數學的本質是什麼？

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如果說語言是用抽象的方式表達情感、交流思想；物理化學等是建立在可供觀測的事實基礎上的科學。那麼數學呢？
那些一個一個的數字是怎麼定義出來的呢？從最基本的加減乘除這樣的運演算法則開始又是怎麼創造出來的呢？
目前自己的理解是從人類最早結繩計數起，漸漸發展完善起來的一套滿足人類方便的工具，對客觀規律的總結，然後用約定的方法表示出來，以後遇見類似的問題就可以仿著推出來。更高階的公式定理也是對更複雜規律的表示。世間絕大部分現象和其內在規律都可以藉由數學這套體系這種工具釐清，用數學的方式展現出來。

還只是高中生，可能現在的認識很不成熟，很幼稚。但很喜歡數學的這種感覺。望高人指點討論。另外有這方面得書籍可以推薦閱讀的么？

高中生有這樣的思考，非常贊。

最簡略的回答：數學是抽象。
數學研究的是抽象概念，運用的是抽像方法，數學的發展體現為抽象程度的逐漸深入。
但是深入的話，數學的本質並沒有定論。我將在下面分三個部分展開，對＠濤吳提供的維基鏈接中提到的各種觀點做一個簡短的解釋。

普通數學
對應於維基上說的現實主義數學，邏輯主義數學。大多普通群眾，科研工作者，和很多數學家，都採取這些觀點。在這些觀點下，數學與現實緊密結合，因此其應用當然也非常廣泛。

這其中比較膚淺的是：
數學是生產生活生存的需要，比如幾何是為了丈量土地，數學是工具。
這個觀點的代表么……馬克思同學（如果他真這麼說過）。所以1＋1＝2，因為一個蘋果，再來一個蘋果，是兩個蘋果，這是從實踐中總結的經驗和規律。
比較靠譜的想法是：
數學是無實體的，永恆的客觀存在，是等待被人發現的自然規律。
提問者和大多數人都有這個想法。很多數學家，包括一些大師也有這個想法。所以勾股定理不僅是丈量土地有用，還是直角三角形的普遍規律，而三角形是自然界中的對象。
另有一些數學家，和不少學計算機的認為：
數學是邏輯的一部分，是公理系統。
這個觀點在實踐中還是非常流行的，並且的確非常強大。但是其中很多悖論經不住下面那個文藝數學的推敲。在這個觀點下，數字和運算都是公理。

文藝數學
對應於維基上的形式主義。很多數學家，很多搞哲學的，還有我個人，都持這樣的觀點。

形式主義認為：數學體系是一場有一定規則的思維遊戲，與現實世界完全無關。

與前面那些觀點不同的是，這個觀點空前抽象和開放。我們從此開始發明各種變態規則，玩奇怪的非人的遊戲。在這個觀點認為，勾股定理在歐幾里德的幾何規則下才正確，但是我們可以發明其他非歐幾何，讓他不正確；數是代數結構中的元素，運算是遊戲規則。

這個觀點給數學帶來了空前的發展，也導致純數學與現實嚴重脫節。不管有用沒用，對形式主義者來說都一樣值得研究。雖然對現實不再有直接的應用，但是其他學科主動去消化的話，仍然能找到很好的歸宿。

二逼數學
我想提的是直覺說。很多搞認知學的，搞神經學的，大概會持這個觀點……

直覺說認為：數學是人的大腦活動，數學都是被經歷過的。

說一個數學對象存在，是因為你可以在大腦中構造這個對象。所以一些激進點的人會否認「無窮」這個概念的存在。我的一個認知學老師這樣對我們說：數學家們經常覺得自己來了靈感，其實他們就是學了很多之後，從經驗中獲得的想法，哪有什麼空來的點子。

其實他們的觀點我覺得有些道理，只是……類比Sheldon說自己有很牛的想法，而Amy說自己研究的就是這些想法怎麼來的。

答案來自於: 數學本質的思考 - 知乎專欄

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數學是，結構(存在數量)和關係(存在變化)的描述，以及驗證(結構和關係)的方法和過程。
至於抽象，更像是結構和關係的固有特點，是尋找結構和關係過程的手段。
數學通過抽象的方法，剝離去除一切無意義的具體，只留下和探索單純的結構和關係。

數學發展到今天龐大而巨細分支繁雜艱深，抽象來看就3個方面。
1. 形狀結構的定義和空間關係描述
2. 數的結構的定義，以及數的結構之間，數的結構內部關係的描述
3. 對以上結構和關係研究驗證的過程和方法

數學也像一個遊戲，在自洽的遊戲規則內，隨意進行思維的玩耍。
從公理出發，進行必要的定義，然後進行嚴謹的推導論證，得出結論。
然後經過確認的結論，又可以加入以後的推導過程作為基礎，如此反覆。
就像一個遊戲，但目的和終點不得而知，只是結論越來越多，格局越來越大。

或許在很久很久以前，數學是起源於生活的具體，那時候可能還不叫數學。
但發展到現在，已經變成了純思維的活動，這也體現了人類思維抽象能力的進化。
人是物質的，人腦是物質的，思維是物質，就算是全息投影也算是一種物質。
數學也是物質的。
無論是思維發現了數學，還是創造了數學。這一切都正在宇宙中發生和演變。
數學試圖去發現所有的結構和關係，這是一種描述行為。
所以，是描述物質的一種物質，就像一種元語言，元數據。

結構和數據之間存在一種可以互相轉化的關係。
結構存在關聯，數據也存在關聯。
其實結構和數據是同一種事物不同的角度影像。
而思維，正是結構和數據流動過程的產物。
人們以為自己的想法，源於自身獨立的產生。
其實，任何想法思維都需要數據的參與和構成，而數據是來自外部環境的。
非常有可能，所有的想法都只是環境信息的表達而已。
數學所做的所有探索和發現，以及嚴謹的推理論證，都只是環境信息的結構和關係呈現。

