如何證明π>3.05？

11-26

東京大學理科類本科招生考試試題(註：原描述為數學專業，但東京大學理科類實行大類招生，無專門的數學專業招生計劃)

不知道這個題的背景是什麼樣的.

如果對於學過高等數學的學生, 下面這個方法應該是最簡單的:

注意到 $frac{pi}{6}=arctanfrac{1}{sqrt{3}}=int_{0}^{frac{1}{sqrt{3}}}frac{dx}{1+x^2}>int_{0}^{frac{1}{sqrt{3}}}(1-x^2)dx=frac{8}{9sqrt{3}}$ .
因此 $pi>frac{16}{3sqrt{3}}approx3.079$ .

另一個方法是用帶余項的 Taylor 展開. 這個是最 straightforward 的方法, 不需要太多技巧. 已有的幾個回答都提到了這個方法, 然而都並不是這個題目的證明, 因為缺少了對余項的估計.

下面這個帶誤差估計的反正切函數的 Taylor 展開來源於 Apostol 的 Calculus 的課後習題:
$arctan x=sum_{k=0}^{n-1}frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}+E_{2n}(x),$ 其中 $|E_{2n}(x)|leqfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$ , $0leq xleq1$ .
其證明可以在 calculus - Bound for error term in Taylor expansion of $arctan x$ 看到.

應用這個公式, 我們計算 $arctan 1$ 到 $n=11$ ,
$frac{pi}{4}=arctan 1=sum_{k=0}^{10}frac{(-1)^k}{2k+1}+E_{20}(1),$ 其中 $|E_{20}(1)|leq 1/23$ .
由此得到對 $pi$ 的估計 $pi>4(sum_{k=0}^{10}frac{(-1)^k}{2k+1}-|E_{20}(1)|)approx4 imes(0.8081-0.0435)=3.0584$ .

對於高中生來說, 雖然缺乏更有力的工具, 甚至連 $pi$ 的定義是什麼也十分模糊, 但還是有一些方法做估計.

考慮一個內接單位圓的正十二邊形. 其周長 $l=24sin frac{pi}{12}$ . 因此 $pi>frac{l}{2}=12sinfrac{pi}{12}approx 3.105.$
注意到 $sinfrac{pi}{12}=sin(frac{pi}{3}-frac{pi}{4})$ , 可以用和差化積公式計算.

對於最後這個方法有必有多說兩句. 這個方法看似最簡單, 但實際上背後的水也是很深的. 一個事實是, 任何一本微積分教材, 肯定是在講完了微分和積分之後, 才開始講什麼是曲線以及如何定義並計算曲線的長度. 因此就算用這個方法做了正確的證明, 證明者自己也很有可能不明白這為什麼是正確的. 這個證明之所以正確, 首先要澄清幾個概念:

$pi$ : 一個簡單(而又嚴格)定義 $pi$ 的方式正是依賴於級數, 參考: π是如何定義的？ - 余翔的回答. 基於這個定義, 之前兩種估計 $pi$ 的方法是嚴格的. 這裡第三種估計方法利用的是這個定義: $pi$ 是圓的周長與半徑的比值. 但這個定義牽扯到曲線長度的定義.
曲線長度: 曲線內接折線段長度的上極限. (參考: Calculus/Arc length) 正是因為這個定義中的上確界, 我們才可以用圓的內接多邊形對圓的周長的下界做估計.

可以證明(然而並不顯然)這幾種對 $pi$ 的定義方法是自洽且等價的. 因此上面三種方法都是正確且嚴格的.

泰勒級數高中沒學，我覺得這道題考察的是簡單的三角函數公式和兩點之間線段最短。

作圓的內接正八邊形，則π大於正八邊形的周長除以圓的直徑，這個值為8乘sin(22.5°)，由半形公式，該值為8乘根號下(1-sin(45°))/2，約等於3.06。

x&>0的時候，x&>=sinx，這個不等式x越小越緊。

所以 $pi /6>0.5$ 。然後再半形公式，這個結果會更緊。用半形公司算一下 $pi /12$ 就行了

如何證明圓周率大於3.05
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再補充一個吧
Izumiの數學＞π

龍櫻？記得漫畫龍櫻（中文名叫東大特訓班）里說這道題的背景是當年有小學教材將圓周率近似值從3.14改成了3遭到批評，於是東大出題嘲諷了下那些起鬨的無知群眾你們說圓周率不是3你給個證明看看？就這樣。

