什麼是分數量子霍爾效應？

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這個問題略犀利... 分數量子霍爾效應(Fractional Quantum Hall Effect ~ FQH)是霍爾效應家族裡最複雜也是最 fancy 的之一... 下面是豆瓣物理組 E 大為霍爾效應家族做的一副圖, FQH 就是最右下角的那個.

問這個問題的人想必沒有太多凝聚態物理的背景, 我還是儘可能從頭講起.

霍爾效應

高中物理課上想必大家都學過霍爾效應: 將一塊導體(半導體也可以)放置在一個磁場內, 然後通電流. 在垂直於磁場和電流的方向會產生電壓. 這個效應最早是1878年由美國物理學家 Hall 在讀 PhD 時發現的. 這個效應非常有用, 比如我們可以基於此方便而又準確地測量空間中某處磁場的大小.

造成這個現象的原因大家是熟知的: 電子在磁場中受到 Lorentz 力而偏轉, 在導體兩端積累, 在導體中建立起電場從而在產生電勢差. 這個電壓被稱為霍爾電壓. 霍爾效應一個顯著的特徵是霍爾電壓與磁場強度成正比. 下面是 Hall 當年發現該效應時的原始數據:

量子霍爾效應

霍爾效應是在三維的導體中實現的, 電子可以在導體中自由運動. 如果通過某種手段將電子限制在二維平面內, 在垂直於平面的方向施加磁場, 沿二維電子氣的一個方向通電流, 則在另一個方向也可以測量到電壓, 這和霍爾效應很類似.

在整整一百多年後的1980年, 德國物理學家 von Klitzing 發現了所謂的量子霍爾效應. 之所以要等這麼久才能實現這一效應, 主要是由於理想的二維電子氣難以實現. 在半導體技術高度發展之後, 人們才能在"金屬-氧化物-半導體場效應晶體管"(MOSFET)中實現比較理想的二維電子氣. 除此之外, 觀察到這一效應還需要極低溫(1.5K)和強磁場(18T). von Klitzing 因此獲得了1985年諾貝爾物理學獎.

量子霍爾效應與霍爾效應最大的不同之處在於橫向電壓對磁場的響應明顯不同. 橫向電阻是量子化的, 由此我們稱這一現象為量子霍爾效應:

儘管從整體趨勢上看, 橫向電阻(圖中紅線. 電阻的定義為電壓/電流, 實驗時電流恆定, 因此橫向電阻就相當於橫向電壓)隨著磁場強度增大而線性增大, 但在這一過程中卻形成了若干橫向電阻不變的平台. 這些平台所對應的電阻是"量子電阻" $frac{h}{e^2}$ 除以一個整數 n, 對應圖中平台的"1, 0.5, 0.33, 0.25, 0.2"等位置. 量子霍爾效應也稱作整數量子霍爾效應(Integer Quantum Hall Effect ~ IQH). 原始霍爾效應所對應的區域是磁場強度 B 很小區域. 從圖中可以看見磁場強度很小時橫向電阻與磁場強度確實成線性關係.

除此之外, 量子霍爾效應中的縱向電阻(圖中綠線)的隨磁場的變化也很奇特: 在橫向電阻達到平台時, 縱向電阻竟然為零! 在原始霍爾效應時, 縱向電阻隨磁場幾乎是不變化的, 這對應圖中磁場強度很小時縱向電阻確實近似是一個常數.

量子霍爾效應其背後對應的物理機制, 通俗地說, 可以用下圖來解釋:

在強磁場下, 導體內部的電子受 Lorentz 力作用不斷沿著等能面轉圈(Lorentz 力不做功!). 如果導體中存在雜質, 尤其是帶電荷的雜質, 將會影響等能面的形狀. 實際上, 導體內部的電子只能在導體內部閉合的等能面上做周期運動, 而不能參與導電. (因此在很純凈的樣品中反而觀察不到量子霍爾效應!)
在量子霍爾效應中, 真正參與導電的實際上是電子氣邊緣的電子. 而邊緣的電子轉圈轉到一半就會打到邊界, 受到反彈, 再次做半圓運動, 由此不斷前進. 這種在邊界運動的電子, 與通常在導體內部運動的電子不同, 它不是通過不斷碰撞, 類似擴散的方式前進的. 而是幾乎不與其他電子碰撞, 直接到達目的地, 像一顆子彈. 因此這種現象在物理學中被稱為彈道輸運(ballistic transport). 顯然在這種輸運機制中產生的電阻不與具體材料有關, 只與電子本身所具有的性質有關. 因此橫向電阻總是 $frac{h}{ne^2}$ , 其中 n 是一個正整數. 之所以與 n 有關, 粗略地說, 是因為磁場小到一定的程度, 就會同時使更多的電子進行彈道輸運. 進行的電子越多, 橫向電阻越小.

