一個人要長到多高才可以讓全世界的人們都可以看到他？

11-28

不瞎的人。

不邀自來。【長回答，多圖預警】

這明明是一個很嚴謹的數學問題好么！開腦洞時，也要注意條理呀~

既然大家都管這個巨人叫鐵柱哥，那就叫鐵柱哥吧。

鐵柱哥是個有理想、有情懷的人，他畢生最大的夢想，就是自己能被世界上所有眼睛沒瞎的人用肉眼看到，為了這個理想，他願意做任何事情。

情況 1：鐵柱哥直挺挺地站在地球上。

顯然，鐵柱哥無論多高，總是有半個地球的人是看不到他的。
（借用 @魏知的圖）

情況 2：鐵柱哥不直挺挺地站在地球上。

為了簡化問題，假設地球是個嚴格的球體，R=6371 km。
以太陽係為參照系。

首先呢，地球可是會自轉的。只要鐵柱哥足夠有耐心——

情況 2.1：鐵柱哥要在 1 年內被所有人看到

看，天邊那輪圓圓的太陽！你知道嗎？世界上所有的東西，在一年內，都會被它的光芒普照！

所以，鐵柱哥只要是一個太陽上的一個質點，就可以被所有人看到哦。很容易嘛~

可鐵柱哥不滿意了，他想，這也太沒出息了，我要在讓地球上的所有人儘快看到我——

情況 2.2：鐵柱哥要在 1 天內被所有人看到

看起來似乎沒什麼差別，但你要知道，有兩個點是很棘手的，一個是北極點，一個是南極點。在這兩個點上的人，它們的天空，可是隔了1個地球那麼遠的！

所以，鐵柱哥至少要有地球直徑那麼大，才能同時讓北極人和南極人同時看到。

事實上，這麼高的鐵柱哥，直挺挺地像棍子一樣站著，就可以了：

鐵柱哥微微地點了點頭，想，這才是我鐵柱哥的風範嘛！可是——

於是，鐵柱哥提出了終極目標——

情況 2.3：鐵柱哥要在同一時刻被所有人看到

顯然，現在的鐵柱哥，不可能再直挺挺地站著了，因為如果這樣，無論他多高，地球背面的人一定是看不到他的。

怎麼辦？

看起來，把自己的身子繞地球一圈就可以了（ @劉正茂），可惜，這是不正確的。

若鐵柱把身子繞著赤道轉了一圈，北極點的人依然看不到他；
若鐵柱把身子繞著本初子午線轉了一圈，下面這個地方的人依然看不到他：

*******************鐵柱哥的心理活動*******************

「如果地球是二維的，那該多好啊！」鐵柱心想。

該問題的二維簡化問題的答案是 $(2+pi )R$
如下圖所示，上邊部分緊貼圓，長度為 $pi R$ ，下半部分為兩條平行的圓的切線，長度為 $2R$ 。

*******************鐵柱哥回到了現實*******************

那，該怎麼辦？

偉大的鐵柱又怎麼會被難倒呢！

「我是三維的，又怎能屈服於二維平面！」

在追求完美的鐵柱哥的腦海里，迅速地閃現了幾個名詞：
正四面體……立方體……正八面體……正十二面體……正二十面體……

最後，他把目光停在了正八面體上。

球外切正八面體！就是這樣！

於是，鐵柱把自己蜷縮成了這副模樣——

（地球內切於正八面體ABCDEF，鐵柱的長為5倍的正八面體變長）

在這個結果下，鐵柱的長度是：
$L=5sqrt{6}Rapprox 12.25Rapprox 78028 km$

（P.S. 正四面體需要 $6sqrt{6}R$ ，立方體需要 $14R$ ，均大於此值）

這是什麼樣的一個長度呢？——5個鐵柱，可以從地球連到月亮。

鐵柱哥咬咬牙，長到了月地距離的1/5，終於實現了讓世界上所有人同時看到的夙願。

真是完美的結局。

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可是，這，鐵柱真的必須長到那麼高嗎？

鄙人智商有限，只能想到 $5sqrt{6}R$ 的方案。

可是，這麼經典的一個問題，大牛們怎麼可能沒有研究過呢！

經查詢，該問題在 2003 年已被俄羅斯數學家 V. A. Zalgaller 解決。
（感謝 @rainbow zyop 提供的資料）

如下圖所示：

滿足條件的最小曲線是 $P_{1} P_{2} P_{3}P_{4} P_{5}$ ，其中 $P_{1} P_{2} P_{3}$ 已在圖中給出， $P_{3} P_{4} P_{5}$ 是 $P_{1} P_{2} P_{3}$ 關於線段 $P_{3} OQ$ 的中心對稱曲線。

