廣義相對論中能量為什麼不守恆？

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看到這個問題我很有感觸，想起了很多年前還沒學物理的我。那時的我正捧著《時間簡史》讀到寫著「宇宙的總能量其實是0，宇宙的物質都是向真空透支的能量」的那一頁，我興奮地不能入睡。

準確地說，由廣義相對論和量子場論描述的宇宙中總物質能量是不守恆的。原因用一句話說就是宇宙的時空沒有時間平移對稱性，一直在膨脹。諾特定理告訴我們，能量守恆是時間平移對稱性的結果。

廣義相對論中有一個能量動量守恆方程： $abla_mu T^{mu u}=0$ ，但是這個守恆律和我們通常理解的能量守恆不同：在彎曲的時空中，如果時空的對稱性很低，我們並不能從這個式子構造出一個等時面上的積分守恆量。例如，假設度規是對角化的，那麼此式對空間的積分為：
$int d^3xsqrt{g_{11}g_{22}g_{33}}cdotfrac{1}{sqrt{g}}partial_mu(sqrt{g}T^{mu u})=int d^3xfrac{1}{sqrt{g_{00}}}partial_mu(sqrt{g}T^{mu u})$ ，
如果 $g_{00}$ 依賴於時間和空間，總能量 $int d^3xsqrt{frac{g}{{g_{00}}}}T^{00}$ 並不是一個守恆量，我們也構造不出其它的守恆量。所以廣義相對論是允許物質的總能量不守恆的。

我們的宇宙在膨脹的事實決定了我們的時空沒有時間平移對稱性，所以能量可以從時空的真空中產生出來，這就是早期宇宙的暴漲理論。暴漲理論是廣義相對論和量子場論在經典圖像下統一的結果，有著今天仍無法完全理解的深刻意義。

我在這裡講一個最淺顯的關於真空中物質憑空產生的理解。假設一個粒子的波函數在 $t=0$ 時刻是 $psi(t)=e^{-iomega t}$ 。如果沒有時間平移對稱性，在之後的某個時刻 $t=T$ ，波函數會變成 $psi(t)=ue^{-iomega$ ，這個過程類似於一個時間方向的散射問題。在二次量子化的假設下，由於能量恆正的假設，負頻率的振幅被賦予粒子的湮滅算符，正頻率的振幅則作為粒子的產生算符。如果在 $t=0$ 時刻時空處在所有粒子都湮滅的真空態，那麼在 $t=T$ 時刻時空就成為了粒子湮滅和產生的疊加態，也就是成為了有物質存在的時空。

這就是我們宇宙的第一生產力。
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鑒於大家還很關心這個問題，我以淺薄的認識作一點補充（感謝 @王力樂的評論）。在均勻各向同性的假設下，我們的宇宙由Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker度規描寫：
$ds^2=-dt^2+a(t)^2Big(frac{dr^2}{1-Kr^2}+r^2dOmega^2Big)$ ，
其中 $a(t)$ 大致可以看成宇宙的大小。
假設宇宙的物質分布是均勻各項同性的理想流體，那麼能量動量張量由下式給出：
$T_{mu u}=( ho+p)(-g_{00})delta_{mu0}delta_{ u0}+pg_{mu u}$ ，
其中 $ho$ 是能量密度， $p$ 是壓強。代入愛因斯坦場方程 $T_{mu u}=frac{1}{8pi G}(R_{mu u}-frac{1}{2}Rg_{mu u})$ 就得到了宇宙的演化方程：
$dot{ ho}=-3frac{dot{a}}{a}( ho+p) ,qquad frac{ddot{a}}{a}=-4pi G( ho+3p) .$
解這個方程就可以知道宇宙膨脹的速率和能量產生的速率了。但是為了解這個方程，我們還需要知道物質的物態方程 $ho= ho(p)$ 。這個物態方程原則上是由量子場論和熱力學決定的，而且對於能量產生的速率有很大的影響。宇宙中的物質大致可以分為以下幾類：
1）真空。物理學中常常把沒有粒子的量子態叫做真空，而事實上真空也是一種物質，可以有非零的能量動量張量。舉一個最簡單的例子，一個充滿勻強電場的空間也是一個真空態，但有非零的能量動量張量。一個均勻各向同性的真空具有洛倫茲協變性，所以能動量張量 $T_{mu u}propto g_{mu u}$ 。根據之前的 $T_{mu u}$ 表達式，可知真空的物態方程為 $ho=-p$ 。
宇宙暴漲時期物質的主要形態就是 $ho>0$ 的真空。我們現在所說的暗能量也就是一種真空。把這個物態方程代入演化方程，我們得到：
$dot{ ho}=0 ,qquad a(t)=a_0e^{sqrt{8pi G ho}t}$ .
所以在暴漲時期，宇宙能量密度不變，而宇宙的大小指數式增長。這是能量產生最快的時期，幾乎產生了宇宙中所有的物質能量。
2) 相對論性物質。光子或者高溫自由粒子氣體都屬於這一類，它們的物態方程是 $p=frac{1}{3} ho$ 。宇宙暴漲時期結束後，真空能量會通過量子過程轉化為高溫的相對論性粒子（通過上文提到的量子力學時間方向的散射過程），這個階段稱為reheating。這時演化方程的解為（ $K=0$ 的情形）
$ho(t)propto a(t)^{-4} ,qquad a(t)proptosqrt{t} .$
這時宇宙總能量 $sim ho a^3propto 1/sqrt{t}$ 是在減少的。
3) 非相對論物質。具有靜止質量的粒子在低溫下都是非相對論物質，它們的物態方程近似為 $p=0$ ，因為 $hogg p$ 。這時物態方程的解是
$ho(t)propto a(t)^{-3} ,qquad a(t)propto t^{2/3} .$
可以看到，在 $p=0$ 的非相對論近似下，宇宙物質的總能量 $ho a^3$ 才是守恆的。
以上的敘述基本上還是經典物理描述下的物質產生。另外，宇宙中時刻還有著量子的粒子產生過程（上文的時間散射過程，黑洞霍金輻射就屬於此類），但除了reheating時期，量子的粒子產生效應很小，幾乎可以忽略不計了。

