怎麼通俗地理解張量?

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如果一個物理量，在物體的某個位置上只是一個單值，那麼就是普通的標量，比如密度。如果它在同一個位置、從不同的方向上看，有不同的值，而且這個數恰好可以用矩陣乘觀察方向來算出來，就是張量，比如物體的內應力、轉動慣量。

「張量的概念是G.Ricci在19世紀末提出來的，G.Ricci研究張量的目的是為幾何性質和物理規律的表達尋求一種在坐標變換下保持不變的形式，他所考慮的張量是如同向量的分量那樣的一個數組，要求它們在坐標變換下服從某種線性變換的規律，近代的理論已經把張量敘述成向量空間V及其對偶空間V*上的多重線性函數，但是用分量表示張量仍有它的重要性，尤其是涉及張量的計算時更是如此.」——摘自《微分流形初步》（陳維恆高等教育出版社）

我所理解的張量就是幾個V和幾個V*做tensor product裡面的元，它在坐標變換的時候滿足一定的協變或者反變規律罷了

如果能翻牆的話，強烈推薦該視頻
https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw
講的非常贊，思路清晰、通俗易懂。

對於不能翻牆的同學，我做個大致的內容摘要（多圖）。

兩點說明：
1、本人非數學物理專業出身……這方面也沒深入研究過，所以一些翻譯用詞可能不當，歡迎批評指正~
2、可能前半部分有點啰嗦，主要是覺得視頻太有愛了，不忍心刪掉就都放上來了。

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Dan Fleisch是《A
Student』s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他發現很大一部分讀者都有一個疑問：到底張量是TMD什麼東西? (What』s a tensor? ）

於是乎就做了這個視頻，用12分鐘來告訴你張量是什麼。

想要了解張量（Tensor），首先需要對向量（Vector）有一個清晰的了解。

在我們的課本中，向量通常都是這樣一個箭頭……用來表示一個既有幅度（magnitude）又有方向（direction）的物理量，比如重力、磁力或者一個粒子的速度。這個箭頭的長度表示幅度，箭頭的指向表示方向。

此外，向量還可以用來表示一個平面，表示方法就是讓向量代表垂直於這個平面的方向（法線方向）。

這麼看來，向量可以表示很多東西：表示力、速度甚至平面，不過仔細想想向量也只表示了幅度（magnitude）與方向（direction）兩個要素而已。

還有很多物理量用向量是沒法表示的（後面會提到），向量其實是一個更廣泛的表示方法的特例。對的，你猜對了，這個更廣泛的方法就是張量（Tensor）。

為了更好的解釋張量是什麼，有兩個概念需要先搞清楚：分量 (Components) 與基向量 (Basis Vectors）。

為了搞清楚這個兩個概念，我們要引入坐標系……

這裡我們引入的是最常見的笛卡爾坐標系（Cartesian
coordinate system）

說道坐標系，就一定要想到坐標系的基向量（coordinate basis vector）也稱作unit vector，我們用這個小箭頭來表示基向量。

基向量的長度是」1」，是你用來描述長度的基礎單位。

基向量的方向是你的坐標系的坐標的方向。

在這個坐標系中，在x,y,z軸方向分別有三個基向量。

現在我們有了坐標系（coordinate
system）與基向量（basis vector），接下來可以確定分量（components）了。

在這個例子中，那個大箭頭向量由4個x基向量，3個y基向量與0個z基向量構成。

所以我們可以用4個x，3個y，0個z來表示那個大箭頭向量。

大箭頭可以拿走了，現在只需要3個數字（方塊，注意方塊上寫著數字）與3個基向量（小箭頭），我們就可以完全還原出大箭頭的信息了。

如果大家默認使用同一套基向量，那麼基向量（小箭頭）都不需要了，我們只需要4,3,0這三個數字（方塊）就可以表示那個向量。

這三個數字（方塊）就是向量的分量（components）。

此時，想要表示一個向量，只要給定這三個分量即可，它們怎麼排列都可以，你也可以把他們立起來。

如果加上兩個括弧，這就是我們在書上經常看到的向量的列表示……（笑cry了有木有）

總結一下，剛才那個桌子上的大箭頭可以用這3個分量（components）與3個基向量（basis
vector）表示。

（插一句：請原諒到此為止都講的內容都是高中知識……因為很有愛啊~下面即將進入正題）

推廣一下，對於一個向量A來說，我們用Ax, Ay, Az來表示這三個分量，分別對應向量A在x,y,z基向量方向上的分量。

注意每個分量只有一個下標，因為每個分量只由一個基向量構成（one
basis vector per component），所以向量也稱為1階張量（Tensors of rank 1）。

相應的，標量（scalar）也稱為0階張量（Tensors of rank 0），因為標量沒有方向，因此也就不存在基向量，可以說標量的每個分量是由0個基向量構成的。

