如果從英國格林威治天文台出發，每天迎著某顆星星走，最終會在地球表面畫下怎樣的軌跡？

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不同時間（比如1000年前相比現在，又比如一年裡的不同時間）會不會有什麼不同？太陽系內的行星與太陽系外的星星的區別呢？迎著太陽走呢？

實在手癢來答題了~~
首先我很贊同@劉鶴揚的回答，我覺得他的答案里對於「星星的方向」的解釋是和我們直觀相符的，@山醒的答案里說的相當於是「星下點」（借用人造衛星領域的術語了，呵呵），指向星下點的方向和在地面看到的星星方向嚴格說來不是一回事。
再引用一下@劉鶴揚答案里的幾條假設：

1）星星的方向定義為，從星星在地平線以上0度，直到星星在頭頂的 90 度範圍內，和地平線作垂線後，和地平線的交點方向。
2）假設在沒有陽光干擾和沒有大氣層的折射的理想情況下。

我也基於同樣的假設進行模擬計算。
先說說星星的方向。在地面參考系看來，星星可以視作分布於半徑無限大的一個球面上（稱作天球），而地面可以視為一個平面，所有的星星都繞著一個假想的軸旋轉，這個軸叫做極軸，極軸與天球相交於兩點：北天極和南天極，而距離南北天極相等的中間的大圓，就是天赤道。

上圖是我畫的示意圖，藍色的圓盤表示地平面，黑色的粗線表示極軸，淡藍色的細線表明天球上星星旋轉的軌跡。當然在地平面以下的星星是無法看到的。
星星的方向的定義，參見下圖。對於某一顆具體的星星而言，過觀察者和星星的連線，切與地平面垂直的平面，與地平面相交的那條線的方向，就是星星的方向。如下圖地平面上的箭頭所示。

設當地緯度為 $phi$ ，也就是極軸和地平面的夾角為 $phi$ ，設追蹤的星星的赤緯為 $delta$ （參見赤緯，北天極赤緯+90度，南天極-90度），地球自轉角速度為 $omega$ ，那麼上面這個軌跡圈的參數方程可以寫作（x軸方向沿著地面指向北方）：
$left[egin{array}c s_x\s_y\s_z end{array} ight]=left[egin{array}c cosdelta cosomega tsinphi+sindeltacosphi\-cosdeltasinomega t\-cosdeltacosomega tcosphi+sindeltasinphi end{array} ight]$
這裡計時起點是星星下中天的時刻。追隨星星的方向，也就是沿著 $(s_x,s_y)$ 的方向前進。到這裡，我建立的簡化的模型呼之欲出了：
$frac{dx}{dt} = frac{vs_x}{sqrt{s_x^2+x_y^2}}$
$frac{dy}{dt} =frac{vs_y}{sqrt{s_x^2+x_y^2}}$
在這個模型里完全沒有考慮人的移動造成的觀測點的緯度變化，當人的移動範圍比較小的時候，完全可以作為很好的近似來求解。當然上面這個微分方程解析解我是解不出來的啦（上大學以來唯一掛掉的課就是數理方程……）不過藉助電腦算算軌跡還是易如反掌的。下面貼幾個例子（以格林尼治天文台所在緯度51.5為例，坐標單位為 km，x正方向指向北，曲線為 4 天所走的軌跡，行走速度為 5 km/h）：

可見，如果跟著靠近北天極的星星走，那麼軌跡就更平直；跟著天赤道附近的星星走，軌跡基本上就是個橢圓。
但是！人走動之後，所處觀測點的緯度就變了（按題主所設的情況看，是一路向北了），所以即使是針對同一顆星星，緯度改變之後軌跡也有不同。特別是對靠近北天極的星星而言，緯度改變的程度會更大（因為追蹤越靠近北天極的星星，軌跡越接近直線，緯度的改變就越明顯）。那麼我們看看不同緯度下追蹤同一顆星星的軌跡如何（星星的赤緯都選+15度，在格林尼治當地的軌跡如上圖第二條）：

選更靠近北天極的星星如何呢？下面是一顆赤緯+75度的星星對應不同緯度的軌跡（格林尼治當地如上上圖的最後一條，注意下圖緯度的選擇和上圖不同）：

總結一下：

追蹤的軌跡大致上是一邊畫圈一邊前進的波浪線或者麻花線；
追蹤靠近北天極的星星，軌跡的波動小，更接近一條直線；
追蹤總體而言是會一直向北推進的；
隨著追蹤的進行，走到越靠北，軌跡的波動會增加，到最後變成在原地轉圈了；