量子霍爾效應中的這種參與導電的"邊界態"是當今凝聚態物理重要的興趣所在之一. "邊界"和"表面"有其重要的拓撲性質, 所謂"拓撲絕緣體"也與它們緊密相關. 事實上, von Klitzing 是在德國的 Wu?rzburg 大學發現的量子霍爾效應. 28年後, 同樣是在 Wu?rzburg 大學, 同樣是 von Klitzing 之前所在的研究組, Molenkamp 等人第一次在實驗上發現了拓撲絕緣體: 碲化汞. 由此也可以發現一項重要的工作的完成不是一蹴而就的, 其背後必然有著深厚的積累.

分數量子霍爾效應

之前在量子霍爾效應中, 曾經提到想要觀察到這個效應需要保證樣品中存在一定數量的雜質. 如果我們考慮一個極其純凈的樣品, 那會觀察到什麼現象? 在 von Klitzing 的實驗中, 實現二維電子氣的 MOSFET 中的氧化物和半導體是二氧化硅和硅. 但二氧化硅的純度很難提升. 1982年, 華人物理學家崔琦, 德國物理學家 Stormer 等人在 Bell 實驗室用 AlGaAs/GaAs 異質結代替二氧化硅和硅, 因為通過分子束外延(MBE)技術可以生長出超純的異質結, 從而實現極其純凈的二維電子氣. 他們發現, 橫向電阻 $frac{h}{ne^2}$ 的 n 不僅可以取正整數, 還出現了 n=1/3 這樣一個分數的平台! 這就是分數量子霍爾效應. 之後他們製造出了更純的樣品, 更低的溫度, 更強的磁場. 85mK 和 280kG, 這是人類第一次在實驗室中實現如此低的溫度和如此強的磁場(地磁場是 mG 的量級). 這樣的實驗技術令人嘆為觀止.

他們也因此觀察到了更加豐富的結構(下圖不是原始結果而是實驗技術進一步提高之後的結果. 參考: The Fractional Quantum Hall Effect. ):

根據之前對 n 的解釋, n 不可能是分數, 因為不可能有分數個電子同時進行彈道輸運. 之前的解釋不適用! 最早美國物理學家 Laughlin 給出了一個比較令人信服的解釋, 他因此和崔琦與 Stormer 分享了1998年諾貝爾物理學獎.

導體中電子中的相互作用主要有: 電子-雜質, 電子-電子. 之前在解釋整數量子霍爾效應時, 我們忽略了電子與電子的相互作用. 而在現在這種樣品極為純凈的情況下, 我們不能忽略這一相互作用. 因為電子之間的相互作用很強, 導致電子之間的關聯也很強. "牽一髮而動全身", 這時我們再用"一個電子"的圖像去看問題就不合適了. 為了解決這一問題, 其中一種看法是"混合粒子". 就像質子是由三個夸克組成的一樣, 我們可以人為地將處於磁場中的(電子)看作沒有磁場時的(電子+量子磁通量). 我們將(電子+量子磁通)人為地看成一個整體, 即"混合粒子". 在這種看法下, 我們會發現"混合粒子"之間近似沒有相互作用. 這樣我們就將一個強相互作用的問題轉化成了一個無相互作用的問題. 對於 n=1/3 的情形, 就是一個電子與三個量子磁通相結合成了一個"混合粒子". 這樣所謂分數量子霍爾效應就是"混合粒子"的整數量子霍爾效應. 由於一個電子現在附著了三個量子磁通, 這就解釋了分數量子霍爾效應中的 n=1/3. 示意圖如下, 穿過電子的三根線即為三個量子磁通:

這一解釋雖然看起來合理, 但至今也有很多爭議. 分數化是強關聯繫統一個典型特徵. 而強關聯繫統是當今凝聚態物理學重要的一個分支. 高溫超導等許多重要的現象都被認為與此相關. 在這個領域還有大量問題等待人類去回答和探索.有關量子霍爾效應有一篇十分入門的綜述: http://arxiv.org/abs/0909.1998. 推薦給感興趣的物理系同學.

根據Laughlin的解釋，說白了就是在散射極少的純凈二維電子氣中電子間相互作用變得重要了。形成的複合費米子構成了能量更低的基態。而低能量的基態的複合費米子比如帶電荷3e，對應的霍爾平台就是三分之一。

真是想怎麼解釋就怎麼解釋。要不是搞了個極端條件也不可能看不到。於是乎為了悶聲大發財，江湖各個門派都勤加修鍊。最好能煉化出個奇葩毒物，再配合接近0k的寒冰真氣，祭出38T紫霞神功。然後對著亂糟糟的數據折騰出看不見的平台和噪音一樣的峰和谷，然後在science上搞出個大新聞。

然後其他門派誰也搞不出來，天朝於是一狠心也有了超低溫和強磁場中心。強烈建議上太空再去搞一番，說不定能搞出個無理數霍爾效應

wiki很全，請自行閱讀。
Fractional quantum Hall effect

第一次答題，只是個拙劣的搬運工

首先經典霍爾效應由德國物理學家Hall在1879年發現

然後量子Hall效應-----1980年,德國物理學家馮.克利岑(Von
Klitzing)發現

再然後分數量子Hall效應-----1982年,普林斯頓大學的美籍華裔教授崔
琦和Stoemer 發現

大家都知道量子效應產生的原理是導電板放置在垂直於它的磁場中，載流子在磁場中運動收洛倫茲力而偏轉形成的導致了在垂直於原有電流和磁場方向上的電勢差。設這個電勢差為U，原有電流為I,定義霍爾電阻RH=U/I=I*B/(n*Q*d），其中d為導電板厚度，Q為載流子所帶電荷量，n為載流子濃度。

