泊松括弧（Poisson bracket）是怎麼量子化到李括弧（Lie bracket）的？

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兩者是怎麼相對應起來的？

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泊松括弧（Poisson bracket）是怎麼量子化到對易子（commutator）的？ - 物理學

我來當一下狄拉克的搬運工吧，試圖給一個邏輯上更清晰的答案。
下面答案里採用的是狄拉克在其《量子力學原理》中的表述，他的量子化的泊松括弧和題中李括弧形式上差了一點 $ihbar$ 的差異，然後泊松括弧和量子化的泊松括弧都是用中括弧了。
首先我們考慮經典力學的泊松括弧，定義不再重複了。它有很重要的性質：
$left[ u_1u_2,v ight] =left[ u_1,v ight]u_2 +u_1left[ u_2,v ight]$
$left[ u,v_1v_2 ight]=left[ u,v_1 ight] v_2+v_1left[ u,v_2 ight]$
接下來我們希望引入量子化的泊松括弧，它也滿足泊松括弧的性質，保有以上兩條性質，然後考慮這樣的一個表達式:
$left[ u_1u_2,v_1v_2 ight]$
注意到現在我們有兩種展開的方式，一個是先把 $u$ 拿到括弧外，一個是先把 $v$ 拿到括弧外，具體展開過程不寫了，直接給出兩種展開的結果：
$left[ u_1,v_1 ight] v_2u_2+v_1left[ u_1,v_2 ight]u_2 +u_1left[ u_2,v_1 ight]v_2 +u_1v_1left[ u_2,v_2 ight]$ $left[ u_1,v_1 ight] u_2v_2+u_1left[ u_2,v_1 ight]v_2 +v_1left[ u_1,v_2 ight]u_2 +v_1u_1left[ u_2,v_2 ight]$
顯然我們要求以上兩個表達式是是相等的，於是得到：
$left[ u_1,v_1 ight] (u_2v_2-v_2u_2)=(u_1v_1-v_1u_1)left[ u_2,v_2 ight]$
注意到 $u_1,v_1$ 和 $u_2,v_2$ 是互相獨立的，這就要求：
$u_1v_1-v_1u_1=ihbarleft[ u_1,v_1 ight]$ 和 $u_2v_2-v_2u_2=ihbarleft[ u_2,v_2 ight]$
其中 $hbar$ 顯然要求獨立於 $u_1,v_1,u_2,v_2$ 並且和 $(u_1v_1-v_1u_1)$ 對易，
從而 $hbar$ 必須是一個數，另一方面我們希望兩個實的可觀測量的量子化泊松括弧給出的是一個實數，而 $u_1$ 及其它可觀測量在量子力學裡是厄米算符，因此需要添上一個 $i$ 同時要求 $hbar$ 為實數。
現在我們回想泊松括弧里可以導出 $left[ q_r,q_s ight]=0, left[ p_r,p_s ight] =0,left[ q_r,p_s ight] =delta _{rs}$
相應的我們就可以得到基本量子條件： $q_rq_s-q_sq_r=0,p_rp_s-p_sp_r=0,q_rp_s-p_sq_r=ihbardelta _{rs}$
經典力學裡給出如果確定了系統的動量和位置就確定了其狀態，而現在我們完全出於數學上的需要得到了量子力學裡位置和動量的不對易關係，量子化的泊松括弧完全是一個代數概念，不依賴於正則坐標，從而比泊松括弧更為基本，並且我們很容易就可以看出當 $hbar$ 趨向於0的時候，經典力學就是量子力學的近似。
接下來做一點簡單的運算就可以發現 $-ihbarfrac{d}{dq}$ 和 $p$ 一樣，它們和 $q$ 滿足相同的對易關係，從而我們得到薛定諤表象。這裡注意一下量子條件也可以通過引入位移算符的方式得到，過程從略。
下面考察運動方程，令 $|Pt angle$ = $T$ $|Pt_0 angle$ 表示態 $|Pt angle$ 隨時間演化，其中T是unitary的（幺正的？）出於物理上連續性的需要，我們要求 $t ightarrow t_0$ 時 $frac{|Pt angle-|Pt_0 angle}{t-t_0}$ 存在，於是我們得到運動方程的薛定諤形式：
$ihbarfrac{d|Pt angle}{d t}=H(t)|Pt angle$
並假設其中的方程里H代表能量。假設有兩個佐證，一個是接下來看到的它和經典力學的相似，另一個則是相對論里能量和時間關係和動量和位置的關係（即上文位移算符的方式）是相同的。當然啦，最後實驗還是最佳的佐證了。
寫到這裡差不多就寫完了，我們把運動方程用unitary transformation（幺正變換？）改一下形式就得到了運動方程的海森堡形式： $frac{mathrm{d}v_t}{mathrm{d}t}=[v_t,H_t]$ 。
注意到前文里提到形式上略微的差異，我們就可以看到如何從純粹理論的和數學上的需要，得到最後的結果。感覺這個過程中間的邏輯還是相當清晰的吧。

