如何證明地球是圓的？
似乎平時知道的一切，都是別人留下來的，我們都沒有疑問的相信，那麼如何稍稍證明一下別人的話呢？最基礎的，我們被告訴地球是圓的，為什麼我們沒有懷疑呢，現在懷疑呢，如何自己動手證明？
（聲明，本答案版權歸 @匡世珉 和我所有)
對於地球（在這裡直接用「地球」並不是先入為主地說明大地是個球，只是方便起見）的形狀，在很久很久以前就有人研究過。但我們的祖先活動範圍狹窄，因此只能憑直覺得到「天圓地方」的結論，而這個結論隨著生產活動的不斷發展也受到了挑戰。比如很多知友提到的，大海上遠去的帆船，是船身先看不見，然後再是船帆。除此之外，如果一直向南走，一些星星會從地平線上消失。
這些現象說明，地球表面不是平的，而是向上凸起的弧。但是注意，這些現象並不能說明「地球是個球」，因為它有可能是這個樣子的：
中間是凸起的，而四周則是平坦的無限延伸。不幸的是我們生活在中間的凸起上，因此錯誤地認為地球是個球。
當然啦，這點小問題難不倒人類。很快，一個看似可行的證明方案誕生了：
繞一圈。
1519-1521 年，麥哲倫率領的一支船隊完成了人類歷史上第一次環球旅行，這是地球是個球的有力證據。不過事情遠遠沒有結束，甚至，才剛剛開始。
假設你是一隻螞蟻，你在一個巨大的物體上爬動著。你向一個方向不停地爬，一段時間後你回到了原點，這就能說明你是在一個球上爬嗎？不是的。
當然，我們不考慮「麥比烏斯帶」這種高端的東西。把思維放在正常的空間里，我們所謂的「地球」，其實也可能長這樣：
地球可能是一個游泳圈一樣的形狀，而環球旅行也相應地有兩種情況：
然而作為只能呆在地球表面的人類，是無法區分所作的「環球旅行」究竟是繞了地球一圈，還是繞了「地甜甜圈」一圈。怎麼辦呢？
下面要出場的是今天的主角，也是解決這個問題的人。這個人十分古怪，每天就喜歡拿著一根繩子。別人問他這根繩子有什麼用，他說，這就是宇宙的真諦。
他就是亨利·龐加萊，一個非常非常厲害的數學家。他告訴了人們，怎麼在不離開地球表面的情況下，區別地球是個球還是一個甜甜圈。
他的方法很簡單，需要用到的工具只有他的「宇宙真諦」——繩子：
再做一次環球旅行，不過這次要事先在船上系一根繩子，繩子的另一端固定在出發點。做完了環球旅行，我們就可以把船上的繩子和出發點的繩子綁在一起。這樣繩子就構成了一個封閉的圈。
龐加萊要求我們在這個時候試著去收繩子。因為地心引力的存在，繩子是不能飛起來的，它只能貼著地球——或地甜甜圈的表面移動。龐加萊告訴我們，地球是個球而不是甜甜圈當且僅當我們可以把繩子收到一個點。
地球是個球的情況很好理解：想像著繩圈一點一點地縮小，最後縮成一個點。這在一個球的表面是很容易完成的。
而甜甜圈上我們需要考慮兩種情況。第一是繩子繞了整整一個大圈，這種情況下如果要收縮到一個點，繩子勢必會經過中間的空洞。但是我們已經說過，繩子必須貼著地面移動，因此無法收縮到一個點；第二種情況是繩子繞在了甜甜圈上，那麼顯然無法收縮到一個點——否則會把甜甜圈「鋸開」。
這看似簡單的結論卻有著重大的意義。因為我們現在已經可以離開地球，從太空中看到——地球真是個球。但我們無法離開宇宙，但我們又想知道宇宙的形狀，怎麼辦呢？
龐加萊猜測，如果我們造一艘宇宙飛船，在飛船上綁一根繩子。很久很久以後，飛船回到了地球表面，我們開始收繩子。如果繩子總是能收回來的，那麼宇宙就是個三維球面。這就是著名的「龐加萊猜想」。用數學語言描述是這樣的（以下非人話）：
任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。
當然，你不需要知道這句話的準確含義，只需要大概理解就行了。裡邊不是人話的詞大概是這個意思：
單連通就是說，繞一圈的繩子總是能收到一點；
流形就是局部具有歐式空間的空間，你可以認為你能想到的各種各樣的形狀都是流形，比如一個圓、一條連續的函數曲線等等；
同胚的意思是，你可以通過一些特定的變換把它們變成一樣的。