（具體的參數詳見原論文，下附）

曲線 $P_{1} P_{2} P_{3}P_{4} P_{5}$ 的總長度為

$Lapprox 9.576778Rapprox 61013km$

這個距離大約是月地距離的1/6。

特別地，

如果要求鐵柱的腳站在地球上，則 $Lapprox 10.605428R$
如果要求鐵柱的頭和腳都在地球上，則 $Lapprox 11.477734R$

鐵柱哥心中的疑問，終於得到了徹徹底底的解決。

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參考文獻：

Shortest inspection curves for a sphere. A. Zalgaller .Zap. Nauchn. Sem. POMI, 2003, Vol. 299: 87–108（原論文：俄語版）
SHORTEST INSPECTION CURVES FOR THE SPHERE,V. A. Zalgaller, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 131, No. 1, 2005 : 5307-5320 （翻譯：英語版）

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相關問題：
若一球體的任意切面均與空間某「繩」相交，該「繩」的最短長度是多少？ - 匿名用戶的回答

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————附：有條理地開腦洞系列————

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可以噠！已經更新了！你們要的答案！

但是你必須躺著，否則地球對面的人看不到你(/ω＼)於是這變成了一個解析幾何問題。

大半夜的就不找燈和草稿紙了，先佔坑明天有空算算貼答案。

------------------update12.7中午------------------

我回來了，帶著你們要的答案！

首先，我們需要進行一系列的假設，以使得問題簡化：

假設地球是光滑的橢球體，至於半徑不同來源的數據有點出入，姑且使用其中一組數據，即極徑6356755.00m，赤徑6378136.49m；假設所有地球人都是火眼金睛，即如果沒有遮擋可以看到無限遠處的物體；假設所有地球人眼睛到地面的距離都是1.50m（也可以是其他數值，譬如取嬰兒的身高，後面思路是一樣的）；假設光線傳播完全是直線，沒有受到大氣層的影響（大氣層的折射率是在變的啊親否則怎麼算）；假設我們的鐵柱哥是一根筆直的棍棍（如果有侵權或者重名抱歉哈這個名字實在太貼切了）；假設鐵柱哥必須在地球的某一固定點上，不能開飛機去挨個探望他的70億兄弟姐妹，並且除了鐵柱哥以外全世界的人都不會移動。

好的下面我們把問題先簡化為二維的，即取鐵柱哥所在的截面建立模型，草圖如下（為了表達清楚已經進行了大幅度的誇張，實際比例尺不是這樣的啊啊啊）：

此處取到了最極端情況，就是高冷的鐵柱哥躺在南極（為什麼是高冷的？因為他真的又高又冷啊……），而我們可愛的P君在北極，如果這樣的鐵柱哥都能夠被P君看到，換在其他位置也可以了。

下面以地球中心為坐標系原點，赤徑方向為x軸，極徑方向為y軸，建立平面直角坐標系，如下，其中斜線為P君看到鐵柱哥的視線：

為了簡便，暫時用字母表示數字，默認以米為單位，地球赤經A=6378136.49，地球極徑B=6356755.00，P君坐標(0,D)，其中D=B+1.50=6356756.50。

哇精度好高啊！

嗯我不是為了輸贏，我就是認真(/ω＼)

那麼地球這個橢圓的方程為

$frac{x^2}{A^2}+frac{y^2}{B^2}=1$

假設視線和地球的切點坐標為(X,Y)，X、Y都大於0，則切線方程為

$y=frac{Y-D}{X}x+D$

將兩個方程聯立，得到

$[frac{B^2}{A^2}+(frac{Y-D}{X})^2]x^2+frac{2D(Y-D)}{X}x+(D^2-B^2)=0$

切線嘛，所以它的求根判別式一定是0：

$Delta=4D^2(frac{Y-D}{X})^2-4(D^2-B^2)[frac{B^2}{A^2}+(frac{Y-D}{X})^2]=0$

化簡得到

$-frac{4B^2}{A^2}(D^2-B^2)X^2+4B^2Y^2-8B^2DY+4B^2D^2=0$

又因為切點在橢圓上，有

$frac{X^2}{A^2}+frac{Y^2}{B^2}=1$

代入化簡得到

$4D^2Y^2-8B^2DY+4B^4=0$

這就是一個一元二次方程罷了，可以解出

$Y=frac{B^2}{D}=6356753.50$ $X=4381.63934$

於是切線方程為

$y=-6.84675168 imes10^{-4}x+6356756.50$

鐵柱哥的縱坐標 $y=-B=-6356755.00$ ，代入切線方程得到

$x=1.85686762 imes10^{10}$

考慮到平衡問題，鐵柱哥躺下的時候支點兩端應該一樣長，所以此時鐵柱哥的高度是：

$h=2x=3.71373524 imes10^{10}$

單位是m！

什麼概念呢？地月平均距離大約是38.44萬千米，日地距離即一個天文單位是149,597,870,700米（2012年9月國際天文學聯合會大會數據），就是說我們高冷的鐵柱哥大概有100個地球到月亮那麼高，或者說有四分之一個天文單位那麼高。

