若外星人把太陽控制在 0.01K, 太陽會塌縮成黑洞嗎？

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若外星人把太陽控制在 0.01K, 太陽塌縮需要多長時間？它會塌縮成黑洞嗎？如果不會，在什麼半徑截止？

本問題來自俄亥俄州立大學「天體物理數量級估計」討論課（Order-of-Magnitude Astrophysics），原題為：
An unfriendly alien uses advanced technology to cool all of the gas in the sun to 0.01 degrees Kelvin (and keep it there). How long does the sun take to collapse? Does it collapse to a black hole? If not, at what radius does it stop?
#P2@Astroom

外星人把恆星溫度控制在 0.01 K，我理解就是說去掉了熱壓。熱壓為零的情形在天體物理中就叫做"塵埃"（dust），而塵埃球在自引力下的收縮問題，在 Oppenhaimer et al. 1939 的文章：On the continued gravitational contract 中有完整的論述。然而彼文考慮的是廣義相對論的情況，未免繁冗，下面我們來簡單地討論一番：
1、考慮"冷太陽"某半徑r處的質量元dm，其受到的指向中心的引力是：
$-ddot{r}dm=frac{GM(le r)dm}{r^2}$ （1）
其中 $M(le r)$ 是某半徑 r 內包圍的太陽質量。
如果太陽的密度分布為 $ho(r)propto r^{-alpha}$ ,那麼 $M(le r)propto r^{3-alpha}$ ;
如果 $alpha le 1$ , 那麼會出現一個問題，就是越往外的質量元，下落速度越快。所以我們可以想像，有可能出現原先位於太陽邊緣的質量元在下落過程中不再位於邊緣，就是所謂層間交疊的問題，這就會讓問題複雜化。
如果沒有層間交疊的情況，我們就考慮在t＝0時， $r=r_{odot}$ 的質量元的運動。
把方程（1）積分，就會得到：
$2GM(frac{1}{r}-frac{1}{r_odot})=dot r$ (2)
在積分一次，就得到了r 隨t的變化，這樣我們就知道了r從 $r_odot$ 到接近於0所需要的時間：
$Tapproxfrac{2}{3}sqrt{frac{r_odot^3}{2GM}}$ (3)
這個時間在量級上等於所謂"動力學時標"

2、我們唯一寄希望能和自引力抗衡的，只有費米簡併壓。在靜力學情形下，我們知道電子的費米簡併壓可以最多支撐 $1.4 M_odot$ ；但我們在此考慮的並非靜態過程，而是在初始情況下，太陽突然失去熱壓而自由下落。如果在某個半徑處簡併壓突然發揮作用，那它要抗衡的並非靜壓，而是物質下落的衝擊壓（ram pressure）。
而
$P_{ m{ram}}=frac{1}{2} ho(r)dot{r}^2$ , 把方程（2）帶到這個裡面，發現
Ram pressure 是靜態情況下的重力壓的兩倍！這就說明，一個太陽的突然崩塌相當於 $2M_odot$ 的靜態白矮星，這已經超過了白矮星的質量極限. 不過這個質量尚低於目前觀測到的中子星的質量上限。因此太陽會變成一顆 10 km的中子星。

也就是說不會變成黑洞。
這是我的答案，請老師同學們批評指正！
－－－－－－－－－－－－－－－－－－以下是六月號晚上的更新－－－－－－－－－－－－－－－－
核質比對錢德拉塞卡質量極限的影響，這一點Gyroscope的回答非常關鍵。按照他／她的回答，最終的結局不是中子星，而是白矮星，而且是前所未見的氫白矮星。

另外我們有個微信群，裡面有人指出：反彈激波、太陽的自轉、磁壓、逃逸的中微子等等都會產生影響，甚至有顯著的影響。但在0.01K的情況下，氫已經不是電離態了，因此磁凍結效應應該已經不成立了，磁壓應該不會有什麼影響。

既然是一個討論課，我就說一點想法吧

首先非常在意0.01K這個數字

我們知道非相對論簡併氣體的費米能為（因為原子核更重，電子最先出現簡併）
$epsilon_F=(3pi^2)^{2/3}frac{hbar^2}{2m}n^{2/3}$
這裡 $n$ 為數密度，而強簡併的溫度條件為 $Tll epsilon_F/k_B=T_d$ ，因此我們估計一下我們正常的太陽的電子的簡併溫度
$T_d=(3pi^2)^{2/3}frac{hbar^2}{2k_Bm_e}(frac{M_{odot}}{m_pV})^{2/3}approx752900$ K
一些數據：太陽核心溫度1.57E7 K, 光球有效溫度為5772K