其實π的計算歷史也是一部數學發展史

1. $pi$ 的定義
小學數學書上說，圓周率π是（歐幾里得）平面上圓周長和直徑的比。
這個定義有兩個問題，第一，圓周是曲線，曲線的長與直線的長是不同的，第二，任何圓的周長和直徑的比都一樣么。對於學了數列和極限的人，證明並不困難。
從圓的任一內接正多邊形出發，用任何方法，使他的邊數無限增加，那麼這些正多邊形的周長也有一個極限，這個極限是圓周長
同理，我們還可以用面積定義π，原則上任何含π的公式都可以用來定義π，球的體積公式 $V=frac{4pi R^{3} }{3}$
$pi =4int_{0}^{1} sqrt{1-x^{2} } dx$ ，實際上這是單位元的面積
$pi =4ln(frac{1-i}{1+i} )^{frac{i}{2} }$
2.π的計算
（1）自古時至17世紀中期，此時代大都是求一個多邊形等於一個已知圓的努力，或用目前的初等教科書中所述的那樣純粹幾何的方法，求π的近似值，這種方法大家都知道（略）
值得一提的是題目中的3.05，明末「四公子」之一的著名哲學家方以智，在通雅一書中有「徑十七周五十二率」的記載，由此他的π=52/17=3.0588
（2）自發明微積分起，解析幾何方法代替了古代的幾何法。

1671年，蘇格蘭數學家詹姆斯格雷戈里公開了他發現的公式：

$arctanx=x-frac{x^{3} }{3} +frac{x^{5} }{5} -frac{x^{7} }{7} ...(-1<xleq 1)$
但遺憾的是他當時始終沒有意識到這個公式為π的計算開闢了一個新的時代，令x=1得
$frac{pi }{4} =1-frac{1}{3} +frac{1}{5} -frac{1}{7} +...$
1673年，萊布里茨發現了這個式子，後人稱之為「萊布里茨公式」，它標誌著用分析法中的反切式算π的開始。但是這個公式算π太慢，要求出3.14需要628項。不過用來證明 $pi >3.05$ 也是可以得。
對各項絕對值單調減少的收斂交錯級數，只用到前面一些項計算它的和，會產生截斷誤差，不會超過被捨棄的第一項的值。
所以， $frac{pi }{4} =1-frac{1}{3} +frac{1}{5} -...+frac{1}{21} -frac{1}{23} +(frac{1}{25} -frac{1}{27} )+...geq 1-frac{1}{3} +frac{1}{5} -...+frac{1}{21} -frac{1}{23}=0.7646$
$pi geq 3.058$
這裡沒有用到泰勒展開式，因為泰勒此時還未出生。

1676年，牛頓發現了一個反正弦函數的展開式

$arcsinx=x+frac{x^{3} }{2cdot 3} +frac{3x^{5} }{2cdot 4cdot 5} +frac{3cdot 5cdot x^{7} }{2cdot 4cdot 6cdot 7} +...$
他設式子中的 $x=frac{1}{2}$ ，就得到
$frac{pi }{6} =frac{1}{2} +frac{1}{2cdot 3cdot 2^{3} } +frac{3}{2cdot 4cdot 5cdot 2^{5} } +frac{3cdot 5}{2cdot 4cdot 6cdot 7cdot 2^{7} } +...$
並由此算出π至14位，要證明 $pi >3.05$ ，只需要取前兩項即可
$frac{pi }{6} >frac{1}{2}+frac{1}{2cdot 3cdot 8} </p> <p>ightarrow pi >3.125$

1706年，英國倫敦格雷斯漢姆大學天文學教授馬青發現了一個很重要的公式：

$frac{pi }{4} =4arctanfrac{1}{5} -arctanfrac{1}{239}$
他分別將 $arctanfrac{1}{5}$ 和 $arctanfrac{1}{239}$ 用格雷戈里公式展開，由此計算到π的100位小數。他的公式被長期用於算π的優秀公式之一，已至1949年人類第一次用電子計算機計算π時，也用到這個公式。

1755年，歐拉發現了 $frac{pi }{4} =5arctanfrac{1}{7}+2arctanfrac{3}{79}=2arctanfrac{1}{3}+arctanfrac{1}{7}$

奧地利數學家喬治威加，用這兩個公式將π算到了143位小數，但只有前126位正確

歐拉還得到了

$frac{pi ^{2} }{6} =1+frac{1}{2^{2} } +frac{1}{3^{2} } +...$
取前11項可得到 $pi >3.05$
同理還有
$frac{pi ^{4} }{90} =1+frac{1}{2^{4} } +frac{1}{3^{4} } +frac{1}{4^{4} } +...$
利用第一項即得 $pi >sqrt[4]{90} =3.08>3.05$

