√π. 和π哪個更無理？

11-26

如題

事實上這個問題還是非常有意思的，不過我們首先要定義什麼是"無理性"。

有理逼近論意義下：對於任意正實數 $x$ ，我們定義它的無理度量為 $mu(x)=infleft{umid ext{only finite many }p,qinmathbb{N^+} s.t.left|frac{p}{q}-x ight|<frac{1}{q^u} ight}.$

根據Roth"s Theorem可以證明對任意代數數 $x$ 有 $mu(x)=2$ ，另外可以證明 $mu(x) ot=2$ 構成的集合為為零測集[1]。
但對於特定的實數，比如 $pi$ 只證明了 $mu(x)le 7.6063$ （參見：Irrationality Measure，2.5是在Flint Hills Series收斂的情況下），所以我認為 $mu(pi)$ 和 $mu(sqrt{pi})$ 的大小比較應該是個Open problem（如果有誰證明了或者知道相關的Reference，歡迎提供）。

計算複雜性意義下：我們說一個實數 $x$ 是可計算的，如果存在一個圖靈機可以在有限時間內得到 $x$ 的任意精度。我們定義一個可計算實數的「無理度量」為計算它的複雜度最低的圖靈機的時間複雜度。

容易知道上述定義是well-defined，它的度量「大小」由 $O$ 符號確定的偏序關係決定（不一定全序）。

證明複雜性意義下：我們定義實數 $x$ 的「證明」無理度量為，命題「 $x$ 是無理數」在Peano公理、實數公理、ZFC所構成的公理系統（或者其他的公理系統）下的最小推理長度。

容易知道，在這個意義下 $mu(pi)ge mu(sqrt{pi})+c$ 。

描述複雜性意義下：我們定義可計算實數 $x$ 的描述複雜度為，計算它的圖靈機的最小編碼（在某種編碼方式下）長度。

如果還有別的定義方法，歡迎補充。

參考文獻：
[1].Yann Bugeaud. Distribution Modulo One and Diophantine Approximation. Cambridge University Press 2012. Page 246.
[2]. real analysis

以下證明對於無理數 $c$ ， $mu(c)leqmu(sqrt c)$ ，從而 $mu(pi)leqmu(sqrt pi)$ .

任取 $tin R_c$ ，只需證明對於充分小的 $delta>0$ ， $t-deltain R_{sqrt c}$ .
對於 $0<|c-frac p q|<frac{1}{q^t}$ 的解 $(p,q)$ ，如果 $p,q$ 都是完全平方數，那麼
$0<|sqrt c-frac{sqrt p}{sqrt q}|=|c-frac p q||sqrt c+frac{sqrt p}{sqrt q}|^{-1}leq frac{A}{q^t}<frac{1}{q^{t-delta}}$
而若 $sqrt{frac p q} otin mathbb Q$ ，我們可以利用有理數逼近 $sqrt{frac p q}$ .
根據一樓提到的定理， $mu(sqrt{frac p q})=2$ ，因此 $1in R_{sqrt{p/q}}$ ，因此存在無窮多 $(r,s)in(mathbb N^+)^2, gcd(r,s)=1$ ，使得 $0<|sqrt{frac p q}-frac r s|<frac{1}{s}$
則 $0<|sqrt c-frac r s|leq|sqrt c-sqrt{frac p q}|+|sqrt{frac p q}-frac r s|<frac{A}{q^t}+frac{1}{s}<frac{1}{q^{t-delta/2}}+frac{1}{s}$
而因為 $0<|sqrt{frac p q}-frac r s|<frac{1}{s}$ 的解有無窮多，我們可以取 $s>q^{t-delta/2}$ ，因此
$0<|sqrt c-frac r s|<frac{1}{q^{t-delta/2}}+frac{1}{s}<frac{2}{q^{t-delta/2}}<frac{1}{q^{t-delta}}$
因此 $t-deltain R_{sqrt c}$ .

remark.其實我們不需要用到 $mu(sqrt{frac p q})=2$ 這麼強的結果，而且用到的話還怕有循環論證之嫌.可以直接證明，存在無窮多組 $(r,s)in(mathbb N^+)^2, gcd(r,s)=1$ ，使得 $0<|sqrt{frac p q}-frac r s|<frac{1}{s}$ .
由 $sqrt{frac p q}=frac{sqrt{pq}}{q}$ ，根據 $sqrt{frac p q} otin mathbb Q$ ，有 $sqrt{pq} otin mathbb Q$ ，因此 $sqrt{pq}$ 是個無限不循環小數，從而成立以下估計：
$0<|sqrt{frac p q}-frac{[10^nsqrt{pq}]}{10^nq}|=frac{|10^nsqrt{pq}-[10^nsqrt{pq}]|}{10^nq}<frac{1}{10^nq}$
其中 $[x]$ 指不超過 $x$ 的最大整數.
因此若記 $d=gcd([10^nsqrt{pq}],10^nq)$ ，然後取 $r=frac{[10^nsqrt{pq}]}{d},s=frac{10^nq}{d}$ ，就有
$0<|sqrt{frac p q}-frac r s|<frac{1}{ds}<frac{1}{s}$

p.s.個人估計等號是不成立的……

樓上諸位，一個數的無理性確有度量指標的，晚上回去當一回搬運工
對於@王箏的結論的質疑。
首先沒怎麼看懂你的證明。
按照你的證明，pi的無理性指標與pi^2的指標是相等的，但是在已知的結論是

你的初等證明並不難，若有則應當早被發現。
所以我覺得你的證明可能是錯的。
當然只是我的推測，或許你就第一個證明了這個結論。

那題主又要問了： $i$ 和 $i^{i}$ 哪個更虛？

數學上有一種問題叫「尺規作圖不能問題」，其中最著名的內容有三個：在僅用尺規時，我們不能三等分一個角，不能做出長度為一條線段三次根號二倍的線段，不能做出面積等於已知圓面積的正方形（化圓為方）。
而√π可以看做第三個問題中那個所求正方形的邊長。想得到π，用圓規做一個半徑為1的圓，面積就是π，√π卻不能用尺規作圖得到。從這個角度說，√π比π更難「接近」。

小學的時候我問老師，射線和直線哪個長

這裡有問題，因為q與s不一至，不能做為結果的判斷依據。

√π. 和π哪個更無理 ？

√π. 和π哪個更無理？