下雨的時候，跑與不跑落在身上的雨點是一樣多的嗎？為什麼？

11-28

記得初中數學老師聊天的時候說過，但沒解釋說上高中就知道了，結果高中沒好好學，至今不解，求解惑。

這個問題計算起來細節非常多，已經有不少同學通過數學，物理中的各種公式計算回答了這個問題。

相信絕大多數人都是沒有耐心去看的......

所以我做了這個模擬實驗，方便大家直觀的了解這個問題。

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好了，先說結論：（這個問題得分為兩種情況討論）
1. 當移動距離相同時（這個是生活中比較常見的情景）
跑步比走路淋到的雨要少！
如果你模擬出其它特殊情況，請給我留言：）
2. 當移動時間相同時
淋雨量與人物相對於雨滴的運動方向等信息有關。
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實驗數據

1 移動距離相同
走路：移動速度：2.1 m/s。最終接觸到的雨滴數：332

跑步：移動速度：6.9 m/s。最終接觸到的雨滴數：171

2 移動時間相同

2.1 跑步比走路淋到的雨要多
走路：移動速度：2.0 m/s。最終接觸到的雨滴數：52

跑步：移動速度：7.6 m/s。最終接觸到的雨滴數：74

2.2 跑步比走路淋到的雨要少
當雨滴下落方向與人物運動方向一致時，的確會出現跑步比走路淋雨要少的現象。
（這並不意味著越快淋的越少！！！）

具體一點話，應該是當移動速度和雨滴水平速度上的分量相同時，淋雨最少。這個時候，雨滴相對與運動中人來說，就是垂直下落！人移動太快，或者太慢都會有問題的。

走路：雨滴角度：-44.5，移動速度：1 m/s。最終接觸到的雨滴數：48

跑步：雨滴角度：-44.5，移動速度：7.6 m/s。最終接觸到的雨滴數：36

最後放上在線實驗地址：http://xtutu.me/html-rain/index.html
chrome下可以正常展示，其它瀏覽器未做試驗
可能速度有點慢，耐心等待下：）

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2016-5-10 更新
真沒想到，隨手寫的一個小實驗，居然能得到這麼多人的認可，有點激動啊。
晚上的時候已經破千贊！距離答題時間才過去一天而已啊，大家太給力了，感謝！！！
怎麼只有贊，沒關注呢...
點贊的同學，能不能把贊換成關注啊...

這是一道相對簡單的建模問題

並不是奔跑速度越大淋雨量越小，淋雨量的大小與跑速度，距離，雨下落的方向以及身體表面積有關。

建模的思想是把生活中的實際問題變成數學問題，過程可能很複雜，但結果會是通俗易懂大多人能接受的

言歸正傳

題主的條件不夠全面，考慮的情況也不多，這裡就都幫你考慮了。

比較正規的解答

假設人在雨中行走時可能出現以下三種情形：

情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此時降雨淋遍全身（如圖1所示）

圖 1

情形二：雨迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內，與人的正面夾角為，此時後背淋不到雨（如圖2所示）

圖2

情形三：雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內，與人的背後夾角為α，此時正面淋不到雨（如圖3所示）

圖 3

我們知道當人在雨中前行的時候，人和雨相對地面都是運動的，故知人與雨是相對運動的。為此我們選擇人作為參考系，再考慮雨的相對速度及其與人體方向（即與人體夾角 $heta$ 、α）對總淋雨量的影響。

另外為了使問題更好的解決，還要假設

將人體看成一個長方體；

雨速為常數且方向不變；

降雨量為一定值；

考慮雨的方向與人體前進的方向在同一平面內；

人的速度為勻速。

我們先考慮如下情形，現有一塊土地面積為s，雨垂直降落，雨速及方向不變，且降雨量為一常數w ，則有時間t內該土地的淋雨量為Q=stw 。若雨速發生變化，則降雨量也會相對發生改變，設雨速從u變為 $mu +Delta mu$ ，則降雨量相對變化為

，從而可求得此時的淋雨量為

。若雨速不變，降雨的方向發生改變，設其與原方向的夾角為，那麼此時的淋雨量為

。類似我們可以求得在問題分析中出現的三種情況下人體的總淋雨量如下：

1 當雨垂直降落時

有效淋雨面積：s=2ab+2ac+bc

淋雨時間：t=d/v

總淋雨量

（1）

2 當雨迎面吹來時

由假設3.4我們知道，當雨迎面吹來時，只有頂部和人體的迎面部分為有效淋雨面積，記頂部面積為s1，迎面部分面積為s2，則s1=bc,s2=ab，分別計算其淋雨量如下：

淋雨時間：t=d/v

雨速垂直分量：ucos $heta$

雨速水平分量：usin ，

且方向與v相反，故相對雨速=

頂部淋雨量：

迎面淋雨量：

所以總的淋雨量為：

（2）

3 當雨從背面吹來時

同理，當雨從背面吹來時，只有頂部和人體的背面部分為有效淋雨面積，記頂部面積為s3，背面部分面積為s4，則s3=bc,s4=ab，分別計算其淋雨量如下：

淋雨時間：t=d/v

雨速垂直分量：

雨速水平分量：

，方向與相同，故相對雨速=

頂部淋雨量：

背面的淋雨量：

總淋雨量為：

（3）

模型的求解

運用數學分析中求函數最值的知識，對於以上所建的模型我們求解得到不同情況下人的淋雨量Q與行走速度v的具體關係如下：

一、當雨垂直降落時

由（1）式知總淋雨量

，易知 v越大，Q值越小，故此時跑得越快，所淋到的雨量越少。即：當

時，最小；

二、當雨迎面吹來時

對（2）式關於v求導可得：

，故Ｑ關於v是單調遞減函數，故此種情況下，當

時，最小；

三、當雨從背面吹來時

對（3）式，分以下兩種情況討論如下：

(1)

