複變函數和實二元函數有什麼區別？

11-26

為什麼不能直接把一個複數的實部和虛部分開做一個二元實函數來考慮還要創造複變函數這個東西呢？

答：
通過「把複數的實部和虛部分開做一個二元實函數」是不行的（在@部分解釋），要做兩個二元是函數外加，這兩個實數函數滿足柯西黎曼方程才行。根本原因是由於複數乘法的結構上的不同（R^2 是沒有向量乘法的), 導致了復可導的不同.

解釋：
首先要知道復可導的定義，也就實書中可導的鏡像。
如果f 是在 $z_{0} in mathbb{C}$ 復可導的話那麼，
$f$
h 趨近於0 而且 h 也是一個複數。

如果h 是一個複數，極限就會從所有方向趨近於0並且全部相同，而不僅僅是在實數情況下從實數軸的左右兩邊趨近於0並且相同。也就是其他人說的更強的條件。

@
問者的假設「把複數的實部和虛部分開做一個二元實函數來考慮」不成立的直接原因是：違背了復可導的定義。因為h 還是一個實數，所以你只用滿足，上下（x軸），左右（y軸）趨近於0並且各軸相同就行了，顯然比所有方向趨近於0並相同的條件要弱。

那麼為什麼僅僅把複數的實部和虛部分開做兩個二元實函數來考慮也不夠好呢？直覺上來講，
這麼定義無法在復可導下得到一個複數，結果只能是一個矩陣，也就是其他人所說的雅克比矩陣.
但是這兩者是有關係的，也就是雅克比矩陣的的entries之間是可以被等式連接的。
這個也就是大家說的柯西黎曼方程

下面連個鏈接中有兩種不同的證明。
證明1：在第八頁的Proposition 4.3
https://math.berkeley.edu/~murphy/185-Notes.pdf
證明2：第五題
https://math.berkeley.edu/~murphy/185-Solutions1.pdf

因為複數是有除法的。

二元實函數在某一點可導，可以說在某一點的附近，因變數的增量和自變數的增量之間的關係近似為一個線性變換，而複變函數可導相當於要求這個線性變換必須是旋轉+伸縮的形式。

如果把實二元函數在一點可導的條件加強為可微且雅克比矩陣的極限為 $egin{pmatrix}a-b\baend{pmatrix}$ ，兩者就扯平啦。

復可微條件更強，這裡將 $mathbf{C}$ 和 $mathbf{R}^2$ 等同起來通過 $x+iymapsto (x,y)$ 。

一個複函數 $f:mathbf{C} omathbf{C}$ 是復可微的當且僅當對應的函數 $f:mathbf{R}^2 omathbf{R}^2$ 是實可微的並且滿足Cauchy-Riemann條件。

因為這是一種特殊的二元函數
f(x+iy)表示了對x與y的偏微分滿足 -i 的比例，除非喪心病狂的在 f 中放 Re Im之類禁忌物
另外一個好處是萬一需要旋轉對稱的話，寫成複數或者三元數會方便一點點

傅立葉技術和泰勒級數完美統一，雙曲函數和三角函數完美統一，完全就是開了上帝視角，從高維的角度看世界。

單說可微這一點，複變函數就與二元實函數有區別了！

二元實函數可微，意味著偏導數存在；而要使二元實函數可微，偏導數不但要存在，還必須連續。但是複變函數呢？複變函數可微，意味著實部和虛部偏導數不但存在，還必須滿足柯西黎曼方程；而要使複變函數可微，單實部和虛部偏導數存在且連續還不行，必須滿足柯西黎曼方程。這說明複變函數的可微比二元實函數的可微條件更苛刻，如此苛刻的條件自然會有一些不同於二元實函數，且屬於複變函數獨有的性質。比如複變函數的零點和極點是孤立的，一些沒有導數的點也可當做正常點看待且不會帶來壞的影響，還有一些天生就是奇怪異常的點。還有許多出人意料的性質。

建議認真學學複變函數，這可以說是分析里最漂亮的一門學科了。

當然可以把複變函數寫成兩個二元實函數的形式，那只是形式上以及方便程度上的區別而已。
一般的複變函數和實形式的函數沒有區別，但是解析函數是它們比較小的一個子集，即使相應的實函數都是可微的，複變函數也不一定是解析的。

個人看法：有乘法除法構成域，除了不是有序域以外幾乎和實數性質一樣好，更高維就無法定義這樣的乘法

實二元函數的範圍太廣了，大學學習複數時，曾經定義過一個平方為1的數，結果也搞出了一套類似複數的代數系統，後來讓我驚訝的是，這套用純數學方式搞出來的系統，居然就是二維時空的狹義相對論。

複變函數只是實二元函數的一個子集合罷了，了解了其作為子集合背後的合理性，自然也就可以搞出類似複數的其他子集合。

參考：知乎專欄

復可微的條件比光滑強太多，以至於很多性質和代數函數比較接近，這種rigid的區別是基本的

你見過實二元函數能像複函數一樣兩個虛部一乘居然蹦出個實部？

為什麼不能直接把一個複數的實部和虛部分開做一個二元實函數來考慮還要創造複變函數這個東西呢？

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一個不行，要兩個，任何複變函數都可以化為兩個二元實函數.

不過這兩個是有聯繫的，所以合成一個複變函數比較方便.