有一種觀點，就是數學只是由一堆公理和定義推理演繹出來的結論，只要沒有矛盾，就可以任憑數學家的自由意志隨意創造。

這就相當於把數學架空到一個虛擬的遊戲世界，沉浸式的體驗，只要合理就讓人無法分辨與現實的區別。自由意志的隨機性，似乎是對追求，目的，和意義的否定。

然而，無論是誰的自由意志，產生原因的背後數據都來自環境信息。無論是結構化知識的積累，還是靈感直覺的探索。數學家就像一個過濾器，從環境中不斷觀察總結提取信息內在結構和關係的描述，就是數學。

關於結構和關係，有著更為深層次的聯繫。
不可在分最基本的粒子是什麼？
重點是不可再分，不要在在乎是否改變物質屬性，無限小的是什麼。
那就是比特，就是基本的信息單位。一切都是有比特構成的。

物質的屬性是由構成物質信息的數量和排列決定的。
物質由宏觀到微觀的變化過程，就是構成物質信息不斷減少的過程。
物質不斷的分割到粒子層面，在不斷的分割，不斷丟失信息，就會不斷丟失特性。
到一定程度就難以測量，變成概率，如果再繼續分割。
最後只有一個比特的信息只有一個屬性，要麼是1要麼是0，概率。

如果說一切都是信息。
那麼信息的最小單位又是比特，而比特來自於拋一次硬幣。
可見信息和概率密不可分，真正的概率來自於微觀。
而信息構建的物質在宏觀，概率連接了宏觀與微觀。

來到比特層面，所有的屬性都丟失了，這是抽象的極限。

在極限處，數學和一切都建立起了聯繫。

數學連接了心靈感知的抽象和真實的世界。一直人們都把思想和感受稱之為非現實的。可是如果認可了一切皆比特的信息觀，那麼數學就成為了，從微觀到宏觀憑藉結構與關係，構建的通道。

這就是為什麼數學是研究結構和關係的，而碰巧數學又可以對一切事物有所應用和描述。

一個有趣的比喻，或說是看待數學的視角。
把人腦比作一個計算機，大腦的組織結構是硬體，思維活動是軟體。
那麼數學可以看成是一種演算法，運行在大腦這個虛擬機之上。
這時，演算法擁結構和關係，以及自動定理證明的過程(尋找更多的結構和關係)。
這個演算法就是人工智慧演算法，能夠自我學習歸納總結邏輯推理。
並且這個演算法是隨機運行的，無限的從環境中表達經過排列組合的信息。
這裡，像不像數學如今的發展，龐大而巨細隨機化的表現，沒有邊界代表了上層(宇宙)環境的的無限。

看到一個匿名答案，數學的本質是什麼？ - 匿名用戶的回答有些觀點如下:

數學就是發現結構，並在定義的結構上找出結構的性質。 總的來說，整個人類的知識，無論是經驗還是先驗的，都可以看做一個集合。這個集合很亂，很雜，是個大倉庫。結構就是一種法則，一個篩子，讓人如何從這個很雜的倉庫中篩出東西，尤其是篩出具有某些「好」的性質的東西。

這裡也體現了一個想法，數學的發展是隨機(充滿概率)的，是對環境信息不斷的過濾和篩選。

這裡的隨機和概率，是指沒有目的沒有終極目標，充滿猜想以後驗證猜想，基礎結論越來越多，能推導的的就更多。

數學的根本問題。

感覺樓上都好文藝。來說點乾貨。

先回答樓主的問題，其實數的定義要講清楚還是蠻複雜的。

簡言之，先定義集合（公理化集合），其次在集合上定義自然數（piano公理），其次在自然數上定義有理數（四則運算其實是域的概念），在從有理數定義實數（戴德金分割），再從實數定義複數（拓域），然後證明複數域不能再延拓了，至此我們經常用到的這一套數的結構全部定義完畢。
（題主可自行谷歌括弧中關鍵詞了解每個步驟，這裡輕描淡寫可每個步驟都不簡單啊……）
有一點需要注意的是，雖然人對數的理解來源於那種結繩記事之類的東西，但是至此，數和那種東西沒什麼關係，唯一的關係就是，便於理解。

另說點八卦：正是因為以上完全不是經驗的而是定義的東西，因此很有可能出現的事情是，根據上面定義出來的東西根本不存在。但是希爾伯特還是那誰證明了，滿足peano公理的體系不存在矛盾。
可是哥德爾給出了一個更牛逼的定理，他說滿足peano公理的體系雖然不存在矛盾，但是必然存在其既不能證明為真也不能證明為假的命題。注意，是必存在，就是說假定A命題不可證真偽，就算你把A命題直接作為了公理，也就是在peano公理體系下再加入A公理，那麼也必定找得到B命題不可證真偽。這個命題也就是響噹噹的哥德爾不完備定理。

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來講點我想講的：其實初等數學的數學，是一點點皮毛而已。
數學就是發現結構，並在定義的結構上找出結構的性質。
數學的美，就美在一些天才，發現了一些極好的結構，這些結構擁有極好的性質。

數學發展到今天，主要的結構可以大致分為三類：幾何（或稱拓撲）結構，代數結構和分析結構。
幾何研究形的結構，代數研究數的結構，這是兩大基本。但是發展到近代數學，有兩個問題需要解決：一個是幾何和代數的關係，一個是如何研究無窮。
第一個問題，笛卡爾開了個頭，解析幾何——其實就是把幾何問題轉化為代數問題。而這個轉化就有了一個橋樑，即分析結構。
這之後，幾何的結構反而在數學中弱化了，因為大家發現，只要搞好了分析，就能把所有的幾何問題轉化成代數問題。如果學過複分析就知道，這種轉化簡直太美了，黎曼幾何，冪級數，柯西定理最後竟然是同一件事情。也正是在這之後，分析和代數反而成為了數學中相對更重要的部分。
第二個問題，無窮的研究，起源於牛頓及萊布尼茨，柯西和魏老將其嚴格化，這也就是高等數學中ε-δ語言。高等數學稱之為高等的原因，就在於第一次嚴格地定義了結構。不然回想一下，我們初中學歐式幾何的時候，其實不是從五大公設出發的。

