賭博每次輸的時候，都把賭本翻倍，能保證必勝嗎？

11-26

題目很簡單，假如一個賭徒在每次輸錢的時候，都把賭本翻倍，能不能保證自己必勝。

我是在知乎周刊上看到的這個問題，原地址：普通人如何利用數學讓日常生活更有趣/便捷/高效/有情趣/有品質？數學在日常的作用。

大致意思是，地下莊家開了一個賭局：猜硬幣的正反。假設你賭1元，如果猜中，你可以贏0.9元，如果猜錯，你要輸1元。
那作者的外婆想出來一個必勝法，先賭2元，贏了就收手。如果輸了就賭4元。如果再輸就賭8元，再輸就賭16元，如此繼續。最後庄家受不了了，改賠率…………

問題這個真的是賭博的必勝法嗎？

股票必勝法
我一個朋友想到的，他說他一直炒不好股票，是因為錢太少了。如果有足夠的錢，那麼當買的股票下跌時，只要再補倉就可以了。如果再下跌就再補倉……，一直補到這個股票漲。

發現沒有，這個問題簡直就是前面那個問題的翻版。這是個很現實的問題，日常生活中常常就會涉及到。如果必勝法有效，很多事情都是可以按這個思路來的。如果必勝法無效，那要趕緊勸勸那麼想的朋友了，回頭是岸啊。

那問題又回來了，這個必勝法到底是有效的嗎？
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看來大多數不太明白這個問題的水有多深，我再來拋個同等的問題：

設定擲出正面為成功，遊戲者如果第一次投擲成功，得獎金2元，遊戲結束；第一次若不成功，繼續投擲，第二次成功得獎金4元，遊戲結束；這樣，遊戲者如果投擲不成功就反覆繼續投擲，直到成功，遊戲結束。如果第n次投擲成功，得獎金2的n次方元，遊戲結束。你願意花多少錢來玩這個遊戲呢？（聖彼得堡悖論）

單純計算的話，理論上你可以贏無限的錢，但是你真的能出到無限的錢嗎？

我甚至就不說無限的錢了，有人能出到100萬嗎？如果有人能，我馬上就可以和他對賭。
感覺出一百萬虧了沒？聖彼得堡悖論本質上也是用小概率的大金額對賭吧，那你又怎麼能說老奶奶做得不對呢？

老奶奶賭博
根本用不到加倍下注法(Martingale)，或者學術一點的稱呼：鞅(也叫Martingale)。因為這個遊戲的設計根本不是Martingale。這個遊戲的期望值根本就是負的，不是公平遊戲(fair game)：每賭一塊錢，平均要輸5分錢（0.9/2 + (-1)/2 = -0.05）。

即使每次把賭本翻倍，也未必能賺到錢：

玩第一次，賭1元，贏的話拿走0.9元，老奶奶走人；輸的話老奶奶賠掉1元，繼續玩。。。
玩第二次，賭2元，贏的話拿走1.8元，老奶奶走人，連同輸掉的1塊錢一共賺了0.8元；輸的話老奶奶又賠掉2塊錢，一共輸掉3元，繼續玩。。。
玩第三次，賭4元，贏的話拿走3.6元，老奶奶走人，連同輸掉的3塊錢一共賺了0.6元；輸的話老奶奶又賠掉4塊錢，一共輸掉7元，繼續玩。。。
玩第四次，賭8元，贏的話拿走7.2元，老奶奶走人，連同輸掉的7塊錢一共賺了0.2元；輸的話老奶奶又賠掉8塊錢，一共輸掉15元，繼續玩。。。
玩第五次，賭16元，贏的話拿走14.4元，老奶奶走人，但是老奶奶已經賠了0.6元；輸的話老奶奶又賠掉16塊錢，一共輸掉31元，繼續玩。。。

這就是Gambler"s ruin(賭徒必輸定理)：如果一個遊戲的期望值為負，賭徒遲早會破產。

真正的加倍下注法
只有期望值為0（或者期望值等於為這個遊戲所支付的金額），才是martingale，才可以用加倍下注法。

玩第一次，賭1元，贏的話拿走1元，老奶奶走人；輸的話老奶奶賠掉1元，繼續玩。。。
玩第二次，賭2元，贏的話拿走2元，老奶奶走人，連同輸掉的1塊錢一共賺了1元；輸的話老奶奶又賠掉2塊錢，一共輸掉3元，繼續玩。。。
玩第三次，賭4元，贏的話拿走4元，老奶奶走人，連同輸掉的3塊錢一共賺了1元；輸的話老奶奶又賠掉4塊錢，一共輸掉7元，繼續玩。。。
玩第四次，賭8元，贏的話拿走8元，老奶奶走人，連同輸掉的7塊錢一共賺了1元；輸的話老奶奶又賠掉8塊錢，一共輸掉15元，繼續玩。。。

問題在於老奶奶最多只能賺1元，但是可以輸掉的錢遠遠大於1元。風險收益不成比例，Sharpe Ratio太低。
（題外話，在衍生品交易裡面等同於Sell put）。

聖彼得堡悖論
聖彼得堡悖論之所以叫做「悖論」，是因為這個遊戲每次能贏的金額是有限的，但是遊戲的價格是無窮的。
並不是題目裡面所說的「單純計算的話，理論上你可以贏無限的錢」。

