微分幾何中的克氏符是什麼東西？有什麼現實直觀例子沒有？

11-27

克氏符按照梁燦彬書上的說法，是兩個微分算符之間的差，我始終搞不明白這個概念的作用是什麼，提出這個概念的目的是什麼？能不能舉一個比較直觀的物理上克氏符的例子？

那就說一下克氏符在廣義相對論中的物理意義吧。

我們慢慢說：

一、Christoffel符號(克氏符)的引入

由於張量是逐點定義的，兩點的張量不能直接相減，但是研究張量場的微分又必須用到相鄰兩點的張量之差，為了使得微分運算不破壞張量性質，必須引入一種新的方式定義兩點的張量之差，使差保持張量性質，由此引入了仿射聯絡(affuse connection)的概念。

定義矢量平移滿足下面兩式的關係
$A^{$
$delta A_{mu}(P)equiv A_{mu}(P ightarrow Q)-A_{mu}(P)=F^{lambda}_{mu u}(P)cdot A_{lambda}(P)cdot dx^{ u}$
稱這種平移為列維－西維塔(Levi-Civita)平移。第二式表明平移所引起的改變數與原矢量及平移的位移均成線性關係，即 $delta A_{mu}(P)$ 正比於 $A_{mu}(P)$ 和位移 $dx^{mu}$ ，並且要求對 $delta A_{mu}(P)$ 的任何一個分量， $A_{mu}(P)$ 和 $dx^{mu}$ 的所有分量都有貢獻，所以如此定義的平移滿足上面的第二式。

由此我們通過在仿射空間定義矢量平移引入了仿射聯絡 $Gamma ^{lambda}_{mu u}$ ，進一步的計算表明，仿射聯絡在坐標變換下的變換公式為
$Gamma ^{$ 這表明仿射聯絡不是張量。

我們在仿射空間中引入了聯絡，之後再引入度量，那麼也就定義了黎曼空間。現在我們假定已經引入了度量，那麼我們考慮到定義平移時，還沒有對矢量的長度在平移下的變化加以限制。眾所周知，歐式空間中，矢量長度在平移下不變，我們希望在黎曼空間中能夠保持這一重要性質，這自然就對聯絡的形式加以了限定。在廣義相對論所採用的無撓黎曼空間中，聯絡是對稱的，當把「矢量長度的平移不變性」這一要求加進來後，就唯一確定了對稱聯絡和度規張量的泛函關係，查閱一般的微分幾何教材可以得到這一關係 $Gamma ^{lambda}_{mu u}=frac{1}{2}g^{lambda ho}left( frac{partial g^{mu ho}}{partial x^{ u}}+frac{partial g^{ u ho}}{partial x^{mu}}-frac{partial g^{mu u}}{partial x^{ ho}} ight)$ ，這種由度規完全確定的對稱聯絡，稱為Christoffel符號，簡稱克氏符。由此我們通過在黎曼空間中對矢量長度在平移下的不變性這一限定引入了克氏符。

二、廣義相對論中的測地線方程

為了後面敘述方便，先給出測地線方程：在無撓黎曼時空中，測地線方程或短程線方程為 $frac{d^{2} x^{mu}}{ds^{2}}+Gamma ^{mu}_{alpha eta}frac{dx^{alpha }}{ds}frac{dx^{eta}}{ds}=0$ ，其中的仿射聯絡 $Gamma ^{mu}_{alpha eta}$ 為克氏符。廣義相對論告訴我們，不受外力(除引力和慣性力)的物體將沿著測地線運動。

三、等效原理的數學基礎與克氏符的物理含義

可以證明如下定理，
定理1 對無撓黎曼時空中的任何一點，都可以找到一個坐標變換，把那點的克氏符的所有分量都變到零。

由測地線方程可知，當 $Gamma ^{mu}_{alpha eta}$ 的所有分量都是零時，測地線方程化為直線方程 $frac{d^{2}x^{mu}}{ds^{2}}=0$ ，即 $x^{mu}=a^{mu}s+b^{mu}$ ，其中 $a^{mu}$ ， $b^{mu}$ 為常數。當 $Gamma ^{mu}_{alpha eta}$ 的分量不全為零時，測地線方程仍是曲線方程。眾所周知，平直空間中的慣性運動是與直線相聯繫的，可見聯絡相應於引力場強或慣性場強。上述定理表明，對無撓空間中任何一點，總可以找到一個把克氏符的所有分量都變到零的無窮小坐標系，這個坐標系在物理上就相應於自由下落的坐標系，這一定理即可視為等效原理的數學基礎。