如果再深入一點，就發現其實這三大結構，其實說到底，都是在定義距離（或者稱為範數）和數量。
這其實是很自然的，不然搬個凳子講個故事好了。
有一天，dengjiaji有了一堆三角形（不要問我他怎麼會有一堆三角形的……），他想做的事情很直觀，就是看有幾個三角形。有一天dengjiaji把三角形分出去了，那麼剩多少個三角形？這就是數量的意思。
dengjiaji學會算術以後，有一天有人問他：三個圖形減兩個圖形等於多少？dengjiaji回答說是1。然後有人問：三個三角形減兩個等於多少？dengjiaji就傻了：因為他發現三角形和四邊形不一樣誒……他突然就開始想為什麼我會覺得等腰三角形和等邊三角形可以都算在三角形里，三角形和四邊形就不一樣呢？他想到因為三角形有三個頂點，四邊形有四個頂點誒。這就有了拓撲結構了，然後dengjiaji就聰明地想到，我現在想要進一步研究這些圖形，這些點之間的相對位置也是相當重要的。這就是定義距離，定義範數。

總的來說，整個人類的知識，無論是經驗還是先驗的，都可以看做一個集合。這個集合很亂，很雜，是個大倉庫。結構就是一種法則，一個篩子，讓人如何從這個很雜的倉庫中篩出東西，尤其是篩出具有某些「好」的性質的東西。

我的一位老師（得狠狠感謝楊家忠老師的常微和復變課呢哈哈）說，數學呢，在一般人眼裡，可以分為這麼三類：
1.以上所言
2.無聊數學：比如我問你π的第7位是多少，這個問題的無聊之處在於，你回答了我第7位之後我可以再問第8位，，，，這樣一直下去……
3.不可延拓數學：比如我問你，可以表示成六位質數平方和的質數是否存在？若存在，最小的是多少？這類問題是典型的初等數學的問題，也就是說，因為沒有一個結構，所有的知識都是試探性的。
在數學研究者中能稱為問題的問題，只有1。當然也可能有一些3，主要是由於一些大定理的小細節要摳一下所以弄。

PS：當然還有序結構等，重要但在近代數學中並沒有前三者重要。這裡的不重要，只是因為序結構幾乎不存在什麼改進，因為就是一個序嘛，所以顯得不重要。但應當注意的是，序結構是最基礎的運算，是一元運算（代數則是典型的二元運算），這也正是歸納法的基礎結構。在用piano公理定義自然數的時候，其實就是建立了序結構的。當然選擇公理相關的結構我認為也可以納入序結構中。
（話說一直在想，人能不能想出有什麼三元運算的好的結構，感覺這個一定會無比奧妙，二元運算都已經具有如此多的性質，三元不知道美到哪裡去了。）
上面有人提到了公理系統，其實也並不特殊，只是結構的結構。也就是說把結構作為一個集合，研究這個集合的結構。
我也非數學專業…………，輕拍。

另：樓主提到希望給出一些書籍的建議，我覺得，不要太看科普的書。因為會給你一種「哦原來數學就是這麼回事」的君臨天下的優越感。
如果真的對數學感興趣，就每一步紮實地走。數分，高代，這是大學本科的兩門基礎課，要入數學的門，這絕對是基礎的基礎。戴德金分割沒學好，大談黃金分割如何美，不是特別好的行為。古典的東西很好，很巧，但你最好先成個體系，再去談，不然會很丟人的。
不要把自己想像成天才，比如某天一下子就頓悟了。我抱著這種心態看過圖論，密碼學，數論，結果看過了第零章和第一章預備和初等的部分，就趴下了。數學這種事，就要一點一點地來，裝逼同理。
以及，看了諸多答案後的感想是：學數學的時候最好不要一副文藝腔一副裝逼犯的樣子。這樣其實不會走太遠，多半會成為：數學就是一種抽象思維嘛，然後巴拉巴拉扯一堆，炫，但不酷。
這種類型的話，在我看來，太七平八穩了，一點觀點都沒有。如果你說，數學說到底都是形，根本沒有數。這個觀點比抽象思維這種無趣的說法要好玩多了，如果你能把這個觀點深入下去，有獨到的見解，那你也可以自成一派。你也可以說，數學的本質就在於提煉美的屬性，數學的本質在於建立一套語言體系。都可以的，只要你能自成一派。
數學確實是一種抽象，可是抽象的本質在於有無數本質，僅僅知道它是抽象是毫無用處的。真正重要的是，用你自己的體驗理解它。無論是哪個學科，根基確實是邏輯，但觀點，看問題的視角一定是最有趣的那部分。
那數學可不可以文藝？是可以的。可是我的建議是，對於大部分人來說，不要一來就文藝，這樣往往會誤入歧途，以自己的偏見看宇宙，卻以為自己的偏見就是全部。
比如我說：數學就是一種抽象嘛，其實生活中處處都是數學直觀的。歐式空間里的平行線，是那些苦戀而不得的愛人的完美隱喻。球的完美，就在於在黎曼平面上，所有直線都相交。
可不可以這麼說話？可以的。可是最好在這之前搞懂黎曼幾何。