此時對（a）式關於v求導可得

，可知v越大，淋雨量越小，又因為

，故知當

時，Q最小；

(2)

當

，對（b）關於v求導

，故Ｑ關於v是單調遞減函數，同樣可得，當

時，最小；

當

，對（b）關於v求導

，故Ｑ關於v是單調遞增函數，又

，故

時，最小。

在不考慮雨的方向的情況下，奔跑速度越快，總淋雨量越小。

當雨從迎面打來時，奔跑速度越快，總淋雨量越小。

當雨從背面打來時，奔跑速度與總淋雨量的關係與參量的大小有關。

由以上結果可知，並不是奔跑速度越大淋雨量越小，淋雨量的大小與跑速度，距離，雨下落的方向以及身體表面積有關。

通常的講，一個人的表面積固定，當出發點和終點距離較大時，盡量增大速度會減少淋雨量，但是當距離過大，距離與人速的比值也會很大，如果這時沒有傘，可以說無論怎樣你都會透心涼。

未考慮的因素還有降水量的大小，雨速，是否存在太陽雨現象以及雨滴的密集程度，等找到更優的模型再行解答，另外，MATLAB模擬數據還需要過些天才能算出。

參考書籍《數學模型》（第四版）姜啟源謝金星葉俊

MATLAB 數據模擬

經百度查得，人的最快奔跑速度9.74m/s，設定速度的範圍（0：0.1：974）；

人的平均表面積：男人1.9平方米，女人1.6平方米，所以範圍（1.59:0.1：1.91）；

角度設定範圍（0:0.1：90）；

為了使設計簡單，取無窮大的距離，首先得到速度與淋雨量的關係

若有淋雨角度時，存在的關係

若再考慮距離的問題，得到關係

可看出，淋雨量在短期是受速度影響的，速度越大，淋雨量越小，當奔跑距離過大時，都會被淋透。

模擬數據顯示，當a=30度，速度v=2m/s時，淋雨量最小

#################更新#################

首先，如果有同學不贊同我的推理過程，在歡迎您提出質疑的同時，我更多的認為是您沒有想清楚。

也許這麼說不太禮貌，但是一個普遍的情形是，嚴謹思考的人不願輕易發聲，而惰于思考的人（當然不是說提出質疑的同學）無畏於發表反智性質的意見，這種情況下正確的聲音只會越來越少。因此，我也只能給出一個強的論斷，讓心存疑慮的同學有信心把回答里的推理過程讀下去。

我大概看了下這篇回答與日報下面的評論，有價值的質疑大多集中在相同距離情況下那個「筷子形態」的極限情況，為了避免誤解，這裡做出進一步的說明：

我提及這個極限情況目的，當然不是說每個人都是筷子的形態，而是幫助大家更好地理解：「相同距離情況下，跑得快不一定淋雨少」這一論斷既然在這個極限情況下成立，那麼同樣的論斷在這個極限附近的有限區間內也是成立的。

具體一點，讓這個論斷成立的區間是，身體形態較細長，跑過的距離較短，並且雨下落的方向較斜。定性地說，最後的淋雨量取決於淋雨時間和淋雨面積；細長的形態與以接近水平雨速的速度跑步能降低淋雨面積，而較短的距離與較快的跑步速度能降低淋雨時間，這兩者在一些區間里是取捨的關係；而如果跑步者以略快於水平雨速奔跑，在雨下落的方向較斜（水平分量較大）的情況下可以在保持較小淋雨面積的同時，進一步縮短淋雨時間。在這樣的的區間里，通過以最優速度運動的方式降低淋雨面積，比起降低淋雨時間更有效；也是為什麼，即使在跑過相同距離的情況下，跑得快不一定淋雨最少的定性原因。

#################以下是原答案#################

翻了不少答案，不禁心中略感悲涼：一方面是因為大多數答案都是錯誤的；另一方面更是因為少數同學不僅想當然地以為「跑得越快淋雨越少」，還藉此譏諷那些認真思考的答主缺乏生活常識。我一開始匿名回答了大概的思路，可是看到這樣的情況，覺得需要取匿出來發聲了。

我要說，無論是相同時間還是相同距離，並不一定是跑得越快淋雨量最少。

@相光祖同學答案中的推導過程我沒有一步步地看，但最後的定性結論是正確的。

贊數最高的答主通過虛擬實驗給出了結論，這種實踐的精神可嘉，但很可惜結論並不完全正確。因為實驗並不能窮盡所有的情況，更何況這個虛擬實驗本身就是個模型，只是調試模型參數而沒有理解模型本身，這對我們認識物理圖景是沒有任何幫助的。

