為什麼定積分可以求面積？

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從定積分的定義來看， $int_{a}^{b}f(x)dx:=lim_{n ightarrow infty}sum_{i=1}^{n}{f(x_i)Delta x}$ ，原意應該就是
將曲線下的面積割成無數的細高的矩形，矩形的底寬是 $Delta x$ ，
當分割趨向於無窮多份時， $Delta x$ 變成了 $dx$ ， $Delta x$ 是有限的小，
$dx$ 表示的是無限的小，而 $f(x)$ 則變成了底寬為無窮小的矩形的高度，
$f(x)dx$ 就是它的面積了。
不定積分是用來求原函數的，對一個函數求他的原函數就能求出他所圍成的面積。為什麼會這樣。
好比速度和時間的函數，對他求積分就變成了路程時間函數，
然後兩端相減也變成了速度時間圍成的面積，實踐例子說的通，
但我不是知道這個理論基礎是怎麼樣的，什麼分成N部分之類的，
不明白這個跟積分有什麼關係。

微積分的基本概念 $dx,dy,f$ 等，數經變化，現代的版本是最嚴格、最抽象的，當然也是最讓初學者看不懂的。要理解現代的微積分，我覺得起碼需要想想這些名詞是否知道：「極限及無窮小量」、、「可數、不可數無窮」、「實分析」、「測度」、「勒貝格測度」、「微分形式」、「黎曼積分」、「達布積分」、「狄利克雷函數」......這真是一個漫長的學習過程，想想自己那些無眠的夜晚。

但羅馬並非一日建成。大師也是人，除非是穿越的，否則也不可能一下就把數學發展到這麼完善。追根溯源你會發現，這些數學概念也是肇始於各種直觀的想像甚至是臆測，雖然稚嫩卻極具啟發性。

所以從教育和學習的角度出發，我們應該看看，大名鼎鼎的牛頓和萊布尼茲是怎麼思考「為什麼定積分可以求面積」這個問題？

1 牛頓、萊布尼茲怎麼定義定積分的？

牛頓、萊布尼茲是這麼思考的：

順便說下，用矩形面積近似曲線面積是二維的線性近似（一維的是用切線近似曲線）。

按照現在的語言就是 $int_a^b f(x)=sum (fx)dx$ ，所以定積分在最初定義的時候，就是被定義成面積的。

再說下， $dy$ 和導數是什麼：

2 牛頓-萊布尼茲公式為什麼成立？

定積分可以求面積，我們已經知道了，但是用於計算定積分的最出名的牛頓-萊布尼茲公式是怎麼被牛頓、萊布尼茲發現的？

如果函數 $F(x)$ 是連續函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的一個原函數，那麼 $int_a^b f(x)=F(b)-F(a)$
《高等數學》同濟版