（題外話，可以通過引入效用（Utility）來解決這個悖論。）

股票必勝法
不斷抄底不能保證賺錢，只有股票的價格高於平均買入的價格才是賺錢的。
很簡單的算術問題，老奶奶也能算。。。。

先丟結論，這是公平遊戲 fair game，問題中的策略不能保證贏錢。

這是一個簡單的停時Stopping time問題，我們可以先把問題簡化成下面的數學模型。
假設初始下注不變為1單位，資本為 $2^m-1$ 個單位（為了防止有人鑽牛角尖，我們定義資本為賭徒所有能夠湊到的錢，當然包括借來的錢），經過 k回合之後所擁有的資本為 $X_k$ 。那麼按照問題的定義，顯然一旦贏了就意味著一大輪的結束，這個時候賭徒的資本是 $2^m$ ，然後重新從1個單位開始下注，如此往複。同時我們考慮到實際情況一旦賭徒用光所有的錢，遊戲也沒有辦法繼續下去了。我們引入一個隨機時間，停時 $au:=inf{k>0|X_k = 0 ext{ or } X_k = 2^m}$ ，通俗的來講這個這個停時表示第一次輸光或者第一次贏的時間，這個時間也是一個隨機數，我們並不知道它是多少。

每回合都是一個輸贏五五開的局，那麼這個 $X_k$ 實際上就是一個鞅（martingale）。放在這個語境下來講就是，在任何時刻，我們對受益的期望都是0（輸贏五五開嘛），對資本 $X_k$ 的期望始終等於現在擁有的資本。寫成式子就是：
$mathbb{E}[X_k] = 2^m-1$

鞅理論裡面一個關於停時的重要結論是：
如果 $X_k$ 是一個鞅，那麼 $X_ au$ 也是鞅。所以呢
$mathbb{E}[X_ au] = 2^m-1$
由於 $X_ au$ 要麼是0要麼是 $2^m$ 分別對應的概率是 p和1-p，結合上面的期望很容易得出 $p = frac{1}{2^m}$ 。
於是乎我們發現輸的血本無歸的概率總是不可避免，除非當 m 足夠大，p 可以無限接近0。看似穩贏版了，但這個時候我們的一輪下來的收益率則低的可憐了只有 $frac{1}{2^m-1}$ ，也是無限接近於0。所以這個策略不說發財了，養家都不行的。
本質上這是一個公平遊戲，沒有套利空間。

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聖彼得堡悖論換成概率的話來講，給定k回合贏錢為 $X_k = 0$ 或者 $2^k$ ，停時 $au:=inf{k>0|X_k > 0 }$ 賭局停止。問題：願意出多少錢M（常數）可以構造一個期望為0的鞅 $-M+X_ au$ 。事實上由於 $mathbb{E}[X_ au] = +infty$ ，我們無法構造出這樣的鞅，M=無窮並不能解決問題，因為 $mathbb{E}[-infty+X_ au] = -infty+infty eq 0$ 。所以不能說出無窮多的錢，就可以構造一個公平賭局。

如果讀過概率的教材，有很大很大一部分關於期望的問題都有一個期望有限的前提，所以這個悖論實際上是是在『無窮』的問題上採用了在『有限』假設上得出的結論而產生的。

1謝絕轉載，
包括朋友圈，微博。

因為真人真事，可能一些涉及人身安全問題。

我一個，曾經的好兄弟，曾經也提出過和你完全相同的理論。

家鄉貧窮，窮山惡水，賭風甚盛。從中學開始，一些朋友、同學就開始喜歡賭，從小錢開始，打麻將，打遊戲，水果機，從幾毛幾塊開始賭到幾十上百塊。

兄弟fox是我球隊隊魂，曼聯鐵杆，如紅魔一樣熱血豪爽的青年。
踢球者當然熱愛足球，愛足球又愛賭博的人，當然熱愛賭球。

當時學澳門，當地有暗庄收外圍。

賭球規則簡單，有讓球，能贏讓球球數以上的就算贏，否則就輸，當然還有打和，俗稱走水。
就是說，除去打和，單算輸贏，概率和拋硬幣的遊戲一樣，都是二分之一。

那時我和朋友們都是學生，都玩賭球，玩是好玩，也有輸贏，贏的時候一群夥伴就去吃吃喝喝，挺開心，輸了就給錢，輸的多了，到了幾百總會有怕，不玩了。

那是9幾年，庄有規矩，滿100才能下，我們每把也就是每人幾十元，籌夠整數才下。但有個人不一樣，就是fox，紅魔的豪氣就是不同，每把都是幾百的下，贏的時候非常大方，請大家喝酒吃飯，泡妞更不用說多風光。輸時，到處問人借錢，下的更多翻本。到了後來，每次都是幾千幾千的下，吃飯慶祝更頻繁了，借錢翻本的電話也更頻繁了。用無數借口，騙兄弟，騙父母的錢，來還債，終於他欠到了還不清了，被迫向家人攤牌了。這樣的事，兄弟朋友，家人，無數次勸介，發火，讓他不要再賭了，都無用，同樣劇情接二連三的上演，大家都覺得他無藥可救了。

他總共欠多少我不知道，只知道二千年初，他家人賣房子為他還債了。這次，他終於不賭了。
1年後的一晚，朋友們吃宵夜，說起賭球，他一臉不爽，卻一臉發現新大陸的興奮，狠狠的說道：

他媽的，也就是我沒錢，賭球才老是輸錢，如果我有一百萬，我賭球一定百戰百勝！

大家長大嘴巴，都驚呆了，他得意洋洋，咬下一塊炸鴨頭，說道：

你們不知道吧，如果我每次下100，輸了，我就下200，再輸我就下400，再輸，就下800，在輸就再翻倍的下，如果我有一百萬，我賭球絕對不會輸！

當時我讀大一，剛修完概率論，一百萬除以100等於10000，2^13 = 8192，就是說，按fox的理論，他要連輸14次才會輸，1/2^14 約等於0，我也是知道的。