1874年，中國清代數學家，清朝大臣曾國潘的次子曾紀鴻，左潛，黃宗憲等人在《圓率考真圖解》中曾記有求π的兩個反正切式，分別是

$frac{pi }{4} =arctanfrac{1}{2} +arctanfrac{1}{3}$
$frac{pi }{4} =arctanfrac{1}{4} +arctanfrac{1}{5} +arctanfrac{1}{12} +arctanfrac{1}{13} +arctanfrac{5}{27}$
其後，曾紀鴻用了一個多月，求得π的100位小數。

1844年，德國數學家達什和斯特拉斯尼茨基，利用下面的公式將π算到了205位。

$frac{pi }{4} =arctanfrac{1}{2} +arctanfrac{1}{5} +arctanfrac{1}{8}$

1949年，美國數學家史密斯和雷恩奇算出1121位π，創造了人工計算π的最高紀錄
1961年，山克斯用計算機，利用公式

$pi =24arctanfrac{1}{8}+8arctanfrac{1}{57}+4arctanfrac{1}{239}$
算出10萬位
（3）「沙-波法」即相關二次演算法，這種演算法基於幾何平均值，這種演算法產生的近似值收斂速度，比任何經典公式都快，簡述如下：
設 $a_{0} =1,b_{0} =frac{1}{sqrt{2} } ,s_{0} =0.5,k=1,2,3,...$ 計算
$a_{k} =frac{a_{k-1}+b_{k-1} }{2}$
$b_{k} =sqrt{a_{k-1} b_{k-1} }$
$c_{k} =a_{k} ^{2} -b_{k} ^{2}$
$s_{k} =s_{k-1} -2^{k} c_{k}$
$pi _{k}=frac{2(a_{k} )^{2} }{s_{k} }$
然後， $pi _{k}$ 平方地收斂於π。這就是說這個演算法的每次迭代大致使正確的位數加倍，特別的，各次迭代依次產生π的1,4,9,20,42,85,173,347和697個正確數字。為了將π算到4500萬個準確的十進位數字，只要25次迭代就足夠了。
（4）「橢圓積分法」
這種方法建立在橢圓積分變換的理論上，我們稱為「橢圓積分法」。而始作俑者就是印度傳奇的數學家拉馬努金，下面是拉馬努金公式：
$frac{1}{pi } =frac{2sqrt{2} }{9801} cdot sum_{n=0}^{infty }{frac{(4n)!}{(n!)^{4} } } cdot frac{(1103+26390n)}{396^{4n} }$
不過，拉馬努金沒有給出公式的證明，直到1987年才由喬納森·波爾文和彼得·波爾文給出證明。這個公式只取前兩項就得到了6位準確π值。
1985年以來，橢圓積分法為一大批計算機算π提供了一新方法。

參考書目：《好玩的數學：說不盡的π》-------陳仁政

其實很多時候數學家幹事情是這麼來的→_→

定義：pi為區間3.1到3.2間的那個sin(x)=0的根。
驗證定義的合理性留作習題。
命題：pi大於3.05
證明：由定義顯然。

p.s.這大概是一個玩笑，但還是有些東西值得注意的。
1.將pi定義成sin的一個根其實是很自然的做法，這出於我們要脫離幾何觀念而純解析地定義三角函數（通過級數）。然後我們可以檢驗這樣定義的三角函數是周期的，也可以估計根的範圍。
級數求和得到pi，其實多半還是要建立在pi的定義上面的。所以釐清pi的定義是有必要的。

2.將想要的性質用作定義，雖然會增加其他部分的困難，但還是很常用的手法。

圓內接多邊形方法.

首先考慮一個圓內接正方形，如圖1所示

圓周率 $pi$ 的定義是圓的周長與直徑之比，在圖1中，直徑即為正方形對角線，即線段AC的長. 設正方形的周長為 $l_{4}$ (4表示多邊形的邊的個數，下同)，設圓的周長為 $l_{c}$ .另外，不妨令正方形邊長為1，則直徑 $AC=sqrt{2}$ . 那麼，顯然， $pi=frac{l_{c}}{AC}>frac{l_{4}}{AC}=frac{4}{sqrt{2}}approx2.828$ . 這樣就證明了 $pi>2.828$ .

要證明 $pi>3.05$ ，內接正方形顯然不夠，現在我們把邊數增加到6，見圖2. 直徑為AD的長度,同樣的， $pi=frac{l_{c}}{AD}>frac{l_{6}}{AD}=frac{6}{2}=3$ , 這樣就證明了 $pi>3$ .

