自然界有沒有二叉樹？

11-25

即，每一枝兒最多出兩個叉。

本來是知乎第300答……鑒定畢竟還是講究時效，所以把正在寫的長回答擠到了301……

@peisen的回答提到了一點：

由於這種分枝方式的兩個分枝或稱子樹是平等的，所以這些二叉樹植物多為形態優美的滿二叉樹。另外由於植物只有分枝處才適宜看作節點，所以如果不是完全二叉樹看起來就不明顯。

是的，嚴格說起來，二叉樹比想像的常見得多。
常見得多！

根據二叉樹的定義——每個節點最多有兩個分枝的樹——進行判斷，自然界相當多的樹都屬於此類：對於葉互生的植物類群，所有有分叉的地方，全部都是二分枝。
所以，沒有特殊情況，所有互生葉的植物，分枝類型，都是二叉樹。

第一種情況：單軸分枝、合軸分枝，以及理想狀態下的斐波那契樹

舉個例子：
一棵樹一年後長出一條新枝，新枝隔一年後成為老枝，老枝又可每年長出一條新枝，如此下去，十年後新枝將有多少？

這樣一棵再普通不過的樹，沒有任何「假二叉分枝」或者「真二叉分枝」，是不是一棵二叉樹呢？
當然是啊，而且是一棵斐波那契樹。其實斐波那契樹可以通過如下方式構造：
G(n) = n – G(G(n – 1)) ，其中 G(1) = 1 。
來我們算一下：

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 G(n) 1 1 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9 10 11 11 12 12 13 14 14 15 16 16 17 17 18 19

這個數列通常被稱作 Hofstadter G-sequence 。它有什麼特別的地方呢？如果把每個標號為 n 的結點都連接到標號為 G(n) 的結點下方，這樣的話你將會得到一棵樹。

這棵樹的特徵之一，是自相似——任何一個左子節點包含的樹，都跟她的雙親節點自相似；任何一個右子節點包含的子樹，都跟它的雙親節點自相似。
其實這是由於數列本身的性質決定的：

這樣的樹，很像是自然界出現的大部分「合軸分枝」的樹，你能說它不是二叉樹么？
而「單軸分枝」的樹，由於頂芽的頂端優勢太大，只有足夠遙遠的側枝才能發育，因此看起來，就像是這張斐波那契樹一樣：

縱使總有主枝，細細看來，仍然是一棵二叉樹。

不管分枝方式如何，是不斷用側芽代替頂芽的合軸分枝，還是一直維持頂端優勢的單軸分枝，自然界相當多的樹，都如第1張圖，以及上圖一樣，屬於斐波那契樹這種特殊的二叉樹。

（感謝Hofstadter的非線性遞推數列這篇文章，有興趣的可以去看看）
所以你幾乎可以找出任何一棵互生葉的樹的照片，然後指著它說——這是一棵二叉樹。

第二種情況：滿二叉樹
嚴格意義上的滿二叉樹，又會在什麼情況下出現呢？
之前提到的互生葉植物的分枝，其實屬於老枝+新枝；這種情況，只產生一個新的枝條，並且新枝總是不如老枝粗壯，對應二叉樹的描述，也就是每一個左右子節點並不互成鏡像。
滿二叉樹則是一棵每一個雙親節點都有兩個子節點的樹；這樣的二叉樹，每一個左右子節點互成鏡像，是其性質之一。
也就是說，每一次分枝的時候，都要左右分枝一樣大，不能有偏頗。
這一點，自然界是如何實現的呢？

這裡不得不提一下關於二叉分枝的概念——二叉分枝與假二叉分枝。
二叉分枝，其產生的原因，是植物的頂端分生組織，由於某種原因，一分為二，直接產生了兩個頂端分生組織；這兩個部分，如果分裂、生長的速度一樣，那麼就會長出兩個一模一樣的側枝，這樣形成的植株，外觀上就是滿二叉樹一樣，也就是特別典型、過目難忘的二叉樹了。
這種情況並不多見，經常出現在比較早期就出現的植物類群當中——藻類、苔蘚、蕨類；有不少古生物化石，就體現了這樣的狀態。
你們可以感受一下。

別看名字叫「鱗木」「封印木」（好中二的名=-=），這些可是貨真價實的蕨類喲。
看到沒，不僅樹枝是二叉樹，連每一條不定根，都是二叉樹，可謂二叉到了骨子裡。
就是這些數億年前的樹狀蕨，形成了今天的你妹，呃不，泥煤。
現在能看到的呢，也有許多是蕨類。peisen回答里的鐵芒萁 Dicranopteris linearis，就是蕨類；而地錢則是苔蘚當中的苔類。
再給個例子吧，藤石松：