為什麼 $f(x)$ 曲線下的面積和原函數 $F(x)$ （ $f(x)$ 的不定積分）有這個關係呢？

我這裡嘗試給出兩個直觀的方法（我更喜歡後一種），來幫助你理解這個問題。

2.1 牛頓如何發現牛頓-萊布尼茲公式

牛頓搞物理研究，就是喜歡求導數。給位移求導數得到速度，給速度求導數得到加速度。搞數學研究也這麼搞，他想給面積求下導數：

開始求導： $A$ 。（注意，牛頓那時候沒有極限，所以上式除以 $dx$ 相當於求極限了）。

所以牛頓得出結論，面積的導數就是曲線，曲線的原函數就是面積。

至此牛頓推出了微積分第一基本定理（英文教材是這麼命名的，《高等數學》同濟版稱為積分上限函數的性質）：

$frac{d}{dx}int_a^x f(x)dx=f(x)$ 。

為什麼叫做微積分第一基本定理？因為我們通過它推出了微積分第二基本定理，也就是牛頓-萊布尼茲公式。這裡我就不給出證明了，給出一個直觀的說明：

至此，牛頓-萊布尼茲公式得到了驗證（不敢說證明，太不嚴格了）。

不過我覺得還啰嗦了，我下面給出另外一種理解的方法。

2.2 新方法

至此，我們可以得到 $f(b)-f(a)=sum dy$ ，之前我說過 $dy=f$ ，所以有：

$f(b)-f(a)=sum f$ 。

根據之前的描述， $f$ 表示的無限小矩形的面積，所以 $sum f$ 表示的是曲線 $f$ 下面的面積，從而我們又一次得到了牛頓-萊布尼茲公式。

2.3 彩蛋

給一個「彩蛋」，以前我覺得積分上限函數很神奇， $frac{d}{dx}int_a^x f(x)dx=f(x)$ 居然和積分下限沒有關係。這裡特地做個一個互動讓你感受一下為什麼（ $f(x)$ 是曲線， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函數）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

改變積分下限會讓原函數 $F(x)$ 的曲線上下移動，我們知道有無數原函數，假設 $F(x)$ 是原函數，那麼 $F(x)+C$ （ $C$ 是常數）也是原函數。

3 總結

我個人覺得學習過程中，直觀是首要的，嚴格性可以放到後面去，看得懂總比看不懂要好。

當然，牛頓、萊布尼茲時代的微積分是相當不嚴謹的，其中有重大的問題。可以參考下我另外一個答案：微分和導數的關係是什麼？不過，其中現代的微積分概念也只是到了高等數學的程度。

題主大概聽過這個故事：有個人想測量中國地圖的面積，就拿來一塊大木板，把地圖貼上去，沿著國境線把中國部分仔細切下來。然後把中國形狀的木板稱了稱重，再除以事先知道的單位面積木板的重量，就得到了這塊不規則木板的面積。

下面咱把這個過程重新敘述一下：

設單位體積木板的質量是 $ho$
木板厚度固定是 $h$
設很小一塊木板的面積是 $dxdy$ ，因為厚度固定，它的體積就是 $hdxdy$ ，質量是 $ho hdxdy$

地圖形狀的木板區域是 $D$ ，那麼它的質量就等於把很多小塊的質量加到一起，得到 $int_{D} ho hdxdy= ho hint_{D}dxdy$
單位面積木板的質量是 $h imes1 imes ho =h ho$
二者相除，得到不規則木板的面積為： $S=int_{D}dxdy$

去掉不必要的變數，精簡一下就是說： $dxdy$ 是一小塊區域的面積（準確地說是矩形區域），把很多小面積加起來就是總面積。積分的優點在於要算一塊板上各處的某個量，可以簡化為只算邊界上的量，中間部分一加一減不見了，這個特點一般本稱為微積分基本定理或者牛頓—萊布尼茨定理。

一、如何定義「面積」？
首先面積是指的是二維情形的，一維時我們叫長度，三維我們叫體積，更一般的，我們把集合 $Omega$ 的長度、面積、體積（或超體積）這些依賴於我們說研究的歐幾里得空間 $mathbf{R}^n$ 的維數的名稱統一稱作 $Omega$ 的測度。

理想情況是，對於 $n$ 維歐幾里得空間 $mathbf{R}^n$ 中的每個子集 $Omega$ ，我們都能指派一個非負的數 $m(Omega )$ ，它能作為 $Omega$ 的測度（即長度、面積、體積等），允許 $m(Omega )$ 取值零(例如 $Omega$ 恰是一個單點的集合或者是空集)，也允許 $m(Omega )$ 取值無限 $infty$ （例如當 $Omega$ 時整個 $mathbf{R}^n$ 時）。測度應該具備一定的合理的性質，例如

單位立方體 $(0,1)^n:={(x_1,x_2,cdots,x_n):0<x_i<1,i=1,2,cdots,n}$ 的測度應該等於 $1$
當 $A$ 和 $B$ 不相交時應該有 $m(Acup B)=m(A)+m(B)$
當 $Asubseteq B$ 時應該有 $m(A)leq m(B)$
對於任意的 $xin mathrm{R}^n$ ，應該有 $m(x+A)=m(A)$ (即 $A$ 平移向量 $x$ ，測度應該不變)

