如何证明数学公式 1 + 1 = 2 的成立？

11-26

请根据皮亚诺公理/ Peano axioms 以及加法的定义由1+1推导出2？
Peano axioms:

1是自然数；

每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a" ，a" 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；

如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b = c；

1不是任何自然数的后继数；

任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n" 也真，那么，命题对所有自然数都真。

加法定义：
1. 对于任意自然数 m，0 + m = m；
2. 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。
谢谢！

关于这问的意义：
如何证明一加一等于二？

特斯拉的信徒2011-02-09 13:27
以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。与算术有关的命题是否也是由更基本的东西推导过来的呢？

有这个必要吗？

如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明，我只能说哥们儿你失望了。我说的 1 和 2 可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是显然的吗？可是你是否考虑过，以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1 + 1 = 2 这样简单的算式都无法证明，那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的，至少是不科学的。看来，我们需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的东西。

什么是 1，什么是 2？

在证明之前，首先我们要明白什么是自然数，什么是加法。类似于几何的公理化理论体系，我们需要提出几个公理，然后据此定义自然数，进而定义加法。

這裡對陳浩的答案作補充，在定義完加法後要證明一個定理，即下文截圖的定理3，說明加法是well-defined,well-defined的含義是指確實存在一個函數＋滿足（＊）式，若沒有此定理，1＋1這樣的式子的含義就會不明確，所以在證1＋1＝2以前必須先證此定理，很明顯這個定理的證明要比1＋1＝2的證明要難一點。
截圖來自於一本名數學基礎的書籍作者汪芳庭，第22至23葉。

我只提两点：请题主先定义「1」和「2」。
然后我跪求题主在自己定义的基础上自答，但不准回答 by definition 。
本人从事数学研究，但虚心向题主请教。
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题主不错，至少还知道去查查皮亚诺公理……不过好像只会查中文的？
然后题目就改成了「根据皮亚诺公理证明」，哭笑不得……
只怪我忘了让你定义「＋」是不是？？！！

那我认真回答一下：皮亚诺公理说（版本稍有不同）

0 属于自然数 N，自然数 n 的后继数 S(n) 是自然数。
定义 1=S(0)，2=S(1)=S(S(0))
＋是一个函数：N x N -&> N。定义为：a+0=a，a+S(b)=S(a+b)。

根据以上定义（by definition），1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2
「QED」（如果你称之为一个证明的话……）
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好像曾经有个答案说，现在的题目是「用皮亚诺公理证明皮亚诺公理」，怎么删了？
这个说法太对了，因为我可以采用下面这个版本的皮亚诺公理，更接近题主引用的版本：

1 属于自然数 N，自然数 n 的后继数 S(n) 是自然数。定义 2=S(1)
＋是一个函数：N x N -&> N。定义为：a+1=S(a)，a+S(b)=S(a+b)

也就是说，by definition，1+1=S(1)=2
这下我真是不好意思写 QED 了，这完全是定义。

Inductive N: Set := | O : N | S : N -&> N.


Fixpoint plus (m n:N):N := match m with

  | O =&> n

  | S m" =&> S (plus m" n)

end.

Theorem one_plus_one_is_two: plus (S O) (S O) = (S (S O)). Proof. compute. reflexivity. Qed.

可以证明，根据自然数加法的定义就可以了

Peano公理和加法的定义有很多形式,但它们是等价的,我用我熟悉的形式来证明。

Peano公理

$0$ 是自然数。
若 $n$ 是自然数，则 $n++$ 也是自然数。
对于自然数 $n$ ， $n++ e 0$ 。
若 $n,m$ 是自然数且 $n e m$ ,则 $n++ e m++$ 。
$P(n)$ 是关于自然数的一个性质，假设 $P(0)$ 是真的，又假设只要 $P(n)$ 是真的，则 $P(n++)$ 也真的，那么对于每个自然数 $n$ , $P(n)$ 都是真的。

$m,n$ 是自然数，定义加法

$0+m:=m$ .
$(n++)+m:=(n+m)++$ .

根据加法的定义可知,取 $n=0,m=1$
$(0++)+1=(0+1)++$
左边 $=1+1$
右边 $1++=2$
所以 $1+1=2$
证毕， $1+1=2$ 是加法定义的推论。

似乎还没人提到罗素和怀特海的《数学原理》

用了三十页的篇幅证明1+1=2啊，这是最后的结论：

不打算科普，自行谷歌维基

皮亚诺公理

1+1当然不等于2了。2根本是不重要的。
1+1等于几并不重要。关键是1+1这个运算是可行的。所以1+1是有固定的结果的，结果是A
你把A叫做什么也并不重要。

我们姑且把这个A叫做2而已。╮(╯_╰)╭

我觉得题主真的是脑残了。。。
要使用 10 进制数字，就得先定义10个数字，也就是0~9都得定义，用一个符号来表示；
要使用 16 进制，在10进制基础上多定义6个符号，用A，B，。。。F 表示。
好了，你问的问题有一个前提，先定义 0， 1， 2，。。。， 9；
画一个图，一个物体定义成1，两个物体定义成2，。。。以此类推；
然后定义加法，a + b 就是把 a 和 b 放在一起。
好了，有了上面两个根据定义得到的，10 以内的加法全都是定义，ok，证毛线啊证！
不明白？自己画个图，看图说话。
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还有前面有个答案给的证明很简单容易理解，我已经点赞；