這個猜想的證明是頗費周折的，不少數學家都投入到了這個定理的證明中。第一個值得一提的人是斯梅爾(Smale)，他首先想到如果三維情形的猜想很困難，高維情形會不會簡單一些呢？事實證明確實如此。
1961 年，他公布了自己對龐加萊猜想五維及以上情形的證明， 他也因此獲得了 1966 年的菲爾茨獎。
1983 年，弗里德曼(Freedman)證明了四維情況的龐加萊猜想，他因此獲得了菲爾茨獎。
但在此之後，龐加萊猜想的證明陷入僵局。直到哈密爾頓提出了 Ricci 流的概念。Ricci 流是一個方程，可以做一些拓撲上的變換。
2003 年，佩雷爾曼（Perelman）終於利用 Ricci 流證明了龐加萊猜想。
值得一提的是，佩雷爾曼獲得了菲爾茨獎，而龐加萊猜想也是有懸賞的——一百萬美金。不過佩雷爾曼既沒有去領獎，也沒有去拿錢。他的解釋也很霸氣：
整個宇宙都在我的掌握之中，誰還稀罕那一百萬美金？
在發表了關於龐加萊猜想所有的證明後不久，他就淡出了人們的視線。而之後的一段時間便是全世界的數學家驗證的過程，中間有一些爭議，但最後還是確定了證明的正確性。至此，龐加萊猜想的證明完成，猜想變成了定理。
有了龐加萊猜想，我們可以知道地球的形狀，甚至知道宇宙的形狀，但這卻只是拓撲學的冰山一角。許多分析里的結論都可以從拓撲的角度理解。比如說連續函數的定義在拓撲里只有一句話：開集的原像是開集，而在分析中卻需要繁瑣的 語言來定義，這方面問題屬於「點集拓撲」。此外，我們還可以賦予不同的拓撲結構以不同的群，稱為「基本群」。這樣的研究方式屬於「代數拓撲」。關於更深的拓撲學知識，我也不太了解，感興趣的讀者可以自行去閱讀。
拓撲學的很多概念打開了我們認識世界、認識數學概念的另一扇門，把很多看似不相關的數學概念聯繫了起來。而拓撲學又只是數學的一個分支，整個數學的大樹枝繁葉茂，延伸到無窮，而我們終究只能窺到其中幾個小小的樹枝。那麼，學習和研究數學的目的是什麼呢？
為了人類心智的榮耀(Pour l"honneur de l"esprit humain)
(Bourbaki)
完
我這個回答其實涉及到的是題主真正想問的問題：
「1.在沒有親眼見過確鑿證據的情況下，我們為什麼相信多數人說的「事實」就是真的事實。
2.如果你沒有見過確鑿的證據，如何證明多數人宣稱的「事實」是真的事實。「
這涉及到一個概念「習得性偏見」，人們傾向於相信「反覆聽到的事情」，並堅信不疑。這是深刻根植在人類基因中的認知方式。為什麼呢？讓我們回到人類還在非洲的時候，你是一個原始人，你剛剛吃完早餐，然後出門的時候你發現了一個動物：
哎呦，這是什麼東西？你是第一次見，雖然你聽同伴說這玩意叫獅子，非常危險。但是你是嚴謹的原始人，你覺得不證明怎麼相信，那不是無稽之談呢？於是你上前擼大貓，獅子第一次見上門的早餐，它也不客氣。你們獲得了雙贏：你在死前證明了一件事，獅子吃到了自己的早餐。可喜可賀！
這是事情本質上是說明兩個問題： 第一，人無時無刻不得不做出選擇。第二，這個選擇的時間往往是有限的。 比如，如果你遇到野獸，要麼逃跑要麼戰鬥，得馬上決定，而不是在那裡先拍個合影，然後慢慢決定。 所以人類在長期進化過程中就形成了「習得性偏見」，本質上是將「認知」的成本轉嫁給他人，而自己只需要根據這些習得性的「偏見」來做出判斷，這是一個兼顧了「效率」和「準確性」的做法。所以，其實學者式的思考方式本質上「反人類」，這就是理性思維出現得那麼晚的原因之一。我們沒有那麼多奢侈的時間去「證明每一個常識」。更何況，如果你不斷去質疑，那麼你的成本就就太高了。不是簡單的時間成本，這還涉及到群體博弈的問題，下面舉一個例子。
小明是一個很軸（愛鑽牛角尖）的中學生，老師告訴小明代數基本定理是對的，考試可以用。但是小明能力有限，看不懂證明，認為那都是錯的，明明都沒有具體的解法怎麼就是對的呢？反正你不接受。然後考試的時候，小明會去用「代數基本定理」嗎？小明會的。因為小明知道別人都會用，如果他不用那麼就他一個人不得分，如果他用了，但是考試完後數學界證明這個結論是錯的，然後分數重置，要錯大家一起「錯」。所以，基於公眾常識做出一個判斷不但不是愚蠢的，很多時候是明智的。當然了，也有反例，比如泡沫時期。你越早逃離泡沫越早解脫。