下面，我將不藉助任何公式幫助大家來直觀地理解這個問題。當然，這並不是說公式不重要；如果要算得具體的數值，仍然需要公式的嚴謹推導。以下敘述中包含了跑步者的速度、雨速恆定，跑步者外形是規則幾何形狀等一些合理假設，因為建立模型的基本準則是keep it simple, but not simpler；一個囊括了所有因素的模型，無助於我們理解物理圖景的本質。

最直觀的理解這個問題的方法，是伽利略變換——取跑步者為參考系。這樣，任何的情況，都可以變換為「人在雨中靜止」這一情形。

那麼，如果人在雨中靜止，怎樣會淋雨最少呢？

顯然是雨滴垂直下落的情況，因為只有人的頭頂（和肩部）會淋到雨，側面是淋不到的。當然，我們合理地假設人的形態是側面面積比頭頂面積大很多。

現在，我們變換回地面參考系；雨滴垂直下落的情況在地面參考系下，就是跑步者的速度與雨滴下落速度的水平分量一致的情形。

因此，如果淋雨時間相同，當跑步者速度與雨速的水平分量一致時，淋雨最少。

下面說跑步者跑過的距離相同的情形。讓我們考慮一個極限情況：一個人如筷子一般細長（頭頂面積遠小於側面面積）。那麼，按照之前的敘述，無論這個人在雨中多久，只要他的速度與水平雨速一致，在有限的時間里他是不會被淋濕的；以任何快於或慢於這個速度運動都會被淋濕。因此，當且僅當他以這個速度跑完一定的距離時，淋雨量才是最小的（為零）。

從這一極限情況可知，當跑過的距離相同時，同樣也不一定是跑得越快淋雨量越小；最優解取決於他的身體形態、跑過的距離、跑步速度和雨速（最終可以歸結為幾個無量綱數），具體的結果需要通過公式計算。

科學不是由想當然的人、而是由做出嚴謹思考的人推動的，哪怕那些思考看上去由於貌似缺乏常識而很可笑。當伽利略開始懷疑為什麼輕的東西一定比重的東西落得慢的時候，他受到的嘲笑不絕於耳；而相似的歷史在今天、在這個問題下依舊重演著。我想我們應該警惕。

也許有同學會有疑問：這樣的問題即使有最優解，在現實中也幾乎不會被用到；那思考這樣的問題有什麼意義呢？

我在給美帝本科生上課的時候，講到恆星物理，提到兩個時標；一個是Kelvin-Helmholtz時標，這個時標說的是，如果恆星（比如太陽）發光的能量完全來源於引力勢能，恆星的壽命大概是多久。對於太陽，這個時間大概是幾千萬年。然而，太陽的壽命是上百億年。

這是由於，太陽發光的能量並非（主要）來源於引力勢能，而是中心的核反應。通過核反應速率計算出的另一個主序星核反應時標遠大於Kelvin-Helmholtz時標，從而能夠更好的表徵恆星的演化。

於是有本科生提問：如果Kelvin-Helmholtz時標是不現實的，我們計算這個時標又有什麼意義呢？

我回答說：在宇宙中有一類「超大質量黑洞」（supermassive blackhole），它的質量可達上億個太陽質量。關於它的形成，有一種可能是源於「超大質量星體」（supermassive star）坍縮成「類星」（quasi-star），最後形成黑洞的種子。在這個過程中輻射出的能量源於引力勢能的釋放、而不是核反應，因此這裡Kelvin-Helmholtz時標就派上用場了。

所以說，宇宙之大，大到那些我們認為的「不現實」，都有可能是宇宙的現實。夏蟲不可以語於冰者，篤於時也；而人類有別於夏蟲之處，正是在於能夠透過現象中所謂的現實與不現實，通過嚴謹的思考提煉出理性的本質，從而讓我們在面對遠超生命生存極限的宇宙萬象時，有一份與天地精神往來的勇氣。

----更新2016.05.29----
@xtutu 的程序有些問題

極限情況，雨速為零，人在雨中運動居然沒有撞擊量（沒沾到雨）

----更新2016.05.28----
反對大部分答案

先給結論：通常情況和速度有關，違背直覺的是，存在和速度無關的情形。有關的情形中，不一定是跑得越快淋雨越少。
（如果嫌中間一堆推導煩，可拉到最後看某種特殊情形的分析）

（所有小寫英語字母均表示矢量，對應大寫英語字母表示其絕對數值，其他大寫英語字母表示標量）
合理假設：

簡化為二維平面計算
將人體視為長方體，正面面積 $S_{0}$ ,頂面面積 $S_{1}$
運動相同的距離
雨量不隨時間變化，對地雨速不隨時間變化
人為水平勻速直線運動

！！！以豎直向下和逆水平運動方向為坐標系正方向！！！
（如果對這個坐標系不適應，怪我咯）

簡述：

人以 $alpha$ 傾角，在雨速為 $v_{r}$ ，雨滴密度為 $ho$ 的雨中以 $-v_{p}$ 的速度前進 $L$ 的路程。（保證 $v_{p}$ 為正方向）