在成年之前再出來得瑟一下現一下哈哈。
以上。

現代數學是建立在集合論基礎之上。研究集合的結構和性質，特別是那些在變換下保持不變的性質，集合A經過變換T之後變成集合B，在A和B的元素之間保持不變的性質。

其中最常見的具體集合元素包括:數，量，函數，幾何體，集合等；最常見的結構包括:拓撲結構，代數結構等；最常見的性質包括:代數性質，分析性質，拓撲性質等。

數學研究的基本方法有兩種:一種方式是從將問題分解，每個都解決，從而解決原問題；第二種是將問題抽象泛化成更普遍的問題，在抽象層上解決，然後針對具體問題給出特定解。

做數學研究的有三種厲害:一種是在抽象上厲害。一種是在計算上厲害。一種是在構造上厲害。

如果要說和現實世界的關係。數學提供了一種對現實世界建模的框架，提供了將在一個領域上發現的規律遷移應用到所有符合假設條件的其他領域上的能力。

推薦書籍：《什麼是數學》，[美] R·柯朗 H·羅賓著 / I·斯圖爾特修訂

有時候，當我們說：「本質上，xxx」，實際上我們試圖在說：「簡單說，xxx」。所以，當一個人談本質的時候，他自己是經過了深入細節、經歷了複雜和深度，此時他說的本質，和一個還沒自己經歷深度探索、思考、規約過程的人讀起來的本質，並不是一個層面的理解。所以，the evil is in the detail。

我覺得數學就是世界的說明書，世界上萬事萬物，其內在規律就是數學

來個文藝、逗逼、嚴肅混搭風，什麼是數學，我來舉例說明。

舉兩個栗子。第一個例子就是牛頓。

大家知道，在他之前的時代，人們研究的都是勻速運動。有一天，他忽然被蘋果砸中了，發現，哎，這東西不是勻速的啊！於是發明了微積分，解決了變速運動的問題。看來被蘋果砸中也是好事啊！尤其是iphone.......

第二個例子來談談找對象。

大家可能年紀小還沒概念，到了我們這個年紀，發現找對象是個很難的事兒。好多人最後都註定孤身一輩子——簡稱注孤身。

於是有人就想研究到底這是為什麼，從而設計了一個實驗——100名男性100女性，背後分別寫著1-100的分數。他們看不到自己背上的分數，別人卻看得到。大家相互配對，兩人的總分越高，最後獲得的獎勵越高。所以高分的人，追求者就多。

最後的結果是怎樣的？90分以上的人，配50-60分的人，80分的人配70分的人。大家想想是為什麼呢？90分的人發現追求者很多，就很得意，於是就拖延，想選個分數更高的。7、80分的人發現追求者不多，90分的人又不待見自己，於是就找個7、80分的人。最後，7、80分的都配對完了之後，90多分的人發現，只有選5、60分的了。所以大家以後找對象一定要注意了啊。上面這個實驗，屬於博弈論的範疇，博弈論是有一個叫納什的數學家發展起來的，所以說，學好數學對找對象也是有幫助的！

問題來了，到底什麼是數學？

數學有很多分支的，不同的興趣加上數學之後，就形成了不同的數學分支。在大學中，數學一般分為這幾個方向。

先來說說基礎數學。

大家都知道，已知一條直線和一個點，過這個點，有且只有一條直線與已知直線平行。可憑什麼有且只有一條直線呀？有的人就很變態，他非要認為這個可以有多條直線或者沒有直線......於是這些人發明了非歐幾何。

後來有一天，愛因斯坦研究相對論發現搞不定了，就去找了個數學家請教。結果人家說，用非歐幾何啊，幾十年前就搞定了的事兒。然後就幫助愛因斯坦搞定了相對論。

然後說說應用數學。

說到應用數學，就不得不說統計學。沃爾瑪根據對收銀條數據的統計，發現買了啤酒的人有很大概率買紙尿褲，他們就把這兩樣東西放在相鄰的貨架上，從而大大增加了銷量。大家覺得為什麼呢？

因為國外的耙耳朵也很多啊，他們下班後需要給孩子買紙尿褲，發現紙尿褲旁邊有啤酒，就順便帶一瓶回去。這樣的邏輯在當今網購中的應用也很廣泛。

金融數學。

文藝復興是一家科技公司，旗下的大獎章基金，完全運用歷史信息，加之以數學分析，決定投資方向和買賣時機，20年來年均回報率34%。這意味著，每2.3年翻一番。如果他能讓我投的話，我立馬就把房子賣了，2.3年後就有2套房子了，4.6年後就是4套了，9年後就是16套了！我這輩子就不用愁了。文藝復興公司的創立者西蒙斯，是著名數學家，曾創立過幾何定理。

信息科學和數學的關係

說到搜索引擎，必須要說說谷歌。用戶輸入了關鍵詞，而google保存了海量的網址，一次搜索的結果大概1000萬個網頁，怎樣按照用戶輸入的關鍵詞和網頁的相關性進行排序？怎樣讓排在前面的網頁最可能是你想要的呢？這裡面蘊含著深刻的數學原理。總之，Google也為數學家提供了很多就業崗位。

那什麼又是計算數學呢？

不是每天埋頭在草稿紙上算加減法，也不是每天打算盤，也不是每天按計算器......而是去探究怎麼算。例如動畫，遊戲等產業。有一天，無聊在家看《秦時明月》。看到製作名單時，發現竟然有個學計算數學的哥們在裡面！各種特效，例如光照效果，就包含大量的計算。

數學的分支成千上萬，不僅僅是以上幾個，還有生物數學、物理數學等等......

