價格波動率有沒有準確的表達式？

11-26

波動率分為兩種，一種是回望型波動率（backward looking），另外一種是前瞻波動率（forward looking）。前者是用歷史數據算出來的波動率，後者是根據現在的期權價格，用 B-S 期權定價模型反推出來的波動率。

前者是已經發生了的歷史價格的波動，我們算一個波動率，後者是我們對未來一個價格的波動率的預測，未必準確的。

先說前者，回望型波動率：

我們假設有這麼一支股票，表現如下表：

我們定義：
$n+1$ —— 觀測次數；
$Si$ —— 第 i 個時間區間結束時變數的價格，i = 0,1,……，n；
$au$ —— 事件區間的長度，單位是年

收益率 $u_{i}$ 的計算方式

$u_{i} = ln(frac{S_{i} }{S_{i-1} })$ ，i = 1，2，……， n （公式-1）

$u_{i}$ 的標準差 s 通常估計為：

$s=sqrt{frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}{(u_{i}-ar{u} )^{2} } }$

或者

$s=sqrt{frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}{u_{i} ^{2} } -frac{1}{n(n-1)}(sum_{i=1}^{n}{u_{i} } )^2 }$ （公式-2）

$ar{u}$ 是均值，標準差的估計方法是統計學裡的，如果忘記了可以網上查一下，或者看一遍可汗學院超簡單的教程。

按照上面的數據，我們可以得出：

$sum_{i=1}^{n}{u_{i} } = 0.09531$ 以及 $sum_{i}^{n}{u_{i} ^{2} } =0.00326$

日標準收益率的標準差為： $s=sqrt{frac{0.00326}{19} - frac{0.09531^{2} }{20 imes 19} } =0.01216$

我們的日收益率標準差就是 1.216%，當然這個只是我們在規定時間段內的收益率的統計而已。波動率可以估計為：

$delta = frac{s}{sqrt{ au } }$ （公式-3）

我們假定一年有252個交易日，則 $au = 1/252$ ，將各個值帶入能夠得到

$sigma =0.01216sqrt{252} = 0.193$

因為我沒只有20個樣本，所以波動率的每年標準差可估計為 $frac{sigma }{sqrt{2n} }$ （公式-4）

$frac{sigma }{sqrt{2n} } = frac{0.193}{sqrt{2 imes 20} } =0.031$

3.1% 就是年化波動率了

總結一下，先用公式-1的方法來計算每天的收益率，然後用公式-2來估計一個日收益率的標準差，接著用公式-3來計算波動率，公式-3就應該是題主想要知道的方法。然後用公式-4 來估計實際的年化波動率。

這個收益率是用已經發生了的歷史價格來推算一下波動率的，也就是回望型波動率，對於未來還沒有發生的價格波動，沒人知道具體的價格走向，但我們根據該資產對應的期權價格，與 B-S 期權定價模型可以推算出市場上預計該資產的波動率。

當然這個算出來的只是期權交易者們認為該資產可能的波動率，未來的價格怎麼走，沒人知道。

B-S期權的定價模型公式為：

$c=S_{0}N(d_{1})-Ke^{-rt}N(d_{2})$

$p=Ke^{-rt}N(-d_{2})-S_{0}N(-d_{1})$

其中

$d_{1}=frac{ln(S_{0}/K)+(r+delta^2/2)T }{deltasqrt{T} }$

$d_{2}=frac{ln(S_{0}/K)+(r-delta^2/2)T }{deltasqrt{T} } =d_{1}-sigma sqrt{T}$

N(x) 是標準正態分布的累計概率分布函數，可以用 Excel 裡面的 NORMSDIST 函數來計算，c 和 p 分別是看漲期權和看跌期權的價格， $S_{0}$ 是現價，K 是執行價，r 是連續複利的無風險利率，T 是期權的期限， $delta$ 就是是波動率了。

那現在某資產的期權價格我們可以從報價商那裡看到，我們假定c=1.875， $S_{0}$ =21，K=20，r=0.1，和 T=0.25，我們並不能用上面的期權定價公式反推算處一個公式來計算，但我們可以估計。因為期權的價格為波動率 $delta$ 的遞增函數，所以我們估計出它的值，我們先給一個比較小的值，比如0.2，我們算出看漲期權的價格 c 為1.76美元，太低了，我們再用0.3當做波動率去代入公式，計算出的看漲期權為2.1又太高了，所以這個值就應該在0.2到0.3之間，我們再不斷嘗試，最後計算大概在0.235左右。