（1）定义0的后继自然数是1, 1的后继自然数是2；即 successor(0)=1;successor(1)=2;

（2）加法定义，successor( n ) + m = successor ( n + m );

因此 1 + 1 = s(0) + 1 = s ( 0 + 1） = s（1） = 2；

好了，你有没有发现上面的式子里，是加法定义内含有加法定义，也就是说，
（1）和（2）中间还得插入一条定义：我们还定义了 0 + a = a；

如果楼主又问 0 + 1 = 1 怎么证明。好吧，这是 0 的定义。。

正确与否是相对于结论所处于的环境。同样的，问题的答案对错与否也是相对于问题所对应的环境情景。而这是一个容易让人产生分歧的问题。在不同的分歧下自然会有不同的答案。

1+1为什么等于2？先弄清楚这个问题是什么。首先，无需多说，这是一个题主心中的疑问。而为了解答和交流这个疑问，题主组织了一寸用文字构成的通用能为别人所理解的符号。那么要证明一寸符号的正确与否，我们理所当然要先弄清楚这一寸符号所寓意的是什么。所以先来弄清楚1+1为什么等于2？这一寸符号是什么意思？当然不一定是题主像要传达的意思。

A ，1在中文里是一，用来映射数量的一个符号。2同理为二。而+顾名思义是叠加。等于理解为叠加后的结果。所以问题很简单。数量为一的物体和同样数量为一的物体叠加，最终数量是多少？理所当然是二。所以1+1+2是成立的。用事实说话。

B，1喻指无法明确出实体，个体的事物。如1代表一堆沙，最终结果明显不是2.所以明显1+1=2不成立。又或者喻指一件事，而等于为这件事产生的对应结果，那么问题就变成了同一件事先后发生了两次，其结果影响是不是等于事件同时发生两次。由于这是非线性不可测量的混沌过程，结果也是非线性，固不再加分析。

综合A和B两种情况，1+1=2正确与否完全取决于其所寓意的具体情况。

C，1纯属是符号1,2纯属是符号2,1+1+2？问的纯属是这一寸符号之间的逻辑关系是否正确（估计题主想传达的正是这个）固这一逻辑正确与否取决于其所处的逻辑环境。如各答主所答，皆在一个公认的逻辑环境下，得出了1+1+2的正确结论（详情请自行浏览）。那么是否存在一个1+1=2不成立的逻辑环境。我认为答案是肯定的。当然要创造这样的逻辑环境，得重新定义所有文字符号的概年和逻辑意义。由于篇幅浩大和能力有限固不累述。

综上所述，1+1=2正确与否是一个混沌性逻辑。无法证明。我认为这个问题完全是由于当事人精力有余，想突破所处的逻辑环境重新认识事物的本质而从最简单的逻辑入手提出的问题。并以此为逻辑基点创建新的体系。固此问题无解。当然更大的可能性是想让别人知道他的思想的高度。另外，我不是火星来的.

我不是什么数学人士，不过这个问题倒是在数年前和小伙伴讨论过很久。我们讨论的结果大概是这样的：

A君：为什么1+1=2？

我：因为2-1=1.

A君：为什么2-1=1？

我：因为1+1=2。

A君：你这是循环论证，诡辩，没有意义的。

我：1+1=2是公理，你质疑它，所以你的问题也是没有意义的。

A君：可是有果必有因啊，佛说的（- -希望看官老爷们能理解两个孩子的思维跳跃性能有多大）

我：佛说万物皆有因，1+1=2就是万物之因。（当然我们两个都完全不懂佛学，也并非有意妄谈佛学，大家就别把对话里这个“佛”当作佛学的佛了吧）

A君：啊？

我：。。。（思考了一会儿怎么圆自己的话）因为人们把1+1=2之类的公理规定为公理并无条件相信它，然后再根据公理定义了“理”的概念，“理”就是万物衍生的法则，有了能依照的法则世界才得以被创造发展啊。所以公理是因，万物是果。

两人同时：。。。（孩提之事，唯博君一笑耳）

如何证明一加一等于二？果壳的

如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明，我只能说哥们儿你失望了。我说的 1 和 2 可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是显然的吗？可是你是否考虑过，以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1 + 1 = 2 这样简单的算式都无法证明，那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的，至少是不科学的。看来，我们需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的东西。