這還涉及到一個問題，現代的科技產物往往是各種知識雜交的結果。如果一個很軸的人軸到和自己過不去，那麼他的日常生活是進行不下去的，因為他使用的大部分東西都或多或少涉及到他壓根不懂的知識，比如車載全球定位儀涉及到相對論。他壓根不知道什麼叫張量分析，但是他知道要是他不能到女朋友制定的地方接他，他就得跪搓衣板了，所以他還得信任定位儀。 在你知道的日常用品中蘊含了你壓根沒證明過的知識，你其實每次在用就是在證明一次那個事實。
那麼回到一開始的問題，我們怎麼知道一個大部分說的事實是「事實」呢？怎麼去證明那是事實呢？答案是：大部分情況下你不需要證明，你要做的和古代人一樣：認知代價轉移。把一件事的對錯交給專家，或者是「科學共同體」，聽取他們的意見就好了。比如，我的生物博士同學告訴我燕窩魚翅其實都沒啥高營養價值，我自己沒做過實驗，沒測過，其實他也沒親自測過，但是我和他都選擇相信。 這沒毛病。 因為這是科學家的暫時共識。他們一定對嗎？自然不一定。但是，你選擇這樣做可以在「效率」和「正確性」上做到平衡，作為一個普通人，這是非常明智的選擇。如果你非要相信這兩個貨裡面有什麼神秘的科學未曾證明的好東西，你耗費大量的金錢在這個上門，最後60而壽終，那麼大家也只會說你是蠢貨而已。如果科學共同體對某個問題也是各執一詞雙方比例相同怎麼辦？那麼你也存疑，別太早站隊。反正估計也和日常沒啥關係。等他們吵完了再說。
但是如果你獲得的一個消息來源是一個不那麼可靠的媒體，比如微信朋友圈，比如cnn，那麼你就看個樂，千萬別基於這些消息去做出重大的判斷，如果要做，起碼先去證實一下。別因為聽一個羅輯思維就憋著互聯網創業去。看到女兒患病求資助的消息，你也別馬上就捐款，起碼別大額捐款。等子彈飛一會再說，特別是在這個不斷反轉的社會。在網路上不要對一個即時新聞過早的做出判斷，等它們沉澱一會兒，認清情況再說。特別是你需要清醒地認識到自己對於一件事有沒有預設的立場和情緒，一個睿智的人會意識到自身的局限性而保持一定的冷靜，而不是被自己的情緒左右。那些看起來為屌絲為底層吶喊的文章其實只是求點擊，本質上是在撕裂社會。所以，聰明的做法是不斷篩選那些可信的消息來源，什麼人在什麼事情上是可信的，並且對於他們說的話保持一定的懷疑，在重大決策前或者自己求證或者多方印證。我很喜歡的一個科技達人卓克說得好：知識這個東西需要不斷的修正，特別是從別人那裡得到的知識。
好了，那麼「小部分情況」是什麼呢？如果你是學者，你本身就是科學共同體的一份子，那麼你對一個未知事務就要抱著苛刻和非常審慎的態度了，對於你的工作領域的問題，你要去看實驗是否能夠被重複（即使不是本人），你要去非常謹慎而苛刻的去證明一個事情是否正確，是否和原來的體系保持一致。因為你接受一個觀點，那麼普通人對於這個觀點也會傾向於相信，責任可謂不小。 作為同為科學共同體的一員，我們是開拓人類認知邊界的民工，我們深感責任重大。不敢懈怠，這也是我討厭民科的原因，他們太不負責任了。
ps：看了一些評論，我的感覺是：知乎上很多人連閱讀能力都失去了，而且這些人還特別跳。
印象中實用主義哲學家詹姆士好像討論過相關問題。他認為人不可能去親自驗證他所獲知的所有知識，所以一個人對於其所獲知的大部分的知識的相信是建立在他對其他已經親自驗證過該項知識的人的信任基礎之上的。所以人類知識的一個很基礎的部分就是信任，他把知識體系和金融體系進行類比，認為缺乏信任的知識體系，就像缺乏信任的金融體系一樣必將崩潰。
謝邀。
上溯到幾千年以前，人們就通過不同的方法推斷出地球的形狀，比如遠方駛來的帆船先出現船帆，再出現船身；月食時，地球的陰影總是圓形的，等等。在認識了萬有引力之後，其實我們也可以用引力來證明這一點。