但是很不幸，這樣的測度是不存在的，無法對於 $mathbf{R}^n$ 的每個子集都指派一個非負的數（包括 $infty$ ），使得上述性質成立，這是一個相當令人驚奇的事實，因為它與人們關於體積的概念的直覺不符，（這種直覺發生錯誤的一個更為戲劇性的例子是Banach-Tarski悖論，它說的是 $mathbf{R}^3$ 中的一個單位球被分成 $5$ 塊，然後這 $5$ 塊經平移和旋轉重新聚合成兩個完全不相交的單位球，這違背了體積守恆的概念）

上述事實表明，不可能用一個合理的方式對於 $mathbf{R}^n$ 的每個子集都指派一個測度，但我們可以補救的是，只測量 $mathbf{R}^n$ 中的一類特定的集合——可測集合。我們只在這些集合 $Omega$ 上定義測度 $m(Omega)$ 。
下面我們來定義測度，從最簡單的情形開始
定義.（區間，盒子，elementary集合）一個區間是 $mathrm{R}$ 的一個子集，有如下四種形式
$[a,b]:={xin mathbf{R}:aleq x leq b }$
$[a,b):={xin mathbf{R}:aleq x < b}$
$(a,b]:={xin mathbf{R}:a<x leq b}$
$(a,b):={xin mathbf{R}:a<x < b}$
其中 $aleq b$ 是實數，我們定義區間 $I=[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$ 的長度 $|I|:=b-a$ 。 $mathbf{R}^n$ 中的盒子 $B:=I_1 imes I_2 imes... imes I_n$ 是區間 $I_1,I_2,...,I_n$ （不必有相同的長度）的笛卡兒積，因此，區間是一維的盒子，盒子 $B$ 的體積 $|B|$ 定義為 $|B|:=|I_1| imes|I_2| imes... imes|I_n|$ 。一個elementary集合是有限個盒子的並集。我們有如下定理

定理. （elementary集合的測度）設 $Esubseteq mathbf{R}^n$ 是一個elementary集合，那麼

$E$ 可以表示成有限個互不相交的盒子的並
如果 $E$ 能被分成有個互不相交盒子，即 $E=B_1cup B_2cup ...cup B_k$ ，其中 $B_icap B_j=emptyset (i eq j)$ 。那麼數 $m(E):=|B_1|+|B_2|+...+|B_k|$ 是與分法無關的，也就是如果有個其他的分法 $E=B$ ，其中 $B$ ，那麼 $|B_1|+|B_2|+...+|B_k|=|B$

這一定理很符合直覺。根據這一定理，我們可以用 $m(E)$ 表示 $E$ 的elementary測度（有時我們將 $m(E)$ 寫成 $m^n(E)$ 當我們強調是 $n$ 維歐幾里得空間中的測度）。

比如 $(1,2)cup(3,6)$ 的elementary測度是 $4$ ， $mathbf{R}^2$ 中的長方形 $[0,4] imes[3,5]$ 的elementary測度是 $8$ ， $mathbf{R}^3$ 中的正方體 $[0,1] imes[0,1] imes[0,1]$ 的elementary測度是 $1$ ，顯然，elementary測度的定義與我們的長度，面積，體積的定義是一致的。當然elementary集合太特殊了，包含的集合很少。比如 $mathbf{R}^2$ 中的三角形就不是elementary集合，我們注意到有些集合 $E$ 能夠用包含和包含於它的elementary集合來近似，即 $Asubseteq Esubseteq B$ ， $A$ 和 $B$ 是elementary集合，於是我們有如下的定義
定義. （Jordan 測度）設 $Esubseteq mathrm{R}^n$ 是有界集合

$E$ 的Jordan內測度 $m_{*,(J)}(E)$ 定義為

$m_{*,(J)}(E):=sup_{Asubseteq E:A ext{elementary}}m(A)$

$E$ 的Jordan外測度 $m^{*,(J)}(E)$ 定義為

$m^{*,(J)}(E):=inf_{Bsupseteq E:B ext{elementary}}m(B)$

如果 $m_{*,(J)}(E)=m^{*,(J)}(E)$ ，我們就說 $E$ 是Jordan可測，我們稱 $m(E):=m_{*,(J)}(E)=m^{*,(J)}(E)$ 為 $E$ 的Jordan測度。