數學怎麼應用呢？話說，中國古人發明的著名博弈遊戲——麻將...我高中時候幾個老師打麻將，數學老師打的最好。事實上，有一幫數學家，就專門跑到美國賭城拉斯維加斯去玩21點，獲得了穩定的高額收益。

其實數學還可以應用到很多方面。例如銀行，假設有一百個人找銀行借了錢，銀行就會算，大概有多少人會賴賬。這就是銀行風險管理。再比如攝影，你有沒有發現用手機自拍，拍出來的自己比真實的自己更漂亮啊？其實就是裡面有個晶元，會自動對臉部進行美容，這也是學數學的搞的。

物理研究現實世界，而通過數學可以了解根本不存在的世界，即數學研究的對象早已經超過了現實世界本身。
數的構造：從自然數到實數，再到複數，四元數。。。
自然數N：n={ 0,1,2,3.....}，定義：n=0 | suc n 即 0 ，suc 0=1, suc (suc 0)=2 ，自然數是最簡單的，只需要知道有一個起點：0，還有如何獲得下一個數即可，就像一條射線，只有起點沒有終點，只在一個方向上是無窮的

整數Z：從自然數拓展而來，直觀地說就像一條直線(由兩條射線反向拼接)，沒有起點。定義：z=0 | suc z | prev z ,即可以正著數，也可以倒著數。
另一種構造方式：Z=(N1,N2)，即用二維向量來構造，向量中元素為Z（如果學了抽象代數，更準確地說這其實是finite product 或 cartesian product of Z，一般用Z*Z表示）
當Z&>0時，表示為Z=(n1,0) ，當Z&<0,Z=(0,n2)。
定義加法：
當Z&>0時，Z1+Z2=(n11,0)+(n21,0)=(n11+n21,0)。
當Z1&>0，Z2&<0，Z1+Z2=(n11,0)+(0,n21)=(n11,n21)。這裡還沒完，需要化簡為(n1,0)或(0,n2)的形式，相信大家能猜到如何化簡。後面構造有理數時還會用到類似的概念：約分。

有理數Q：從整數擴展。任何一個有理數可以用分數表示：q=z1/z2，z1,z2為Z，而任何一個分數，都可以由2個整數，再加上分數線構成，即Q=Z^2。這裡為了防止與之前學的概念混淆，換一種表達方式，把q=z1/z2 用（z1,z2）表示。在此之上可以定義四則運算。和整數直接運算不同，Q運算之後需要「約分」。這說明，Q的數量比（z1,z2）二維整數對的數量要少。所以，可以把Q 看成是二維整數向量集Z^2的一個partition，把z^2看作蛋糕，蛋糕中每個原子都是z^2集合的一個元素。現在來切蛋糕，這時，每一小塊就代表Q中的一個元素，小塊內部的z^2，都是約分後相等的。這也就是集合論中partition的概念。

實數R：從前面大家可以發現，只需要定義了自然數，之後的數一直到有理數，都可以用自然數的finite product(category theory) 來表示。但是，到了實數這裡就不行了。
我們先來證明存在一些不是有理數的數。
我們知道log(2)3是無理數，而且2^(log(2)3)=3。
假設log(2)3=a/b 即假設它為有理數
則由假設，2^(log(2)3)=2^(a/b)=3 ，注意這裡a,b都是整數。
=&>
2^a=3^b 這裡就出現了悖論：一個偶數的n次方一定是偶數，而奇數的n次方一定是奇數，等式不成立。
所以，log(2)3不是有理數
(credit from number theory)
那到底實數比有理數多了什麼性質呢？用first order logic表達：
forall . r $in$ Real ,there exists r0 such that r&Real,即r is bounded，存在上限即小於某個數字),
there exists r&Real)

推薦書籍：
a book of abstract algebra (publisher: dover ) 適合初次學習抽象代數。這門學科是純數學的代表之一，都是關於「離散」的概念，比較容易「構造性」地定義。而數學分析等研究「連續」這個概念以及實數，如果要比較好的定義需要homotopy type theory，因此不建議從數學分析學起。
algebra - by hungerford (直接在淘寶搜 gtm 73 , 研究生數學教材，適合第二遍學抽象代數)
待補充。。

關於人腦的機器語言

結構
希爾伯特大神說過，數學就是結構

恩，作為一名大學本科正在讀數學的學生，我對這個問題也挺有興趣的。當然，疏淺之見，徒增笑爾。
近來我們常常聽到同時也是我非常認同的一個觀點是：數學是一門語言。是的，就像英語中文這樣，是一種語言。那麼具體的說呢，數學是人類為了研究宇宙中的規律所抽象出來的，用來進行邏輯思考的語言。
隨著人類文明的發展，我們開始逐漸意識到，語言是人類思考的媒介。同樣的這也適用於我們對於真理的探求。數學所研究的領域是抽象出來的，完美的理論世界，我們在研究這樣一個世界的性質時，當然也可以採用我們平時說的話，比如像我國古代的《九章》，但是這樣的自然語言當然是不適合用作這樣的研究的，因為它太抽象了。所以我們就創造出一種語言，專門用來研究這個世界，這就是數學。
可能沒有接觸過高等數學的你對於這個說法無法太好的理解，但是其實你早已接觸過它了。你證明問題的時候用的因為所以的符號，表示線段的字母，等號，等等等等，都是數學這門語言的字母，你接觸過的定義和定理可以看成它的單詞或短語，甚至固定搭配。而這門語言的語法，叫做邏輯。學習一門語言就是一種記憶單詞，掌握語法，多加練習，做到理解並運用的過程——在數學中也是如此。
由於這門語言是以邏輯作為語法的，其基礎也就自然是笛卡爾的二元論。笛卡爾被視為現代數學之父（之一），大概有這樣的因素。後來衍生出一門學科叫做數理邏輯，也許可以視為這門語言的語法學？
當然了，這門語言和所有其他的語言都太不相同，導致很多人都覺得它並不是一門語言。當初丘成桐先生在給我們做學術報告時，說出這個觀點，也讓我思考了很久。關於數學的本質是什麼，恐怕是一個由來已久並且也一直會有人不斷討論的題目。然而我相信，把數學視為一門語言確實是一種非常貼切的描述。