轉換到以人作為參考系，則上述描述可轉化為：

人以 $alpha$ 傾角，在雨速為 $v_{r} +v_{p}$ ，雨滴密度為 $ho$ 的雨中淋了 $frac{L}{ V_{p} }$ 長時間的雨。

直觀地，雨速 $v_{r}$ 可以表示成雨的徑直下落速度 $v_{vtc}$ 和水平擾動速度 $v_{hrz}$ 的矢量和，即
$v_{r} =v_{vtc} +v_{hrz}$ ，在此說明：

令 $eta$ 為從 $x$ 軸正方向，轉到 $v_{r}$ 的夾角。
因 $v_{vtc}$ 恆為正， $v_{hrz}$ 可正可負，所以用 $frac{v_{vtc} }{taneta }$ 表示 $v_{hrz}$ 。 $(0<eta <pi )$ 令 $S=sqrt{S_{0} ^{2} +S_{1} ^{2}}$ ， $tangamma =frac{S_{0} }{S_{1} }$ 。 $(0leq gamma leq frac{pi }{ 2} )$ （看圖想像 $gamma$ 為 $0$ 或 $frac{pi}{ 2}$ 的情況）

不妨令 $0leq alpha leq frac{pi }{2}$ ，即只討論人可能往前傾的時候，往後傾的情況令 $alpha =-alpha$ 即可。
圖中 $e_{0}$ 和 $e_{1}$ 為單位矢量

現在將問題分解為總淋雨量=正面(或背面)淋雨量+頂面(或底面)淋雨量
$A=A_{S_{0} } +A_{S_{1} }$
正面淋雨量=雨相對於人沿 $e_{0}$ 的速度絕對值*正面面積*淋雨時間*雨滴密度
$A_{S_{0} } =left| left( v_{r} +v_{p} ight) ullet e_{0} ight| cdot S_{0} cdot frac{L}{ V_{p} } cdot ho$ (PS： $ullet$ 為矢量內積)
頂面淋雨量=雨相對於人沿 $e_{1}$ 的速度絕對值*頂面面積*淋雨時間*雨滴密度
$A_{S_{1} } =left| ( v_{r}+v_{p})ullet e_{1} ight| cdot S_{1} cdot frac{L}{ V_{p} } cdot ho$ (PS： $ullet$ 為矢量內積)

展開矢量內積：
$A_{S_{0} } =left| (V_{p}+frac{V_{vtc} }{taneta } ) cosalpha -V_{vtc} sinalpha ight| cdot S_{0} cdot frac{L}{ V_{p} } cdot ho$

$A_{S_{1} } =left| (V_{p}+frac{V_{vtc} }{taneta } ) sinalpha +V_{vtc} cosalpha ight|cdot S_{1} cdot frac{L}{V_{p} } cdot ho$
去絕對值時正負號僅在於 $V_{p}$ 與 $frac{V_{vtc} }{cotalpha} -frac{V_{vtc}}{taneta }$ 和 $(-frac{V_{vtc} }{tanalpha} -frac{V_{vtc}}{taneta } )$ 的大小關係，當然 $V_{p}$ 是大於0的。
直觀地：

！！！一般情況，我們在雨中行動的時候，正面和頭頂淋雨的情況比較常見（在此只討論這種情況，其他情況可自行討論），即：
$V_{p} geq frac{V_{vtc} }{cotalpha} -frac{V_{vtc}}{taneta }$ 且 $V_{p} geq (-frac{V_{vtc} }{tanalpha} -frac{V_{vtc}}{taneta } )$ 且 $V_{p} >0$ ：

$A_{S_{0} } =( (V_{p}+frac{V_{vtc} }{taneta } ) cosalpha -V_{vtc} sinalpha ) cdot S_{0} cdot frac{L}{ V_{p} } cdot ho$
$A_{S_{1} } =( (V_{p}+frac{V_{vtc} }{taneta } ) sinalpha +V_{vtc} cosalpha )cdot S_{1} cdot frac{L}{V_{p} } cdot ho$
$A=A_{S_{0} } +A_{S_{1} }=A_{e } +A_{i }$ （ $A_{e}$ 是exclude $V_{p}$ 的項， $A_{i}$ 是include $V_{p}$ 的項）
$A_{e} =(S_{0}cosalpha +S_{1}sinalpha) L ho$
$A_{i} =[(frac{V_{vtc} }{taneta } cosalpha -V_{vtc} sinalpha )S_{0} +(frac{V_{vtc} }{taneta } sinalpha +V_{vtc} cosalpha )S_{1}]frac{L}{V_{p} } ho$
化簡得：
$A_{e} =(S_{0}cosalpha +S_{1}sinalpha) L ho$
$A_{i} =[S_{0} cos(alpha +eta )+S_{1} sin(alpha +eta )]V_{r} frac{L}{V_{p} } ho$
再次化簡得
$A_{e} =SL hocdot sin(alpha +gamma )$
$A_{i} =SL ho frac{V_{r} }{V_{p} }cdot sin(alpha +eta +gamma )$

所以，當 $V_{p} geq frac{V_{vtc} }{cotalpha} -frac{V_{vtc}}{taneta }$ 且 $V_{p} geq (-frac{V_{vtc} }{tanalpha} -frac{V_{vtc}}{taneta } )$ 且 $V_{p} >0$ （就是人的速度達到背部和腳底不會淋雨並向前運動的時候）

