星系的密度分布是如何影響恆星的三維運動的？

恆星在星系中除了隨星系盤旋轉以外，還通常有徑向的以及垂直於星系盤的運動，通過這些運動我們可以對於星系的質量分布有怎樣的了解？

謝 @Yui Yoshioka 邀。以及被大佬們 @方其亮 @白書旭 at了，然而我並不懂多少東西…… 這個問題和這個問題的描述感覺確實是兩件事兒，一個是給定密度分布讓你算軌道，另一個是給定軌道讓你算密度分布。那就分兩部分扯一扯吧。

首先是給定了質量分布，讓你算恆星所有可能的軌道是怎麼樣的。這個在BinneyTremaine的大作里佔了一章的篇幅。要做這個計算，最基本的當然是寫出運動方程。而我們已經知道了質量的分布，那就可以求出勢能的分布，這樣的話運動方程就可以寫出來了，進而我可以試圖去求解它們。然而高中物理遇到的那些問題都太簡單了，都能算出解來。我們在這裡遇到的問題大部分都寫不出解析解。比如一個典型的球對稱勢所能給出的軌道會長成下面這個樣子，呈不會閉合的呈花瓣狀：

如果是軸對稱的勢，那我們可以在柱坐標系裡寫出運動方程，然後在(R,z)平面內看軌道是長什麼樣的。用數值積分的方法，我們很可能就能得到長成這樣的軌道：

上面這張圖的左右兩個小圖假設的是同樣的軌道總能量和z方向角動量，但初始條件不一樣，結果軌道就有了這麼大的差別。

當然還有更複雜的，平面非軸對稱勢。如果我們考慮平面內的運動，軌道就會分成下面這兩類，loop orbits（上面的那些）和box orbits（下面的那些）：

講到這裡第一部分的問題就算回答完了。一句話總結就是，給定質量分布，我就知道勢能分布，於是就可以通過求解運動方程求出恆星軌道的性質。那麼下面說說第二部分的問題，怎麼從恆星的軌道推測星系的質量分布。這個我還真不知道有沒有人能做到，因為想想看這就涉及很多高度非線性的方程組，操作起來幾乎不可能，還要面臨簡併性的問題。不過我們確實可以利用恆星軌道這個思路來試圖獲取星系質量分布的信息。

我們對星系做觀測，可以得到它的表面亮度和視線方向的速度分布。通過對星系的物質分布做某種假設——軸對稱或三軸橢球等等，我們就可以試圖用一些待求的參數把二維的光度分布「反投影」成三維的質量分布，然後我們就能寫下勢能的表達式。有了勢能，我們就可以進一步算出恆星所有可能的軌道，獲得一個orbital library。通過這些軌道的不同組合和疊加，我們就能算出在某種勢能分布情況下所有可能的視向速度場是什麼樣，那麼我們用這樣的模型來擬合觀測到的速度場，就能得到這個星系最可能的質量分布是怎麼樣的。這就是星系動力學裡的Schwarzschild方法。

比如下面這張圖，就是從van den Bosch van de Ven 2009這篇paper里扒下來的，用Schwarzschild方法擬合一個prolate形狀星系的速度場的結果。上面是被擬合的，下面是擬合的結果。從左到右分別是表面亮度分布，視向速度分布，以及視向速度的彌散：

之所以會想要擺這個paper和這張圖，是因為不同形狀的星系擁有的速度場是很不一樣的。當時師兄跟我說擬合oblate星系只需要short axis tube orbits，但擬合prolate星系可以用box orbits和long axis tube orbits…… 我只能一臉茫然。

說這麼多，但願能稍微講清楚了一點兒。。。如果哪兒說錯了還請大牛們指正。

謝 @Yui Yoshioka 小姐姐(?)邀。

這是很有意思，但非常大的問題，尤其是考慮到恆星的運動和暗物質的密度分布，以及星系併合與演化過程的關係。我並沒有做過這方面的科研，但曾經上過范祖輝教授的《星系動力學》（范祖輝教授是我認為北大講課最好的教授，連「之一」也不用加，我有幸上過她的三門課程：本科生的宇宙學，博士研究生的星系動力學和宇宙學。可惜她和劉曉為教授準備一起跑雲南那裡去了，北大一下子被挖掉了天文系副主任和K所前任所長...），在這門課程就曾經介紹過相關的理論，雖然都是為了讓博士研究生能聽懂而經過簡化處理的。最近在收拾東西準備滾去霓虹，暫時沒有很大塊的時間回答問題，我就偶爾抽空更新一下吧。我們級有個學霸應該對這方面很了解，我記得她上學期上過於清娟教授的《星系動力學》，而且畢設和這方面也有點關係。我@一下她，不過不知道她有沒有時間回答 @吳曉晗 。

做天文問題第一個要考慮的是量級分析，從而確定能夠在什麼範圍內做近似。以我們的銀河係為例，太陽半徑 ，碰撞截面 ，而銀河系內總共有 顆恆星（有本科普書就叫《千億顆太陽》），盤的厚度，半徑分別是 ，恆星的密度是 ，因此平均自由程 ，比可觀測宇宙的尺度更大！考慮到銀河系中恆星隨機運動的速度 ，碰撞時標 ，遠遠長於宇宙的年齡。所以我們可以認為恆星基本是無碰撞的（除非雙星系統中的兩顆星，不過總體而言恆星的碰撞對星系的動力學過程基本沒什麼影響）。

此外， 銀河系中的恆星的circular velocity是 （注意和上文提到的隨機運動區別開）。恆星繞銀河系轉一圈的周期 ，銀河系的年齡是 ，恆星已經繞著銀河系轉了30圈了，所以我們認為銀河系可以用steady state approximation。

最後，引力是長程力，一顆恆星的運動受所有其他恆星影響。儘管恆星是離散的，但是可以認為存在一個連續的分布 。定量來說， 。對銀河系， ， 。這幾個量什麼意思後面有機會會提到。總之，從定量上來說，恆星的離散分布對連續分布不會有明顯的修正。

總結就是：星系可以看作處於steady state的無碰撞流體，因此可以用勢理論+軌道理論來討論。

暫時更新到這裡，權當拋磚引玉。

另外補充一點：題目「星系的密度分布是如何影響恆星的三維運動」和題干中的「通過這些運動我們可以對於星系的質量分布有怎樣的了解」不是一個問題--前者比後者簡單太多了，後者才是值得討論的問題。

質量分布如果是個中心質點的話，軌道就是個橢圓，這個大家都知道。

如果質量分布是個常數，那麼也是個橢圓，只不過軌道周期和軌道中心是和開普勒情形不一樣。

如果質量分布不是以上這兩者，軌道一般就不會閉合了。根據在三個軸的不同頻率的關係，恆星的軌道可以有各種不同的形狀。這個情景就是各種李薩如圖形了。如果恰巧三個軸之間的頻率和簡單的整數比比較接近，軌道的形狀會比較規則些，大家也就形象地給給這些個特殊軌道取了一些（食物相關的）名字。但這些名字本身不重要。

當然了，以上的討論限於周期軌道。在對稱性不高的勢場中，很多軌道本身是非周期性的。具體操作中的表現是，軌道坐標的傅立葉變換的譜線就明顯比較寬，而且會隨著時間漂移。但是各種非周期性本身的混沌行為也是不一樣的，這方面的研究這幾年也在進行。。。橢圓星系中應該有不少的非周期軌道。

質量分布和軌道形狀是硬幣的兩面。所以大概看看形狀也可以猜猜裡面各種軌道的比重。從質量分布到算軌道沒什麼難度，逆過程就明顯不是一個難度水準了。。。