也就是說，按照現在期權的價格，我們可以估算出，交易員們認為這個資產價格的波動率應該在23.5%左右。

當然，這個辦法只能是估計，期權的交易員們並沒有通神的本領能知道未來的價格走勢，只是按照期權定價模型來反推出所謂的前瞻型波動率，這個波動率又稱為隱含波動率。

值得一說的是，這個隱含波動率在理論上，看漲和看跌應該是一樣的，但實際上會發生偏差，可見交易員並非能預言未來的神，市場也不能預測未來的價格，只是個參考而已。

附蘋果公司（Apple Inc）股票期權價格和對應的隱含波動率圖：

不同的執行價的隱含波動率是不同的，代表著交易員們對該股票未來波動率的看法。

我看到這個問題被歸在期權定價這一類別內，那我默認題主問的是期權定價模型中volatility這一參數如何計算，回答如下：

1、在實際操作中，市場常用的是implied volatility,即通過定價倒推volatility；
2、如處於建模或者評估目的，需要通過volatility計算期權價值，則一般使用歷史波動率；
3、歷史波動率可以這麼計算：
列出該股票過去一段期間內（例如一年）收市價，算出每日的log return，然後算出標準差，再年化之，即得出一個可塞入BS模型的annual volatility.
4、這次我就幫人幫到底好了，見圖：

5、如果題主是學生，那我希望你以後作業還是要獨立完成。。。

$z_{t}$ 關於implied volatility前面幾位已經說得很清楚了。這裡補充一下歷史波動率。前面幾樓的估計方法都默認過去各個時間點上的收益率對當前波動率的權重也就是貢獻相同（equally weighted), 在實際中這往往不太現實，由於供求關係，市場環境，經濟周期以及各種基本和技術層面的因素，波動率在不同時間區間往往會發生變化(regime switch), 很難想像1年前和1天前的收益率對估計波動率會有相同的影響。所以實際應用中往往需要對不同歷史時刻的收益率施加不同的權重，這就有了一些更加複雜的波動率模型，如
1) EWMA (Exponetially Weighted Moving Aveage)

$sigma _{t}^{2} = lambda sigma_{t-1}^{2} + (1-lambda) r_{t-1}^2$

其中 $lambda$ 一般取為0.94 左右。可以證明這樣的模型使得歷史收益率對波動率的影響隨著過去距離今天的時間差而指數遞減。
2) GARCH (General Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model) $sigma_{t}^{2}=omega + sum_{i=1}^{q} alpha_{i}epsilon_{t-i}^{2} + sum_{j=1}^{p} eta_{j} sigma_{t-j}^{2}$
其中 $epsilon_{t}=sigma_{t} z_{t}$ 為收益率的殘差（residual), 即收益率除去均值後的部分（如均值為零可近似看作收益率本身）. $z_{t}$ 為一強白雜訊過程，可取為標準高斯分布。
常用的模型為GARCH(1,1), 也就是p=q=1. 上面的EWMA是GARCH(1,1) 在 $eta_{1}=lambda, alpha_{1}=1-lambda,omega=0$ 時的特例。GARCH模型的一個優點在於它保證了當係數滿足一定條件時波動率具有 mean reversion 的性質，也就是長期波動率存在一個穩定值。對GARCH(1,1), 這個值就是 $frac{omega}{1-alpha_{1} - eta_{1}}$ , 條件是 $alpha_{1}+eta_{1}<1$ . 此外還可以證明波動率滿足GARCH模型的資產收益分布具有比常值波動率的高斯分布收益率更加厚的峰度（即heavy tail).