注意，我們不認為無界集合是Jordan可測的（它們的Jordan外測度是無限）。Jordan可測的集合是」幾乎elementary「。顯然，每個elementary集合都是Jordan可測的，而且elementary測度和Jordan測度相等，因此Jordan測度是elementary測度的推廣，且與我們的長度，面積，體積的定義一致。
我們可以用Jordan測度來定義長度，面積，體積。

最為例子， $mathbf{R}^2$ 的三角形 ${(x,y):xgeq0,ygeq 0;x+yleq 1}$ 的Jordan測度是 $1/2$ 。但也有很多Jordan不可測的集合，比如 $[0,1]^2cap mathbf{Q}^2$ ，它的Jordan外測度是 $1$ ，內測度是 $0$ ，比Jordan更一般的測度是Lebesgue測度，但它與Riemann積分無關，我們不在這裡討論這件事。

二、Riemann積分與面積的關係
定積分 $int_{a}^{b} f(x) dx:=lim_{n ightarrow infty} sum_{i=1}^{n}{f(x)Delta x}$ 就是Riemann積分，先回顧一下Riemann積分的定義
定義. （Riemann積分）設 $[a,b]$ 是區間，其中 $a<b$ ，並設 $f:[a,b] ightarrow mathbf{R}$ 是函數， $[a,b]$ 的一個分法 $P=((x_0,x_1,cdots,x_n),(x_1^*,x_2^*cdots,x_n^*))$ 是一個有限的實數序列 $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ 以及數 $x_{i-1}leq x_i^*leq x_i$ ( $i=1,2,...,n$ )。我們簡寫 $x_i-x_{i-1}$ 為 $delta x_i$ ，數 $Delta P:=sup_{1leq ileq n}delta x_i$ 叫做分法 $P$ 的模，函數 $f$ 關於分法 $P$ 的
Riemann和 $mathcal{R}(f,P)$
定義為
$mathcal{R}(f,P):=sum_{i=1}^n{f(x_i^*)delta x_i}$
如果極限 $lim_{Delta P ightarrow 0}{mathcal{R}(f,P)}$ 存在，我們就說 $f$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可積並且定義Riemann積分
$int_{a}^{b} f(x) dx:=lim_{Delta P ightarrow 0}{R(f,P)}$
也就是對於每個 $varepsilon >0$ ，存在 $delta >0$ ，對於每個分法 $P$ ，當 $Delta Pleq delta$ 時， $left|mathcal{R}(f,P)-int_{a}^{b}f(x) dx ight|leq varepsilon$ 顯然，根據上面的定義，無界函數不是Riemann可積的。這個定義在幾何上很直觀，也就是表示函數圖像下的面積，但用起來不方便，我們下面給出一個更好的定義

定義.（逐段常值的函數）設 $[a,b]$ 是區間，一個逐段常值的函數 $f:[a,b] ightarrow mathbf{R}$ 是存在一個 $[a,b]$ 的分法將 $[a,b]$ 分成有限個區間 $I_1,I_2,cdots,I_n$ ，使得 $f$ 在每個區間 $I_i$ 上等於常數 $c_i$
容易證明表達式
$sum_{i=1}^{n}{c_i|I_i|}$
是與將 $f$ 分成逐段常值的分法無關，我們將上式用 $p.c.int_{a}^{b} f(x) dx$ 表示，即 $p.c.int_{a}^{b} f(x) dx:=sum_{i}^{n}{c_i|I_i|}$ ， $p.c.int_{a}^{b} f(x) dx$ 也表示 $f$ 在 $[a,b]$ 上的逐段常值積分。比如
$f(x)=left{ egin{aligned} 2, ext{當} 1leq x<3 \ 4, ext{當} x=3\ 6, ext{當} 3< xleq 4 end{aligned} ight.$
那麼 $p.c.int_{1}^{4}f(x) dx=2 imes 2+4 imes 0+6 imes 1=10$