下面來看更高階的張量。

這是一個在3維空間中的2階張量。

回顧一下，向量有3個基向量與3個分量。

而現在這裡有9個基向量（那些小箭頭）與9個分量（那些方塊）。

注意現在每個分量有兩個下標（例：Axy），而不是之前的一個了。

為什麼要用兩個下標呢？考慮這個例子：固體物體中某點的受力情況。

想像在該物體里有一個平面，這個平面的朝向需要用一個向量來表示，為了表示該向量需要引入1組（3個）基向量；

在每個平面上又有一個力，這個力則需要用第二個向量來表示，這樣對於第一組中每個基向量又引入了第2組（3個）基向量與之組合。

於是就有了桌子上的那3*3個基向量組合。

如果想要表示所有的平面與平面上的力的組合，需要9個分量，每個分量有2個下標（index）來表示該分量由哪兩個基向量組合構成。

例：Axx表示在法線為x方向的平面上的方向為x方向的力。

這9個分量與9個基向量共同組成了2階張量。

繼續進一步，這是一個3維空間中的3階張量。

這個張量有27個基向量與27個分量。

現在每個分量有3個下標，所有的下標組合共有3*3*3=27個，故共有27組基向量（見桌子上那3堆箭頭方陣），不同基向量對應一個分量（那堆方塊）。

現在可以做一個總結了，什麼是張量以及為什麼張量這麼有用呢？

張量是一種表示物理量的方式，這個方式就是用基向量與分量組合表示物理量（Combination
of basis vector and component）。

由於基向量可以有豐富的組合，張量可以表示非常豐富的物理量。

此外，張量所描述的物理量是不隨觀察者或者說參考系而變化的，當參考系變化時（其實就是基向量變化），其分量也會相應變化，最後結果就是基向量與分量的組合（也就是張量）保持不變。

考慮到張量有如此強大的表示能力，又不隨觀察者不同而變化，能夠有效的表示宇宙間的萬物，Lillian
R. Lieber給了張量一個形象的稱呼the fact of the
universe.

A tensor is something that transforms like a tensor.
張量算是矢量（vector）的一種推廣
通俗的理解下便是
而這裡的矢量主要是指變換下整體表示形式不變.
即 $v=v^i e_i =v$ ，它們的表達形式是一樣的
由
$e_{i}$ $i=1,2,3...n$
換到另一組基
$e$
它們之間變換關係為
$e_j=a^{i}_{ j} e$ (相反地 $e$ )上下重複指標求和
我們可以發過來看這樣一組基下的矢量
$v=v^i e_i=v^j a_j^ie$
得 $v$ ( $v$ )
與基矢量的變換方式不同但都由帶有二指標的一組數（可以當做矩陣）聯繫
我們一般把一套基下的坐標分量 $v^i$ 變換方式叫作反變（也叫逆變）關係 $e_i$ 的變換方式叫作共變（也叫協變）關係。
然而我們也發現幾種二指標變化
我們可以證明在線性空間自身的線性變換如果有坐標變換關係
$y^i=A^i_jx^j$ ，那麼我們可以證明換基後，新表象下
$A$
通俗的推廣我們現在有這樣一組數 $T_{i_1i_2...i_q}^{j_1j_2j_3...j_p}$ 滿足在基變化時

按照
$T^{$

變換同樣我們給出它的基 $E^{i_1i_2...i_q}_{j_1j_2j_3...j_p}$

這樣我們就得到換基下表示形式不變的張量
$T=T_{i_1i_2...i_q}^{j_1j_2j_3...j_p}E^{i_1i_2...i_q}_{j_1j_2j_3...j_p}$

換句話說張量即是基和分量滿足形如 $*$ 式變換方式的量，保證了在不同表象（基）下形式一致的量。
這是我認為一個偏物理繪景的通俗的抽象。

建議還是多了解一點，
可以深入看一下代數中張量的多線性函數形式化定義張量，
以及共反變關係共變和反變

看到前面那些人的答案，我覺得我要是題主早就瘋了……

我覺得最直觀的理解方法是從張量在braid （這貨是辮子？！）上的定義開始：

先看圖：

發現了什麼嗎？

-你想說張量就是兩個東西並排放在一起。

對對對，我就想說這個。

-可是這跟線性代數里的線性變換的張量啥關係都沒有吧……

別急，我們對比另一種「乘積」， composition：

繼續看圖說話：

-這是這個「辮子」繼續往下編。

用這個比喻的話，什麼是張量積呢？

-是這個「辮子」加了幾股進去。

如果是兩個線性變換，乘積（編辮子）就是指的線性變換的複合（composition），這就必須要有維度上的限制（前面是三根繩子，後面也必須是三根接上去。）

而對於張量積，可以看出來並沒有維度的要求（三根繩子旁邊放多少根繩子都可以），而它做的，就是把兩個小的東西放在一起，組成一個更大的東西（辮子股數增多了嘛），這樣可以作用在更大的空間上。

-等一下，那直和/直積呢？

其實也是在旁邊加幾股辮子，但是兩組辮子直和的話，左邊和右邊被分成了孤立的兩部分，不能交叉（或者說是分別編兩組辮子），這樣子只需要分別考慮兩邊，也就是說辮子群的理論里就沒有研究這個整體的意義了。

-張量積不是嗎？？

張量下的兩組辮子，其實它們是可以互相交叉的，你最後得到的是一個編織在一起的東西。所以它更大。

結尾請兩位不知道張量為何物/講不清的人類圍觀：@Anon @匡世珉

張量這個定義本身很有趣，因為他是個循環邏輯（本應該是錯誤的邏輯方式），它的定義是：符合張量變換的量就叫做張量。
0階的張量就是數字，一階張量就是向量，二階張量就是矩陣，以此類推。愛因斯坦張量就是個四階張量。一般這個東西都是用在微分幾何——廣義相對論這個領域的，在這個領域裡，張量就需要符合縮並啊，逆變協變等等的規則。

具體的說，就是一個大的數組，只不過在坐標變換下滿足一定的變換規則，使得你雖然用的不同坐標，但描述的是同一個物理事物。為什麼有初看起來這麼不友好的的規則呢，你可以隨便找本講微分幾何的書，看裡面怎麼在流形上用微分來定義矢量。因為矢量是用微分來定義的，所以矢量的坐標變換規則就非常自然的從求導的鏈式法則中推導出來。後面的對偶矢量和張量都是在此基礎上定義的，簡而言之，張量變換法則本身不過就是微積分課里的鏈式法則。