GARCH 模型有很多變種，比如有時需要考慮同樣絕對值的正負收益對波動率的不同影響。我們做風險分析工作中用到的就有EGARCH， IGARCH以及GJR-GARCH等。

由於之前在一個做期權做市商系統的公司實習過，對於這個當時有一定的研究歸納，下面列一下我知道的辦法，包括隱含波動率（implied volatility）、歷史波動率（close to close、exponential weighted、Parkinson"s Historical Volatility、ATR、GARMAN-KLASS）、GARCH類方法等。

1.用BSmodel反算implied volatility

這是在已知期權價格的情況下通過BS model反算volatility的過程。

T-t 表示到期日（maturity）到現在的時間間隔
St 表示t時刻（現在）的價格
K 表示行權價（strike）
r 表示無風險利率
sigma 表示收益波動率

如上分別是BS公式給出的看漲期權（call）和看跌期權（put）的計算公式。

公式大家都是知道的，但是其他回答沒有提到一個問題：以上方法需要我們知道期權的理論價格的，在現實生活中我們是不知道期權的理論價格的，除非我們知道準確的volatility。而此時我們就是要計算volatility，就變成了一個雞生蛋蛋生雞的問題。

通常我們的解決方法是用市場價格去代替理論價格。然而現實生活中，市場價格和理論價格之間總是有一定偏差的。但是沒辦法，我們只好挑選該標的交易最活躍的合約（通常是at the money附近）的買一價和賣一價的均值作為用來計算implied volatility 的合約的理論價格（這裡基於一個假設：越活躍的合約的市場價格越接近其理論價格）

2.歷史波動率

歷史波動率其他答案已經提到，但遠遠並非全面。

首先，該方法的精髓並不在於公式而在於你選擇的時間周期長短，以及抽樣頻率。

其次，單純用收盤價計算標準差估計歷史波動率是相對而言簡單粗暴的。這種方法確實是最歷史波動率最簡單、常見的計算方法，卻未必總是最合適的。實際上這種方法被稱為close to close，即只利用了收盤價的信息之意。

2.1 Close to Close
公式如下：

這裡面我們假定每一天的價格對於歷史波動率的貢獻是一致的，如果認為不一致，也有Exponantial weighted方法（權值指數上升），不細講。

其實我們更關心的問題是，在這裡我們只用到了收盤價（close）的信息，然而而以一日為例，很多時候我們還會知道一日內的最高價和最低價，如果不利用這些信息，就可能無法算出最精準的波動率。於是又有人提出了Parkinson"s Historical Volatility（HL）、ATR、GARMAN-KLASS (OHLC)等方法，下面細講。

2.2 Parkinson"s Historical Volatility（HL）
該方法是上世紀80年代提出來的，利用的是計算單位內（比如一日內）的最高價與最低價信息，計算公式如下：

2.3 Average True Range

真實平均波動率方法與單純的close to close方法不同，是分三種情況計算一天的波動的，如下圖所示：

其實無非是比較前一日的收盤價（previous close）與今日的high low close三個價格，找到間距最大的一組，作為真實波動（TR）。

2.4 GARMAN-KLASS (OHLC)

參考文獻鏈接（沒有ATR方法）：
http://www.todaysgroep.nl/media/236846/measuring_historic_volatility.pdf

3 GARCH方法

GARCH方法的前身是ARCH方法，其有兩個參數，一般寫為GARCH（p,q）。其中在預測與估計波動率時被廣泛採用的是簡單而易用的GARCH（1,1）方法。此外延伸的還有EGARCH、IGARCH等方法。其比較好的一個特點是可以反映出波動率聚集這一現象（volatility clustring），如下圖所示：

GARCH方法可以用R中的fgarch等包簡單實現，預測與估計效果不錯：

記得點贊關注~

謝邀。
Volatility 的問題水很深，我只能談一談我學習金融數學以來的一些體會。以下內容可能過於數學化。

第一，關於 historical volatility。在 Black Scholes 的框架下，也就是假設股票價格服從 GBM 的時候，volatility 可以用 quadratic variation 計算。如下式：
$lim_{n ightarrowinfty} sum_{i=1}^n (X_{t_i}-X_{t_{i-1}})^2 = [X,X]_T = sigma^2 T$
這裡 $X_t$ 是股票價格的對數， $t_0,...,t_n$ 是 $[0,T]$ 區間的一個劃分。注意，這個和標準差不一樣，這個其實是對數收益率的二階距。可以證明，用 quadratic variation 得到的估計量是一致估計。