如果地球具有一個奇特的形狀，它在不同地點的引力方向和大小也會有出人意料的變化。比如，如果地球是一個平面，那麼只有住在平面中心的人會感覺引力垂直指向地面，而其他地區的人會發現引力是傾斜的。
由於人類把引力的方向定義為向下，所以住在平面地球上的人會感覺他們住在一個中間低，四周高的大碗里（Mandelbrot：為什麼到現在還有人堅信地球是平的？甚至還有modern flat earth societies.這些人都是怎麼想的？）。
這顯然不符合現實。至少我從來沒有見過有人抱怨自己住在一個大斜坡上。
如果地球是其他匪夷所思的形狀，比如一個立方體或正四面體，人們也會觀察到類似的現象。然而，如果你在真正的地球上觀察，就會發現，引力的方向總是和地面垂直的。要進行這樣的觀察，你只需要採用鉛錘這樣的簡單工具就夠了。如果你對觀察的精度要求不高的話，那麼你不需要任何工具，你的日常體驗已經告訴了你答案。
此外，你還會觀察到，不同地點的重力機加速度都是一樣的。同時滿足這兩個特點的，只有球形。
如果你測量重力加速度的精度很高，你會發現不同緯度上重力加速度實際上並不一樣大，從而爭辯說地球並不是一個完美的球體。你說得對，事實就是如此。
這個方法只能在陸地上使用，因為海洋總是會適應引力的方向改變自己的形狀。比如，在一個平面或立方體的地球上，海水會聚集在平面的中心，形成一個類似球冠的形狀（Mandelbrot：如果地球是立方體的且穩定存在，我們的生活會發生怎樣的變化？）。所以，引力方向總是垂直於水平面的。
由於同樣的理由，在海上觀察從遠方駛來的帆船這種方法也是靠不住的。它只能說明（在被觀察的地點），海洋的表面是彎曲的。
當然，這樣的局部觀測方法都是不嚴密的。你只能說明在你居住的地方引力與地面是垂直的。萬一你恰好住在一個平面地球的中心呢？為了提高可靠性，你需要對整個世界的不同位置進行取樣。樣本數量越大，密度越高，「地球是球形」這個理論成立的概率就更高。
其實，更可靠的方法是乘上宇宙飛船，沿著不同的方向繞地球轉幾圈，地球真正的形狀就會清晰地展現在你面前了，不過我估計題主應該買不起船票（我也買不起）。網上找到的地球照片並不可信，它們很可能是各國政府偽造出來欺騙我們的。目的嘛，也許是為了避免製造地球儀的公司破產，從而引發經濟動蕩。不用著急，這裡還有一個完全基於理論分析的方法。前提是，你知道並且相信中學物理知識。
這個分析過程在Mandelbrot：為什麼星球都是球形的？中可以找到，我就不Copy + Paste了。這個分析的大意是說，天體在引力作用下會達到流體靜力學平衡狀態，從而形成球形。不過，它要求天體的質量達到一定規模。通過觀察太陽系中各種天體的形狀，我們可以發現，質量越大的天體，它的外形越接近球形。這不難理解，因為這裡的主要驅動力是引力。
比如，上圖中最大的小行星Vesta，半徑約400公里，已經比較接近球形了。而下圖中的小行星Ceres，半徑約473公里，基本上可以說是一顆球形的天體了。
我們居住的世界的尺度遠遠超過幾百公里（想想城市之間的距離），所以，它只能是球形的。
總體來看，題主問了一個不錯的哲學問題。
然而，這不是一個科學哲學問題。
科學科學哲學的討論，通常是以承認「知識的共同體」，或者至少承認「某種先驗概率是有意義的」作為前提的。
題主的這個問題屬於比這些更基礎的認識論問題。
@白書旭 同學的高票答案從他專業的角度解答這個問題，不過並沒有針對性的解決題主的疑問。
而有些答案中，把問題歸結到聽從「科學權威」，這顯然是一種反智的回應，「科學權威」可能是朗道、也可能是李森科。
本回答不會去討論那些古典哲學認識論的概念，因為答主對其中很多概念也不夠熟悉。
以下正式回答：
我們不需要去討論「心外無物」、「笛卡爾妖」、「缸中之腦」，這些邏輯存在明顯漏洞的論證。
我們以物理主義為前提，以認知科學的研究為依據，仍然會發現，我們並不能確定我們觀察到的「現象」是來自神經系統以外，還是神經系統內源的。