近日在時間線上重新看到這個問題，引發了我的很多思考。猶豫再三，在此把我淺薄的思考寫出來，只希望能稍微激發對這個問題有興趣知友的思考。

看過其它答案之後，第一個感受是不同的答案針對的點不一樣。具體來講，一部分答案是在講數學思想的本質，而另一部分答案試圖回答的是數學這門學科的本質。題主問題的歧義就在於：這裡數學到底是一種思想，還是作為一門學科？我以為，數學思想的本質並不複雜，就像很多答案已經提到的一樣：用抽象的邏輯思維方法演繹歸納出事物隱藏的本質。

真正困難的如何認識數學這門學科！！似乎題主更關心的也是這個問題，針對問題的描述，我的另一個匿名回答似乎可以稍微解釋一下：0.999999... = 1 嗎？怎樣證明？。

大致來講，數學家研究的是：在一個無內在矛盾的公理系統（即永遠不會出現邏輯上自相矛盾的兩個命題都對的情況！）中抽象定義出各種有趣的對象，比如大家熟悉的自然數、實數、複數、四則運算、函數多項式等等，通過演繹歸納和邏輯運算，得出非常不顯然的結論。不同的數學家信奉的公理系統不一樣，但大部分數學家在意的只是公理系統的兼容性，更具體的說，我們關注的是：給定一個命題，這個命題在給定的公理系統中是否可以被證明或證偽；如果不能，在原有的公理系統上增加什麼條件（如果可以，希望這個條件盡量弱）可以達到這點。有興趣的知友可參考閱讀我另一個匿名回答：數學家之間會有爭論嗎？。

請原諒我沒有能力描述數學這門學科的本質是什麼，我這裡只想給出更多的例子。

首先想提到的是從歐氏幾何到非歐幾何。這是數學史上一個偉大的進步，當某個公設被改寫之後，數學家發現，新的形式系統同樣有著複雜的結構和有趣的現象。幾十年後，黎曼更是提出了更一般的空間概念——黎曼幾何，數學家發現研究空間曲率是理解黎曼幾何的關鍵點。經過近百年的努力，這一系列的研究最終將龐加萊猜想變成了一個定理。
不得不提的還有康托的貢獻。給無限集合分類，並最終刺激數學家關於數學基礎和集合論的研究，而連續統假設更是哥德爾不完備性定理的一個絕佳例子。
數學之所以叫數學，最關鍵的還是「數」，所以我最主要的例子就是數。看過我前面提到的匿名帖之後，相信有些知友已經在腦海中建立起了實數的概念。可是數學家發現，實數還不夠！於是數學家引入了複數i（最初的目的只是為了解三次以上的多項式方程），這個神奇的平方為-1的數（因為i想到歐拉公式的知友請留言讓我為你點贊！）。又經過幾十年的研究，複數域以及複數域上面的函數的很多性質都已經建立，其中尤其引人注目的是黎曼zeta函數和黎曼猜想。說到這裡，會不會有人問：什麼是域？關於群、環、域等代數概念的研究最早從伽羅瓦和阿貝爾開始，起因是五次或以上多項式方程的可解性問題，簡單而言就是滿足某種代數運算規律的集合。當數學家抽象出域的定義之後，人們發現了一類尤其重要的數域：有限域，即只有有限個元素的域。而有限域與黎曼猜想的相遇，正是最近60年來一系列數學進展的引爆點。從Weil提出Weil猜想（有限域下的黎曼猜想）開始，新的語言和工具被引入直至今日被廣泛認可：scheme的語言，代數拓撲的想法被引入，Grothendieck拓撲對傳統空間概念的再次顛覆，對某種universal的上同調理論的探求，在新的語言框架下不斷掀起高潮的算術幾何。
稍微再總結一下：布爾巴基將數學結構分為三種，比如說在實數域上，有序結構（即大小關係）、代數結構（各種代數運算及其性質）、拓撲結構（分析基礎中開閉集以及極限的概念）。這三大結構一定程度上告訴我們數學研究的到底是什麼。

容我多嘴一句，純屬個人觀點：我一向以為數學是被發現的！！而不是被發明的！數學定理雖然經常被貫以數學家的名字，可是這些定理就像宇宙中客觀存在的天體一樣，不管有沒有被地球人觀察到並命名，它們就在那裡，或明或暗，時明時暗，對有些人明卻對有些人暗。

最後，如果以上討論讓你對數學產生了些許興趣並希望進一步了解。我有以下推薦：
《思考的樂趣 (豆瓣)》：趣味數學合集，能夠通過初等具體的思考讓人愛上數學的一本書。
《什麼是數學 (豆瓣)》：我的數學啟蒙，時至今日仍是經典，雖然內容上缺少了一些關於當代數學的介紹。
想要了解更現代的數學：
《現代世界中的數學 (豆瓣)》：科普性質的文章合集，對數學的各個分支有不錯的介紹。
《當代數學 (豆瓣)》：為非數學家寫的數學介紹，沒有《什麼是數學》那麼詳細，但包含一部分對當代數學的概述以及重要的數學證明方法。

數學的本質是歸納，由n層歸納變為n個堆砌，再找共同點歸納，便是數學，如是而已。

《什麼是數學——對思想和方法的基本研究》
科朗、羅賓著
斯圖爾特修訂

高中同學思考數學本質，非常好。

從科學工作者的立場看來，數學最明顯的本質，就是它是一種先驗的真理體系，不是經驗科學。物理、化學、生物等科學門類，正確性是由實驗來判定的，公認多年的「真理」被進一步的實驗證偽是經常發生的事，如牛頓力學被相對論與量子力學否定。數學卻跟實驗沒有關係，你不可能通過數一數，看1個蘋果加1個蘋果是不是等於2個蘋果，來判斷1+1是否等於2。