若 $alpha +eta +gamma =pi$ ，則無論 $V_{p}$ 在其定義域內如何變化（如上不等式所述，其實 $V_{p}$ 只有一個不大的下界），人的總淋雨量將不變，為 $SL ho cdot sineta$ 。
若 $alpha +eta +gamma >pi$ ，則 $V_{p}$ 在其定義域內越小則淋雨越少，越大則淋雨越多。
若 $alpha +eta +gamma <pi$ （大部分答案的默認情況），則 $V_{p}$ 在其定義域內越小則淋雨越多，越大則淋雨越少。

特殊的，如果雨沒有水平擾動，即 $v_{hrz} =0$ ， $eta =frac{pi }{ 2}$ ，且滿足
$alpha +eta +gamma =pi$ ，即 $alpha +gamma =frac{pi }{ 2}$ ， $V_{p} geq frac{V_{vtc} }{ cotalpha}$ 時，人總淋雨量不變，為 $SL ho$ 。

特殊的，如大部分答案所述，當 $alpha =0$ （即人直立前進）時，若 $eta +gamma =pi$ （此時絕對有 $eta geq frac{pi}{ 2}$ ，看圖想像雨怎麼吹的）， $V_{p} geq -frac{V_{vtc}}{taneta }$ 則：無論 $V_{p}$ 在其定義域內如何變化，總淋雨量不變，為 $SL ho cdot sineta$ 。
下圖解釋這種情況，為方便起見，上述公式中的 $eta$ 用 $pi -eta$ 代替了（ $gamma$ 和 $V$ 寫得比較像，見諒）

無聊的腦洞：沒有相對運動就不會淋雨，什麼情況？你就是一滴雨。

不贊同排名第二 @相光祖的答案。這一問題不需要也不應該分情況討論。以及在無風雨滴豎直下落的情況下，人行走時應當只有頭頂（和肩膀）和前側身體淋雨；人靜止時只有頭頂（和肩膀）淋雨。
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2016-5-23 20:38
剛剛又發現無風的情況其實非常簡單，只需要分別考慮身體前側的淋水量和頭頂的淋水量就行了。所以肯定是一個隨著速度變快而減小的單調遞減函數。應當著重考慮有風的情況。待我寫完數理方法作業回來補全。
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這是一道簡單基礎的建模問題。但是——我做錯了！！！（已更正）

我之前的推導中認為雨流強度L是一個跟環境有關的常量。然而，在以人為參考系的坐標系裡，L應當是一個與地面坐標系中人的運動速度有關的變數。
$L= ho v_{rain}$
這裡的 $ho=l/v_y$ 是雨在空間中的分布密度， $l$ 乘以12小時才是平時說的降水量XX毫米。
以下是更正後的正文。
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這是一道簡單基礎以至於我這樣的本科學渣都能下手的建模問題。高中的時候跟幾個小(da)伙(dou)伴(bi)討論過這個問題，然而當時too young too simple somtimes naive所以並不會做。考慮到生活中遇到冒雨在外面走的情況一般都是固定距離的，即：
A地到B地距離為x，一個人從A地勻速走到B地，他以多大的速度走/跑過去淋到的雨量最少？
（本答案用的推導過程都很基本，稍有耐心即可看懂，當然實在懶得看直接看結論即可。）
以下正文：
我們只考慮人的左右方向無風或者說人行走的方向總是沿著風的方向/反方向的情況（機智而任性的追風少年）。那麼可以將問題簡化為二維圖象如下圖。

當然有風的情況下，我們假設風速恆定，那麼風對雨的影響為給雨一個水平方向的速度 $v_{wind}$ 。
（圖中將人體簡化為矩形，考慮人靜止站立時的樣子還是很接近矩形的，但是人行走起來手腳前後揮動，這一模型會有較大的誤差，但是為了簡化問題，我們忽略這個誤差。#滑稽）
由於人勻速運動，我們可以選取人作為參考系。這樣我們可以只分析雨滴的運動來求解問題如下圖。