感官錯覺是很容易產生，一個「現象」包含了神經系統外源的信號以及神經系統內源因素。
我們甚至不能確認自己的經驗是全部是外源的，還是有虛構的成分。
而我們建立的概念，全部是虛構的模態(Modal)，並不是直接來自於感官經驗。
「物理主義」的概念本身也分為兩類，「基於理論的物理」(作為語言邏輯學觀點的物理主義，認為對於一切現象都可以給出相互關聯的描述)，與「基於對象的物理」(作為對象本體論觀點的物理主義，認為一切現象之間就都是相關的)。從模態虛構主義的角度來看，後者是我們不論如何都無法驗證的，其實從科學哲學的角度來看是一種非科學的觀點，而前者則可以被視為是一種科研建模的方法論，以判斷模型是否有實驗驗證的可能與實用意義。
科學方法論，作為判斷推理演繹知識能否成為經驗知識一組方法，模態可證偽性的判定與可重複性的實驗，其也是基於一組認識論的信念，即先驗概率與知識共同體。
這裡為了解決先驗概率，先跑題討論一下另一個問題：
在社會化生物的進化歷史過程中，反覆的博弈篩選過程下，某些策略在社會化生物種群中會取得優勢，合作模式與社交需要所對應的基因型的勝出，合作模式與社交需要就好像神秘主義詮釋的一樣「內化於」基因之中。
其最終表現為我們這些社會化生物個體，對於主體之間「超越」概念的需求，其在進化的背景下成為了我們的一個需求，而「超主體」是這方面一個最簡化的概念。
這些神學概念，可能不是物理主義的理論，但是其在心理需求的角度上，其同樣與在理論建模角度上的物理主義一樣，是實用主義的。
更進一步，一個符合物理主義的神學概念不一定是沒有吸引力的，神學不是以神秘和超自然為基礎的，而是以某種超主體的概念為解決社會性生物的心理需求，通過這個概念構建內向性的驅動，幫助面臨困境與社交忽視是個體。而最簡單的「超主體」類概念，自然一種泛神論式的唯一神論，是以柏拉圖式共相論為基礎的絕對的理性體概念，或者是一種生命內在論的神學。而這些並不一定要求「超越物理」，只需要超越主體。
之後我們回到先驗概率、知識共同體的問題：
先驗概率、知識共同體，雖然是認識論的概念，但是仔細分析，其實與上述的「超主體」概念是非常類似的。
這裡正好回復一下 @涼風日富美 、@劉鎮銳 與 @切力哦 在之前一個問題下關於「按概率行動」的合理性的討論。
選擇相信貝葉斯先驗概率，不一定能夠僅僅依靠考慮為基於邏輯推理和統計學給出詮釋，而且需要考慮一種目的論的需求問題，以給出一個實用主義角度的解釋。
這樣就可以通過自然選擇對選擇相信先驗概率、知識共同體與否的生物個體的篩選作用，補全 統計學概率 到 按概率行動 之間的空缺。
現在我們來討論物理模型的問題：
不同的物理模型作為一種模態，針對同一個物理對象，不同的模型完全可以是相容的，並且可以根據不同的實用需求，選擇相應的物理模型。
不同模型之間的連續性，也是「基於理論的物理主義」的關鍵。
「波粒二象性」是一個重要的例子。在處理特定對象的情況下，需要把「量子場論」退化到「量子力學」，把「量子力學」退化到「經典力學」，也是其例子。
具體到題主地球是不是圓的的問題，也的確不是所有情況下，把地球都處理為球體都是最實用的：
對於我們學習走路、機器學習通過攝像頭實現自動駕駛等問題，顯然把地面處理為一個平面是最實用的，這也是我們不需要基礎教育就能習得的模型。
而對於一些地圖製圖、流形研究、廣義相對論、宇宙學問題，把星球表面通過非歐式幾何變形為非球面也是更實用的。
但是，不論你是搞航天、氣象，還是只是出差倒時差、在家種地。把地球處理為一個球面都是最實用的。
把地球考慮為一個圓盤也是可行的，並且加上一個向上的加速度，也可以很好的解釋重力，如果只需要粗略的解釋重力，地球是一個圓盤與地球是球體是等價的。
但是其無法為氣候帶等問題給出解釋，並且無法解決圓盤旋轉離心力的問題，所以其相對來說是不實用的。
作為通識教育的學校教育，其所教授的內容，是需要達到對大多數人來說最廣泛程度的實用的。
