數學中的哪些方法可以到達帕累托最優？

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比如凸優化？什麼的？謝謝！

考慮在一個可能的分配方案集合 $X$ 中選擇一個分配 $xin X$ 使得社會中 $n$ 個參與人的效用向量 $u(x)=(u_{1}(x), ..., u_{n}(x))$ 是帕累托最優。

例如兩個人分一塊錢，則可能的分配集合為 $X={x=(x_{1}, x_{2}): x_{1}+x_{2}leq1}$ 。假定兩個人的效用函數分別為 $u_{1}(x)=x_{1}$ 和 $u_{2}(x)=sqrt{x_{2}}$ ，那麼給定分配 $x=(x_{1}, x_{2})$ , 效用向量為 $u(x )=({x_{1}, sqrt{x_{2}} })$ 。

令 $sum_{i} alpha_{i}u_{i}(x)$ 為各參與人在權重向量 $alpha=(alpha_{1}, ..., alpha_{n})$ 下的效用加權，該加權可視為一個簡單的社會福利函數。

基本的結論是，如果分配 $x_{0} in X$ 最大化某個嚴格權重（ $alpha>0$ ）下參與人的效用加權，那麼 $x_{0}$ 就是帕累托有效的。反過來，一定條件下，每一個帕累托最優的分配都最大化社會參與人在某個權重下的加權效用。後一結果可以理解為對帕累托邊界的刻畫。

令 $A={vin R^{n}: exists xin X, vleq u(x)}$ 為可達到的效用向量的集合（the set of feasible utilities）。當參與人的效用函數都是凹函數的時候， $A$ 是凸集。（上例中的 $A$ 是凸集且比較容易畫出來）。

定理. 假定集合 $A={vin R^{n}: exists xin X, vleq u(x)}$ 是凸集。如果 $x_{0}in X$ 是一個帕累托有效分配，那麼 $x_{0}$ 最大化某一權重向量 $alpha=(alpha_{1}, ..., alpha_{n})$ 下所有參與人的加權效用，即存在權重向量 $(alpha_{1}, ..., alpha_{n})$ ，使得 $x_{0} in argmax_{xin X} sum_{i} alpha_{i}u_{i}(x)$ .

這是個凸優化問題，定理的證明用到超平面分離定理。詳細可參考教材 Kreps (2013), Microeconomic Foundations I: Choice and Competitive Markets，章節8.4。

我對求帕累托最優的理解，是求一個解的集合，集合內的解相互間不能支配。而且這個集合還可能是無窮大的。現在有一些全局性隨機化的元啟發演算法、進化演算法能做這個。

中文名實在是看不懂，是不是說Pareto最優，多目標優化？
我記得沒錯的話若干年前的很多研究還是集中在啟發式演算法，模擬退火，遺傳演算法，模擬免疫演算法之類的。