第二，關於implied volatility。這個是通過BS公式反解出來的volatility，一般認為是對未來波動率的預期。有人說，implied volatility 的本質是一個錯誤的數字帶入到錯誤的公式最終得到正確的價格。之後出現的 volatility smile/skew 也就不足為奇了。1987年以前，stock option 呈現 volatility smile。87 股災，也就是 LTCM 出事以後， volatility 就變成 skew 了。我們老師戲稱其為中風病人的 smile。不過在外匯市場上仍然是 smile 為主。
值得注意的是，CBOE 推出的 VIX 指數反映的就是 SP500 指數的 implied volatility。VIX一開始是用 at-the-money option 的 implied volatility 計算，後來改成了一種 model free 的演算法，即：
$VIX^2 = frac{2}{T}sum_ifrac{Delta K_i}{K_i^2}Q_i(K_i) - frac{1}{T}igg[ frac{F}{K_0} -1igg]^2$
這裡， $F$ 是 forward price， $Q_i$ 是以 $K_i$ 為行權價的 out-of-the-money option， $K_0$ 是低於 $F$ 的最高行權價。這裡用的記號是 Jim Gatheral: The Volatility Surface 一書中的記號。具體的推導可以參見此書，或者直接看 CBOE 2003 年的白皮書。

第三，還有一種東西叫 local volatility，這個其實是一個作為 stochastic volatility 的一種替代做法，就是認為 volatility 是一個關於時間和資產價格的確定性函數 $sigma(t,S_t)$ ，因此也叫 Deterministic Volatility Function (DVF)。這樣做也就是為了避免 Heston Model 等 stochastic volatility 帶來的計算複雜度。Dupire 給出了一種計算 local volatility 的方法：
$sigma^2(K,T) = frac{frac{partial C}{partial T}}{frac{1}{2}K^2frac{partial^2C}{partial K^2}}$
這裡的 $C$ 是未折現的期權價格。右邊的兩個導數可以由市場上的期權價格計算出來。不過因為行權價和到期日並不是連續變化的， $C$ 只在一個離散點集上有定義，需要至少二次樣條的插值才能行。由此可見，這種方法其實是不適定的，對數據的變化非常敏感。求解 local volatility 的適定演算法可以由最優控制理論給出，這個我就不太懂了，姜禮尚：期權定價的數學模型和方法一書的最後一章簡介了這種演算法。

以上。

如前面很多人已經回答，我再補充一點兒。先限定該問題的範圍：用於期權定價中的波動率估計；

在應用BS公式定價時，通過傳統的對日收益率數據求標準差的方法算出波動率，與公式反算得隱含波動率會有一定差距，經常是「波動率低估」。具體的計算方法參考Hull等著的《期權期貨及其他衍生產品》。與你的問題相關如何準確的算涉及：歷史樣本的個數的選擇，計算模型以及參數，交易或日曆天數，導致波動率差異相關因素（比如價格高低，價內價外等）

下面的圖給出了蘋果正股對應的期權，這個圖只是一小部分，對應期權有幾百隻，IVM表示隱含波動率，隨著行情變化，很難說價格波動率有一個準確或者說精確的表達式

歷史價格波動率最準確的計算方式是把各個時間段的log return平方，然後加起來平均，最後年化。
比如某五日的收益率分別為0.05,0.003,0.009,0.03,0.01,他們平方和=0.00359，平均下來是五日日均0.000718。假設每年交易日252日，年化方差則=252*0.000718=0.181,年化標準差為根號0.181=0.43.
所以，利用日數據估算歷史波動率的計算公式：

如果數據的頻率變了，只需改一下年化參數便可以。觀測跨度越長、數據頻率越高、觀測越多，計算出來的結果越精細。好比你買貨幣基金，這段時間的七日年化收益是6.53%，不代表過去一年的總體表現能達到6.53%。如果你選取過去每一天的收益並平均，得出來的收益可能會在4-5%左右。
具體的推高過程請自行查閱資料，這個公式里用了股價回報近似=0的假設。

之前聽過北大CCER有關於Volatility建模的課，我就以一個普通低年級本科生的理解答一下.....可能有些不準確的地方，但總之希望能有更多人能看懂。
首先是關於Volatility的定義：It measures the variation of the returns of a financial asset.市場上的波動代表了風險，所以作為衡量風險的變數，Volatility在具體實踐也有廣泛的應用，例如：Risk management,Derivatives pricing,Portfolio allocation.
市場的Volatility有如下三個特點：
1.Leverage Effect：高波動往往帶來下跌。
2.Time-varying：隨時間而變動。
3.Volatility clustering：集聚效應，高波動跟隨著高波動，低波動跟隨著低波動(如圖)。