降溫到0.01K之後，電子已經實現（低溫）簡併，核子（主要考慮H，He的話）也已經簡併。因此我們需要求解簡併氣體的引力坍縮過程。但是剛開始由於密度並不高，求解動力學時標仍然可以忽略掉簡併壓的影響。然而，我感覺塌縮應該考慮自轉的演化。

有沒有可能最後以相對論簡併氣體的形式平衡？
幾乎不可能！
因為此時粒子總動能正比於 $N(N/V)^{1/3}$ ,也就是正比於 $M^{4/3}/R$ ,而引力勢正比於 $-M^2/R$ 。兩個量都反比於R，因此它們的和等於常數除以R。為了達到穩定，如果常數&>0，那麼R應該增大進而變成非相對論氣體；如果常數&<0,那麼氣體會無限制塌縮；只有在常數等於0時才有可能平衡，而且是任意R上都能平衡。
（朗道《統計物理I》107節）

當考慮自轉演化時

如果是剛體自轉，邊緣一點的塌縮方程應該變成
$ddot{r}=-frac{GM}{r^2}+frac{Omega_0^2r_{odot}^4}{r^3}$

如果（電子或者中子）簡併壓能與引力抗衡，可以利用下面的兩個式子求解白矮星或者中子星的結構。
牛頓引力勢方程 $frac{1}{r^2}frac{d}{dr}(r^2frac{dphi}{dr})=4pi G ho$ .....(1)
粒子平衡 $mu(r)+mphi-frac{1}{2}mOmega^2r^2= m const$ .....(2)
其中 $mu=frac{({3pi^2})^{2/3}}{2}frac{hbar^2}{m_em_p^{2/3}} ho^{2/3}$ ..... (3)
為單粒子化學勢. 不考慮自轉的話可以求解以上的方程，並且可以得到錢德拉塞卡極限，加了自轉之後明天解一下試試有沒有可能以白矮星的形式穩定存在。

待續。。。
開始續了

考慮電子和氫原子核，因為原子核的化學勢遠小於電子的，因此上面的化學勢用電子的，m取氫原子質量。將（2）對r微分代入1，將（3）帶入（1）消去 $ho$ 得到
$frac{1}{r^2}frac{d}{dr} (r^2frac{dmu}{dr})=frac{3mr_0^4Omega_0^2}{R^4}-lambdamu^{3/2}$ ......( * )
其中 $r_0$ 為塌縮前太陽半徑，R為塌縮之後的半徑， $Omega_0$ 為塌縮前的角速度, $lambda=frac{2^{7/2}m_e^{3/2}m^2G}{3pi hbar^3}$

右端第一項為常數，可以嘗試積分掉，單獨拿出第二項（扔掉第一項），積分可得
$frac{dmu}{dr}=-frac{lambda}{r^2}int_0^rr^2mu^{3/2}dr$
只跟 $R$ 和 $lambda$ 有關，同時 $1/R^4lambda^2$ 具有能量量綱，猜想 $mu$ 具有形式
$mu(r)=frac{mr_0^4Omega_0^2}{2R^4}r^2+frac{1}{lambda^2R^4}f(frac{r}{R})$ ......(4)
其中f無量綱，因為簡併粒子密度由（3）確定，我們得到 $hoproptomu^{3/2}$ ，當考慮自轉的時候化學勢增大（4）的第一項，導緻密度增大。這是顯然的，因為自轉可以抵消一部分引力，星體可以更加緻密一些。

現在求解無量綱化後的 f 函數，令 $xi=r/R, alpha=R/r_0$ ，將（4）代入( * )得
$frac{1}{xi^2}frac{d}{dxi}(xi^2frac{df}{dxi})=-3lambda^2alpha^2mr_0^6Omega_0^2-left[frac{1}{2}lambda^2alpha^2mr_0^6Omega_0^2xi^2+f(xi) ight]^{3/2}$
此時方程兩邊已經沒有量綱，
因為在 $xi=0$ 處為了保證不發散，應該有 $f$ ,在邊緣處應有壓強等於0，對應 $mu(R)=0$ ，也就是 $f(1)=-frac{1}{2}lambda^2alpha^2mr_0^6Omega_0^2xi^2$
現在我們有了方程和邊界條件，在解之前考慮一下自轉的修正項，利用太陽的自轉，我們可得
$lambda^2mr_0^6Omega_0^2approx 10^{-26}$ ，很小！也就是說相比於簡併壓，自轉可以忽略。即使假設自轉周期達到毫秒，這一項也只有1E-7量級，因此自轉對於結構的影響很小。