對於大多數人來說，地面是一個平面的模型不需要學校教育就能自己建立，所以要教授地球是球體的模型概念。
如果你作一些地圖製圖、流形、宇宙學的研究，可以說地球是球形對於你不是最實用的。但是在大多數情況下，把地球處理為一個球體的模型目前具有最廣泛的實用性。
總結：
在技術進步的歷史上，雖然技術進步總有一定程度的懷疑論作為基礎，但是實用主義總是更重要的推動因素。
判定一個模型是否實用的最基礎方法，是科學方法論，即模態可證偽性的判定與可重複性的實驗對模型的驗證。
對於具體的物理對象，處理具體的問題，需要進一步選擇特定的科學的物理模型。
通識教育所教授的內容需要達到對大多數人來說最廣泛程度的實用。
簡單一點的辦法是學一點測地學的知識，帶上全站儀和標尺，測量足夠大的地區，就能發現地球表面的內稟曲率不為零，在大範圍下有大於零的均值。並且在地球各處的平均曲率差不多，滿足這種性質的曲面只有球面，即可證明。
另一種辦法更直觀，上天繞著地球轉個幾圈（推薦極軌軌道，可以遍歷各種視角）看看地球的各個視角投影都是圓形，滿足這個條件的也只有球型。（這個也不複雜，因為照片很多）
關於認識世界方法論的問題上，只要當前的主流模型在應用中沒有發現在此框架下不可解釋的矛盾現象，那就可以接受其是可信的。
其實如果你發現了矛盾，如果不是你搞錯了，那麼基本上肯定早就有人在著手新的解釋模型和理論框架了，不過在這些新的理論能夠更完美的預言實驗結果之前，都不具備更高的價值。
你看，太陽是圓的，月亮是圓的，你地球好意思是方的嗎？
照片都拍給你了，還要怎麼證明？
===========2017.10.12修改
原答案（部分）作廢。歡迎各位朋友也來思考和評論。
原因基本如 @任道正 在評論區所述。
但問題來了，光走的是直線(不考慮引力場導致光的彎曲)而不是貼地面走的！而三點必然在同一個平面內，所以這種方法測出的肯定是Pi~
我大概搜索了一下好像確實是這樣。。。見https://thatsmaths.com/2014/07/10/gausss-great-triangle-and-the-shape-of-space/
There is no clear documentary evidence that Gauss was actually seeking evidence of non-Euclidean geometry of physical space. Indeed, doubt has been cast by some experts on this idea: mathematician John Conway [MathForum, 1998] pointed out that a departure from Euclidean geometry large enough to be measurable on the scale of the Earth would result in massive distortions on an astronomical scale, and would have been evident long before Gauss made his measurements . Moreover, Bühler, in his biography of Gauss [Bühler, 1981], dismisses as a myth the idea that Gauss was measuring the curvature of space. He considered that the purpose of the great triangle was to act as a control to check the consistency of the measurements of the smaller triangles within it.