當然以上結論都是基於簡單的假設的，並且不適用於太陽系內天體。

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更新：
和@丁若水討論了一下，本想計算一下太陽就算了，但看到下面有知友評論說「好像都沒有考慮到白天看不到星星，所以需要走一段休息一段的問題。whatif裡面考慮到這個」，想想咱也不能顯得落後嘛~~正好今天有點空，於是寫了段小代碼完善了一下這個模型，考慮了白天以及「星星落山」的情況，也就是說只有在看得見星星的情況下才追蹤。
中間的計算過程當然比上面這個複雜多了，不過基本思路還是不怎麼變的。考慮到隨著追蹤的進行，人的位置的變化——這帶來經度和緯度兩方面的影響，緯度影響北天極高度，經度影響當地的時間。此外還考慮了長時間行走必須考慮的季節變化帶來太陽高度角的變化，每天的日出日落時間是不一樣的。
貼一下結果吧。從格林尼治天文台出發追蹤天狼星（赤經 06h 45m，赤緯-16°42′），畫出兩年時間的路徑軌跡
3月22日出發的路線如下圖（黑色粗線）

花了兩年時間從英國倫敦走到西班牙了~~當然這條路徑看著像直線，其實放大了看還是麻花狀

如果出發時間不同，會得到不一樣的路徑喲~比如6月22日出發的路徑就是這樣的：

走到阿爾及利亞了有木有！說到@丁若水提到的夸父追日，那就來看看追太陽會怎樣吧

幾乎沿著經線一直追到赤道，然後就在赤道附近畫圓圈了...
更新完畢。

從地球表面朝太空看去，整個夜空是圍繞一個固定點旋轉的，這個點就是地軸所指的無限遠的點。格林尼治天文台在北緯 51.5 度，也就是說，它朝正北方仰角 51.5 度的地方看去有一個點，所有的星星都圍繞這個點旋轉。

也就是說，你的行進方向在當晚就會發生變化，而且變化的幅度隨著你選擇的星星和旋轉中心的目視距離的增大而增加，這個方向的變化可能非常大。但如果你選擇北極星，則變化的幅度略小。

天空會隨著箭頭的方向旋轉，如果你選擇小熊星座附近的星星，則旋轉的幅度略小，如果你選擇仙女座，很可能就南轅又北轍了。

如果你選擇的星星座落在以這個點為圓心的北邊天蓋的星星，則你的軌跡會朝著讓這個北方的旋轉中心的仰角增加的方向，也就是說，你最終會達到北極，並在北極走一個正圓的路線。（因為你將在北極看到你所目標的星星在頭頂旋轉，按照下面結尾處星星方向的定義，你將做一個時刻方向改變的運動，路線是一個正圓。）

如果你選擇的星星是屬於南邊天蓋的，則你的軌跡會朝著讓這個旋轉中心的仰角逐漸減小，直到 0 ，然後南邊的旋轉中心的仰角逐漸增加，直到 90 度，也就是說你最終會到達南極，並在南極走一個正圓的路線。

具體的路線是，首先你會走一個 S 形的路線。在到達極點以前，這顆星的最高位置到頭頂以後，你還會走一段橢圓路線。直到最後形成一個正圓。

如果你選擇的是北極星，則直到接近北極點你才會走正圓。（如圖中紅色路線。）
如果你選擇的是一個北邊天蓋的和旋轉中心距離比較大的星，則開始走曲線，接著走折的曲線，最後是橢圓，到北極點以後是正圓。（如圖中綠色路線。）

此軌跡的數學證明請參考@章佳傑的回答。

另外，對於你提出的 3 個問題：

1）1000 年前和現在是沒有什麼不同的，因為 1000 年對於這個宇宙來講微乎其微，太陽系內的行星的質量，運行周期，軌跡的變化幾乎可以忽略不計。

2）太陽系外的星星的運動對你的軌跡沒有影響。這個就好比100公里外的有個人運動了1米，對觀察者的你來講幾乎沒有變化。太陽系內的星星，由於地球公轉的影響可能會影響你的軌跡，這要取決於它的公轉和地球的公轉，而且取決於他們是在北邊天蓋還是南邊天蓋，比較複雜。

3）迎者太陽走，春季和夏季，你會在朝向北方走一個 S 形，直到你到達北極，然後到了秋季和冬季以後，你就看不到太陽了；如果你在秋季以前沒有到達北極，則你會繼而往南極走（因為太陽已經到達了南邊的天蓋），如果你北極和南極都到達不了，則你會在這兩者中徘徊。這個軌跡也是很複雜的，根據你的行進速度而定。

註：1）星星的方向定義為，從星星在地平線以上0度，直到星星在頭頂的 90 度範圍內，和地平線作垂線後，和地平線的交點方向。
2）以上推論假設在沒有陽光干擾和沒有大氣層的折射的理想情況下。