沒有時間平移對稱性了，當然總能量不守恆了。
不需要那麼多複雜的公式。

關於廣義相對論中的能量，是一個很subtle的問題，我補充一下孤立體系下的能量問題.
漸進平直時空下的能量：
所謂孤立體系，就是一個孤立的引力源，雖然在其周圍的時空可能很彎曲，但在無窮遠處一定是漸近平直時空。所以在無窮遠處有如下條件 $g_{mu u}=eta _{mu u}+h_{mu u}$ $h_{mu u} ll 1$ .
這是廣義相對論中的線性近似理論，即度規接近於閔氏度規的情況下，通常非線性的場方程可以近似成線性的方程。並且可以具有類似波動方程的形式。
線性近似下的場方程可以寫為如下形式：
$H^{mualpha ueta},_{alpha eta}=16pi T^{mu u}$
其中 $H^{mualpha ueta}=-(ar{h} ^{mu u}eta ^{alphaeta}+ar{h}^{alphaeta}eta ^{mu u}-ar{h}^{alpha u}eta ^{etamu}-ar{h}^{mueta}eta ^{alpha u})$
$ar{h} ^{mu u}$ 是線性近似理論常用的一種度規的形式，表示為 $ar{h} ^{mu u}=h^{mu u}-frac{1}{2}heta ^{mu u}$ .
如果體系是漸進平直時空，那麼無論內部表現成什麼情況，無窮遠處始終可以用線性近似的形式來進行求解。
藉由此可以定義漸進平直時空的能量
$P^{0}=int_{Sigma }T^{00}dx^{3}$
並且可以根據Gauss定理和線性近似下的場方程表示為
$P^{0}=frac{1}{16pi } int_{Sigma }H^{0i0j},_{i}dSigma _{j}$ .
把上面關於 $H^{mualpha ueta}$ 的定義代入，化簡可以定義漸進平直時空的ADM能量。可見ADM能量的定義只需要時空滿足漸進平直性，而不需要存在一個timelike Killing 矢量場。
引力場能：
在無窮遠處，我們總可以定義如下形式的能動張量
$H^{mualpha ueta},_{alpha eta}-2G^{mu u}=16pi t^{mu u}$
通常形式的愛因斯坦場方程是 $G^{mu u}=8pi T^{mu u}$ 代入得到
$H^{mualpha ueta},_{alpha eta}=16pi (T^{mu u}+t^{mu u})$
在右側除了愛因斯坦場方程所包括的能動量張量之外，還包括一項，這一項被稱為引力場能。也就是說在考慮無窮遠處線性近似的時候，我們將能動量張量這一項不僅包括了通常的，也包括了一項引力場能。
其實到此為止只是形式上的變化而已，因為無論是 $H^{mualpha ueta}$ 還是 $t^{mu u}$ 都是坐標系依賴的（取度規在不同坐標系下的分量，在無窮遠處度規h的分量就不同，算出的這兩個量也都不同，這樣的坐標依賴的量稱之為贗張量）。不過有幾點值得特別注意。
1 左側的 $H^{mualpha ueta}$ 具有散度自動為零的特點，通過 $H^{mualpha ueta}$ 的定義式，我們不難看出它具有和黎曼曲率張量一樣的對稱反稱性質，（前兩指標反稱，後兩指標反稱，循環恆等式等），所以再對指標進行求導的時候對稱反稱縮並等於0），散度自動為0這一特點導致了在無窮遠處能量守恆。
2 這裡一個很大的變化就是在無窮遠處，能量守恆的式子由協變導數變成了普通導數，所以 $(T^{mu u}+t^{mu u}),_{ u}=0$ 更容易理解為通常的連續性方程，也就是說在無窮遠處包括了引力場能量的貢獻之後，能量會守恆。
3 上述能量守恆的式子和 $abla_{mu}T^{mu u}=0$ 並無不同，因為如果將其展開
$partial_{mu}T^{mu u}+Gamma ^{mu}_{mu ho }T^{ ho u}+Gamma ^{ u}_{mu ho }T^{ homu}=0$ , 將克式符這一項寫成全微分的形式，就可以得到上面引力場能的表達式。這種尋找引力場能的表述的過程叫能量表述。比較有名的是朗道栗弗席茲表述，愛因斯坦表述等。
4 這種表述雖然是贗張量，也經受不少批判，不過恰當使用也是有用武之地的！
引力場能的不可定域性：
引力場能的不可定域性是很奇怪的性質，就此性質很多人認為可以捨棄引力場能的概念，但也有一部分人因為其具有的某些應用而繼續尋找准局域能量的工作。這些我了解不多，暫且不表。
通過上面的描述，引力場能和克氏符有著密切的關係，根據等效原理，我們總可以取局域洛侖茲坐標系（黎曼法坐標）將克式符取成0。所以每一點，在承認等效原理的前提下，引力場能並不能表示出來。這也就是說只能談整個時空下的總的引力場能而不能談它在某一點的密度。
這種ugly的東西，確實讓人感覺比較蛋疼，不像是最後的理論，還需要在去探索。
注意：這一點非常重要，上述的所有討論都是在漸進平直時空下進行的，如果時空沒有漸進平直性，構造的任何東西都是沒有物理意義的。