Gauss當年確實測量了距離，也確實算了角度，也確實等於pi...
但是我想即使沿用類似的思路，仍然可以設計類似的實驗，（我沒做過實驗，以下為瞎扯）比如
- 繼續Gauss的實驗，考慮廣義相對論的效應， 計算誤差應為
,其中A為三角形的面積，計算結果大概為10^-14 rad. See Hartle, J. B., 2003: Gravity: An Introduction to Einstein』s General Relativity. Addison-Wesley. ISBN: 9-780-80538-662-2
- 利用曲率的其它刻畫來進行測量。比如計算先向南走100米、再向東走100米和先向東走100米、再向南走100米之間的誤差。
註：Gauss是在他當土地測量局局長的十年間對微分幾何產生了興趣，並提出了Gauss curvature 及 Theorema Egregium. 我希望Gauss當年有自己的某種測量曲率的方法吧。
===========以下為原答案
高斯當年的做法是登上三座山測量三角形內角和，可以發現嚴格大於pi。
當然用這個辦法都足以把逐點的Gauss曲率進而是地球半徑算出來了。
用一點微分幾何的知識可知二維常正Gauss曲率曲面只有球。
PS. 對於題主提出的『相信』的這個問題，我想應該這樣回答。確實，大眾媒體上可能會有很多假的事實。不過對於科研來說，我們要足夠相信隊友，別人claim的事實、已經發表過的事實，我們還是可以相信的。
===========2017.8.17補充
類似的操作現在仍然存在。
由廣義相對論中的知識我們可以知道宇宙的Ricci曲率決定了時空的物理性質。所以說我們可以在地球附近做做實驗測出地球附近的Ricci曲率。又比方說我們大概差不多可以相信宇宙是均勻的(homogeneous), 這樣可以獲得整體的Ricci的估計，進而我們可以用微分幾何的辦法了解宇宙至少在拓撲上有哪些限制。
其實要駁倒那些傻逼扁平地球論的人很簡單
叫他們分散於地球各地
同時分別測量幾個參考天體的位置，同時在電話里彙報這些天體的方位角和高度
有了天體參考，這樣很容易就算出他們所在的位置的地面的法向量
法向量如果不平行，看他們以後誰還敢瞎逼逼地球是平的
之所以扁平地球論這些傻逼沒有實踐這些實驗，可能有以下原因：
沒朋友和他們合作；
買不起去各地的機票；
打不起長途電話；
比較文盲看不懂星空（就這樣還有人敢瞎逼逼星座）；
比較文盲算不來法向量；
題主這個問題其實問得非常好。
因為這個問題說明了一件事情：
極端獨立思考 = 唯心主義 = 缺乏從龐雜的沒有置信度的信息當中提煉有價值信息的能力。
就好像你玩狼人殺。
一個預言家再說出花來，都沒辦法從正面直接證明他是預言家給你看的。
但是有些玩得好的人，就能從其他的蛛絲馬跡當中，獲得有價值的信息。
從而相對有效地判斷一個人有沒有說謊。
但是「極端追求獨立思考」的人不行。
因為他對所有其他的事物都採用沒有證明就是不可置信的判斷標準。
所有信息對他來說，就都是無效的，可以忽略的。
於是就變成了徹底的唯心主義。
即睜開眼睛，只有看到的世界才是真實，而閉上眼睛，世界就是無。
證實不如證偽。
為什麼這個問題會討論這麼久？
在古代要證明恐怕是比較費時。但是在現代，要證明地球是圓的，您只需：
打開微信
我們只需要知道事實與證據(現象)相符的那部分是什麼樣的。我們現在的一切認知都是與我們能看到的現象不相違背的。