什么是 1，什么是 2？

在证明之前，首先我们要明白什么是自然数，什么是加法。类似于几何的公理化理论体系，我们需要提出几个公理，然后据此定义自然数，进而定义加法。

先来定义自然数。根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法），它应该是从一个数开始，一直往上数，而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）。据此我们得到以下公理：

公理 1. 0 是一个自然数。公理 2. 如果 n 是自然数，则 S(n) 也是自然数。

在这里， S(n) 就代表 n 的“后继”，也就是 n 往上再数一个。没错，我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ??，无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数，用“1”来表示 0 的后继 S(0)，而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示，等等。

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统，其中 S(3) = 0（即 3 的后一个数变回 0）。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

公理 3. 0 不是任何一个数的后继。

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条：

公理 4. 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m，则 S(n) ≠ S(m)。

也就是说，互不相同的两个自然数，它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来，上面说到的反例就可以排除了，因为 3 不可能既是 2 的后继，也是 3 的后继。

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

公理 5. （数学归纳法）设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确，且假设 P(n) 正确，则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。

有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。

什么是加法？

我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：

1. 对于任意自然数 m，0 + m = m； 2. 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。

有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。

如何证明一加一等于二？

至此，我们可以证明 1 + 1 = 2 了：

1 + 1 = S(0) + 1 （根据自然数的公理） = S(0 + 1) （根据加法定义 2） = S(1) （根据加法定义 1） = 2 （根据自然数的公理）

事实上，根据加法的定义，我们不但可以证明每一个加法等式，还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律。类似于加法的定义，还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等。如果大家对这方面问题感兴趣的话，可以看看参考文献[1].

看到这里，不知道你会不会有一种如释重负的感觉。原来，我们所知道的关于数学的一切，关于人类认识世界的一切，都不是建立在直觉之上，而是在接受几个公理的条件下通过理性的方法推导出来的。同时或许你还会有一种自由的感觉：正如你可以不接受欧几里得的公理而构造自己的几何体系一样，你也可以不接受上面的几个公理而建立自己的一套关于数的体系。你可以建立无数种奇奇怪怪的体系。不过如果是为了解释自然的话，至少从目前的角度看，现有的这套还是更好一些。

一些历史背景

上面所说的公理 1 - 5 便是著名的皮亚诺公理，它是意大利数学家皮亚诺在 1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身一直延用至今。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系 [2]。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的 ε-δ 语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上 [3]。

参考文献
[1] Analysis [M]. Terence Tao
[2] 数学史概论（第二版）[M]. 李文林
[3] A History of Mathematics, an Introduction (Second Edition) [M]. Victor J. Katz

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呃，提问者是弄错了定义和证明的区别了吧？
就如同陈浩说的一样，1+1=2是定义出来的，当然这个定义从古到今一直在完善，但是即使是皮亚诺公理，也不是证明，而是更严谨的定义。
这就好比有定义说圆是平面上到定点距离为定值的点的集合，然后你问“怎么证明圆是平面上到定点距离为定值的点的集合”……估计就只能再详细描述一遍圆的定义，心情好的话上一下历史课，但是是没法证明的。

这是定义。

学点数学分析会死啊，学的太少想得太多

可惜当年我没开天辟地，说1＋1＝3，把数数改为1，3，2

如果当年定义1这个数字叫做二，2这个数字叫做3，那现在就是2+2等于3了…真理不变，只是叫法是那样的而已…

以数学渣的角度来回答这个问题。
任何数学都是做一些不被证明为矛盾的假设然后应用这些假设解决问题的。
自然数和加法的假设本身就是数学的假设的一种罢了，我们再用这种假设是因为他能解决许多问题，并且我们没找到一个一致的假设解决的问题覆盖它。
剩下的就是这个假设是否一致的问题呗，根据不完备性定理我们当然无法证明它是一致的。那么我们只要没证明它是不一致的就可以用了。
只与直觉，我们从来没有1+1=2的直觉，相反，我们的直觉是永远无法用语言正确完整地描述的，想想我们小学一年级刚接触加法的时候，为了运算方便当然是下意识得用了从来没人教过的加法交换率和结合率类似的技巧了啊。

1+1不一定等于2啊……且不论（9+1）进制还是（1+1）进制，我随意列个群表出来让1+1=a，0+1=1，0+a＝a，1+a＝0，你看看这还是个阿贝尔群呢……＝＝所以题主啊，1+1=2是因为实数域的加法群表就是这么写的诶……

这是一个非常简单的题，又是一个极富套路的题。我用一个非正规的方式回答你，就看你的悟性了！假设，有一个日本留学生用日语问你这个不懂日语的本土汉人1+1=？，你回答的了吗？你只能茫然不知所措，这是其一，其二，你看看幼儿园的小孩子又是怎样掰着手指计算加减法的？我回答完了，你看懂了吗？

记得有本书大概叫初等数学研究教程上面有证明，作者是xx豹（名字前面俩字我忘了）