理論完全正確，內心卻覺得完全不妥。

幾年中，fox雖有小賭，但未有深陷。

終於到了世界盃，在全民賭球的氛圍下，fox也越來越狂熱。由每場幾百幾百的下，到每場幾千的下了，到幾萬的下。輸了，一些高利貸就出現了，會對他說，怕什麼，幾萬元，我借你！翻本。

fox聰明，也有運氣，輸了幾次都被他翻本大步過險，世界盃結束空手套白狼，贏了二十幾萬。

人是很奇怪的，錢來得容易，花的就不心痛，尤其是賬面起伏很大的人，有時花費買幾千東西，喝幾千酒，不會心痛，感覺就是下一場球就贏回來了。

人都有圈子，愛賭愛玩的人，富二代官二代多。fox每晚都去玩，群上那些人，喝酒，泡妞，出手豪爽送女iphone送包，酒池肉林。

人善變，有錢了，以前的虛榮心和失落時受人白眼的報復心，
讓fox就變得極其囂張，一遇到和朋友小小矛盾，毫不客氣，罵人發飆，立即反臉，卻像哈巴狗一樣討好有錢人。

兄弟漸行漸遠。

用錢快，下的球也越多。世界盃結束，當然繼續賭球。

上的山多終遇虎，不夠2個月，由贏20萬到輸20萬，輸了當然借高利貸，高利貸是要給高利息的。莊家可不是白痴，沒現金給，想一次下20萬翻本，怎麼可能，一場最多讓你下1萬。利疊利，數疊數。

fox為人夠大方也夠運氣，遇到好心有錢人幫他還了好多次，

聰明的fox，還有辦法，平時出入高檔場所多，結識的都是有錢人，騙些富二代一起做生意，生意沒落實，就利用工程單，自己的店鋪，拚命向銀行騙貸款，借高利貸，積累到一個月幾萬元的利息。

賭是種毒品，縱然欠下巨債，更有今朝有酒今朝醉的覺悟，每天吃喝玩樂，醉生夢死。

故事最後，fox真的輸了一百多萬，再借無可借，騙無可騙了，追數排山倒海的湧來，無數次夾走fox，毒打，追向他一貧如洗的家裡，fox最後跑路，至今音訊全無。

人是一種慾望的動物，就像你小時候得到一包速食麵，一個巧克力而歡喜半天，現在送你100包速食麵，100個巧克力你也不會高興。就像送你一套房子你會開心很久，但送馬雲一套房子他完全沒感覺。

人的生命只有3萬多天，賭的次數是極其有限的，有100萬，每次下1元，在有限的次數內，當然是幾乎必勝的概率。

但賭博賭的從來不是數學，賭的是人性的貪婪。

Talk is cheap, show me the code!

假設每個人每次從總資產千分之一(不是一元)開始投注,然後採用翻倍下注法.

起始10000元,每天玩10局,一年就是3650局,我們來看看各位選手戰績如何.

看不清點開看大圖,可以看到有兩位選手成功的實現了盈利.

2和14號獲得了55%的盈利...

但是呢...另有兩位選手居然輸光了還欠了一屁股的債...

分析一下他們的記錄發現他們倆5-6月期間連續兩次崩盤,然後再也沒有東山再起過...

我們來看7號,7號最後幾個月一路領跑...

當時...就在金盆洗手前一個禮拜突然賭輸了...-77%慘淡收場...

這樣說吧, 翻倍下注法等價於用你所有的錢去賭一塊錢...

雖然你輸的幾率只有千分之一乃至萬分之一...

但是...一旦輸了...少則腰斬,多則傾家蕩產...

而且你也不知道什麼時候收手

人總是貪婪的...看看7號...金盆洗手前GG...

這樣賭博以大博小, 簡直是在送命...

next[{all_, last_, lr_}, result_] := Block[{$now, $bet, $this}, If[lr == "Lose" (all &> 2 last), $bet = 2 last, $bet = Max[2^Floor[Re@N@Log[2, all] - 10], 1]]; If[result == 1, $now = all + 0.9 $bet; $this = "Win", $now = all - $bet; $this = "Lose"]; {$now, $bet, $this}]


do[seed_, time_: 3650] :=

 Block[{$history, $data},

  $history = (SeedRandom[seed];

    RandomInteger[1, time]);

  $data = FoldList[next, {10000, 1, "Win"}, $history]]

data = Table[do[i][[All, 1]], {i, 1, 16}]; str[num_, mm_] := StringJoin[ToString /@ {num, "號最終資產: ", mm}] pl = LineLegend[3, Inner[str, Range[16], data[[All, -1]], List], LegendLayout -&> (TableForm[#] ), LabelStyle -&> 18]; ListLinePlot[data, PlotRange -&> All, PlotTheme -&> "Detailed", PlotLegends -&> pl, ImageSize -&> 700, PlotStyle -&> ColorData[3, "ColorList"]]

論如何將代碼寫出PHP風...2333

如果遊戲公平,然後從一元開始翻倍投注:

如果不崩盤,平均收益17%,沒有不公平情況那麼慘但是該欠債還是欠債,該腰斬的還是腰斬...

時間拉長到三年...

反正崩盤一次的話就肯定虧本了.....

崩盤三次不欠債大丈夫...

冒這麼大的風險,就算賺錢的三年居然只能賺50%太可憐了...