如果你真的數出1個蘋果加1個蘋果等於3個蘋果，人們的結論只會是你數錯了，而不是1+1等於3。如果你說1個原子核加另一個原子核會合併成1個原子核，那並不是1+1等於1，而是這裡發生了核反應，不同於數學意義上的加法。這是因為當我們做邏輯推理時，必須有一些在邏輯上位於經驗事實之前的、可靠性確定無疑的概念和命題作為基礎，數學就屬於這樣的基礎。那為什麼教兒童算術的時候，會給他們看1個蘋果加1個蘋果等於2個蘋果、1個桔子加1個桔子等於2個桔子？回答是，那不是證明，只是演示，演示的目的是讓兒童頭腦中產生數的概念。當他們認識到數的概念後，很快就會理解這個概念是獨立於蘋果、桔子這些具體事物的，無論談的是蘋果、桔子這樣實際存在的事物還是神仙、妖怪這樣虛構的事物，1+1等於2都同樣成立。用莊子的話，這叫做「得魚忘筌」。這是心理學、教育學的問題，而不是數學、邏輯學的問題。

伯特蘭·羅素

數學只認公理體系、演繹法，而經驗科學的根基是歸納法。為什麼會這樣？羅素等人認為數學是邏輯學，希爾伯特等人認為數學是形式系統，布勞威爾等人認為數學是心靈的直覺，哥德爾不完備性定理又表明數學比大家理解得還要複雜得多。要追根究底，數學的本質仍然是個懸而未決的問題，但在實用的意義上，對大多數科學工作者和公眾而言，「先驗的真理體系」這個事實陳述已經足夠。

謝邀~我不會告訴你們邀請我那個人和我睡了四天~
要探求數學的本質，那自然就不能落在一般的應用層面展示（諸如各行各業啊，息息相關啊，推薦閱讀啊，我覺得這是不懂裝懂迴避問題的態度）。回答這個問題要看數學的研究對象和發展歷史。
首先我們看現代數學的抽象程度，一上來定義一堆運算元啊空間啊之類的東西。但是反過來看，最主要的是定義了不同空間中的內積，內積可以定義範數，導出距離……這樣子我們可以發現，共性問題是空間中需要有一種測度，而測度的觀點下看更本質的是內積，內積對應的物理意義是方向，也就是一個空間中有了方向才談得上存在測度（距離只是測度的一個小子集）。這裡順帶扯一下，距離是客觀意義下可測量的一種測度，三體裡面程心和關一帆生活（啪啪）的小宇宙是不存在可感知的距離的，所以他們兩個才不會悶死。當然後來程心回到大宇宙後在這個框架下是可以對小宇宙感知距離體積的。
就舉出上面這個線性泛函分析的小例子，我們可以一般窺全豹地看到現代數學的抽象程度。但是這個抽象又可以還原回物理層，到這裡需要分兩重論述
（1）現代數學的抽象活動是無意識的，也就是數學家在建立數學的一般構型時，是根本不會考慮現實世界啊物理層有什麼，這和建立數學模型是完全不同的。這裡面又分幾點，以講述為主，道理懂得都懂，例子也是老例子：
①早期數學活動是對世界的有意識抽象：自然數，有理數，無理數，實數，歐氏幾何，笛卡爾時代的解析幾何，牛頓萊布尼茨時代的微積分，歐拉高斯黎曼時代的複變函數，柯爾莫哥洛夫之前的概率論、從皮爾遜到費希爾一直到現在的統計學……這一長串到大二為止還經常接觸的單子都可以看成對現實世界的有意識抽象，哪怕是到了複變函數時代已經抽象程度大大高於微積分，仍然可以直接看作對實函數在復空間的推廣以及解決諸如展開式這種計算問題。至於什麼生產力與生產關係，社會存在決定社會意識，可知論與否這些就不去深入探究了。
②為了解決一般性理論問題數學活動很快就轉入高度抽象化：19C開始，我們可以看到為了探討集合論，康托爾定義了一系列公理，最終把實數理論建立，微積分也就上升為今天的數學分析（所以學數分學成計算是沒用的，最最最關鍵是實數理論的掌握，對實數的完備性的體會，這才是一門數學專業基礎課的目的，在另一個話題中噴的人自己看看自己掌握到什麼程度才BB），同時以微積分嚴密化為動力，一大批數學分支的抽象程度都產生了爆發性提升。和分析學並行的是代數學，伽羅華和阿貝爾對群論的研究不僅構成了今天近世代數的基礎，還使得代數學由傳統的解方程課題有了質的提升（矩陣論凱萊也做了貢獻，但總來說就高等代數和矩陣論的框架還是沒有脫離計算解方程的框架和痕迹）。我們可以看到這種抽象是對已經有的計算或理論問題遇到困難的二次抽象，但是已經導致了一個分水嶺：數學研究開始脫離現實中的一般問題，轉向了一個由人類思維通過邏輯構造的抽象世界。
③現代數學是高度抽象的，對於大部分理論的探討是無意識的抽象：儘管20世紀至今，在和現實世界緊密結合處誕生了運籌學、控制論等學科，數理統計也大放異彩，但是無法迴避的一個事實是：主流的數學分支的抽象程度已經大大超出了現實對象，直接根植於應用層物理層建立的原創數學理論並非主流。往往是工程師針對現實問題提出了需要解決的數學問題，而解決該數學問題的方法來源於高度抽象的理論大廈。這一點對於由數分學到泛函為止的人都可以體會。《數學之美》是好書，但裡面知識數學在工程領域的部分應用而已，不能拿這個來定義現代數學的全貌（哪怕應用數學的全貌也不是）。
（2）數學能夠由高度抽象層還原為應用層，這是由數學發展的基石決定的
我們可以看到，各種應用問題都可以利用數學知識進行解答，哪怕是一類不存在成熟演算法的問題，都可以在抽象層找到解決方案，建立新理論，再還原。數學不止是提供解決方法，更重要的是證明了該方法的正確性。之所以在現實世界中能找到這種驚人的對應，這是由數學的發展路徑決定的，簡單來說，一個東西它源於生活，高於生活，最後還是可以回到生活。從最根本的角度而言，我們人類生活的三維空間可以感知方向，定義距離，我們對實際的事物有分割計數的要求，這些就促使了我們建立了數字系統，建立了幾何（數字系統先於幾何，但兩者是並行的），然後對這些原始數學對象的抽象慢慢成了今天這個龐然大物。這可以形象地理解，數學就像一顆越長越大的樹，應用層就像樹蔭，覆蓋面積隨著樹的生長越來越多。如果有一天需要解決的問題是樹蔭外的一個點，那麼數就往這個方向生長多一點，讓樹蔭蓋住這個點，同時樹蔭的總面積又變大了~
說了一堆，數學的本質是可以概括為：人類思維用邏輯為準繩的對現實世界探索活動的高度抽象思維產物及其衍生品，該產物不以現實世界為對象，但存在路徑反饋回現實世界中解決應用問題。
@梓鎽