定義.（Darboux 積分）設 $[a,b]$ 是區間， $f:[a,b] ightarrow mathbf{R}$ 是有界函數，Darboux下積分
$underline{int_{a}^{b} }f(x) dx:=sup_{gleq f:g; ext{逐段常值}}p.c.int_{a}^{b} g(x) dx$
同樣，我們定義Darboux上積分
$overline{int_{a}^{b} }f(x) dx:=inf_{ggeq f:g; ext{逐段常值}}p.c.int_{a}^{b} g(x) dx$

顯然 $underline{int_{a}^{b} }f(x) dxleqoverline{int_{a}^{b} }f(x) dx$ ，如果兩者相等，我們就說 $f$ 在 $[a,b]$ 上Darboux可積並且定義 $f$ 在 $[a,b]$ 上的Darboux積分
$int_{a}^{b} f(x) dx:=underline{int_{a}^{b} }f(x) dx=overline{int_{a}^{b} }f(x) dx$

關於Riemann積分和Darboux積分的關係，我們有如下命題
命題. 設 $[a,b]$ 是區間，並設 $f:[a,b] ightarrow mathbf{R}$ 是有界函數，那麼 $f$ 是Riemann可積當且僅當 $f$ 是Darboux可積，並且在這一情形， $f$ 的Riemann積分和Darboux積分相等。

最後我們看Riemann積分的面積解釋
命題. 設 $[a,b]$ 是區間，並設 $f:[a,b] ightarrow mathbf{R}$ 是有界函數，那麼 $f$ 是Riemann可積當且僅當集合
$E_+:={(x,t):xin [a,b];0leq tleq f(x)}$ 和
$E_-:={(x,t):xin [a,b];f(x)leq tleq 0}$
都是Jordan可測的，並且我們還有
$int_{a}^{b} f(x) dx=m^2(E_+)-m^2(E_{-})$
其中 $m^2$ 表示的是二維Jordan測度

證明. 先證明 $f$ 非負的情形， $f$ 是Riemann可積，那麼對於每個 $varepsilon >0$ ,存在逐段常值的函數 $overline{f}$ 和 $underline{f}$ 滿足
$int_{a}^{b} f(x) dx-varepsilon<int_{a}^{b} underline{f}(x)leqint_{a}^{b} f(x) dxleqint_{a}^{b} overline{f}(x) dx<int_{a}^{b} f(x) dx+varepsilon$
設 $underline{f}$ 在 $[a,b]$ 的分法 $I_1,...,I_n$ 上逐段常值，且 $underline{f}$ 區間 $I_i$ 上的值為 $c_i$ $(i=1,2,...,n)$ ，集合 $A=$ { $(x,t),xin[a,b];0leq tleq underline{f}(x)=cup _{i=1}^n I_i imes[0,c_i]$ }是elementary集合，而且
$m^2(A)=p.c.int_{a}^{b} underline{f}(x) dx=sum_{i=1}^{n} c_i|I_i|$
同理 $B=$ { $(x,t),xin[a,b];0leq tleq overline{f}(x)=cup _{i=1}^mI_i imes[0,c_i]$ }也是elementary集合，且
$m^2(B)=p.c.int_{a}^{b} overline{f}(x) dx$
注意到 $Asubseteq E^+subseteq B$ ，因此
$int_{a}^{b} f(x) dx-varepsilon <m^2(A)leq m_{*,(J)}(E^+)leqint_{a}^{b} f(x) dxleq m^{*,(J)}(E^+)leq m^2(B)<int_{a}^{b} f(x) dx+varepsilon$
令 $varepsilon ightarrow 0$ ，有 $m_{*,(J)}(E^+)=m^{*,(J)}(E^+)=int_{a}^{b} f(x) dx$
因此 $E^+$ 是Jordan可測的，且 $m^2(E^+)=int_{a}^{b} f(x)dx$
再證明 $E^+$ Jordan可測，那麼 $f$ 是Riemann可積
$E^+$ 是Jordan可測的，那麼對於每個 $varepsilon >0$ ，存在elementary集合 $A,B$ , $Asubseteq E^+subseteq B$ ，滿足
$m^2(E^+)-varepsilon<m^2(A)leq m^2(E^+)leq m^2(B)<m^2(E^+)+varepsilon$
同樣的做法，將 $A,B$ 與逐段常值的函數相聯繫，即可的
$m^2(E^+)=underline{int_{a}^{b} }f(x) dx=overline{int_{a}^{b} }f(x) dx$
即 $m^2(E^+)=int_{a}^{b} f(x) dx$
$f$ 非負證明完畢，當 $f$ 不是非負，將 $f$ 分成正部 $f^+:=max(f,0)$ 和負部 $f^-:=-min(f,0)$ ，於是有 $f=f^+-f^-$ ，重複上面的證明即可得 $int_{a}^{b} f^+(x) dx=m^2(E+),quad int_{a}^{b} f^-(x) dx=m^2(E^-)$
因此 $int_{a}^{b} f(x) dx=int_{a}^{b} f^+(x) dx-int_{a}^{b} f^-(x) dx=m^2(E^+)-m^2(E^-)$ 。QED
題主要注意 $int_{a}^{b} f(x)dx$ 只是表示一個數而已，不要拆開看，也可以寫成 $int_{[a,b]}f$ 。 $dx$ 是因為我們在Riemann-Stieltjes積分 $int_{I}fdalpha$ 中取 $alpha$ 長度 $alpha (x)=x$ ，並無其他的含義。

