錢德拉塞卡極限的推導步驟是怎樣的？

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作為天文愛好者，好奇心驅使我不僅僅想了解白矮星、中子星、黑洞這些學術辭彙，還想知道其背後的原理，比如說推導的過程。我很想知道為什麼單從一個泡利不相容原理，就能夠推算出臨界質量=1.4倍太陽質量。

以我目前的物理數學水平，看不懂錢本人的論文，希望專業人士能夠以科普的方式，介紹一下其推導的過程。

寫下恆星靜力學平衡方程。
寫下引力貢獻的壓強
寫下電子簡併壓
即可

另一種方法是寫下引力勢能，寫下電子簡併壓帶來的能量（可用，限制在體積為 $V = frac{4pi}{3} R^3$ 的球中的自由電子氣的能量，來做近似），兩者加在一起。顯然半徑越小，引力勢能越小，而電子兼并壓帶來的能量越大，故此存在一個能量最低值，是為靜力學平衡點。但若恆星質量太大，最低值不存在，是為錢氏極限。

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對於一個恆星來說， $M, N, V$ 固定，為了計算方便，這裡假定 $V = frac{4pi }{3} R^3$ 。
引力勢能為 $E_g = - frac{3}{5} frac{G M^2}{R}$
考慮 $L imes L imes L$ 方盒中的零溫近自由電子氣。假定周期性邊界條件，則動量為 $m p = frac{2pihbar}{L}(n_x, n_y, n_z)$ 。電子氣體呈費米-狄拉克分布 $varrho sim frac{1}{1 + exp((varepsilon_k(m p)-mu)/k_BT)}$ ，在零溫下，這是動量空間中的一個球（費米球），其半徑 $p_F$ 叫做費米動量。顯然，總電子個數 $N$ 和總能量 $E$ 為：
$N = 2sum_{n_x,n_y,n_z} hetaBig(p_F - frac{2pi hbar}{L}sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2} Big) approx frac{2V}{ hbar ^3}int_F frac{d^3 p}{(2pi)^3} = 2frac{4pi V}{3} frac{p_F^3}{h^3}$
$E_k = 2sum_{n_x,n_y,n_z} hetaBig(p_F - frac{2pi hbar} {L}sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2} Big) varepsilon_k(m p) approx frac{2V}{ hbar ^3}int_F frac{d^3 p}{(2pi)^3} varepsilon_k(m p) \ = frac{pi V c}{h^3} Big[ p_Fsqrt{p_F^2 + m^2c^2}(2p_F^2+m^2c^2)-m^4c^4mathrm{arcsinh}left(frac{p_F}{mc} ight) Big] \ approx frac{2Vpi c}{h^3}p_F^4 left(1+ left(frac{mc}{p_F} ight)^2 + mathcal OBig(frac{mc}{p_F}Big)^4 ight)$
因子2來自於自旋， $V = L^3 = frac{4pi}{3}R^3$ ， $varepsilon_k(m p)$ 叫做色散關係。在高質量恆星中，需要使用相對論性關係 $varepsilon_k(m p) = sqrt{m p^2c^2 + m^2 c^4} approx p c + frac{m^2 c^3}{2p} + cdots$ 。我們可以從上式中消去 $p_F$ ：
$E_k = frac{3}{8}left(frac{9}{4pi^2} ight)^{1/3} frac{hc}{R} N^{4/3} + left(frac{3pi^2}{2} ight)^{1/3} frac{m^2 c^3 R}{h} N^{2/3}$ .