前面大神都說了基於BS公式逆推等等幾種方法，我這裡主要講下基於歷史數據的Conditional volatility,它的基本邏輯是這樣的：
$sigma _{t}= Var(r_{t}|I_{t-1} )$
即下期的volatility由下期的回報率r與上期的信息I決定。
通過計量經濟學方法首先對波動的歷史信息進行建模的是美國的Robert F.Engle，他提出ARCH模型，並應用其對英國通貨膨脹指數波動建模。他也因為該成就獲得2003年諾貝爾經濟學獎。
ARCH模型：
$r_{t}= mu _{t}+epsilon _{t}=mu _{t}+ sigma _{t} z_{t}$
$sigma _{t} =omega +alpha _{1} epsilon _{t-1}^{2} +alpha _{2} epsilon _{t-2}^{2} .......+alpha _{p} epsilon _{t-p}^{2}$
其中 $z_{t}$ ~ $iid(0,1)$ 正態分布
Auto-Regressive，即殘差平方服從AR（q)過程
Conditional，即該模型是基於過去信息集I進行預測的
Heteroskedasticity，基於不同時點觀測值，殘差的方差不同，方差隨時間而變化即異方差性
ARCH模型後來又有很多擴展，其中最著名的叫GARCH(加了個Generalized),1986年由Tim Bollerslev 發表在Journal of Econometrics
GARCH(1,1)模型：

$sigma _{t} =omega +alpha epsilon _{t-1}^{2} +eta sigma _{t-1}^{2}$
其中 $alpha+eta$ 小於1， $eta$ 和 $alpha$ 都大於0，在實證研究中， $eta$ 是滯後係數約為0.95， $alpha$ 是回報係數約為0.05. $epsilon$ 用來衡量雜訊。
GARCH(1,1)本質上是ARCH（ $infty$ ）

圖為GARCH(1,1)的回歸效果。
繼續擴展，可以得到GARCH(p,q)模型：

此時volatility由其自身至p時段的滯後值和雜訊項至q時段的滯後值共同決定。
GARCH在現代計量金融是關於forecast financial volatility的基準模型
關於GARCH族模型的擴展，後人也有很多，比如：EGARCH, CGARCH, IGARCH, NGARCH, PGARCH, TGARCH,GJR-GARCH, GARCH-M, Aug-GARCH, Spline-GARCH
除了在金融中的應用，該模型已經出產了上千篇論文並幫助無數金融學子畢業還有興趣的可以閱讀下CCER黃卓教授發表於econometrics journal的論文，該論文獲得了 2012-2013年度的Richard Stone Best Paper Prize

簡單來說，沒有。
是的，波動率估計，並沒有一個準確的表達式。
所有的模型，都只是眾多估計方法中的一種，且各有優劣。
知道波動率發展的來龍去脈，再有針對性研究，才不至於被浩瀚的公式給淹沒。
為了不淹沒大家，這裡不列公式，只講概念。

第一個問題，波動率究竟是個什麼鬼，為什麼要關注它？

一句話講，波動率就是風險的度量。

大家都知道「雞蛋不要放在一個籃子裡面」，因為一掉就全碎了。那麼問題來了，如果有很多個籃子，每個籃子都有可能掉，掉的可能性和猛烈程度都不一樣，要怎麼分配雞蛋，才是最安全的？這裡就有了資產配置的概念和隨之而來的風險管理問題。

為了管理風險，先得度量風險。如何度量風險？用波動率。

第二個問題，如何計算波動率？

總體上來說，波動率模型發展有三個階段。

一是經典波動率模型。
二是條件方差模型。
三是高頻數據估計模型。

一、經典波動率模型

經典波動率模型又有兩大類，歷史波動率和隱含波動率。

20世紀70年代以前，經典的金融經濟分析都假定波動是恆定的。例如Markowitz的投資組合分析方法中，把回報率的方差作為風險度量。從歷史數據用等權重估計出來，所以稱作歷史波動率。歷史波動率通常是最不準確，但又是最簡單易算，普通大眾認知度最高。

後來，在BS期權定價模型中，用到波動率來計算期權價格。那麼，如果市場上已經有一個期權價格，我們豈不是可以反推其波動率？用期權價格反推出來的波動率，就是隱含波動率。但隱含波動率往往是一個有偏的估計量。Fleming指出SP100指數的隱含波動率是上偏的(1997)。通俗講，隱含波動率比「真實」的波動率要偏大！