題主給你抄一段維基百科：

Martingale (probability theory)
History
Originally, martingale referred to a class of betting strategies that was popular in 18th-century France. The simplest of these strategies was designed for a game in which the gambler wins his stake if a coin comes up heads and loses it if the coin comes up tails. The strategy had the gambler double his bet after every loss so that the first win would recover all previous losses plus win a profit equal to the original stake. As the gambler"s wealth and available time jointly approach infinity, his probability of eventually flipping heads approaches 1, which makes the martingale betting strategy seem like a sure thing. However, theexponential growthof the bets eventually bankrupts its users, assuming the obvious and realistic i.e. finite bankrolls (one of the reasons casinos, though normatively enjoying a mathematical edge in the games offered to their patrons, impose betting limits). Stopped Brownian motion, which is a martingale process, can be used to model the trajectory of such games.

鞅的原名martingale原指一類於18世紀流行於法國的投注策略，稱為加倍賭注法。
這類策略中最簡單的一種策略是為博弈設計的。在博弈中，賭徒會擲硬幣，若硬幣正面向上，賭徒會贏得賭本，若硬幣反面向上，賭徒會輸掉賭本。這一策略使賭徒在輸錢後加倍賭金投注，為的是在初次贏錢時贏回之前輸掉的所有錢，同時又能另外贏得與最初賭本等值的收益。當賭徒的財產和可用時間同時接近無窮時，他擲硬幣後贏得最初賭本的概率會接近1，由此看來，加倍賭注法似乎是一種必然能贏錢的策略。然而，賭金的指數增長最終會導致財產有限的使用這一策略的賭徒破產。

注意我加黑的地方，理論上不是能贏無限的錢，而是能贏回最初的投資(the original stake)！
最後一句確實贏了2^n的錢，但是之前輸了2^n-1的錢啊！所以你只贏了一塊錢啊題主！可你出了2^n的錢啊！你算算這回報率無限趨近0，再看看這volatility你真的覺得值嘛！
雖然概率上來說是一定會贏的。但是！問題是後續投資是指數次增長的！

聽說過巴比倫國王棋盤上擺麥粒的故事嗎！
2^64 是多少... 而且贏了也永遠只能拿回來1塊錢，這策略根本不值啊... capped profit, infinite cost, tremendously stupid, period.

以上。

今天看到新聞：17歲女CEO，神奇百貨創始人王凱歆，高中輟學創業的王凱歆一度被視為「商業天才」。2016年1月，王凱歆參加《我是獨角獸》創業真人秀節目後迅速走紅，「神奇百貨」獲得經緯中國領投、真格基金與創新谷跟投的2000萬元A輪融資。

2016年7月，神奇百貨被曝出數據造假、閃電搬家、非法辭退員工等。3個月後，神奇百貨官網關閉。2016年11月，王凱歆回應：「神奇百貨」是她主動放棄的；運營主體「深圳大爆炸網路科技有限公司」未破產，即將被收購；她正在準備開始新的創業項目。

神奇百貨的投資人朱波、徐小平（新東方聯合創始人）事後表態，暗示已經放棄王凱歆。朱波稱「從今年2月起，她完全聽不進我的善意勸告，簡直像是換了人。」徐小平表示，作為一個長輩，不願意在王凱歆的事情上推卸責任，但「她的性格還是太倔強，可能跟年齡有關係。」

2017年2月24日，王凱歆發朋友圈感慨「曾經有人勸我不要去創業，當時我沒理解到，現在完全醒悟」。她後悔的理由卻是，「創業是最苦逼、最浪費時間的事，最後錢也沒賺到，越努力越傻！要想賺大錢，就要去思考人性的弱點！」

從「商業天才」到「人性弱點的殺手」，王凱歆得出的結論是——這個世界賺錢最快的還是金融，以錢生錢。

說得真好，連西方經濟學都沒學過，就通過「金融」發現了「人性的弱點」。

從什麼時候開始，賭博也被稱之為「金融」了？《西方經濟學》教材改版了嗎？怎麼沒人告訴孤鴻？那個學校的經濟學院是不是該開一門「賭博系」，下設「忽悠別人賭博信息該工程及其自動化」專業？

孤鴻總結過多種地下彩票（黑彩）以及盛行於各縣級市的民間賭博。其共同特點非常明顯：1、賺和賠概率各二分之一。2、莊家抽水15%~20%。

有人反駁孤鴻：「不對啊，我們賭賽車的，共有十個小車，1塊錢賭對了賺9元，賭錯了一分錢沒有。那我賺錢的概率只有十分之一啊。」

孤鴻幫他算了筆賬：「你會只賭一個賽車嗎？那樣猜中的概率太小！你要麼同時買單雙數，要麼賭大小，就是同時買1~5號或6~10號，對嗎？這樣你每一次要麼賺9-5=4元，要麼賠5元，對嗎？賺賠概率都是二分之一！」

這位資深玩家深感認同，又舉了一個例子：「我們還有六合彩，1~49任意選取一個數字，猜中給41元，猜錯不給。這個概率就不是二分之一了吧！」

孤鴻回答說：「道理是一樣的，你要麼賭單雙數，要麼賭1~25或26~49，每次輸贏概率還是接近二分之一。」

那麼莊家賺了多少呢？假設樣本無窮大，輸贏概率無限趨近於二分之一的時候，第一種賽車，莊家每次交易賺五分之一，20%；第二種六合彩，莊家每次交易大概賺49分之8，約16.3%。