以上過程沒有檢驗啊如果有計算錯誤希望指出(/ω＼)還有數字都保留了9位，使用了計算器的數據儲存功能，如果近似的步驟不同結果有少許出入是正常的。

當然，地球是三維的，這個時候跟鐵柱哥所在經度差90度的某些位置上可能還是有朋友看不到鐵柱哥。不過題主沒有說是同時看到，所以我們大可以讓鐵柱哥轉動起來(/ω＼)此處假設鐵柱哥足夠堅挺，且忽略相對論效應。

於是全世界的人們都可以看到鐵柱哥啦！

當然，如果鐵柱哥不是直的，那麼還有一個辦法，就是讓鐵柱哥變成鐵圈哥，繞地球一圈然後轉動就可以了。

那麼此時鐵圈哥要有多高（長？）呢？

橢圓周長的精確計算是需要用到積分的，並且這個積分是無法求得解析解的：

$L=int^{2pi}_04asqrt{1-e^2sin^2omega}domega=int^1_04asqrt{frac{1-e^2t^2}{1-t^2}}dt$

我寫過一個小程序算這個東西，但是當時用的橢圓參數是預先設定好的，現在系統重裝了實在懶得配置一遍編譯器了(/ω＼)所以原諒我就不給結果了。不過還是可以估算一下，如果把地球近似成一個球體的話，它的半徑取平均值6370004.61m，那麼一圈的周長是

$C=2pi r=40023919.4 ext{m}$

比上面的鐵柱哥低多了嗯。

好吧，如果要求全世界的人要同時看到鐵柱哥呢？

有兩個辦法：

1、讓鐵柱哥變成直徑和上面相同的鐵餅哥，躺在南極。

2、讓鐵柱哥變成能直徑等於地球直徑的鐵罩哥，把地球兜住。

於是全世界的人們都可以看到他啦！

------------------update12.9------------------

修改個別手誤，補了一點數據，內容沒有變化。

------------------update12.18------------------

好吧這個問題本身就挺開腦洞的，我就按照開腦洞的方式來答了。我隨便寫寫，大家看了隨便笑笑。結果沒想到受到這麼多人的關注……

看到 @曾加大神的答案有點慚愧，補充幾句吧。

開始假設鐵柱哥是直的（咦哪裡不對？）只是基於第一感覺罷了，人嘛你總得給人家找個舒服點的姿勢，無論是站立還是平躺這個近似都比較貼切啊。

後面就是純屬開腦洞了，並沒有多嚴謹的討論。實際上前面的一坨假設已經盡量把範圍縮小了，否則還會有更多種可能，譬如站在太陽上（無法同時看到），或者像土星光環一樣套在地球上（可以同時看到）。

下面試著相對嚴謹一點但實際還是漏洞百出的討論一下吧……

就二維的情況來說，可能性也有無數種。最簡單的應該是一段橢圓弧+兩端直線的情況，像這樣（橢圓弧至少有一點與地球接觸，實際上面說的直線和圈圈是這個模型的兩種極端情況）：

此處跟 @曾加大神所說的二維情況大致相同，不同點只是我計算的時候考慮的人的身高，於是兩個模型有兩點區別：

1、在不考慮人的身高時，視線與地球必須是相切或相交的關係，而考慮身高時可以相離，不過這一點好像對結果沒有影響；

2、在考慮人的身高時，無需考慮所有切線，譬如過北極點的切線就不需要計算在內。

於是我們可以假設鐵柱哥的頭（根據對稱性腳也一樣）都在P君的視線（就是上面求得的切線）上，坐標為(X,Y)，橢圓弧和直線的交點坐標圍(X",Y")，橢圓弧的方程為 $frac{x^2}{A$ ，且橢圓弧必須外切或重合於地球。

好吧六個參數的極值問題我實在算不下去了-_-|||大概估計了一下，最短的情況可能是這樣的：

即橢圓弧是貼地表的，直線部分與橢圓弧部分相切，與P君的視線垂直。當然這樣的鐵柱哥到底有多高呢，還是沒辦法計算，總之應該會比 $(pi+2)R$ （R為赤徑）低一點點。