回答這個問題用上了谷歌地球，這是第一次感覺它很有用，這個夜空的模擬感覺很棒。^ ^

以上內容僅供參考，有謬誤之處還請指出。

這個問題在whit-if上被回答過（sort of)。以供參考。
不過是從耶路撒冷出發。Three Wise Men

缺失一個很重要的條件，行走的速度，腦補的話，速度對路徑的影響很大。

此問題非常有意思！

其實大家可以用地心說的模型來回答此問題（雖然地心說不是真正的太陽系狀態，它在一定程度上較好地描述了我們在地球上看到的太陽系。）。

如果你跟得上那顆要追蹤的星星，本問題相當於：先走到星星正下方，然後就是星星與地心的連線在地面的投影了。

對於可認為是無限遠的那群恆星來說，它們＂繞著＂我們轉，於是連線在地面上划出一個緯線（一根皮筋套一圈）；如果不可認為是無限遠，最簡單的例子是太陽，由於地球自轉與公轉平面不重合，則是一個套在南北回歸線上的彈簧的樣子；如果是各大行星，則按照地心說的模型，是它們繞著地球轉的同時還繞著個小圈轉，則就是在彈簧上進多步退少步地扭秧歌了。

（本想畫圖，還沒畫完發現@章佳傑回答得更詳細且已畫好，大家看它的回答吧。）

直接搬運過來。。。

Whatif 第25期：東方三賢人

Whatif 第25期：東方三賢人

原作 xkcd
翻譯 Ent

東方三賢人的故事讓我好奇：如果真的朝一顆星星以固定速度行走會怎樣？會在地表畫出怎樣的軌跡？會匯聚到一個固定的圓圈嗎？

—N. Murdoch

#東方三賢人是聖經典故，也譯「東方三博士」、「三王來朝」，另外《麥琪的禮物》里那個「麥琪」就是指的他們。按照馬太福音記載，來自東方的「賢人」抵達
耶路撒冷，宣稱他們看到了代表猶太人的王的星，因而來到此地拜見。隨後這顆星一路指引他們從耶路撒冷走到了伯利恆，耶穌在這裡降生。

假如賢人從耶路撒冷出發朝著天狼星（除太陽之外全天最明亮的恆星）行走，日夜兼程，就算天狼星落在地平線以下也不停歇，那麼他們走過地表的軌跡是這樣的：

假如我們容忍一點點的神學混亂，允許賢人在水上行走（#水上行走原本是耶穌的神跡），那麼他們最終將陷入一個永無止境的圓圈，直徑30公里，圓心就是南極點。

不過現實一點兒吧：當那顆星星被地球擋住時，賢人不太可能還準確無誤地朝著星星步行。我們假定他們只在太陽落山、星星升起之後才朝著那顆星星走。

這樣一來，他們步行的路線實際上能讓他們經過伯利恆：

如果他們不在此停下，幾年之後他們就會環繞波札那行進：

這些路徑主要是用PyEphem計算得到的，這個程序能夠計算出天體在歷史上的位置。

不過，很難確定他們當時到底在跟著哪顆星走。伯利恆之星的合適的天文學候選並不多。（當時中國的天文觀測沒有記錄下有超新星爆發，其他的選項也都有問題。）何況，連耶穌的出生年是哪一年都有大量的史學和神學爭議（公元前4年大概是最接近於「共識」的數據了吧）。本文這些數據都是武斷地假定他們於公元元年12月25日離開耶路撒冷。不同的出發時間會導致略有不同的路線，但整體趨勢是相同的。

如果三賢人跟隨的是行星呢？

行星和恆星之間有相對運動，它們帶來的路線會更複雜。以下是賢人們追隨金星得到的路徑：

以下是火星：

如果三賢人有一輛懸浮車，可以高速穿越水面和陸地（諾斯替福音里某個地方寫了的哦），又打算追隨金星，他們會走一條特別奇怪的路徑：

或遲或早，他們會在十月份前後抵達北極。在這裡，太陽和金星連續數月都在地平線附近，升起落下，落下升起，這將引領三賢人們走上長達一個月的繞極地螺旋軌跡，以北極作為混沌奇異賢人吸引子，有些人認為這提供了聖誕老人故事的神學基礎[citation needed]。

遺憾的是，三賢人很可能不是在追隨金星。畢竟這是夜空中人們最熟悉的天體之一。正如已故的帕特里克·摩爾所言，如果賢人們會把它當做一顆新星，表明他們也賢明不到哪裡去。

但也許他們還是比帕爵爺預想的更聰明。畢竟，如果你隨便在天空中找一顆星，指向那邊的地平線，宣稱那個方向將有一個嬰兒誕生，那麼統計學和出生率數據都站在你這邊。

去看what if 下面的文章吧。
裡面有個從聖經里三賢人追隨伯利恆的猶太人的王的假設……

你會每天星星從東方升起時朝東走,西方落下時朝西走.所以你會在東西方向上作往返運動..
南北方向上,由於格林威治天文台的緯度應該和你迎著的星星的緯度不同,你會漸漸向著你迎著的星星的緯度前進,直到他到達你的頭頂..
然後,你會在那裡一直做著往複運動....一直....直到天荒地老....