好了，什麼是二元期權呢？先要知道什麼是期權。還是講一段故事吧。

李雷以100元的股價買了股票A，買之後李雷一直覺得不安，萬一賠了怎麼辦？就把這件事告訴了韓梅梅。

韓梅梅覺得，有需求就有市場！對著李雷拍胸脯保證，無論你三個月之後，賠成什麼樣，我都以每股80元收購！給你兜底。如果你賺了，你自行出售，跟我無關！

李雷一想，還有這好事？立馬就答應下來了！

韓梅梅說：「我還沒說完呢，你的給我服務費10元！」

李雷：「。。。。。。」

李雷用10元服務費買來的是權利，是未來的權利。未來的貨物叫期貨，未來的權利叫期權。

韓梅梅的保證書，就是看跌期權。

假設這隻股票三個月後跌了一半，跌到50元，那麼韓梅梅賠80（收購價）-50（市值）-10（服務費）=20元，李雷賠了20元市值+10元服務費=30元；假設這隻股票三個月後漲到150元呢，那麼李雷賺了150-100-10=40元，韓梅梅賺了10元服務費。

說明白了期權的運作流程，那麼二元期權是什麼鬼？二元期權是只能有兩種結果（漲或跌）的特殊期權，是奇異期權的一種。

所謂奇異，就是說他奇葩！（外國正規的二元期權是大家自願互相交換風險的工具，不是中國特色的二元期權！）

本來是一個金融衍生品，怎麼一到中國就變味了呢？中國特色，就是將二元期權簡化為只賭漲跌，一分鐘開一次盤賭走勢，每次輸贏概率是二分之一，莊家抽15%左右的水（手續費）。

至於你每一筆投資，對接的是李雷的項目還是韓梅梅的，重要嗎？正確答案是，誰的都沒對接，就是虛擬盤！

如果你身邊有人玩這種類似賭博的遊戲不能自拔的，請給他看這個公式：投資者如果拿著100元買了看漲某隻股票的二元期權，猜對了，收益就是投資金額的70%，但如果猜不對，他的虧損是85%。這種「贏少輸多」的設計與正規期貨、期權有本質上的差異，輸贏概率二分之一，那麼投資者的預期收益是：（70×0.5）+（-85×0.5）=-7.5，虧損率為7.5%。

孤鴻有一位熟人，也是學金融出身，毅然決然地當起了郵幣卡「分析師」。從2015年下半年到2016年5月，竟然從投資人身上賺了1000多萬，後期甚至獨立買斷某隻郵票，獨立發行、自己坐莊。郵幣卡運營手法非常簡單，一邊忽悠投資人買進，一邊自己拉高價格（投入百萬左右即可）以吸引更多的人買進，一邊陸續拋出那些建倉時持有的郵票（反正都是發行價進的，怎麼賣都不虧！）。一般在幾十倍的最高點，全部拋售完畢。接下來那些被忽悠的投資人血本無歸，郵票一路下跌，即使掛出賣單，也沒人接盤。

有時候也會覺得不平衡，自己辛勤工作，謹慎投資，回報沒覺得多理想，只能說堅持該堅持的吧。

好吧，如果郵幣卡本質是挖個坑等你往裡跳——詐騙。那二元期權符合賭博的一切特徵，卻不如賭博公平。

除了賠率設計上暗藏玄機，二元期權市場上，平台利用「滑點」搞鬼、阻止客戶出金等情況也時有發生。「滑點」，即在交易過程中，下單的點位或交割的點位，投資者與交易服務商所看到的數據不一致，擾亂客戶投資操作。即使投資者賺錢想退出交易，所謂的「分析師」也會用種種理由拖延投資者離場。

我定的遊戲規則，我還抽水，即使你贏了，我還能拔網線，以「網路延遲」等理由，拒絕承認。因為網站是我花5000元在淘寶上找人做的，伺服器是每年2000元在美國租的。跟我斗，誰給你的勇氣呢？我的名字就叫「中國特色的二元期權」，現在還有個發現「人性弱點」的王凱歆為我代言。

哈哈，人性的弱點，如果不說的這麼高大上，不就是「貪」嗎！

我們先來個簡單的題目來熱熱身：假如扔一個硬幣，正面時你贏10元，反面你不贏錢。你願意花多少錢玩這個遊戲？

很多人能很快反應過來，是5元。怎麼來的呢？10元 * 50% = 5元

so easy～～

好，現在就按這個思路，我們來算老奶奶贏錢的概率。

玩一次時，成本是2元，輸的概率是1/2，贏的話能賺2元*0.9=1.8元。
玩兩次時，成本是2+4=6元，輸的概率是1/4，贏的話能賺（4-2）*0.9=1.8元。
玩三次時，成本是2+4+8=14元，輸的概率是1/8，贏的話能賺（8-4-2）*0.9=1.8元。
…………
玩n次時，成本是2^（n+1）-2 元，輸的概率是1/（2^n），贏的話能賺1.8元。

必勝法策略的關鍵是，如果輸的話，就必須一直賭下去，才能保證最後的勝利。現在問題是，老奶奶準備好了多少錢來玩這個遊戲。

假設n=10，那麼賭本就是2^11 - 2 = 2046元，輸的概率是1/1024，贏一次能賺1.8元。

所以問題簡化成，老奶奶準備好了兩千多元的賭本和莊家來賭一塊八。失敗率低是當然的，因為贏只能贏一塊八，輸的話兩千塊就沒了。
當然，老奶奶也可以準備好兩百萬元，把輸的成本降低到一百萬分之一，來贏這一塊八。