設人的寬為a，高為b。
假設雨滴在空間中均勻分布且速度相同，那麼
單位時間內的淋雨量（體積）V = 淋雨面積S * 雨流強度（單位時間內淋到單位面積上的雨量）L
一路上總淋雨量W = V * t
雨流強度L為
$L= ho v_{rain}= ho sqrt{v_x^2+v_y^2}$
由圖可以計算出淋雨面積S
$an heta=frac{v_x}{v_y}$
$S=S_1+S_2$
對於 $an heta<frac{b}{a}$ 的情況，
$S_1=frac{a}{cos heta} =frac{asqrt{v_x^2+v_y^2}}{v_y}$
$S_2=(b-a an heta)sin heta=(b-afrac{v_x}{v_y})frac{v_x}{sqrt{v_x^2+v_y^2}}$
而對於 $an hetageqfrac{b}{a}$ 的情況，也就是人跑得相對很快（比如香港記者），或者逆風很大的情況，
$S_1=frac{b}{sin heta} =frac{bsqrt{v_x^2+v_y^2}}{v_x}$
$S_2=(a-bcot heta)cos heta=(a-bfrac{v_y}{v_x})frac{v_y}{sqrt{v_x^2+v_y^2}}$
人勻速行走
$t=frac{x}{v}$
從而得到總淋雨量
$W=LSt=frac{LSx}{v}=left{ egin{array}{cccccccc} frac{ ho xa}{v}[frac{v_x^2+v_y^2}{v_y} +(frac{b}{a}-frac{v_x}{v_y})v_x], v_x<frac{b}{a}v_y \ frac{ ho xb}{v}[frac{v_x^2+v_y^2}{v_x} +(frac{a}{b}-frac{v_y}{v_x})v_y], v_xgeq frac{b}{a}v_y end{array} ight.$
這裡 $v$ 為人行走速度， $v_x=v+v_{wind}$ 為以人為參考系下的雨的水平速度， $v_y$ 為雨的豎直下落速度。
在無風情況下總淋雨量為
$W=left{ egin{array}{cccccccc} ho xa[frac{v^2+v_y^2}{v_yv} +frac{b}{a}-frac{v}{v_y}], v<frac{b}{a}v_y \ ho xb[frac{v^2+v_y^2}{v^2} +(frac{a}{b}-frac{v_y}{v})frac{v_y}{v}], vgeq frac{b}{a}v_y end{array} ight.$
（化簡後發現其實這個函數是不分段的。）
（注意到當 $v ightarrow infty$ 時， $W= ho xb$ ，相當於一路上只撞到身前的雨滴。）
對這一結果求對v的偏導發現，對於任意的 $v_y,a,b>0$ ，當 $v<frac{b}{a}v_y$ 時，W是一個減函數；當 $vgeq frac{b}{a}v_y$ 時，W依然是一個減函數。
因而下雨的時候跑得越快，淋雨越少。
（本來預期能找到一個最小淋雨速度的，現在看來並不存在這樣一個速度。）
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原答案畫圖了現在也象徵性地畫一下好了。
對於 $v_y$ ，在http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%281976%29033%3C0851%3ATVASOC%3E2.0.CO%3B2這篇論文中我們可以查到雨滴的下落速度在2~12m/s，雨勢越大，雨滴直徑越大，雨滴的下落速度越大。（這篇論文略長哪位大神能幫忙看看具體講的什麼意思）
以一個前後寬20cm,身高160cm的人為例，可以繪出淋雨量-步行速度，雨豎直速度的函數圖像。

假設中雨的情況，雨滴下落速度為5m/s，我們可以得到如下函數圖。

人一般受雨面就是頂面和正反面。頂面受雨是個常數，而正反面不是。
其實我們可以把豎直方向的正反面受雨面積投影到水平上。假設雨是勻速下降，那麼在一個瞬間，一個底邊為x=vxh/vy（vx為雨相對於人的水平速度，vy為雨滴的豎直速度，h為人的身高），高就是人的身高的三角形內的雨（底在上），都會被人沾到。
所以，每時每刻，接觸到這個底邊的雨都會被人沾到。
所以人的受雨面積實際是s=s頂+vx/vy*s正，受雨量是L=l(s頂+abs(v±vr)/vy*s正)*x/v，l是單位面積單位時間降雨量，abs是絕對值，v是人的速度，vr是雨相對於地面的速度的水平分量，vy是雨的豎直速度，x是移動距離。
所以可見，除了在vr附近有突變，這是一個隨著v增大而減小，當v趨近於無窮，L趨近於常數的函數……
所以說，奔跑吧，少年……

不一樣。有很多變數會影響結果，包括移動速度、風速、雨量、身體角度等[1]。

[1] Bocci, Franco. "Whether or not to run in the rain." European Journal of Physics33.5 (2012): 1321.

額，跑得越快的不是越早回家越少淋雨么╮(￣▽￣"")╭
跑起來會撞到水平的雨上，粗略推測接受雨滴的頻率是會變高的，但相對而言受雨時間大大減少，總受雨量是減少的。

這個實驗國外有人做過，我記得結論貌似是跑動的人比較多一點。題主可以去優酷找一下視頻。
就個人來看，跑動的話左右振幅應該比步行要大一些，按正弦考慮的話這個總的量是大於步行的。當然沒有經過嚴格推導，有興趣可以試試。

之前腦子一抽答了個奇怪的答案，發布之後馬上就刪了（希望沒人發現）
我來一個直觀的。（結論是越快越好）

雨不動人往上動，人是長方形，頭寬為d，身高為h。在大雨中掃過的面積如圖所示是個平行四邊形。平行四邊形高度就是距離，寬度就是很直觀的h+d*tan(a).其中tan(a)很直觀的就是雨速除人速。寬度越寬淋雨越多，所以角a越大淋雨越多，所以人速越慢淋雨越多，就醬。（只考慮了雨垂直落下）但是簡單易懂，適合題主！
——————————————這麼割？————————————————————————
然後看了一下其他回答發現也有畫平行四邊形的，但是都是按照單位時間算的，我覺得還是距離一定（我這個）比較科學！