多段橢圓弧+多段直線的模型似乎也可以得到相同的結果，因為如果南半球的橢圓弧（或直線）不貼地表的話，那麼總可以用更短的弦代替，如此循環最終還是得到一段橢圓弧。只是猜測。

當然二維情況討論得到的鐵柱哥都必須旋轉起來才可以讓地球上每個角落都可以看到，並且非同時，然後每一種二維的鐵柱哥經過繞地軸旋轉都可以轉化為一種可以被同時看到的三維的鐵罩哥。

其他三維的鐵柱哥可能性更多，譬如可以是個立方體的鐵框哥把地球框起來。但是為什麼沒有討論呢？因為我覺得我搞不定╮(╯▽╰)╭不過看來是有人搞定了，參看 @曾加大神的答案……

俄國人的數學真是恐怖_(:з」∠)_

就醬，謝謝各位的贊和評論。

邁克?華萊士那麼高

恩，既然這麼無聊的問了，我就這麼無聊的來回答下吧
首先假設這個人只長高沒有長胖，也就是說，這個人是這樣的：

你好鐵柱哥(⊙v⊙)

反正大家都叫你鐵柱哥(/ω＼)

其實可以叫你太空電梯哥~

然後，這鐵柱哥的身體具有足夠的強度保證自身的形態不會變化，也不會因為衝出大氣層受到真空的傷害什麼的

或者，乾脆這鐵柱哥就像玻爾茲曼大腦一樣「憑空」產生了

但為了真實我們還是假設鐵柱哥是喝三鹿長成這麼高的

那麼要多高才可以呢？

一直與地心保持延長線相交顯然是個餿主意，多高也不行

除非他產生的時候戳在地球上

但是，鐵柱哥這突破極限的身高顯然是骨骼驚奇的，這個長度下的骨骼可以彎曲但是不折斷的

所以鐵柱哥可以做出這樣的雜技動作：

甚至可以這樣：

所以，只要鐵柱哥和地球周長差不多高就可以了

好像哪裡不對？

地球是個球_(:з」∠)_ 圖上是個圓~

感謝知友提醒……

不過沒關係，鐵柱哥這麼靈活：

現在問題來了：鴿子為什麼那麼大？

不對

要怎麼繞才能讓所有人都看到呢？

答主去學下幾何先……

正經臉：求大神把這個問題的數學形式解答出來

感謝曾加給出正確答案，本人功成身退

我又回來了……

現在的問題是：如果鐵柱哥伸開手腳，那麼這個問題顯然無法簡化成曲線的問題，那麼鐵柱哥到底需要多高才可以呢？

（題外話，鐵柱哥應該是世界上最長的男人(/ω＼)）

（可惜不是直男(⊙v⊙)）

什麼？你要精確的數？

考慮到相對論，熱脹冷縮，地球自轉，這個數是會變化的
嚴謹的科學工作者從來不會說徹底解答了一個問題！

瞎子總是看不到的吧？

負責任的告訴題主:172cm

「粑粑，我要長奪高，全世界的人們才能夠看到我吖？」

「鐵柱北鼻，你看到遠處那顆星星了嗎？」

「看到啦！」

「那顆叫做織女星，距離地球有2.5乘以10的17次方米。就是25後面再加上16個零那麼多。」

「啊，好遠啊！」

「而地球上，有一個地方的人，叫做北京人。他們可能一輩子，都沒有機會看到天空上面的織女星。」

「啊……」

「所以說，哪怕你長到織女星那麼高，也沒辦法讓全世界的人看到呢。」（攤手。）

高？胖到覆蓋地球表面積就可以了吧

地球是圓的，長得再高，地球背面的人也看不到....

直到你找到了她，那她就是你的全世界，高到讓她看到就可以了

太陽夠高吧？全世界的人都能同時看到嗎？

如果是四維空間的人，郭小四那麼高就可以了

長多高在中國也看不見。樓都看不見。還看人？

彎的人才行

你覺得像北京這種霧霾天氣，你長得再高，對面也看不到啊

成為大劉《三體》裡面的高維人吧，不管你在哪裡別人看起來都覺得是一樣大的，不會近大遠小

高到可以看見全世界的人。

只要其臂長足夠長，可以環抱地球好多圈，我覺得身高不再是問題！！

取決於看他（小明）的人多高
小明要蜷起身子，觀察者視線與地球的相切，切線與小明上下半身分別垂直，兩個直角交點間的小明長度為解；

或者，小明不用太高，夠寬就行，寬度和前一解答中的高度同。

手指肚畫的，見諒……
應該是2r+πr/90*arcsin(r/(x+r))沒算錯的話……x是觀察者身高