玩一次到底賠了多少？
那根據前面的辦法，把賭本乘以概率，我們來看下老奶奶玩一次遊戲賠多少錢。
玩一次時，1.8 * 1 / 2 - 2 * 1 / 2 = 0.9 - 1 = -0.1
玩兩次時，1.8 * 3 / 4 - 6 * 1 / 4 = 1.35 - 1.5 = -0.15
……
玩十次時，1.8 * 1023 / 1024 - 2046 * 1 / 1024 ≈ 1.79 - 1.99 = -0.2
……

所以普通老奶奶每次都玩一塊錢，每次虧了1毛錢。**老奶奶的玩法，每次虧2毛錢。但是由於老奶奶的「豪賭」，用兩千塊來對賭一塊八，把莊家的心理給震懾到了，最後不得不改賠率。所以這個莊家也是**莊家，如果他能懂一些概率的話，根本就不用調整賠率。

這是一個理論上可行，但是實際操作很坑爹的辦法。
這個辦法要保證能贏必須至少具備兩個條件：
第一：賭註上不封頂。
第二：你有足夠的賭本。
我們來簡單看一下過程：
第一把押兩塊：
輸了：
投入：兩元。收入：零。
（如果贏了：收入四元，凈收入兩元。）
第二把押四塊：
輸了：
投入：六元。收入：零。
（如果贏了：收入八元，凈收入兩元。）
第三把押八塊：
輸了：
投入：十四元。收入：零。
（如果贏了：收入十六元，凈收入兩元。）
第四把押十六塊：
輸了：
投入：三十元。收入：零。
（如果贏了：收入三十二元，凈收入兩元。）
。。。

到這裡，你應該能看出來一個問題：無論到第幾把贏，凈收入都只是和第一次持平。而你的賭本已經翻了好多倍了。這是一個效率極其低下的方法。
賭場其實一點兒不怕你這麼玩。因為你就算弄一天，也贏不了幾個錢。而其中只要一次達到了賭場的賭註上限，或者賭本不足，你就血本無歸了。

關於老奶奶賭博問題

題主這裡的描述並不是十分的準確：容易計算，如果按照這種方法玩的話，老奶奶即使第五輪贏了，收手再從頭開始，她還是虧了幾毛錢——如此下來老奶奶必然會虧損

在這裡，在假定資金無限的情況下，標準玩法是這樣的：
第一輪賭1元——贏了賺0.9元，收手從頭再來，輸了的話接著賭
第二輪賭2.11111111111元（即1.9/0.9）——贏了的話賺1.9元，扣去第一輪1元總凈賺0.9元
第三輪賭4.45679012345元（即上一輪投入的2.11111111111倍）——贏了的話總凈賺0.9元
以此類推，只要有一輪贏了，就會總凈賺0.9元，再收手從頭再來。
我們不妨稱以上的過程為老奶奶過程

看起來很理想喔，竟然能在如此陰險的莊家手中無限賺錢呢。
那麼問題在哪裡呢？

上述玩法在資金無限且莊家必須無條件一直玩下去的前提下的確沒有問題
但是無限的資金從哪裡來呢？即使老奶奶貴為世界上所有銀行的行長【那她還來賺這幾毛錢幹啥（誤）】，她手裡的資金也是有限的。

那我們給老奶奶100個億，看看她能不能完成萬達老王的小目標——我先掙它一個億

第一輪要投入1元，第二輪要投入2.11111111111元，那麼第x輪就要投入2.11111111111^（x-1）元
不難計算：單單第31輪，老奶奶就要投入54個億之巨，加上之前的投入，她將會一共投入103個億——此時老奶奶已經破產啦——於是老奶奶一旦連輸30輪，便會掉入萬劫不復之地。
於是乎，在每個老奶奶過程里，老奶奶都會有1/2^30的概率破產（即連輸30輪，將遊戲拖入第31輪的概率）——平均每10億個老奶奶過程，老奶奶就會破產一次。
而賺1個億需要1.1億個老奶奶過程——大概有10%的概率老奶奶在這之前就已經破產啦

如果你認為10%的概率還不夠大的話——
如果老奶奶想賺5個億呢？——這需要5.6億個老奶奶過程，大概有45%的概率老奶奶在此時已經破產
10個億呢？——大約是70%的破產概率
20個億呢？——大約是90%
90個億呢？——這個概率並不是那麼的好算——大約是99.99996%左右，不過比一次直接投入100個億所對應的50%的概率大多了

還想著去賺無限的錢？
用這種蹩腳的策略，能全身而退都已是萬幸了

賭徒和正常人最大的卻別就是：

正常人贏了錢會把它當作紅利，輸了錢會把它當作消費。不會影響自己本身。

而賭徒贏了錢則會把這種盈利從思想上轉化為「我」的本錢，一旦輸錢那就是虧損，需要「扳本」。

扳本最好的方式就是止損，就是題主所說的投注方式。但是這種方式對於一個賭徒來說只是在無盡的扳本。

所以，這樣的投注方式，沒有贏家。

先上結論【無論你用什麼玩法，都不能做到毫無風險的盈利】

我之前做過一個工作，就是博彩網站的托，主打時時彩。

首先，題主提出的這種非常簡易的玩法，叫倍投。看起來似乎是無懈可擊，但是也不可能是毫無風險的必贏，哪怕你有無限的資本。

我舉個例子：
不管是重慶時時彩、新疆時時彩、五分彩、澳門五分、還是PK賽車什麼的，都是一個陽謀！把騙局擺在桌面上，然而你卻不得不一直玩下去。

時時彩的玩法非常簡單，你就買大小單雙就好了，下一把如果開中了就贏，賠率19.8，也就是說投入十元，如果贏了就中19.8元，賺9.8元。如果輸了，就賠掉投入的10元。
那麼時時彩是怎麼倍投的呢？這個倍投方式是以輸掉的錢的總和X2。這樣才能保證風險與收益大概持平，並且一把翻本並且賺錢。

也就是說第一把1元，第二把2元，第三遍（2+1）x2元，第四把（6+2+1）x2元....以此類推。也就是說，倍投的倍數是：1倍、2倍、6倍、18倍、54倍、162倍、486倍....

