如何實現「向宇宙飛船外擲綁著溫度計的煤塊，即可判斷飛船能否飛離星團」？

本問題改編自俄亥俄州立大學「天體物理數量級估計」討論課（Order-of-Magnitude Astrophysics），原題太長了見鏈接，大意如下：

「假設我們乘坐的宇宙飛船誤闖一個球狀星團中央，失去動力。我們無法控制飛船的運動，它要麼按慣性最終飛離星團，要麼撞上星星。船長往太空扔了一塊綁了溫度計的煤。這塊煤的溫度先快速下降，然後降溫放慢，漸進於 25 K。我們還有沒有機會逃出這個星團，不撞上周圍密密麻麻的恆星呢？」

煤是黑的，可以認為是黑體。

假設球狀星團中心的恆星近似均勻各向同性分布，且均為年老的紅矮星，通過煤的溫度可以算出來輻射密度，進而算出恆星空間密度，進而可以算出來周圍所有恆星的截面積占天球面積的比例，也即沿直線行進撞上其中任一一顆恆星的概率。

假設煤是半徑為R的球體，反射率為α。
如圖，式中P為煤球吸收能量和輻射能量達到平衡時的吸/放功率，T為平衡時的溫度（25K），σ為斯特藩常量，Tsi、Rsi、ri分別為第i個恆星的表面溫度、（真實）半徑、與飛船的距離。
假設煤球與任何可能擋光的物體（如飛船）都離得足夠遠、以至於不會影響估算。

使用的第一個近似，是恆星與煤球的距離很遠，比煤球和恆星的半徑都長得多。這個近似明顯是合理的，因為煤球的尺度最多能達到1m量級，恆星半徑則是10^8m量級，而距離至少應該是光年量級（10^16m量級）的。這個近似實際上已經是很準確的了。
第二個近似，就是在倒數第二行中，把恆星溫度項提到了求和符號外面。這是近似地認為所有恆星的溫度都差不多，或者有一個可以等效的平均值。最後的數量級估算中，採用了Ts≈2500K。如果採用Ts與太陽差不多，那麼最後的答案會再小一到兩個數量級。

但是，這個題其實還不夠嚴謹。因為這隻能估算出恆星真實地佔據了多大的空間角；至於飛船會不會撞上恆星，要採用的不是恆星的「真實半徑」，而是「瞄準半徑」。
如圖，設恆星質量Ms，半徑Rs；一艘飛船在足夠遠處的速度為v0，航向與恆星中心距離為a，以雙曲線軌道接近恆星，而軌道最低點恰好與恆星相切。這個a就是（對應於速度v0的）瞄準半徑。設最低點的速度是v1，可以由角動量守恆和機械能守恆列出方程組，解出a和v1。這裡只計算瞄準半徑a，不管v1。

理論上，要計算無動力飛船撞上恆星的概率，不應採用前面算出來的真實半徑對應的空間角Ω，而應該用各恆星瞄準半徑所對應的Ω。
但是這裡題目中沒有給出飛船的速度，所以我們只好做一個簡單的估算。
假設飛船的速度為20km/s。對於一般的行星及其衛星，瞄準半徑與實際半徑相差不會太大。比如，在給定v0=20km/s的情況下，月球的瞄準半徑只比真實半徑大0.35%，地球的瞄準半徑是真實半徑的1.08倍。至於木星，其瞄準半徑是真實半徑的2.33倍，而如果針對太陽，其瞄準半徑將達到真實半徑的22倍。
可見，如果題目中所指的飛船的速度大約在幾十km/s的量級，那麼恆星瞄準半徑可能會是真實半徑的十倍到幾十倍，這會對答案的數量級造成明顯影響——如果瞄準半徑是真實半徑的十倍，那麼採用的空間角就應該是原數值的一百倍。
但是，如果這種敢於這樣冒險的文明科技足夠先進，那麼飛船速度應該遠遠不止是10km/s量級。如果這艘很先進（卻恰好帶了一塊煤）的飛船的速度達到1000km/s（0.003c左右），那麼即使是太陽這樣的恆星，瞄準半徑也只是真實半徑的1.09倍而已。這樣，忽略瞄準半徑和真實半徑的差別，基本上是可以接受的。

等等，還有一個問題。這裡前面只保證了不會直接撞上恆星，而沒有保證飛船會經過一個恆星的引力場，然後改變航向。所以，理論上，可能還有一種更保險的估算方法，就是把每個恆星對應的空間角，採用其引力範圍（一般可以取大約是半徑1光年左右的數量級）、而不是真實半徑或瞄準半徑所對應的範圍去估計。對於進入恆星引力範圍、而沒有撞上恆星就又飛出的情形，可以用迭代的演算法、回到初始狀態，重新以這樣的概率遭遇 直接飛出/經過恆星引力範圍/撞上恆星 這三個情況中的一個情況。

往外扔物體，可獲知飛船速率，由於在星團內部，速度方向可不考慮。