問題可以分成兩個部分:

1) 不定積分為何可以用來算定積分？（或者：Newton-Leibniz公式是如何可能的？）

這個問題比較簡單，嚴格的證明可以參見幾乎任何一部數學分析教科書。

直觀地來講，

既然黎曼積分是用黎曼和的極限，也就是細高的矩形的面積之和的極限來定義的。

那麼若設 $F(x)=int_a^xf(t)dt=lim_{delta o 0}sum_{i=1}^nf(xi_i)varDelta x_i,$ 其中 $delta=max_i Delta x_1$ .

這樣，當 $delta$ 很小的時候， $F(x)approx sum_{i=1}^nf(xi_i)varDelta x_i$ ，兩者差距很小。

此時我們來考慮 $F(x)$ 在 $x$ 處的導數， $F^prime (x)=lim_{varDelta x o 0}frac{F(x+varDelta x)-F(x)}{varDelta x}.$

而根據前面的 $F(x)approx sum_{i=1}^nf(xi_i)varDelta x_i,$ 我們發現 $F(x+varDelta x)$ 和 $F(x)$ 差不多就相差一個小小的細高矩形的面積，而這個面積再除上它的底邊長 $varDelta x$ 就恰好是是它的高，差不多是 $f(x).$

換句話說， $F(x+varDelta x)-F(x)approx f(xi)varDelta x,$ 其中 $xleqslant xi leqslant x+varDelta x.$

那麼就有 $frac{F(x+varDelta x)-F(x)}{varDelta x}.approx f(xi) o f(x).$

因此 $F^prime (x) = f(x).$

2) 一個函數的定積分為何等於其圖像與 $x$ 軸圍成的曲邊梯形的面積？

首先明確一點，黎曼積分不是用面積定義的，面積也不是用黎曼積分定義的。

（也就是說，黎曼和的極限就是面積一般是需要證明的）

然而，只要我們有一個良定義的通常意義下的面積，我們總是可以證明在這個面積的定義的意義下，函數的定積分等於其圖像與 $x$ 軸圍成的曲邊梯形的面積。

這個問題的關鍵在於面積是如何定義的。一般來說，我喜歡用勒貝格測度來定義面積。

用勒貝格測度定義了面積之後，我們立刻發現，根據定義，函數的達布大和的下確界必然大於等於其所圍曲邊梯形的面積，而可積函數的達布大和的下確界恰好是其黎曼積分。

另一方面，我們又容易知道面積具有單調性，從而函數的達布小和又總是小於等於對應的曲邊梯形的面積，而達布小和取上確界之後也得到黎曼積分。

黎曼積分小於等於面積，面積又小於等於黎曼積分，因此兩者必相等。

從問題的正文看，這個問題問的不是「為什麼定積分可以求面積」，而是「為什麼不定積分與求面積相關」。

理論基礎？微積分基本定理（Fundamental theorem of calculus）。

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關於各種積分：http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/forms.pdf

