彎曲似乎本來就是一個基於空間的概念，那大家在談論「彎曲空間」的時候，是以什麼為「基底」的呢？

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或許對於習慣進行純粹數學描述的人來說，根本不存在這個問題。可對於數學抽象方法很無力的我只是想知道，大家在談論空間彎曲的時候，是以什麼作為這種描述的「參考系」的。
是純粹幾何（或者說向量or張量矩陣）的抽象概念？還是高一個唯度的空間？抑或是電磁波和其它物理量的規律？
我看了一些類似問題的回答，比如說用空間自身的度規來理解空間的彎曲，其實依然沒有解決這個「基底」的問題。
難道是說我對於空間本身的理解就是錯誤的，空間本身只是一種「現象」，不應被當做一個「客體」？

這個就是微分幾何的意義了。在此之前人們描述平面和曲面都是以一個更高維的平直空間作為背景的。後來高斯和黎曼開創了微分幾何這個學科，微分幾何就不需要藉助背景，而是根據曲面自身的坐標來描述曲面，所以微分幾何的曲率是曲面的內稟性質，和背景無關。曲率是內稟性質的典型例子就是曲面內的三角形內角和不一定等於180°。更一般的曲率的定義是在曲面內沿著一條迴路平移向量，回到原點處向量的方向會發生改變。

所以按照微分幾何，平面和球面是不同的，但平面和圓柱面是等價的。儘管直觀上圓柱面是曲面，但這種認識是基於三維空間的視角，對於一個二維空間的生物來說，平面和圓柱面是完全看不出差別的（從另一個角度來說，我們可以把平面彎成圓柱面，不會發生拉伸和壓縮，但無法彎成球面）。所以微分幾何不需要從更高的維度來描述曲面。廣義相對論也是用微分幾何來描述四維時空（注意是時空不是空間），所以廣義相對論的時空是一個四維「曲面」。

不過微分幾何雖然是不依賴背景的，但對於任意的曲面，我們總能把它放進一個高維的平面，換句話說我們不會構造出一個無法放進平直空間的曲面。而這個證明，是約翰·納什完成的。

「彎曲」是絕對的，不需要相對於某個「背景」討論。譬如我們說球面，就算我們只能生活在球面上，至少也可以通過測量三角形內角和（在球面上大於180度）來知曉我們生活的這個面是彎曲的。
三維空間同理，在不同方向畫三角形，他們的內角和就能揭示我們生活的三維空間是否彎曲。

題主需要考慮更廣義的流形概念而不是空間。一個流形的黎曼張量不為0就說明這個流形並不是平直的，換句話說，就是彎曲的。