前面提到，仿射聯絡(或克氏符)不是張量，因而克氏符在坐標變換下會發生改變，又由於有上面的定理保證，可以將原本分量不是零或不全為零的克氏符變到所有分量皆為零，我們可以發現克氏符在坐標變換下可以變掉(即消失，分量全為零)或出現(分量不全為零)，這意味著引力場強或慣性場強在坐標變換下是可以消失或出現的，這正是廣義相對論的基本原理之一的等效原理所告訴我們的。除外，必須指出，在有撓空間找不到上述定理中所說的坐標變換，這是因為撓率是張量，不可能通過坐標變換來消除，也就是說，等效原理在有撓空間不成立。但是，實驗表明，我們所處的時空中等效原理成立，這意味著我們的時空只是彎曲的，不是扭曲的，即撓率為零。

四、空間的平坦性與克氏符物理意義的進一步闡釋

可以證明如下兩個定理，
定理2 對撓率和曲率都為零的空間，一定可以找到一個坐標系，使仿射聯絡的所有分量在這個坐標系中都是零。 (注意區分與定理1的區別)
定理3 如果黎曼空間中的度規分量 $g_{mu u}$ 都是常數，並且行列式 $gequiv det|g_{mu u}| e 0$ ，那麼一定可以找到一個坐標變換，把二次型 $ds^{2}=g_{mu u}dx^{mu}dx^{ u}$ 化成坐標微分的平方和(或差)的形式，使其度規張量在新坐標系下的分量為 $[g_{mu u}=egin{cases} pm 1, mu= u\ 0, mu e uend{cases} ]$ 稱為度規張量的正則形式。

在廣義相對論所採用的無撓黎曼空間中，只要Riemann曲率張量 $R^{ ho}_{lambda mu u}=0$ ，根據定理2，就一定可以找到一個坐標系，使聯絡(這裡是克氏符)的所有分量都是零 $Gamma ^{lambda}_{mu u}=0$ ，從克氏符與度規的關係式可知，這將意味著度規的普通導數 $frac{partial g_{mu u}}{partial x^{lambda}}=0$ ，也就是說度規分量都是常數。又根據定理3，這樣的度規一定可以化成對角形式，這就是說，Riemann曲率張量的所有分量都為零的空間一定是平坦的，當黎曼空間是一個曲率張量為零的四維時空時，度規一定可以化成Minkowski度規 $eta _{mu u}$ ，即平直時空度規。可見，在Riemann曲率張量 $R^{ ho}_{lambda mu u}=0$ 的情況下，克氏符所代表的引力場強被坐標變換所消除，這是等效原理所要求的，從而時空度規 $g_{mu u}$ 化為Minkowski度規 $eta _{mu u}$ ，時空體現平直性。簡單說就是，時空由彎曲變為平坦，引力效應也就消失了，這正是眾所周知的一句話所說的：廣義相對論告訴我們，引力是時空彎曲的幾何效應。

微分幾何(或黎曼幾何)中，克氏符 $Gamma ^{mu}_{alpha eta}$ 是一幾何量，它在廣義相對論這一描述描述真實世界的物理理論中的含義可以認為是引力場強或慣性場強。微分幾何初學的時候的確是比較抽象的，尤其像學習梁燦彬先生的《微分幾何入門和廣義相對論》這種整體微分幾何的巨著，往往會感到抽象不好理解，不過慢慢來就會理解得更好了。