當忽略掉之後方程簡化為
$frac{1}{xi^2}frac{d}{dxi}(xi^2frac{df}{dxi})=-f(xi)^{3/2}$ ，利用邊界條件數值求解可以得到

$f(0)=178.2, f$ ，利用這兩個常數，同時把（＊）乘上 $r^2dr$ 積分可以得到
$MR^3=91.9 frac{hbar^2}{G^3m_e^3m^5}approx 2.2 imes10^{13} m M_odot m km^3$

對於一個太陽質量的恆星塌縮形成的白矮星半徑大致為28000km
中心密度為 $ho(0)approx1.26 imes10^8 m kg/m^3$

在維基百科查到

A typical white dwarf has a density of between 10^7 and 10^11 kg per cubic meter.

這個密度是一個典型的白矮星。

這裡利用的是純H氣體計算的，因為H佔73.46%, He佔24.85%，感覺差別不會太大，因為簡併壓和化學勢主要來自於電子。

因此，應該不會形成黑洞或者中子星。

歡迎討論。

我對 @易逸度大王的答案提出一些質疑。

首先，答主已經提到了白矮星的最大質量是 $1.4M_{odot }$ ，這確實是錢德拉塞卡極限的取值。但是，錢德拉塞卡極限並非是一個恆定值，它的取值是和恆星的組分有關的。這是因為在白矮星內部支配它的主要是這兩個力：電子簡併壓和恆星的自引力。這兩個力是由不同的部分提供的，電子簡併壓是由電子提供的，電子數量越多簡併壓越強；引力是由原子核提供的，原子核質量越大引力越強。由於電子數等於質子數，原子核質量約等於質子數+中子數，因此錢德拉塞卡極限的取值實際上和原子核的質荷比，也就是質子數和中子數的比值有關。這一點其實不難理解，因為只有電子是對簡併壓有貢獻的，而電子數量又取決於質子數量。所以增加中子對電子簡併壓沒有影響，卻會增加引力。所以中子越多的物質，錢德拉塞卡極限的取值越小。

定量的分析可以通過這個公式 $M_{limit} =frac{omega _{3}^{0}sqrt{3pi}}{2} sqrt{(frac{hc}{2pi G} )^3} frac{1}{(mu _{e} m_{H} )^{2} }$ (Chandrasekhar limit)，或者簡化的公式 $frac{5.76}{mu _{e}^2 } M_{odot }$ 。其中 $mu _{e}$ 是質荷比。對氫原子核來說是1，對氦，碳，氧，氖，鎂是2，對鉛這樣的重元素是2.5。由於白矮星的成分是碳，氧或氖，我們把2代進去就可以算得 $1.4M_{odot }$ 。由於錢德拉塞卡極限是在20世紀30年代提出的，那時候人們對恆星的構成知之甚少，人們以為白矮星是由鉛這樣的重元素構成的，所以最初錢德拉塞卡給出的值是 $0.91M_{odot }$ （1931ApJ....74...81C Page 81White dwarf）。但這不是錢德拉塞卡的錯，錢德拉塞卡的公式是對的，只是那時候人們對白矮星的認識有誤。

由於白矮星都是中等質量恆星的餘燼，主要成分是碳，氧，氖這些質荷比是2的元素，所以它們的錢德拉塞卡極限都是一樣的。然而，如果是太陽這種恆星直接坍縮成白矮星就有問題，因為太陽的主要成分是氫和氦。由於氫的質荷比只有1，含有氫的白矮星會有更高的錢德拉塞卡極限。如果是純氫氣構成的白矮星，錢德拉塞卡極限是 $5.76M_{odot }$ ，大於 $2M_{odot }$ 。所以太陽如果坍縮成白矮星未必會超過錢德拉塞卡極限。所以太陽不一定會變成中子星。

我覺得不會，太陽會坍縮成簡併態物質。根據太陽質量的話可以算出半徑。

啊，來自於我學校的題目，當年上恆星演化的時候遇到過，待我先Mark，後天再寫。

如果這樣做上帝會讓他消失的，相信我

根據審題，答，外星人技術好就可以控制時間和結果，外星人如果跟我一樣那沒戲。

抱歉了這麼嚴肅的問題我不懂還來搗亂