不是一樣多的！！！

這個問題我很久以前就考慮過。

時間：我想大約是夏天。

地點：教學樓。

人物：單身屌絲。

環境：傾盆大雨，無風。

具體是這樣的：

單身屌絲孤零零的站在教學樓門口，望著門外的瓢潑大雨和一對對持傘走過的男女，陷入深深的沉思，不對，是陷入深深的仇恨！

單身屌絲為了不想成全他們的優越感，於是撒丫子就跑，耳邊響起了汪峰老濕的：在雨中
看見你的身影突然那麼悲傷那麼瘋狂。。。單身屌絲內流滿面有木有！

教學樓距宿舍太遠，而且要翻過一個山頭，什麼？還要翻山，心中一萬匹脫韁的草泥馬在奔跑。跑到一半，對，就在那個山頭的時候，單身屌絲徹底累成狗了，好吧我們就叫他單身狗吧。

單身狗艱難的走在上山的路上，「咦，沒有風？那麼也就是說雨基本上是垂直落下喔」不知不覺中理科狗附體，於是這個單身理科狗就琢磨著一個問題：假如雨速不變，而且垂直落下，也就是說這些雨在空氣中的分布是均勻的，也就是說在豎直平面內單位面積的雨量是一定的，那麼我要淋的雨不就是（我身體豎直截面上的單位面積雨量）*（我所要走過的距離）么，也就是與時間無關喔，那還跑過蛋啊！

於是出現了這樣一幕，一個單身理科狗，在雨中閑庭信步。一屌絲路過說「還不快跑，SB」,「跑個蛋啊，SB」單身理科狗一臉傲嬌的表情。我去，不對，好像忘了頭頂這個面積，這可是與時間相關的量啊，也就是說，時間越長淋的雨量越多，看看下雨時門外的桶就知道了。此時單身理科狗耳邊突然響起GALA的：向前跑
迎著眼淚和嘲笑。。。再一次淚流滿面有木有，哭暈，由於自己的失算，最終這隻單身理科狗濕身回到宿舍。（終）

————————————————分割線——————————————————

正經的

我覺得應該這樣考慮：建立一個數學模型，假設雨速為Vrain且沿著某一固定方向。人的速度為Vman

對人的運動模型分析：

假設人從A點運動到B點，在空間上從坐標原點A運動到B（X,Y,Z）.

因為Z方向的影響不大，所以A到B的運動模型簡化為平面原點A（0，0）到B（X，Y）。人在雨中跑與不跑表現為速度不一樣，但在固定路程上的最終體現為時間長短不一樣。令從A到B人在X方向跑的時候用時為TXrun ，走的時候用時為TXwalk ，同樣Y方向有TYrun和TYwalk。

對人和雨之間的模型分析：

在沿X方向運動的TX時間內，以人作為參照物則雨速在空間坐標內的分速度分別為：

VXXrain=VXrain+VXman
;

VXYrain= VYrain ;

VXZrain= VZrain ;

同理在Y方向運動是TY時間內有:

VYXrain=VXrain;

VYYrain= VYrain +VYman;

VYZrain= VZrain ;

對於人與雨的接觸面積有：

正面Sf、側面SS、投影SP。

所以在X方向上所淋的雨量為：

QX=TX*(Sf*
VXXrain+ SS*VXYrain+SP*VXZrain)
;

QX=
TX* Sf*VXrain+ TX* Sf*VXman+
TX* SS* VYrain+ TX* SP*VZrain
;

同理在Y方向上所淋雨量為：

QY=TY*( SS*VYXrain+ Sf*
VYYrain+ SP*VYZrain) ;

QY=TY* SS*VXrain+ TY*
Sf* VYrain+TY* Sf*VYman+
TY* SP*VZrain ;

公式推導結束；

回到問題本身，令人在雨中（想到頭條帝了）步行時有:TX=TXwalk，TY=TYwalk，VXman=
VXwalk，VYman= VYwalk

跑的時候有: TX=TXrun，TY=TYrun，VXman=
VXrun，VYman= VYrun

所以在跑和走的時候X方向的雨量差為：

△QX = QXrun- QXwalk ；

△QX =( TXrun- TXwalk)*( Sf*VXrain
+ SS* VYrain + SP*VZrain)+( TXrun*
VXrun- TXwalk* VXwalk) * Sf ；

同理Y方向的雨量差為：

△QY = QYrun- QYwalk ；

△QY =( TYrun - TYwalk)*( SS
*VXrain + Sf* VYrain + SP*VZrain)+
( TYrun* VYrun- TYwalk* VYwalk) * Sf
；

綜上,在雨中跑和走時淋雨量的差值為：

△Q=△QX+△QY ；

△Q= Qrun- Qwalk ；

△Q=( TXrun- TXwalk)*( Sf*VXrain
+ SS* VYrain + SP*VZrain)+( TXrun*
VXrun- TXwalk* VXwalk) * Sf +

( TYrun - TYwalk)*( SS *VXrain
+ Sf* VYrain + SP*VZrain)+ ( TYrun*
VYrun- TYwalk* VYwalk) * Sf ；

因為 TXrun*
VXrun= TXwalk* VXwalk= X

TYrun* VYrun= TYwalk* VYwalk= Y

所以原式化簡為

△Q=( TXrun-
TXwalk)*( Sf*VXrain + SS* VYrain
+ SP*VZrain) +( TYrun - TYwalk)*( SS
*VXrain + Sf* VYrain + SP*VZrain)；