二、條件方差模型

經典波動率模型中，都是假定波動率是恆定的。這明顯有問題 —— 不同時期的風險，當然是不一樣的！

於是就有了條件方差模型。原理其實很簡單，就是波動率是會隨著時間的變化不斷變化的！用一個模型來描述這種變化，即是所謂的條件方差模型。

基於此原理，Robert Engle教授首先提出了ARCH模型(1982)。後來，又有Bollerslev提出更靈活的GARCH模型(1986)。然後，就是各種類ARCH-GARCH變種模型層出不窮，以適應各種特殊情況。

順便提一句，Engle教授因為ARCH模型榮獲了2003年諾貝爾經濟學獎。

再順便提一句，我現在正在Robert Engle的團隊里幹活。

三、高頻數據估計模型

後來，隨著科技的發展，高頻數據比較容易獲得了。於是運用高頻交易數據（如5分鐘數據）來估計低頻波動率的方法開始流行。此類模型的基礎是數學原理，有興趣朋友請自行研究，在此不贅述。

完。

我的認知。。有三種，
第一implied volatility，用bs反推出來前面大神說的很詳細了；
第二conditional volatility，做爛了的課題了，用GARCH family條件異方差搞出來。

第三realised volatility，相比前兩個比較新，用intraday return/ high frequency return，paper說一般用五分鐘data為宜，具體sciencedirect之

（Andersen and Bollerslev，
Barndorff-Nielsen and Shephard）

樓上多個牛人已經說得很詳細了，不過考慮到「價格波動率有沒有準確的表達式？」這一命題，其實和你用garch還是arch族的其他模型或者CIR乃至Heston都不是有必然的聯繫。
簡單舉個例子，假如你知道價格的波動率年化是20%（當然事實上你不可能知道），以此為參數去做個蒙特卡洛之類的序列出來，然後用諸多arch族或者std等等方法去估計波動率，你知道你想要20%這個數字，但是你用了那麼多方法發現樣本長度不同收斂速度不同，假設的波動率不同，收斂速度也不同，所以只能說在不同的環境下某些模型可能是更有用些。
進一步的說就是，比方說中國的上證50，它常年波動率不高相對創業板而言，但是如果當前的標準差（注意我說的是標準差）很高，那麼當前相對garch或者其他什麼模型CIR類帶均值復歸性質的模型就會更好的描述，或者說「價格波動率此前近似的準確的表達式「更可能是CIR，但是同樣上證50，假如當前其他什麼參數告訴你，它當前很正常，那麼garch，stdev，其他什麼樓上舉了很多了，就都是「價格波動率此前近似的準確的表達式「。

不是太懂這個話題。。。
但單單從波動來說應該是從幅度和頻率（波動率？）衡量。
但上面的說法物理上面的定義在價格變動方面只能說是一種參考意義，數學思想可以借鑒下。
從定性的角度說價格變化的幅度和變化的速度（這個和物理的頻率顯然不同，用斜率的積分？），用到積分的話好像就成了MACD之類指標的多頭空頭排列的面積，記得有種理論是認為積分面積才是反應市場力量對比比較好的數據。
有朋友提到江恩理論，我認為江恩理論類似通過大量統計結果來證明類似中國的陰陽魚之類的哲學思想。很多所謂江恩理論的定量分析用到的計算參數都是統計的經驗數值，這個到底靠不靠譜？我覺得主要考慮到人是會學習的，從博弈的角度來看是個進化過程，相信的人越多反而越不靠譜，行為的共振會出現極端情況。

另外補充一個問題，波動率是指價格波動的頻率？還是價格波動的速率？

研究波動率有什麼意義呢？波動無非是想知道一個中值，平均數？中位數？眾數？和兩端的值這就牽涉到前面朋友提到的置信區間，但知道這些有啥意義呢？箱體理論？？這也就在短期內有意義，放到長期最多也就反應一個公司在整個經濟周期內的表現，前提假設是公司可以穩定的不改變主營業務不改變行業地位等等都不改變情況下的平均表現？這樣來得出結論太恐怖了。。。