接下來看問題描述。
1.在沒有親眼見過確鑿證據的情況下，我們為什麼相信多數人說的「事實」就是真的事實。
我們相信一個「事實」的前提是，我們可以認識它。比如，對天生沒有視覺的人來說，天空是藍色還是綠色，並沒有太大區別。那麼這個盲人就算相信天空是綠色的也沒什麼不對。
如果一個「事實」是雖然很多人相信但任何人都無法認識的，那麼它就不屬於客觀世界，我們自然沒有必要去相信它。
而「地球是圓的」這種事情是正常人都有機會發現其確鑿證據的，所以它成為了多數人認知的事實。
2.如果你沒有見過確鑿的證據，如何證明多數人宣稱的「事實」是真的事實。
如果你是一個盲人，你自己就無法證明天空是藍色的。天空是藍色還是綠色，並不會對你的生活產生任何改變。這種情況下，答案是——無法證明，也不需要證明。
如果你有機會見到確鑿的證據，那麼當你見到的時候，與證據相符的那一部分，就是你要相信的事實。
如果你不想去找這個證據，又和這個事實的支持者觀點不同呢？
見過確鑿證據的人會覺得你是傻子。
樓上的諸君從經驗的角度給出了答案，但實際上，提問者問的是哲學問題。翻譯過來就是：怎麼證明「經驗」是「可靠」的。或者說，假設世界存在本質，那麼可以怎麼達到它？
從這個角度上想，問題是非常經典的。很多人有不同的看法。我這裡難以一一介紹了。而且，這個問題很難找到正確的標準答案，因為其某種意義上，問題在懷疑一切所謂正確與標準答案的存在本身。
從馬克思主義的哲學來看，世界是物質的，我們能夠通過感知器官來獲得有關的信息，這些信息是否真實，或者是否能夠判斷是真實，並不重要。因為這對你的一切沒有任何幫助，比如說，地球其實不是球體，但表現出球體的一切特性，然後你知道地球其實是方的，但這並沒有增添任何新的，實踐意義上的特性，從而被所謂的奧卡姆剃刀切了。那麼，地球是方的也好，圓的也好，只要地球表現出了圓的特性，我寧願相信他是圓的。這種觀點避開了懷疑論的攻擊範圍，拒絕應答本質是什麼，因為經驗是唯一的範圍，那麼，我何必去和你玩那些形而上的東西呢？
emmm……自證，在這裡我就理解成「可以自行操作的實驗驗證方法」了。
在這裡我推薦一套從古希臘時代傳下來的方法，除了耗費時間金錢比較多以外，是最為簡單也最好理解的辦法：
去海邊，觀察一艘開過來的帆船，一定是帆船尖先出現，然後下半部分才慢慢露出來。
這證明海平面相對於視線方向是有一個「下坡」的。
好，現在換到地球各處（為避免理解上的麻煩，最好選取一條直線上的各點），觀察是否仍有類似現象並記錄「從露頭到完全出現之間帆船行進的距離」，在各處進行比較。
第一點證明這個「海平面下坡」是各處存在的，第二點證明各處「下坡的坡度」是相同的。
隨便拿筆劃拉一下就可以看出來，擁有這種性質的只能是圓形。
調換上面直線的方向，繼續驗證地球的各個截面（準確來說是大圓）都是圓形且半徑相同。
OK，證明結束。
p.s.環球旅行本身不能證明地球是球體，只能證明地球是個封閉立體，所以還需要稍微麻煩一點。最笨的方法：觀察月食，類比聯想。
最抽象的方法：一種哲學，圓是完美的。都已經2017年了，飛上去看看不就知道了嗎？這種這麼容易證明的東西，課本說的肯定沒有錯。
不能證實，你就證偽。
既然你懷疑地球是圓的。（準確說，是圓球形，也不是標準的圓球）不相信這些證據。
那你給出證據，證明地球不是圓的？
不知道你有沒有聽說過一個叫做國際空間站的東西
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