但是，這還是沒有達到要求，我們預計，12邊形應該夠了。12邊形的內角角度為 $150^{circ}$ ,已經不是一個規則的角度了，此時，與其在此計算12邊形，不如直接計算一個內接多邊形的通式。我們只須考慮偶數內接多邊形（設邊數為 $2N$ , $N$ 為整數），因為此類多邊形的最長對角線即為圓的直徑，方便我們利用關係 $pi=frac{l_{c}}{d}>frac{l_{2N}}{d}$ , 其中 $d$ 為多邊形的最長對角線，也即為圓的直徑。同樣的，不妨設這個 $2N$ 多邊形的邊長為1. 通過幾何關係容易知道,最長對角線(即直徑) $d=frac{1}{sin(90^{circ}/N)}$ . 那麼容易得到 $pi=frac{l_{c}}{d}>frac{l_{2N}}{d}＝2Nsin{frac{90^{circ}}{N}}$ .

我們先來看 $N ightarrowinfty$ 的結果. $N ightarrowinfty$ ，利用泰勒展開，我們有 $sin{frac{90^{circ}}{N}} ightarrowfrac{90^{circ}}{N}$ ，所以 $2Nsin{frac{90^{circ}}{N}} ightarrow180^{circ}$ . 當我們用邊數越來越多的多邊形去內接一個圓時，所得的多邊形周長與對角線之比越來越接近圓的周長與直徑之比 $pi$ ，並且我們得到了這個值， $pi=180^{circ}$ .

剛才說到，預計用12邊形可以得到 $pi>3.05$ . 現在，我們就用上面的通式考察一下. 12邊形對應 $N=6$ , 將其帶入通式 $pi>2Nsin{frac{90^{circ}}{N}}$ ,我們得到 $pi>12sin{15^{circ}}$ . 接下來，在沒有計算器的情況下，我們要計算 $sin{15^{circ}}$ ，可以利用 $cos{30^{circ}}=1-2(sin{15^{circ}})^{2}=frac{sqrt{3}}{2}$ , 這樣我們得到 $sin{15^{circ}}=sqrt{frac{1}{2}(1-frac{sqrt{3}}{2})}$ , 所以， $pi>12sin{15^{circ}}approx3.106$ . 這樣，我們就證明了 $pi>3.05$ .

接下來，為了證明 $pi>3.14$ ，我們考察一下24邊形能否勝任。此時有 $pi>24sin{7.5^{circ}}$ ，為了計算 $sin{7.5^{circ}}$ ，我們可以重複利用三角函數公式 $cos{15^{circ}}=1-2(sin{7.5^{circ}})^{2}$ . 在此不再贅述，直接給出最後結果， $pi>24sin{7.5^{circ}}approx3.1326$ . 似乎還是不夠，那就直接加到96邊形，多計算幾次三角函數公式而已，最後的結果 $pi>96sin{1.875^{circ}}approx3.14103$ . 證畢.

填表填得兩隻眼睛放綠光了……轉移一下注意力（然則書記你是在做啥。。

老祖宗的割圓法~~~~~~~

用泰勒級數展開 arctan 函數，然後根據
$frac{pi}{4} = 4 arctan frac{1}{5} - arctan frac{1}{239}$
計算 pi 值。
收斂很快的，等收斂 pi 到了10E-3量級就夠說明問題了。

圓的參數方程為
x = sin(u)
y = cos(u)
其中u的取值為0到2*PI
使u的取值為0到2*3.05可得到如下圖形:

看到明顯的缺口了吧.

對高中生來說，教材上並沒有對pi的定義，但是有弧度制的定義。所以一個直徑為1的圓周長就是pi，之後再用內接多邊形就完全沒有問題了。（內接多邊形證明方法請參考其他答案）

用割圓術算若干輪就可以了

沒人提到這個啊
$pi=frac{22}{7}-int_{0}^{1}frac{x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^2},mathrm{d}x>frac{22}{7}-frac{1}{256}>3.138$

（既然是入學考試，就不要上泰勒公式了。根據我還能想起來的高中知識……）
割圓法割到24等分。
$1/2 imes r^{2} imes sin 15 imes 24<pi r^{2}$ $pi >12sin15=3.1058$
sin15求法：
$left( sin30 ight) ^{2} =left( 2sin15cos15 ight) ^{2} =4left( sin15 ight) ^{2} left[ 1-left( sin15 ight)^{2} ight]$
從而：
$left( sin15 ight) ^{2} =frac{2-sqrt{3} }{4} =frac{4-2sqrt{3} }{8} =frac{left( sqrt{3} -1 ight) ^{2} }{8}$
$sin15=frac{sqrt{6}- sqrt{2} }{4}$

半徑為1的圓內接一個正十二邊形，正十二邊形邊長由余弦定理得(√6-√2)/2≈0.518，2π＞0.518*12＝6.216＞6.1

看來我這個弱智，

第一眼想到的就是，

因為π=3.14……呀，

媽的前兩位就大於3.05了好吧，

有什麼需要證明的

直接自行求π

根據科學定論
pi=3.1415...&>3.05