你怎麼不問如何點石成金呢，呵呵

我認為，沒有。
如果是從實用角度講，樓上已經詳細介紹了波動率的估計方法，但是，我覺得這並不是準確的表達式。
波動率最先由BS模型引入，但是開始是作為常數來對待，是作為參數輸入模型中的。後來發現在實際金融市場中，波動率和價格有著『smile』形式的關係，因此，以Heston為代表對BS模型進行了改進，得到更準確的定價模型。但同樣的是，在這些模型中，波動率還是以參數的形式輸入模型。文獻中獲得波動率的方式大致有兩種，一是利用BS模型反推歷史波動率，二是與實際數據擬合後人為設定參數，以達到最好的擬合效果。
不妨舉一個簡單的例子，水平粗糙平面物體受到的摩擦力f=uN，式子中的摩擦係數u是以參數的形式輸入的，並沒有相應的計算公式。當然，可以通過u=f/N將其反推出來，但是從根本上講，這並不是摩擦係數的計算公式。
同樣，作為輸入參數的波動率雖然可以從定價公式反推出來，但並不是其準確的計算公式。
但是！
大牛是永遠存在的，它們可以通過分析平面和物體表面的物質結構，計算電磁相互作用力，萬有引力，運用統計物理的方法將摩擦係數準確的計算出來（當然還沒見過這麼閑的蛋疼的大牛）。同樣，波動率可以從更本質的分析來得出。我所見過的文獻有分析交易量和波動率的關係，期望價值與波動率的關係等等，但是還沒有定論。
不過我相信，以後會有的！

PS 本科生一枚，難免有錯誤。歡迎指正和討論

有一種說法是，波動率sigma根量子物理的粒子運動一樣有測不準的特徵，就是說sigma和其它的量糾纏了，這是量子概率論內容的說法，我也不太懂（裝b就跑

波動率和期權價格之間的公式是有的，給出一個條件就能推出另一個。

當然，還需要期權標的物的當前市場價，期權執行價，期權到期時間，無風險利率這幾個條件，只不過這幾個條件是顯性的，在市場中直接可以看到。

這個公式與大多數人無關，是給莊家——也就是做市商對賭和對沖用的。

這個莊家不是股民說的那種莊家，是一種完全合理合法正規的交易制度——比如你去銀行換外匯的時候，銀行就是一個小莊家，它為你提供買賣雙邊保價，並且跟你對賭交易，做凈頭寸管理、找上一級莊家對沖。

莊家交易制度最大的好處是能夠幫助你隨時進行冷門合約的交易，有莊家跟你對賭，不用擔心找不到交易對手，至於莊家跟你對賭之後如何去對沖他的風險，就是他的事情了。

因為期權合約非常分散，單個合約的交易量遠遠小於標的物的交易量，所以世界上大部分期權交易都是通過莊家交易制度進行的。

莊家需要計算當標的物市場價格發生變化的時候，冷門的期權合約的「合理」價格是多少。這個「合理」所依據的假設是：短期內波動率不變。

同時，根據公式還可以計算出「風險度」，把對賭的期權頭寸折算成一定比例的標的物頭寸，到流動性好的市場上去進行對沖。

對於普通投資者來說，知道有這麼回事就可以了，沒有交易成本的優勢，是不可能像莊家那樣去做複雜的對沖的。也沒有必要糾結這個公式算得準不準，用它來預測未來波動率是否合理——它依據的假設是短時間內波動率不變。另一個假設是存在即合理。

比方說你認為銅的合理價格是4萬一噸，但是市場價格是5萬一噸，你不能要求別人把銅按照你認為的合理價格賣給你，按市場價賣才是合理的。你覺得市場價不合理，你可以去做空它啊。

@張子哲說的已經很好了補充一下
要記得有種現象叫volatility smile，所以有了implied volatility 後還可以再建一個volatility surface 具體的不好說太細。
有的asset 的話會再建一個關於volatility的隨機過程。請google heston model。
總之還是要看你對市場的假設呵呵吼

瀉藥，不明白你這個波動率具體指什麼，隱含波動率？歷史波動率？
如果想得出波動率後求期權價格，可用歷史波動率估計，一般沒有特別定式的公式
如果想倒求波動率，用BS公式反推即可
把知識都還給體育老師了。。。

如果LZ指的是期權中的波動率的話，在期權分析或者定價中，歷史波動率和隱含波動率是經常會使用到的。從最基本的層面來說，歷史波動率是指的在一段時間內，標的證券每日收益的標準差。那LZ所謂的公式，就是計算每日收益的公式以及我們在統計學當中的標準差公式了。如果在計算隱含波動率的時候，就是將目前市場上的期權價格帶入BS公式或者修正過後的BS公式來獲得你的隱含波動率。