如何理解星系團研究里的 angular two-point correlation function?

能否相對簡單的介紹一下，以及能否舉幾個常見的情況下（比如一個星系團，或全是場星系）函數的形式。

星系分布的兩點相關函數（Two-point correlation function，2PCF） 可以寫成（以下δ為星系密度，θ為星系位置）：

f(Δθ) = &<δ(θ) δ(θ+Δθ)&>

以上公式我們可以理解為：選任意一個（坐標為θ的）星係為中心，在它相隔距離為Δθ的地方，有多大可能找到另外一個星系。f越大，可能性越高。

－－－－－－－－－－ 以下為舉例 －－－－－－－－－

以重子聲學振蕩（Baryon acoustic oscillations，BAO）為例，宇宙初期（z &>＝1100）物質震蕩，造成後來到了宇宙中晚期，在一定距離的星系都會聚集在一起（cluster）。如下圖，兩個白點之間的距離是Δθ，如果你把它想像成一個尺子，你把這個尺子在圖上任意移來移去，每次移動，就記錄下來它兩端的星系密度，把所有這些值求平均，就得到了2PCF，f(Δθ)。

（但是注意該圖是誇張了的，實際的clustering沒有這麼強）。

實際測量的BAO如下圖（來源：Eisenstein++2005，http://arxiv.org/abs/astro-ph/0501171）。紅綠藍三條線是不同的模型，紫色是沒有BAO（星系在宇宙中比較均勻地分布）的情況。Eisenstein小組用SDSS的數據，率先測出了星系喜歡在大約100Mpc的距離扎堆。

類似的是2PCF的傅立葉轉換（Fourier transformation）——功率譜（Power spectrum）。功率譜的使用甚至更加廣泛，因為它的計算相對2PCF要快很多。比如探測宇宙微波背景的Planck望遠鏡的結果（如下圖，來源：Planck），就是用功率譜而不是2PCF發的。你看到在 L＝200，600，800等地方有峰值，這些就是微博背景中任意兩個高溫區的常見間距（也可以是兩個低溫區）。

https://www.google.com/url?sa=tsource=webrct=jurl=http://www.ncsa.illinois.edu/People/kindr/projects/hpca/files/ECE498AL_report.pdfved=0CCUQFjACahUKEwiPwYOe34XHAhWiLqYKHalOADcusg=AFQjCNFRnBagb4HfRqR__IaH9xoyh2ZyEAsig2=eYHQ3EoscCHbdXDMLy1cGg

這篇文章很詳細也易懂