因為面積就是由積分定義的，你的疑惑實際上來源於沒有完全理解積分的概念。
你可以嘗試多讀幾遍定積分的定義，而不是糾結於 f(x)dx 這種符號的表面意義上。

上面一大堆的數學高手，都在解答，不是很同意上述答案的方式，確實都寫的非常好，很專業，但是不夠深刻，理解需要很高的數學知識，完全可以秒殺我這個戰鬥力為五的渣渣，下面來說一下我的比較淺顯的理解，首先我們都知道的我們可以吧一個函數分成很多很多份，假設這個區間是"[a,b]那麼我們就有 $x_{a} ,x_{1},x_{2},......x_{b}$ 不同的份，假設我們分的足夠大，也就是n很大，那麼面積就近似的等於 $sum_{i=1}^{n}{f(x)* riangle x}$ 現在我們再看看，導數的定義是什麼，假設f(x)是一個函數的導數，那麼我們就有 $f(x)=[F(x+ riangle x)-F(x)]/Delta x$ 那麼，我們既有 $f(x)*Delta x=F(x+Delta x)-F(x)$ 首先我們要搞明白這裡的Δx是什麼，當n很大的時候，就等於 $x_{n}-x_{n-1}$ 所有以上的總和就是 $F(x_{a} )-F(x_{1})+F(x_{1})-F(x_{2}).......-F(x_{b})$ 樓主上市例子不理解的話，其實就是 $x_{1}+Delta x=x_{a};x_{2}+Delta x=x_{1}$ 好了，我相信樓主對於這應該有一個很直觀的理解了.......加油，求別噴

按照你的例子，假設時間是t, 速度是v, 路程是s, 在任意短的時間dt里認為速度不變，則在這段時間是的路程是ds=vdt（面積的概念）,然後對總的時間積分 $int_{}^{} ds$ =s, 和你說的定積分的定義不矛盾。

把圖形用若干和x軸y軸平行的直線分為若干小格子，把所有和圖形有重合部分的小格子的面積和稱為「上面積」，把所有圖形完全含有的小格子的面積和稱為「下面積」。有上面積&>=圖形面積&>=下面積。上面積和下面積差的是包含邊界的小格子的面積和。如果最長的小格子邊長趨於0，上面積的極限等於下面積的極限，那麼夾逼準則面積自然也就是它們的極限。此時稱為圖形可求面積的，可以看出充要條件是邊界的面積為0。那麼對比黎曼可積，任意一個x軸劃分，在每個小區間上取最大，就是一種「上面積」的劃分，同理去最小。所以黎曼可積意味面積存在，等於這個極限。

最簡單直白的方法，題主理解一下變限積分求導的方法，這個問題就迎刃而解了。
一個函數的原函數，描述的就是積分上限變化時，該函數所圍成的面積變化情況。
馮白羽給出的答案，F(x)就是變限積分。

好吧。作為資深學渣我們來聊聊。沒有大神寫的那些亂七八糟的跟咱們智商隔離。也沒有理論的東西。

現在我們看到的定積分（黎曼積分）是這樣嬸的：

但是他在黎曼眼力是啥樣的呢？

黎曼他老先生就說是大神他也不能一步到位是吧？(●—●)

其實在黎曼老先生的眼睛裡死這樣嬸的：

有沒有感覺呢？

b-a是積分區間，對不對？那（b-a）/ n有是什麼鬼？對滴，就是把區間分成n份，這這裡就相當於積分裡面的dx。然後f（）裡面這一大嘟嚕是啥呢？就是每次n增加那麼一點點 f（x）的變化量呀。等一下。卧槽還得∑ 。那變成了啥？隨著n變f（）也tm變呀還得相乘再加到一起。每一個小元素都是個封閉的矩形，心好酸。還尼瑪求和。所以就變成面積了。