很顯然

TXrun&< TXwalk並且TYrun &

又因為△Q= Qrun-
Qwalk 所以有最終結論Qrun
&

總結：

沒傘的孩子只能奔跑！

PS:剛給我老媽說了這個問題，老媽答：廢話啊，當然跑起來淋雨少啊，傻子都知道。。。

好吧，哭暈~

取個極限唄，速度快到在你跑的過程中雨下落的位移近似為0，也就是時間靜止而你在動。
你淋的雨就是以你經過路線上的懸浮的雨水。
如果速度慢到極限，你站雨里不動。
好了比較吧
————————————
上面的極限是以路程固定為基礎的，因為實際生活中大多數情況下我們出行的目的也都是到達多遠的目的地而非在外面走多長時間。
但評論區有人說到了時間恆定，那我就再假設個模型。
同樣是取極限，變數依然是速度，由於時間恆定，路程和速度線性相關。
當你速度無限小的時候，也就是靜止。
這種情況下，你只受頭頂的降雨，受雨量是降水量乘你頭頂面積。
另一種情況，你速度不為零，這種情況下你頭頂受雨量不變，你身上會撞到雨，速度越快，撞的雨越多。
好了比較吧

如果淋雨時間相同而且沒有風的話的確是一樣的，因為我們可以把雨看作是靜止的然後人在向上移動，站立和跑動的淋雨面積分別是一個平行四邊形和長方形。而等底同高的平行四邊形和長方形的面積是一樣的，所以落在身上的雨點是一樣多的。
當然如果雨不停的話，先跑到沒有雨的地方的人淋到的雨自然就沒有不跑的多了。（因為時間短了高自然也就短了）

數學渣，但我有一個很討巧的簡化方法。

只考慮雨水垂直降落，雨點在空間各處密度均勻分布且與雨速無關，那麼可以把所有的雨點都看作是靜止在空間中，人是穿梭在靜止的雨水叢林里，就像一個推土機。

因此，無論人的速度如何，人前方所迎雨點個數在路程確定時都是常數，就像鏟雪車，無論車速如何鏟的雪量總是固定的。

那麼人的速度的提高，將減少頂部面的淋雨時間。整體上來看，人的速度越快，淋的雨越少。

這個問題早就想過了。有前提條件的。

假設頭頂面積為0的前提下才成立的。

頭頂面積為0，你走過相同的距離，淋到的雨只和你身前的雨滴密度有關係，密度×體積。

實際生活中頭頂面積不為0，走的越久淋到頭頂的雨越多。

事實上，你雨天走過一段距離就知道了。真正下雨時，從上面砸下來的雨，比你身前淋到的要多。所以該理論在現實中一般人是感覺不到的。

其實這題蠻簡單的，就是一個通量的問題。
我們假設人面朝目標以速度 $u$ 1移動，兩點連線設為x軸，目標坐標為(s,0,0)，以此建立坐標系。人的模型是一個長方體，長寬高為(a,b,c)，靜止時雨點從右半平面任意方向打向人，分布均勻，其速度為 $u$ 2。
那麼現在就可以做數學題了，先考慮人面朝目標那面，設其法向量為 $eta$
雨點相對人的速度是 $u$ 2- $u$ 1
那麼通量 $Phi$ 為 $A( u 2- u 1)eta$ ，注意此處除A外全為向量。
顯然 $A u 2eta$ 是靜止時的通量，與人的速度是無關的，那麼移動時由於之前假設的各個方向的關係， $A u 2eta$ 與 $A u 1eta$ 異號，通量增大，也就是說此時在單位時間內打到你身上的雨點是增多的。

然後考慮速度的關係，在 $u 1$ ， $u 2$ 不變的情況下，時間為 $s/ u 1$
$Phi cdot t$ 為 $A( u 2- u 1)eta cdot s/ u 1$
可以看出隨著 $u 1$ 的增大， $Phi cdot t$ 減小。

頭部面積與側面面積的話 $u 1$ 產生的通量為零，所以速度越快，最後 $Phi cdot t$ 越小。

綜上，如果你在下雨天死命跑的話，你在單位時間內會感受到比慢慢走路時更迅猛的雨勢，但是因為你到達目的地的時間變短了，所以最後綜合下來打在你身上的雨滴就減少了，不過不管怎樣你渾身上下都是濕透的，所以還是不要思考這個問題儘早去避雨比較好。

反對最高票答案（已經不是那個最高票答案了！）
先說結論：跑動淋雨肯定更多
根據 @蕭啟楊簡化模型答案來看，只考慮了頭部面積，沒有考慮身體的面積。
在豎直方向移動當中，大部分雨點會打在頭肩部位。
在斜向移動當中，迎魚那一面的頭部和身體表面都會受到雨點攻擊，所以其實受雨面積是增大的。

沒有在大雨天衝刺過的童鞋是很難理解為毛身體正面從頭到腳全部都會濕透的原理的。
—————————割—————————
更新：
加上時間因素的話，總的淋雨量是跑動的少呢！大家都說的很對！
話說如果題主的問題細分為：「下雨的時候，跑與不跑身上的衣服被雨滴打濕的面積一樣嗎？」，這個答案應該就是「跑動越快濕身越快」吧……

極難計算，跑起來之後來不及看路噗一腳踩進水坑裡d(?д??)

提供另一種思路, 從流體力學的角度解答。