綜上：關於能量守恆的問題，可以放棄它，認為能量不守恆，但是如果堅持能量守恆說不定可以看到一些新東西啦。雖然形式上有不盡如任意的地方，不過也不失為一種探索的方式。

因為拉式量顯含時...經典力學第一課就會講的吧，拉式量不顯含時會有能量守恆，反過來說拉式量顯含時就沒有能量守恆。

為什麼拉式量會顯含時，用宇宙學的角度來講是最簡單的。

拉式量＝拉格朗日密度對空間積分：

$L = int d^3x, mathcal{L}$

但是宇宙在膨脹，我們選取的參考系是隨著宇宙一起膨脹的，所以真實的拉式量是

$L = int d^3x, a^3(t) mathcal{L}$

$a$ 是scale factor，意思是：假設在t時刻，參考繫上兩點的距離是d，真實距離就是 $a(t)d$ 。

對這個問題感興趣的童鞋可以進一步wiki一下ADM energy

有請梁燦彬教授來回答吧！
梁燦彬《微分幾何入門與廣義相對論》中冊第十二章第六節12.6有對這個問題的闡述和解答，這裡面的內容我也理解的不清晰，所以題主還有問題的話請參考原書。
數學表述很嚴謹但沒有上冊的知識根本看不懂，不想看的話直接跳到12.6.3小節的文字部分。

廣義相對論場方程是(沒考慮宇宙學常數項)：
$R_{mu u} - frac{1}{2} g_{mu u}R= frac{8pi G}{c^{4}}T_{mu u}$
左邊是曲率部分，右邊是能量動量張量。能量動量張量的協變散度為零：
$abla_{mu}T^{mu u} = 0$
這表示能量守恆。
方程左邊的協變散度也為零，這個由第二類Bianchi恆等式保證:

對上面這個恆等式做張量指標的縮並可以得到:
$abla_{mu}Big(R^{mu u} -frac{1}{2}g^{mu u}R Big) = 0$
所以廣義相對論裡面能量是守恆的。

質量，能量守恆的前提是所處的時空是均一的，比如今天一千克的物質，明天還是一千克，拿樓上還是一千克。但這是在一個很小的範圍內的近似，如果放置在宇宙的時空量級，因為宇宙的膨脹，以及廣義相對論中提出的關於物質引發的時空扭曲，時空在這個量級下是不均一的。
但是日常中很難體會，就像你可以從二樓潑水澆一樓的人，而不用考慮科里奧利力會讓你潑偏一樣。

在大眾論壇不能通俗地闡述道理真是太過分了。

這類問題似乎不太適合知乎這種普遍沒看過廣義相對論的地方進行討論。