幾何式的增長！如果第一把投了100元，第7把就要投到四萬八千六百元。

而時時彩連著出7把單或者雙簡直是太常見了！我們管這個叫出龍，我見過最長的大龍會一直連出21期。也就是連出21期的單或者雙，這是多少錢？最後一把需要投2324522934元。也就是最後一把需要投入23億元！！這只是最後一把。還不算之前投入的錢，之前一共投入多少錢，這個讓程序員寫個代碼來計算吧。

答主以前很懷疑，我需要多少錢投入才能保證贏錢？然後我就開始測試了。
然而我沒有幾百億人民幣來往裡面投，但是我有虛擬分。
我在這個博彩網站當托的時候，總部會給每個人發虛線的註冊地址，也就是說，這個賬號你可以不用花錢就能無限充值，贏了的錢也無法提現。然後我就開始愉快的遊戲了。無限的錢！簡直爽到爆！就像下圖：

這裡我充值了十萬（哈哈哈動動手指就十萬塊。。。）

然後就到賬了

在這種情況下，基本可以算是無限資本了，按理說倍投有很大幾率會賺錢的，可是。。。

看到了嗎，如果他連出10期以上的單或者雙，你無論如何也贏不回來的！

但是題主的模型並沒有20萬這個限制，那麼可以倍投贏錢嗎？

也！是！不！可！以！

為什麼？因為在扔硬幣這種情況下，無論概率多麼的低，硬幣都是可以無限次的出反面的。然後無限次的扔下去，然後一直進行遊戲。但是不要忘了，你是在不停的押注的，而莊家是在坐等收錢的！

而且你知道嗎？你贏的話只能贏十分之九，所以，你一直還在輸著手續費。。。

這就是賭博的可怕之處，大數法則我也不用多說，想必很多人都明白，沒有人可以贏到莊家的錢的。很多人絞盡腦汁試圖從這裡賺出錢來，想過各種辦法，包括跟龍、跟計劃、玩倍投、玩趨勢、軟體自動投注、逢質買合、陰陽對買、逢0買9、小概率單點、買9漏1、前三後三、四星漏號等等等等..... 我只想說：

呵呵！

我用無限的虛擬分，苦苦研究了兩個月的時時彩，後台最後的盈虧記錄已經顯示∞（符號，代表無限或者無法計算的意思），最終也沒有贏到錢。而廣大玩家們能有多少錢？可以用來投入？這就是賭博最大的可怕之處！讓你先贏幾把，用一點點小利，讓人變得，像那頭永遠吃不到胡蘿蔔的驢一樣。

最後一句話：珍愛生命，遠離賭博！

@樂樂哥哥

即使每次把賭本翻倍，也未必能賺到錢：
玩第一次，賭1元，贏的話拿走0.9元，老奶奶走人；輸的話老奶奶賠掉1元，繼續玩。。。
玩第二次，賭2元，贏的話拿走1.8元，老奶奶走人，連同輸掉的1塊錢一共賺了0.8元；輸的話老奶奶又賠掉2塊錢，一共輸掉3元，繼續玩。。。
玩第三次，賭4元，贏的話拿走3.6元，老奶奶走人，連同輸掉的3塊錢一共賺了0.6元；輸的話老奶奶又賠掉4塊錢，一共輸掉7元，繼續玩。。。
玩第四次，賭8元，贏的話拿走7.2元，老奶奶走人，連同輸掉的7塊錢一共賺了0.2元；輸的話老奶奶又賠掉8塊錢，一共輸掉15元，繼續玩。。。
玩第五次，賭16元，贏的話拿走14.4元，老奶奶走人，但是老奶奶已經賠了0.6元；輸的話老奶奶又賠掉16塊錢，一共輸掉31元，繼續玩。。。
這就是Gambler"s ruin(賭徒必輸定理)：如果一個遊戲的期望值為負，賭徒遲早會破產。
真正的加倍下注法
只有期望值為0（或者期望值等於為這個遊戲所支付的金額），才是martingale，才可以用加倍下注法。
玩第一次，賭1元，贏的話拿走1元，老奶奶走人；輸的話老奶奶賠掉1元，繼續玩。。。
玩第二次，賭2元，贏的話拿走2元，老奶奶走人，連同輸掉的1塊錢一共賺了1元；輸的話老奶奶又賠掉2塊錢，一共輸掉3元，繼續玩。。。
玩第三次，賭4元，贏的話拿走4元，老奶奶走人，連同輸掉的3塊錢一共賺了1元；輸的話老奶奶又賠掉4塊錢，一共輸掉7元，繼續玩。。。
玩第四次，賭8元，贏的話拿走8元，老奶奶走人，連同輸掉的7塊錢一共賺了1元；輸的話老奶奶又賠掉8塊錢，一共輸掉15元，繼續玩。。。
問題在於老奶奶最多只能賺1元，但是可以輸掉的錢遠遠大於1元。風險收益不成比例，Sharpe Ratio太低。（題外話，在衍生品交易裡面等同於Sell put）。