非常非常典型的二叉分枝。
卷柏也是石松類植物，現在已經不再劃歸於蕨類，而屬於蕨類的姐妹類群。

至於鐵芒萁屬於假二叉分枝……鐵芒萁的複葉，分枝的地方，並不屬於頂芽死亡導致側芽生長的情況，個人認為，並不是假二叉分枝。
並且分枝的地方，也有小葉，外觀上也並不應該屬於「四叉分枝」，因為那兩片葉應該是屬於該雙親節點本身的內容，而非雙親節點的另外兩個子節點。

剛剛提到了「假二叉分枝」——由於植物存在頂端優勢，頂芽的存在，（以分泌的生長素為主要的調節方式）會抑制側芽的萌發；一旦頂芽的死亡，頂芽下方最近的葉腋，其中的側芽將解除抑制，萌發新的枝條；如果同一個節有兩個相對的側芽，分枝的情形，就屬於假二叉分枝。
如果某種植物，葉的排列屬於對生，即同一個節上面有兩片相對的葉片，也就有了兩個相對的、同一「節點」的葉腋和腋芽，當頂芽死亡、側芽萌發之後，顯現的也就是該節點的左孩子和右孩子——這種外觀，更符合「二叉樹」的常見外觀，因而更容易與二叉樹聯繫起來。

這也就是演化當中更晚出現的一種「二叉樹」，前提是，你必須把死掉的頂芽，看成是雙親節點本身的內容，而不是雙親節點的第三個長度很短的分枝。
譬如雞爪槭 Acer palmatum，它的枯枝，就是典型的假二叉分枝，也是「二叉樹」。
然而這種觀葉植物並不能找到枯枝的圖片……下次自己拍吧……
如果頂芽還沒死，側芽就萌發了，那這就不會形成「二叉樹」，而是「三叉戟」，不對，「三叉樹」了。

與這種情況相關的，其實還有一種花序的類型——二歧聚傘花序。
這種花序的產生，與「假二叉分枝」如出一轍，花序產生時，頂芽先開花，頂芽下方兩個分支分別形成新的花芽，如此循環往複。

由於頂芽是花芽，開花之後一定不會生長，只要把這朵花看成雙親節點本身的內容，而不是第三個分枝，整個花序，就是一個非常漂亮的二叉樹。
譬如繁縷 Stellaria media

CFH圖庫這張實在是太典型了

球序卷耳 Cerastium glomeratum

CFH圖庫
這個種有點縮在一起。

你們可以看一下另一種的墨線圖，緣毛卷耳 Cerastium furcatum

卷耳

CFH圖庫

某些景天科的東西也有類似的花序。
繁縷景天 Sedum stellariifolium（怎麼又帶上繁縷這倆字）

還有名字就帶二歧的二歧草科（譯名）植物（不再隸屬於虎耳草科）：

（引自http://128.253.192.70/imgs/sv22/na/Vahliaceae_Vahlia_viscosa_15413.html及Kyffh?user flora）

多說一句，所有的螺旋聚傘花序和蠍尾聚傘花序，類似於合軸分枝，也都可以看成是二叉樹，只不過外觀有點怪怪的——你們得要從結構，而不是外觀的層面看待。

譬如聚合草 Symphytum officinale

永遠有一個子節點沒有自己的子節點；但仍然是一棵二叉樹。

至於夾竹桃這樣三葉輪生的東西，以及澤漆這樣多歧聚傘的花序，當然是怎麼樣都算不上二叉樹的——分叉太多了，沒法圓謊。

夾竹桃 Nerium oleander 注意左下角的三分枝，除開開花的那一個，還有三個側枝。

澤漆 Euphorbia helioscopia 又有一個名字叫五朵雲，當然不是沒有理由的：

是的，這是一個五叉樹，每一枝又是三叉樹。
這種情況還是挺漂亮的。

自然界的二叉樹其實一點都不少見，少見的是完美的滿二叉樹。
不止是植物啦，所有的構件生物，多多少少都可以看做是二叉樹或者是N叉樹的——每一個構件，不僅僅體現了重複與自相似，也體現了不斷分叉的結構；每一個分枝都可以某種程度上完成大部分的生命活動，這也是所謂「細胞全能性」帶來的結果。

那些珊瑚（紅珊瑚）

橘青黴 Penicillium citrinum

不都是如此么？

作為在初中進高中的暑假，參加過1個月信息競賽，然後轉投生物競賽（對，我就是從CS爬進了生科的坑）的奇葩，也算有資格回答一下這個問題。
其實這個問題很早我就考慮過了——那一個月，以及高中三年，不斷聽到信息競賽組的同學聊起各種數據結構，譬如二叉樹、平衡二叉樹、滿二叉樹；雙親節點、子節點……等等名稱，大概知道他們提到的數據結構是怎麼一回事。
這些內容，與「植物的分枝方式」和「有限花序」這兩節聯繫起來，還蠻有意思的。

閉關前最後一長回答……
嗯，閉關不會寫長回答，偶爾有時間會鑒定植物。

【完】

有，而且為數不少。

很多分枝方式屬於二叉分枝（dichotomous branching）以及假二叉分枝（false dichotomous branching）的植物看起來像二叉樹。

幾個例子：