數學本質上是一門研究模式的科學。
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何謂數學?如果你隨機向人們提問,那你很可能得到的回答是"數學就是有關數字的一門學問".這或許是你可以得到的最多信息,然而,這種關於數學的描述,早在兩千五百年前,就已經不再正確了.

到公元前五百年左右止,數學確實是有關數字的一門學問,這是古埃及和古巴比倫時期的數學.在這些古文明中,數學是以算術(arithmetic)為主的。

公元前五百年到公元前三百年，是屬於古希臘的時代，這一時期，數學開始脫離數字。古希臘的數學家們更關心幾何（geometry）.而正因古希臘人的努力，數學才開始逐漸進入了研究領域，而不再只是度量、計算等功利的取向。他們視數學為一種知性探索，其中包含了美學與宗教的成分。在這一時期，古希臘偉大的哲學家泰勒斯（Thales）更是引入了劃時代的命題證明思想。這一思想的引入，保證了命題的正確性，揭示了各定理之間的內在聯繫，使數學構成了一個嚴密的體系。

然而，在之後的兩千年中，數學的研究幾乎沒有任何的進展，直到17世紀中葉。從牛頓和萊布尼茨發明微積分那刻起，數學的本質就此改變。在此之前，數學大都局限於計算、度量和形狀描述的靜態議題上，但微積分是研究運動和變化的一門學問。有了微積分，數學家終於可以研究行星的運行、落體運動、液體流動、疾病傳染etc.因此，在牛頓和萊布尼茨之後，數學變成了研究數字、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。

進入20世紀，數學迎來了爆炸的時代。1900那一年，幾乎所有的數學家都相信，他們已經完成了數學的偉大版圖，直到當年的巴黎國際數學家大會上，希爾伯特拋出那23個問題。

1900年，對數學人來說，是最壞的時代，也是最好的時代。

他們滿心期待的完整版圖出現了巨大的裂縫，但同時，在這個裂縫處，無盡的新知噴簿而出，照亮了整個時代。當時世界上所有的數學知識可以裝入大約八十部書籍之中。而今日，數學將必須有十萬部書籍才能容納。1900年，數學包括了十二個主題：算術、幾何、微積分等。而如今呢？代數、拓撲、複雜理論、動態系統理論…….

面對數學如此迅猛的成長，「何謂數學」這個問題也變得更難以回答。如今，一種特定的研究之所以被歸類為數學，並不是基於什麼被研究，相反，是基於它通過什麼方法理論研究。直至最近幾十年間，一個為大部分數學家所同意的有關數學的定義產生了：數學是研究模式的科學（science of patterns）。數學家要做的，就是去檢視抽象的模式——數值模式、形狀的模式、運動的模式、行為的模式、投票模式etc.這些模式或靜態，或動態，或定性，或定量。他們源自周遭的世界，源自時間和空間的深度，更源自人類心靈深處。

數學是被發明而不是被發現的。世界是音樂，數學是音符。不是先有音符才有音樂，而是有了音樂才有的音符。音符是為了方便描述，方便總結。數學就是音符，是對現實世界的素描。

這是很樸素的數學本體論思考，我很羨慕你能自己想出這個問題。數學是被發明（像一種工具）還是被發現（像一種真理）的？數學上定義上存在的東西為什麼在現實中並不總是存在（比如多維空間）？為什麼數學的發展總是超出現實需求，最後卻又往往能滿足現實需求？數學上的美究竟是什麼？

摘自維基百科數學哲學一條 [1]——

What are the sources of mathematical subject matter?
What is the ontological status of mathematical entities?
What does it mean to refer to a mathematical object?
What is the character of a mathematical proposition?
What is the relation between logic and mathematics?
What is the role of hermeneutics in mathematics?
What kinds of inquiry play a role in mathematics?
What are the objectives of mathematical inquiry?
What gives mathematics its hold on experience?
What are the human traits behind mathematics?
What is mathematical beauty?
What is the source and nature of mathematical truth?
What is the relationship between the abstract world of mathematics and the material universe?

如果你能爬完此文，相信你還是得不到答案，但至少你的思路會擴展很多。另外推薦兩個牛人的兩篇小文，應該也有幫助[2] [3]。

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Philosophy_of_mathematics
[2] http://blog.farmostwood.net/623.html
[3] http://duane.upshine.net/

數學是對現象、結構及其規律進行抽象化描述和邏輯演繹的語言，比如「函數」就是對一個數量變化引起另一個數量變化的這樣一種普遍現象的高度抽象。