搞幾何，雖然最終的計算都要落實到坐標上，但是搞幾何研究，數學家們發現坐標這個東西有時會成為障礙，不利於抽象和推廣。例如矢量這個概念，在不同的坐標中表現形式不同，但是數學家們發現矢量在不同坐標下的變換具有協變性，張量也是如此。
但是，導數卻並非如此。求導不具有協變性（梁燦彬老師的書中也提到）。也就是說求導是依賴坐標的。為了擺脫坐標系便於研究，數學家們提出了協變導數這個概念，但是幾何研究最終還是要落實到解決問題的實際計算中，所以有必要找出協變導數和一般的依賴坐標的導數間的關係，它們之間差一項，這一項也依賴坐標，不協變，同時長得像張量（卻並非張量），它便是克氏符。
克氏符的非協變性從它的計算公式可見一斑，克氏符的計算中有一項要對度規求導，雖然度規是協變的，但是度規的導數卻不協變，因此克氏符不協變。

克氏符基本上代表慣性力。

回顧一下慣性力的概念，它是在非慣性系下物體做慣性運動時，用坐標系測量的加速度所對應的力。

所以它本質上就是某種加速度，或者稱為真正的慣性運動與非慣性坐標系下naive的「慣性運動」之間的差。這兩種運動分別對應於協變導數和坐標導數。所以慣性加速度對應的就是克氏符。

給定坐標下的測地線方程給出的就是該坐標下的各種慣性力：如果克氏符只有00分量則表現為牛頓引力這種不依賴於速度的慣性力；如果有0i分量或ij分量，則對應於速度依賴的慣性力，比如克里奧利力（一次速度依賴）和離心力（二次速度依賴）。

克氏符依賴於坐標系的選取，而且我們可以通過選擇特定的坐標系使得克氏符為零。這一性質聯繫了克氏符與慣性力。

按照我的理解，根據梁書上對張量的定義，張量其實就是一種映射(張量面面觀)。而在書上第三章推出兩個導數算符的差可以看成一個(0,1)型張量到(0,2)型張量的線性映射，因此可以把這個映射看成是一個(1,2)型張量。而取任一坐標系都會有相應的普通導數算符，它和協變導數算符的差就可以用一個(1,2)張量來表示，稱為克氏符。有些書上說克氏符不是張量有些書說是，其實區別只是張量的定義不同。比如梁書上對張量定義是映射，而趙崢書上對張量定義是要滿足不同坐標系間的某種變換法則。個人覺得梁書上的定義更本質一些。(我也是初學者，剛看到第三章)

你還可以參考教材的課後練習另外一種克氏符定義來源。那就是基底（標架）在不同點是變化的引起。在曲面論中最基本的標架是Frenet標架，｛P;T,N,B｝,表示P點的T,N,B三個活動標架。而標架的變化率也是一個矢量，需要標架線性表出。而這堆係數就是克氏符。這裡和一個高斯公式有關http://bookshelf.docin.com/touch_new/preview_new.do?id=618853319

首先...我只是make sense一下以下有些說法可能會不太嚴謹（作為數學渣我也嚴謹不起來...）

如果讓你在一般的二維的球面上沿著紅線平移一個矢量
直覺上，你應該像下圖第一個圖這麼移動，而不是第二張圖和第三張圖這樣

把你的直覺總結成嚴謹的語言，就是矢量的長度不隨平移而改變，矢量與平移方向的夾角不隨平移而改變。

按照數學上導數算符的定義(梁燦彬的書上有)，原則上導數算符可以包含一個克氏符而依然滿足導數算符的定義，但是對任意的克氏符，你平移（平移就是矢量沿著平移的路徑的導數為0）一個矢量後可能就會變成第二張圖或者第三張圖那樣甚至更亂七八糟....但是在添加了以上符合你的直覺的平移的條件後，可以唯一的確定的克氏符。在一般的平直空間對這種符合你直覺的平移，可以得到克氏符就是0，但在彎曲空間，比如如下的二維球面，要使得平移依然滿足你的直覺對應的導數算符就必須要包含一個非0的克氏符了。

至於如何唯一確定克氏符和度規的關係..自己看書

慣性力

科里奧利力。