齒輪少於17個齒就不能轉嗎？
這裡的齒輪指的是標準壓力角的齒輪！
首先這是一種不正確的說法。你從上圖中哪裡看到齒輪小於17個齒就不能轉的？看圖：
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至於17，這個要從齒輪的加工方法說起，如下圖，一種廣泛使用的方法是用一個滾刀去切。
這樣製造齒輪時，當齒數較少時，會發生根切現象，這會影響製造出來的齒輪的強度。什麼是根切，就是根被切了。。。注意圖中紅框部分：
那麼什麼情況下可以避免根切呢？答案就是這個17(齒頂高係數1，壓力角20度時)。
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事實上，如果換一種加工方法，製造齒數小於17的標準漸開線齒輪是可以的。當然，這樣的齒輪用起來也是很容易卡住的(由於齒輪干涉，找不到圖，請腦補)，這樣也就真的轉不動了 -_- 。我猜題主的圖中說的就是這個意思。
(謝 @李哲宇CATPart 建議，將討論範圍限制為標準齒輪。)
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對應的解決方法也很多，評論中說的變位齒輪是最常用的一種(通俗的說就是切的時候把刀具挪開一點)，另外也可以有斜齒輪，擺線齒輪等等。還有就比如一開始的那張圖，所謂泛擺線齒輪。
有興趣的可以看看這個問題下的回答https://www.zhihu.com/question/38508365/answer/158767744
雖然樓上已經有很多人對樓主做了回答，但是大家似乎還是太過相信書了，不知道有多少人在工作中對齒輪徹徹底底研究過的，機械原理一課中對於漸開線直齒齒輪齒數大於17不產生根切的推導是基於加工齒輪的齒條刀具的前刀面頂部圓角R為0，而實際上工業生產中的刀具怎麼會沒有R角呢？（沒有R角刀具熱處理是尖銳部分應力集中容易崩裂，使用過程中容易磨損或者崩裂）而且就算是刀具沒有R角根切發生的最大齒數也未必是17齒，所以17齒作為根切條件的說法其實是有待商榷的！上幾幅圖大家看看吧。
從圖中可以看出當用前刀面頂部R角為0的刀具加工齒輪時從15齒到18齒的齒根過渡曲線並沒有什麼明顯變化，那為什麼說17齒是漸開線直齒開始發生根切的齒數呢？
這張圖想必機械工程專業的同學應該都用齒輪范成儀畫過，可惜知乎不支持GIF動圖，要不然就可以直觀的看出刀具R角大小對齒輪根切的影響了。
上圖中的齒根部分的紫色延伸外擺線的等距曲線就是齒根根切後的齒廓線，一個齒輪的齒根部分根切到什麼地步就會影響使用呢？這是由另外一個齒輪齒頂的相對運動和齒輪齒根的強度儲備共同決定的，如果配對齒輪的齒頂不會和根切部分嚙合那這兩個齒輪就可以正常旋轉，（註：根切部分是非漸開線齒廓，一個漸開線齒廓和一個非漸開線齒廓嚙合在非特異設計的場合通常是無法共軛的，也就是要干涉的）
從這張圖上可以看出這兩個齒輪的嚙合線剛剛擦著兩齒輪的過渡曲線所對的最大直徑圓（註：紫色部分為漸開線齒廓，黃色部分為根切部分，嚙合線是不可能進入基圓以下的，因為基圓以下是不可能有漸開線的，兩齒輪在任意位置的嚙合點皆在這條線上），也就是這兩齒輪剛剛可以正常嚙合，當然這在工程上是不允許的，嚙合線長度為142.2，此值/基節=重合度。
最後向工作中涉及齒輪的知友推薦兩本齒輪行業權威的書《齒輪幾何學與應用理論》《齒輪嚙合原理》這兩本書都是俄裔美籍李特文所作，李是冷戰期間被美帝挖牆腳從蘇聯挖過去的，可惜蘇聯解體時流失很多人才，此書用數學深刻的描述了機械中用到的幾乎所有齒輪，不愧為齒輪方面的典著
