察者而言，在他被引力撕碎之前，他是可以看到視界內部的事件的。

換句話說在史瓦西半徑內，物理定律依然成立，但是史瓦西半徑依然有其特殊之處，可以用一些直觀的計算看出來。
先寫出史瓦西度規 $ds^{2} =-left(1-frac{2GM}{r} ight)dt^{2}+left( 1-frac{2GM}{r} ight) ^{-1}dr^{2}+r^{2}left(d heta^{2}+ sin^{2} heta dphi^{2} ight)$
（假設大家了解過狹義相對論，知道度規的定義）
乍一看這個度規，會發現在史瓦西半徑處度規出現了奇異性： $g_{tt}=0$ , $g_{rr}$ 趨向於無窮大！
那是不是物理定律在這裡失效了呢？其實並不是，我們繼續看下去。
首先我們需要知道物體在史瓦西度規下的運動方程，首先由於史瓦西度規不含 $t$ 和 $phi$ ，對應了能量和角動量的守恆：
$E=left( 1-frac{2GM}{r} ight)frac{dt}{d au}$ 【1】
$L=r^2frac{dphi}{d au}$ 【2】
四位速度的歸一化 $g_{mu u}U^mu U^ u=-1$ 也給出一個方程，化簡後長這樣：
$left( frac{dr}{d au} ight)^2=E^2-left( 1-frac{2GM}{r} ight)left( 1+frac{L^2}{r^2} ight)$ 【3】

現在考慮一個從 $r>2GM$ 處徑向落向黑洞中心的宇航員，這樣【3】式里 $L=0$ ，並令 $heta=frac{pi}{2}$
現在把【3】和【1】相除，會發現當 $r ightarrow 2GM$ 的時候 $frac{dr}{dt} ightarrow 0$ ！難道宇航員永遠不會掉入視界了？其實並非如此，因為這裡的 $t$ 是遠處觀察者的時間，也就是說，在地球上看他掉入黑洞的過程，確實會發現他一直「滯留」在黑洞視界外面！這並沒有什麼問題，可以想像由於黑洞視界附近的強大引力，這個宇航員所發出的光信號需要經過無限長時間才能到達地球，我們當然無法看到他穿入到黑洞視界內。
那宇航員自己呢？對他自己需要用的是固有時 $au$ 。所以只需要看【3】式，假設一開始 $r=r_0$
$left( frac{dr}{d au} ight)^2=2GMleft( frac{1}{r}-frac{1}{r_0} ight)$
可以通過積分計算得到宇航員落到 $r=0$ 處所需要的固有時是
$au=frac{pi r_0}{2}left( frac{r_0}{2GM} ight)^frac{1}{2}$
這顯然是個有限大小的值，也就是說宇航員自己可以感受到他在有限時間內落到黑洞中心，並不會在穿越視界的時候遇到任何奇異性的問題！所以結論是，在史瓦西半徑處時空結構並沒有奇異性！
此外，如果計算曲率張量，也可以發現只有在 $r=0$ 處存在奇點。之前度規上在史瓦西半徑處出現的奇異性是由於坐標選取不當導致的，60年代初克魯斯卡找到了一組可以完全消除視界面上弊病的坐標，這裡就不談了。

當然，視界面確實比較有趣，雖然它沒有奇異性，但是在視界內部和外部的時空結構是不同的。
考察光的徑向運動， $ds^2=0$ ，光錐滿足的方程是
$frac{dt}{dr}=pm frac{1}{1-frac{2GM}{r}}$
積分後長這樣：
$pm t=r+2GMlnleft| 1-frac{2GM}{r} ight| +const$
現在可以把光錐線畫出來了

圖片源自廣義相對論引論(第二版) (豆瓣)
從光錐線也可以讀出一些信息。比如說，沒有一條光錐線能穿過 $r=2GM$ ，在這個坐標系裡不管是從視界裡面還是外面都要經過無限長的時間到達視界，即在這個坐標下視界內外是無法溝通的，和剛才推導的一致。此外，在視界面內由於 $r<2GM$ 以及對於實際物體的運動要求 $ds^2<0$ ，可以推導出
$left( frac{dr}{d au} ight) ^2geq left( 1-2GM/r ight) ^2>0$
也就是說在黑洞視界內的物體不能保持在某一半徑處，要麼下落要麼穿出，而且兩個正負號對應的運動一種導致 $r$ 單調增大，另一種導致 $r$ 單調減小，分別對應白洞情形和黑洞情形，這從圖中左半部分也可以看出來。。。除了史瓦西半徑非常特殊以外，還有2個半徑值也比較特殊，我就直接搬上來了，推導可以參考
時空與幾何 (豆瓣)
一個是 $r=3GM$ ，這是光子和物體維持圓軌道的最小半徑，並且是不穩定軌道（所以休想在史瓦西半徑外面一點點開飛船繞黑洞做圓周運動哦），比這個半徑小你就一定會掉進去！
另一個是 $r=6GM$ ，這是穩定圓軌道的最小半徑，所以要飛船安全的繞黑洞飛行起碼得那麼遠~

首先，黑洞不是一個猜想，而是天文學上已經觀測到的實際存在的天體。

黑洞其實是有幾個不同的定義，比如數學黑洞和物理黑洞。
數學黑洞指的是根據廣義相對論推導出的一個解定義的天體，這個天體的質量完全集中在奇點。
物理黑洞指的是一個天體的質量和電荷都在事件視界之內。

現在通過天文學觀測，已經確認了物理黑洞的存在。

但是，因為事件視界的存在，我們是無法分辨觀測到的物理黑洞是否是數學黑洞。

所以，如果題主問的體積是只事件視界的話，那麼答案是有半徑的。

而如果題主問的是，黑洞內部的質量是否都集中在一個無限小的奇點的話，答案是：
1，對於外部觀測者，因為物理黑洞形成過程中，坍縮是一個過程，當所有物質剛剛坍縮到事件視界內部時，視界內部的物質並沒有都坍縮到奇點，而由於黑洞的引力效應，對於外部觀測者這些物質永遠不會坍縮到奇點，換句話說是有半徑的。
2，對於內部觀測者，黑洞的質量會在有限時間內坍縮到奇點，所以在那之前有半徑，在那之後無半徑。
我們很顯然都是外部觀測者。

黑洞的內核是有半徑的，並且內核的密度也是不一樣的，而且黑洞內核根據其壓縮程度也分很多種，就像是地球是原子級別，中子星是中子級別一樣。黑洞的引力大小和其內核密度有關，內核體積越小，質量越大，壓縮的層級越高，黑洞的引力就越大。黑洞的內核有些比月球還要大。奇點只是一個理想狀態或者說是極限狀態下的物理模型，現實中的黑洞是有內核而且這個內核的半徑也比想像中的要大。

半徑應該是史瓦西半徑也就是落入其中的物質能量信息的逃逸半徑.你所說的黑洞半徑到底是指應該是原先未變為黑洞的那個天體的半徑還是黑洞奇點的半徑？奇點是沒有半徑的體積無限小密度無限大

不是沒有定論，是沒辦法定論。因為黑洞的引力大到光速運動的物質都無法逃逸，而超光速我們實際上做不到，目前的理論下也是不可能的。因此我們看不到黑洞到底是什麼樣子，看到了的也無法出來告訴我們或者把信息傳達出來。