（題外話，可以通過引入效用（Utility）來解決這個悖論。）

股票必勝法
不斷抄底不能保證賺錢，只有股票的價格高於平均買入的價格才是賺錢的。
很簡單的算術問題，老奶奶也能算。。。。

作為一個在賭場賭了四年大小的人，我只能告訴你，我看到過28把大，10把大小大小大小
8把以上大大小小，你可以試試看
賭場桌子上有最大下注限額，當然其實是用來騙你的，因為他們可以控制數字。
不賭博才是贏錢，請看我回復的賭場是不是抽老千的答覆

你準備那麼多錢去賭場，折騰半天也就是贏一塊八，這收益率無論如何也稱不上贏利吧。

如果一枚硬幣向上拋十次是正面，第十一次的幾率仍然有50％是正面。不會因為出現的次數多而降低概率。

假使賭博起初下注為10元，十次不中，第十一次必須壓20000元才能贏回來這十元錢。同上，你前十次輸的錢並不會幫你積累贏的幾率。

為什麼什麼道理都懂，賭錢的時候就傻逼了呢，快告訴我，我不是傻逼。

理論就不說了，挺簡單的。
我就說實際運用，就在澳門賭場的押大小的檯子，賭場的做法很簡單，出豹子的話，只有壓豹子的能贏，如果都沒人押那就是賭場贏，與題目裡面的10%的抽水類似，這應該算是賭場的正當利潤。
換句話說，在澳門賭場里押大小的檯子，出大小概率不是50:50，而是要去除掉豹子的概率，變成48.6:48.6。
實際運用這個賭法還要結合另一樣東西，賭大小的檯子都記錄開牌歷史的，會記錄15條左右這一個桌子開過的骰子組合，某個檯子連續開出8次以上大或者小，你就可以考慮開始下注押反方向了，如果輸，則加倍，這種改良過的方法要求更高，勝率也更高了，一般賭場外場押大小的檯子，下註上限是5千-2萬，必須要在限額內勝利讓賭注回歸初始，否則就失敗了。
我一個同事每周過去，我不知道他是否用這種方法，每次贏1000左右回來，畢竟這種機會出現的次數不多。
另外一次是親自測試，一下午贏了400塊，本金800。

理論上，即使贏率是10%，照這個策略也能贏錢：
第一次：壓1元，贏了0.1元走人，若輸了：
第二次：壓11元，贏了1.1元減去第一次的1元，賺0.1元走人，若輸了：
第三次：壓121元，贏了12.1元減去前兩次的12元，賺0.1元走人，若輸了：
第四次：壓1331元，贏了133.1元減去前三次的133元，賺0.1元走人，若輸了：
........
.....
...
第ｎ+1次：壓11^n元，若贏了10%減去前面的本錢，賺0.1元走人，若輸了。。。

根據初中的完全歸納法，
運氣好的話，能贏0.1元

這就是你人品n次方的標價：0.1元！
以後可以有個外號了：吊毛

我是這麼看的，如果只賭大小，各有50%的勝率。你贏了，你想再試試。你輸了，你想贏回來。
概率是勝負各一半，但是人性是貪婪的。這就決定了你在有錢的時候會一直持續賭下去。
你運氣好，碰上贏的那一半概率了，可以繼續玩，但這意味著你將來會碰到輸的那50%概率。你碰到輸的那50%的概率後，就想贏回來，最後如果輸光了，就沒錢翻回本，再去碰贏的那50%的概率了。
最終你還是輸。

關鍵在於是否能戰勝貪婪的人性，在贏的時候能收手。不過這又難說了，贏多少收，會不會一上來就輸。

不能，我小時候就碰見過這種人，我們兩個玩炸金花，賭的是彈珠。那天我的運氣比較好，前面就連贏了幾把。後來對方下注越來越大，我實在不忍心贏光他的彈珠，但也不想把贏到手的彈珠還給他，於是故意不要牌，送了幾次底注給他，然後借口我媽喊我回家吃飯，飯遁了。
嗯！現實就是這麼殘酷，你以為玩到天荒地老，可是別人會見好就收啊！

典型的低收益高風險業務。聽一個朋友給我說的一個故事。

他和他一個朋友B常常去澳門銀河玩百家樂，就是買大小，賠率1：1。一次在澳門的1000 HK刀的桌子，他倆一共只帶了八九萬這樣。B一直押「閑」，換了一萬，輸了，又換一萬，又輸了。B也知道你這題目的理論，很快就又換了兩萬籌碼，說自己回本就走，今天手黑。繼續押「閑」，又輸。B怒了，說今天不贏回來我不走了，借了朋友錢押上四萬，繼續押閑，補牌後又輸了。B已經不理智了，打電話找了一個深圳洗碼的立馬給自己卡打了四十萬港幣。繼續押閑，壓了12萬，又輸了，朋友看不下去死活要拖著B走，B不肯，把剩下的28萬全部再押閑，和了。再押閑，又開出來庄。
這裡已經連續開了6次閑了。但是B已經把自己所有的積蓄都花光了。最後坐船回深圳，兩人都不說話。

一個星期以後，B讓朋友陪他又去了一次澳門，他背著老婆把自己房子抵給擔保公司了，抵了一百多萬，去澳門只賭了一次，還是押閑。這次他贏了，賺了一百多萬，兩個人做直升飛機回的深圳，洗碼的朋友在深圳清晨派了輛賓士去接他倆。

B顯得特別輕鬆：「我說我肯定能贏回來的嘛！」