首先這個題設錯誤，齒輪小於17個齒不會影響使用（答案第一中這一點的描述出現錯誤，齒輪正確嚙合的三個條件中與齒數無關），但是17個齒在某些特定情況下會出現加工不便的情況，這裡更多的是補充一些關於齒輪的相關知識。
先說漸開線，漸開線是使用最廣泛的齒輪齒廓的類型。那麼為什麼是漸開線？這個線跟直線、圓弧有什麼區別？如下圖所示為一漸開線（這裡只有半個齒的漸開線）。
漸開線用一句話說就是假定一直線和其上一不動點，在該直線沿一個圓滾動時，那個不動點所走過的軌跡。它的好處顯而易見，當兩個漸開線互相嚙合時，如下圖。
兩輪轉動時 ，在接觸點 (如 M , M』 )上力的作用方向恆在同一直線上上 ，而且這根直線與兩個漸開線形的接觸面 (切面 )保持垂直 ，由於垂直，它們之間不會產生「打滑」和「摩擦」，這也就客觀上減小了齒輪嚙合的摩擦力，不僅能提高效率，還能延長齒輪的壽命。
當然，作為應用最多的一種齒廓形式——漸開線，並不是我們唯一的選擇。
再說「根切」，作為工程師，我們不僅僅要考慮理論層面可不可行，效果好不好，更為關鍵的在於要想辦法讓理論上的東西呈現出來，這涉及到選材、製造、精度、檢測等等環節。
齒輪常用的加工方式一般分為成形法和范成法，成形法也就是通過製造與齒之間的間隙形狀相對應的刀具，直接切出齒形，這個一般有銑刀、蝶形砂輪等；范成法比較複雜，大家可以理解為兩個齒輪在嚙合，其中一個齒輪很硬（刀具），另一個則還處於毛胚狀態，嚙合的的過程是由離得很遠逐漸運動到正常嚙合狀態，在這個過程中切削產生新齒輪，有興趣的可以找《機械原理》具體學習。
范成法的使用很廣泛，但是當齒輪齒數較少時，就會出現刀具的齒頂線與嚙合線的交點，超過被切齒輪的嚙合極限點的情況，這時待加工齒輪的根部就會被過切除，由於被根切的部分超過了嚙合極限點，它並不影響齒輪的正常嚙合，但這樣的壞處在於它削弱了輪齒的強度，這樣的齒輪用在變速箱等重載場合時，就容易出現輪齒折斷的情況，如圖為2模8齒齒輪正常加工後的模型（有根切）。
而17是在我國齒輪標準的情況下計算出的極限齒數，齒數小於17的齒輪在使用范成法正常加工時就會出現「根切現象」，這時便要調整加工方法，如變位，如圖為變位加工的2模8齒齒輪（小根切）。
當然這裡描述的內容很多內容是不全面的，機械中還有很多更有意思的零件，在工程中製造這些零件面臨的問題也更多，有興趣的同學不妨多關注關注。
結論：17個齒來自於加工方式，也取決於加工方式，如果更換或者改進齒輪的加工方式如成形法、變位加工（這裡特指直齒圓柱齒輪），就不會出現根切現象，也就沒有17個齒的極限數量問題。
另外從這個問題及其答案可以看出機械學科的一個特點——理論與實踐高度結合。
那位工科男不知道是不是沒學好，只有標準圓柱直齒輪才有最少齒數17的要求，原因是展成法加工齒輪時刀具切去輪齒根部導致根切現象，一般可用變位齒輪（加工時刀具偏離原半徑一定距離），齒數可以少於17而不發生根切，圖中這齒輪明顯不是那真正的齒輪，就不要在意這些細節啦。有興趣的話可以借本書看看，普通的平面幾何解析幾何知識就能好好了解一下，目前比較常見的就是漸開線和擺線齒輪，不算晦澀難懂
那個根本就是半本機原還沒看完就跳出來嚷嚷的……
最簡要回答:玩具，或者不重要的傳動，多少都行。正規的設計，要考慮齒根強度，所以大於17。小於17製造時就根切了。
當然，搞個玩具，創客設計什麼的無所謂。
異形齒輪可以，漸開線齒輪17以下會根切
那個圖上最右的人說的根本就不是多少齒的問題好么！圖上那三個齒輪不管多少齒都轉不動好么。。。。鎖住了
高級黑。。。確實是卡住了。。。。。17齒是工科男學藝不精。