那麼基本定義就給出來了，下面先說經典量子霍爾效應，也就是整數型量子霍爾效應(nteger Quantum Hall Effect)

在1980年克里岑（Von Klitzing）在1.5K溫度和18.9T磁場下測量金屬-氧化物-半導體效應晶體管的霍爾電阻時發現，其霍爾電阻總是h/e^2的整數倍（h為普朗克常數，e為電子電量），這種現象稱為量子霍爾效應。

1982年崔琦等人發現分數量子霍爾效應（Fractional Quantum Hall Effect），即RH可以是h/e^2的1/3、2/3、2/5……倍。

下面是一些實驗數據

Integer Quantum Hall Effect in a
GaAs-GaAlAs heterojunction,
recorded at 30mK.

The diagonal component ?xx of
resistivity, which shows regions of
zero resistance corresponding to
each QHE plateau ?xy.

?xy=h/ne2

Fractional Quantum Hall Effect

In high mobility semiconductor heterojunctions the
integer quantum Hall effect (IQHE) plateaux are
much narrower than for lower mobility samples.
Between these narrow IQHE more plateaux are
seen at fractional filling factors, especially 1/3 and
2/3. This is the fractional quantum Hall effect
(FQHE) whose discovery in 1982 was completely
unexpected.

The figure shows the fractional quantum Hall effect
in a GaAs-GaAlAs heterojunction, recorded at
30mK. Also included is the diagonal component of
resistivity, which shows regions of zero resistance
corresponding to each FQHE plateau.

Carriers density: 1.0X1015cm-2

The principle series of fractions that have been seen
are listed below. They generally get weaker going
from left to right and down the page:

? 1/3, 2/5, 3/7, 4/9, 5/11, 6/13, 7/15...
? 2/3, 3/5, 4/7, 5/9, 6/11, 7/13...
? 5/3, 8/5, 11/7, 14/9...
? 4/3, 7/5, 10/7, 13/9...

? 1/5, 2/9, 3/13...
? 2/7, 3/11...
? 1/7....

參考資料
《電磁學》徐游

另外量子霍爾反常效應也很火，lz可以自行維基百科看看什麼的

以上

有新的觀點認為，引力，電力，磁力共同構建了量子統一力場，見文章《質點宇宙 --物質世界的本源及其運動規律 - 知乎專欄》節選：

第一節 引力、電力、磁力統一場

從上面的討論可以看出，粒子的矢動和角動帶動了無形物質形成了粒子場。粒子的自旋面可以定義為電力面，矢動軸和角動軸決定的面定義為磁力面，分別與以粒子的質心為圓心r為半徑的球面相交而得的曲線（包含電力面的平行面，磁力面圍繞自旋軸旋轉）定義為電力線和磁力線，電力線和磁力線的交點到質心的直線定義為引力線，引力線方向永遠向心。

粒子自由運動時，自旋軸圍繞矢動軸旋轉，右手方向為正，左手方向為負，相應的決定了電力線和磁力線的方向，如果球面外法線方向為正的話，引力線方向為負；粒子軌道運動時，自旋軸沿軌道向心偏轉，並以向心方向和切線方向的合方向為軸進行圓周擺動，右手方向為正，左手方向為負。

引力線、電力線和磁力線構成了粒子的統一力場。

一、統一力場的特點：

1、引力線、電力線和磁力線相互垂直。

2、自旋軸圍繞矢動軸旋轉或圍繞合方向圓周擺動，帶動無形物質呈螺旋狀。

3、場強隨著以粒子質心為圓心，r為半徑的球面變化而增減。同一條電力線上的磁場強度相等，同一條磁力線上的電場強度相等。電力線和磁力線的交點上的場強滿足 εμ $εμ=1/v$ ；自由運動狀態下原始粒子對的場強，滿足εμ=1/c。

4、從4—2—5式來看，引力和電磁力是平衡關係，電磁力方向為正，引力方向為負。時空比，介電常數，磁導係數可以分別看作是引力、電力、磁力分配係數。

二、統一力場的數學表達式

1、統一力場的數學表達式是粒子自由運動特徵方程及其各類特徵函數。

2、相互作用表達式是粒子相對運動方程及其解。

3、麥克斯韋方程組是粒子自由運動特徵方程及各類特徵函數的宏觀表現形式。

4、萬有引力方程，庫侖定律方程，洛倫茲力方程是相對運動方程的具體表現。

量子霍爾效應與上述統一力場的描述如此驚人的相似，應該不是偶然的，具有某些必然的關係。

經典霍爾效應描述的應該是宏觀物質的統一力場。

分數量子霍爾效應描述的應該是組合粒子系統的成分粒子的霍爾效應占組合粒子的比重。

知道郎道能級怎麼來的，整數量子霍爾效應就很好理解了