泊松括弧（Poisson bracket 、PB），記為 ${cdot, cdot }$ ，滿足雅科比等式，顯然它就是一種李括弧（Lie bracket）。不過，泊松括弧還滿足萊布尼茨法則，因此，配備了泊松括弧的代數，比普通李代數有「更多」的代數結構。

正則量子化
至於正則量子化, ，根據 Dirac 的方法（Dirac 1925、1947，Von Neumann 1955），是將泊松括弧 ${cdot, cdot }$ 與對易子 $frac{1}{ihbar}[ cdot, cdot ]$ 聯繫起來：
0. $mbox{ LARGE $ ig[ widehat f, widehat g ig] = ihbar widehat{{f, g}} $ }$
其中， $widehat {cdot}: f mapsto widehat f$ 將相空間中的實值函數 $f(q^i, p_j)$ 映射成希爾伯特空間中的實算符 $widehat f$ 。一般來說，還進一步要求：

$widehat cdot$ 是線性的，即 $widehat{lambda f + mu g} = lambda widehat f + mu widehat g$ , $(lambda, mu in mathbb R)$ ；
$widehat{mathrm{Id}} = I$ ;
$hat p, hat q$ 作用在波函數上，給出正確的結果： $hat q^i psi(q) = q^i psi(q), ; hat p_i psi(q) = -ipartial_{q^i} psi(q)$ ；
（馮諾伊曼條件） $widehat{fcirc g} = f(widehat{g})$ ;

馮諾伊曼條件右手邊的函數 $f$ 應當理解為恰當的希爾伯特空間中實算符的函數。

顯然，當滿足條件［0 - 2］時，量子化 $widehat cdot$ 實現了泊松代數的一個幺正表示。譬如，考慮泊松子代數 $frak h = mathrm{span}ig{q^i, p_i| {q^i, p_j} = delta^i_j, {q^i, q^j} = {p_i, p_j} = 0, i=1,2,cdots n ig}$ 。

但是建立這個對映關係 $widehat cdot$ 並非永遠可行。考慮下面的反例（Groenewold 1946），
${q,p}=1$ , $[q,p]=i hbar$ ,但，
$ig{x^3, p^3ig} + frac{1}{12}ig{{p^2, x^3}, {x^2, p^3}ig} = 0$
$frac{1}{ihbar}ig[hat x^3, hat p^3ig] + frac{1}{12ihbar}ig[frac{1}{ihbar}[hat p^2, hat x^3], frac{1}{ihbar}[hat x^2, hat p^3]ig] = -3hbar^2$
顯然結果不同。

這個對映實際上只適用於 $frak h$ ，而非其泛包絡代數 $U(frak h)$ 。而一般算符屬於泛包絡代數。

有兩個解決方案：
1 放棄條件4，馮諾伊曼條件，然後尋找儘可能大的量子化算符集，— 幾何量子化。
2 放鬆條件0，等式右側對 $hbar$ 求模，即允許 $hbar$ 高階項存在— 形變數子化。

通過定義Lie代數同構。

(不過這個同構並不存在)