圖中的3個齒輪卡在一起還能轉得動？這跟多少個齒沒關係吧？
從哪裡聽到的謬論？我設計的齒輪齒數小於17的多得是。至於樓上說的根切倒是限制齒數過少的主要原因，但並沒有說齒數不能小於17.根切現象可以通過其他參數(如變位係數)調節以避免。
確實轉不動 不信你試試
只不過不是因為17個齒罷了
據一位工科學霸說，是為了避免「根切」，至於什麼是根切，為什麼是17個齒，請看：第六節 漸開線齒輪的根切現象和最少齒數
這是在黑我工科男么。
其實槽點是，三個齒輪，總有一個的旋轉方向會有矛盾，這個不需要太多的專業知識就能看明白。
截圖中那個答17齒的絕對是學藝不精強行裝。我記得好像是說，對於標準直齒輪，少於17的話會帶來根切問題，其實根切從傳動上來說也不是什麼大問題，但是受力情況會惡化，重載情況下會斷齒。少於17齒的時候，為了避免這個問題，常見的做法是採用變位係數修正。
如果不限壓力角為20°，或者不限定採用漸開線齒形，或者不限定齒輪的形狀，像什麼斜齒輪、錐齒輪、准雙曲面齒輪，都是可以少於17齒的。例如驅動橋裡面的主減速器齒輪，那個傘齒可以做到只有7個齒，順便給張圖吧。那位騷年，請接受准雙曲線齒輪的審判吧
標準直齒輪Zmin≥17，若允許輕微根切或採用變位齒輪，Zmin可以少打14或者更少。
——P121，《機械設計》，高等教育出版社
我覺得畫著三個齒輪的人是故意的。
官 民 心，確實轉不動～人家沒畫錯
乃們都討論的太複雜，這個圖有深深的違和感，假設其中一個齒輪順時針轉，必然導致其它兩個一順，一逆，不就卡了？
官民不同心啦啦啦啦啦
小時候沒玩過四驅車嗎，套在馬達軸上的塑料齒輪只有8個齒
17這個數字是計算出來的。並不是說少許17個齒輪就轉不起來，而是如果少於17個齒，容易在齒輪加工時將齒輪根部以加工出的間開線部分切去一部分，即根切，造成齒輪強度減弱。至於怎麼計算的，完全是數學問題，參照上面的公式，捏合角a=20度是，最小不發生根切的最小尺數時17個。
齒輪的齒數能不能少於17是一個值得考慮的問題。
對於標準齒輪來說，齒數還真不能少於17，為什麼呢。因為當齒數少於17時，齒輪會發生根切現象。
所謂根切是指用范成法切齒時，在一定的條件下，刀具的齒頂過多地切入輪齒的根部，而將齒根的漸開線齒廓切去一部分。
范成法
范成法(或稱展成法)是運用幾何學上的包絡原理加工齒輪的一種方法。
如圖所示為一對已知齒輪的傳動。在給定了兩齒輪的漸開線齒廓和主動輪角速度w1後，通過兩齒廓的嚙合就可獲得從動輪的角速度w2，且使i12=w1/w2=定值。因為兩齒廓嚙合中，兩節圓作純滾動，節圓1在節圓2上純滾的過程中，齒輪1的齒廓對於齒輪2將佔據一系列相對位置，而這一系列相對位置的包絡線就是齒輪2的齒廓，也即在兩節圓作純滾動時，兩漸開線齒廓可看作互為包絡線。
根切現象
產生根切的原因：當刀具齒頂線與嚙合線的交點超過嚙合極限點N1，刀具由位置Ⅱ繼續移動時，便將根部已切制出的漸開線齒廓再切去一部分。
根切的後果：產生嚴重根切的齒輪，一方面削弱了輪齒的抗彎強度;另一方面將使齒輪傳動的合度有所降低，這對傳動是十分不利的。
產生根切的原因：當刀具齒頂線與嚙合線的交點超過嚙合極限點N1，刀具由位置Ⅱ繼續移動時，便將根部已切制出的漸開線齒廓再切去一部分。
根切的後果：產生嚴重根切的齒輪，一方面削弱了輪齒的抗彎強度;另一方面將使齒輪傳動的合度有所降低，這對傳動是十分不利的。
對於非標準齒輪，齒數少於17是可以的。
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