寶寶只能和你一起心酸了。誰來安慰下我。。。

大概就是這樣嬸的。

以上

定義原函數y=f(x),若函數的一段定義域[X1,X2]對應的值域為[Y1,Y2].將定義域x的一段[x1,x2]切成n份，當n趨於無窮大，則可以認為每一份為dx.在這個函數圖形中，都會有相對應的值域dy，將所有的dx相加，是不是就是原來的一段連續的x（將x分解成很小的n個x，將這些小的x全部加一起就等於這段x2-x1）？用數學表示就是定義域依然是x2-x1。而對應的原函數的值域依然還是這個定義域對應的Y的值[y1，y2]。這個是原函數的分析，對嗎？
再看導數，導數的定義為dy/dx=f"(x).這個定義沒有問題吧？如果有問題，請去看看導數的定義。
dy=f"(x)dx=（dy/dx）*dx。其中的dy，dx都是原函數的。那麼將dx屬於[X1,X2]所有的值全部帶入這個等式中，得到的dy，是不是就是原函數的這段y值？而在導數的圖形中，f"(x)dx（導數圖形中就是yx），看起來不就是這種一個個的極小的面積嗎？望你能理解。

定積分有兩點要理解：1、細分成細條長方形的面積；2、證明細條長方形的極限就是曲線下的面積。
大部分人只知道第一點，不清楚其實第二點也要證明。第一樓的證明說明了第二點極限的存在性。

一開始看到定積分定義的時候我也搞懵了，但就在教材的後面給出了解答和證明。其實就是用積分中值證明了積分上限函數與其導數的關係，再這個關係證明了牛頓萊布尼茲公式，也就揭示了為什麼可以用原函數來計算定積分，回答完畢#

y=x2的面積函數就是y=1/3x3

y=1/3x3的微分就是那個小矩形。

1、剛開始也有此疑問，覺得好神奇的關聯，很不可思議的美妙，也很想搞清楚當初人家怎麼就想到了這種關聯，後來知道，剛開始定積分積分與原函數的關係是牛頓、萊布尼茨揭示的；而用定積分表示面積是黎曼最先這樣表達的，而且廣為流傳的，是定積分在幾何上的一種應用；至於速度時間等都是對積分的應用；這兩種概念是不同方式來理解定積分。
2、如果想要理解積分所對應原函數意義，上面泰溫回答的我覺得挺好：一個函數的原函數，描述的就是積分上限變化時，該函數所圍成的面積變化情況。

本來定積分跟不定積分沒關係。不同的符號，不同的函數。直到有一天萊布尼茨找到了個公式，檢驗他們的DNA發現，原來他們是親兄妹。（~~）
我理解的題主的問題是：為什麼原函數在區間上的函數值之差在數值上竟然等於這個函數在區間上跟x軸圍成的面積。太不可思議了。。。（數學之美，呵呵）

【啰嗦版】
其實也很好理解。為了方便訴述，我還是以s v t 之間的關係來說說。區間是0---t1，我們把這個區間切切切，分成很小很小的子區間，假如有個子區間0---t2，這時候因為很小了。v是一樣的，那麼在這段勻速運動中增加的位移S(t2)-S(0)=ΔS=vt*t2 (這個數字恰好就是v跟t軸圍成的面積) ,然後全部加起來就有了S(t1)-S(0)就等於v跟x在區間0--t1圍成的面積。

【精簡版】
就是把t化成全部是勻速運動的區間。每個勻速運動的面積都是v*t 所以和起來也一樣。

^_^ 說了這麼多，給我的趕腳是因為1+1=2,所以2+2=4 ，惡補知識去了。

都在講黎曼積分我想說一下勒貝格積分

上面黎曼下面勒貝格醬嬸

震驚！我和題主想法是反的。。我學的時候是要求面積，然後才有了定積分。

牛頓萊布尼茲公式把積分與微分聯繫了起來，題主問題的後半部分請詳細參閱微積分基本公式的引入證明。
關於面積。f(X)*dx不是面積，對它的積分才是。至於為什麼，其實從跟本上講，面積的定義就是通過積分定義來的，我是這麼認為的。
或者你這麼想，如果f(x)在某段區域連續，那麼它是可積的，數學分析里，它的達布上和大於圍成的面積，達布下和小於圍成的面積，而達布上下和有一個共同極限，這個極限就是f(x)對這個區間的積分，所以它就是這個區域的面積。