很多書上都會講，泊松括弧與李括弧有巧妙的相似性，由李括弧量子力學方程 $ihbardot{A}=[H,A]=HA-AH$ 很像經典力學的泊松括弧與哈密頓方程 $dot{A}={H,A}=frac{partial H}{partial q}frac{partial A}{partial p}-frac{partial A}{partial q}frac{partial H}{partial p}$ . 很多書都僅限於這樣的類比，包括微分幾何中提到可以類比於李代數與李微分的關係。李代數與李微分的關係確實是數學上的根本原因，其它兩個答案中都有提到，因此不再重複。
但是物理上還是有較直接的理解的，從某種意義上說可以回答為什麼這樣量子化。關鍵在於波函數概念與普朗克常數 $hbar$ 如何引進。
我們首先從經典力學出發，由哈密頓力學可以推導出經典物理大家公認的哈密頓方程 $dot{A}={H,A}=frac{partial H}{partial q}frac{partial A}{partial p}-frac{partial A}{partial q}frac{partial H}{partial p}$ ，其中 $p,q$ 代表動量和坐標。在這個level上，粒子的運動狀態就由 $p,q$ 確定。
現在我們從德布羅意的波粒二象性假設出發考慮量子化（實驗基礎），認為每個自由粒子都對應物質波，波函數的形式是 $e^{ipq/hbar}$ .而由於波與粒子的等價性，我們必須假設粒子的物理量也可以由波函數推出，這就是量子化的過程。這樣的假設要求動量具有算符形式 $p=-ihbarpartial_q$ ，代價是 $p,q$ 的李括弧不再對易， $[q,p]=ihbarpartial_qq=ihbar$ ，即大家最熟知的不確定性關係。坐標與動量的不確定性關係式是證明量子化後的李括弧與泊松括弧等價的重要等式，而且注意這個不確定關係式並不是從泊松括弧 ${q,p}=1$ 推出的，而是基於量子化假設。
接下來我們就可以量子化哈密頓力學中的其他物理量了。其實很簡單，力學系統中的物理量是坐標和動量的函數， $A=A(q,p)$ ，只需要把 $q,p$ 換成算符就可以求出量子化算符 $A$ 了。如果我們想計算兩個算符 $A,B$ 的對易李括弧，直接計算即可。作為熱身，很容易推出下面的簡單等式：
$[p,V(q)]=-ihbarpartial_qV(q)$ ，
推導只需要將 $V(q)$ 級數展開就行了。稍微進步一點，可以由級數展開證明：
$[F(p),V(q)]=[sum_n f_np^n,sum_m v_mq^m]=-ihbarsum_{n,m} mnf_np^{n-1} v_mq^{m-1}=-ihbarfrac{partial V}{partial q}frac{partial F}{partial p}$ ,
已經很接近了。現在如果 $A,B$ 都是 $q,p$ 的函數，同樣由級數展開就可以證明
$[A(q,p),B(q,p)]=ihbarleft(frac{partial A}{partial q}frac{partial B}{partial p}-frac{partial B}{partial q}frac{partial A}{partial p} ight)=ihbar{A,B}$ ,
這就證明了兩種括弧的等價性。所以量子力學的動力學（海森堡方程）就可以由哈密頓力學加上量子化假設導出了，
$dot{A}={H,A}=frac{1}{ihbar}[H,A]$ ，
量子化將對粒子的描述變成了對波的描述，泊松括弧變成了李括弧。事實上，波函數可以看成李代數所處的線性空間，因此也不難理解在波函數的描述下出現了李括弧。

當然我們這裡將波粒二象性作為了前提。事實上，完全可以將泊松括弧與李括弧的等價性作為量子力學的前提，只是失去了實驗依據的直觀性。

兩者的對應就是形式上的相似。

我也想了很久，為什麼會有「正則量子化」（就是樓主所說的量子化方式）這種形式看起來很巧妙但是邏輯說不通的東西存在。後來我接受了一個想法，使得我放棄了在這方面繼續深入下去。

我認為，「量子化」並不是一個修改理論框架的過程，只是借用已有的理論框架去描述新的現象。

從經典物理學到量子物理學，物理現象相差太多了。而且人們很早就意識到，我們需要一個全新的理解方式，我們需要捨棄經典物理學中建立的諸多概念。但我們仍舊設法在新的現象中歸納出和舊的理論相一致的地方。比如力學量算符，「算符化」是個什麼東西？我認為只是借用經典物理學的力學量的概念並加以改造，使之適用於描述量子現象。

同樣的，正則量子化，則只是借用經典力學中力學量的關係（運動方程等）加以改造，使之適用於描述量子體系。類似的還有「路徑積分量子化」等等，都是在對已有概念適當改造的基礎上，建立描述量子體系的理論。

我們的黎曼幾何裡面，poisson括弧就是Lie括弧，即滿足[X,Y](f)=X(Y)(f)-Y(X)(f)。
至於Lie代數，我們黎曼幾何裡面是定義為一個向量空間，如果存在一個滿足「雙線性性」+「[X,Y]=-[Y,X]」+「Jaccobi恆等式」的運算，便是一個Lie代數。Lie括弧或者說Poisson括弧顯然滿足Lie代數的運算，所以，如果還有這樣一個向量空間存在這個運算的話，那麼這個向量空間自然是Lie代數。

呃。。難道poisson bracket 不是 quantized 到一個 star product?

萬萬沒想到這是個物理問題我還天真的以為在數學裡是顯然的