自然界中普遍存在的分形現象的形成原理是什麼？這種分數維幾何結構可能的優勢在哪裡？

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雪花為什麼邊長無限，面積有限？

關於原問題，很容易回答（因為邊長不是光滑的，真實長度決定於測量工具的精細度），我就不羅嗦了。

最近正在搞分形的東西，看到前面提到「為什麼分形結構在自然界普遍存在」的問題，就試著回答一下。

自然界的大部分結構都是越微小越複雜的，你越接近地觀察，就能揭示出越多的細節。比如樹榦的外型，兒童畫可以將其抽象為條筆直的線（一根樹榦就是兩條線），但是你仔細地觀察，會發現由於樹皮的凹凸不平及枝節等導致樹榦不是筆直的線。巧合的是，大部分自然界的微結構會近乎一致地符合「分形」的特徵。就是同一類的樹木外型相似，但是每一棵的每一部分都不會完全相同。

關於「自然界中分形（經選擇後生存）的機理」——
大多數自然系統是整體確定，局部隨機的。一個健康成熟的進化系統可以容許隨機誤差的出現。物理分形結構比一般簡化對稱性的結構更具有容錯性（West 和Goldberger(1987)）。比如肺。它的主幹氣管分成兩個支幹氣管，然後這兩個支幹氣管繼續分支，往後每一級的直徑按上一級的直徑減少。在每一級別的枝節上，統計上的平均直徑是確定的，但每一個枝節的值不確定；每一節的平均直徑依據冪法則規模遞減，並且任何單個枝節僅能以概率意義描述。這就存在「整體的確定性」（平均的枝節）和「局部隨機性」（單個枝節的直徑）

為什麼更具有容錯性、更穩定呢？
假如直徑是普通地按指數形式規律遞減分布的，那麼，某級別某枝節的誤差，會一級一級傳遞到更微小的結構下，使得整體變得畸形和失效。
然而，若按分形的規律，整體的（按比例）冪法則變化以及局部的概率誤差組成，誤差則會產生較小影響。因為每一級別尺寸有一個範圍，一個畸形支幹在其他枝節的形式上有較小影響，也就是基本不影響同級別分布的平均值。所以分形結構（整體確定，局部隨機）在形式上比其他機構更具有容錯性。

這就是自然界的牛叉之處吧。嗯，我蔥白它。

這個問題很好……換個說法就是雪花為什麼分形？我並不非常清楚。

邊長無限面積有限，是Koch雪花的性質，這是一個理想化分形結構。自然的雪花也算是有這個性質。

我們知道很多自然界的東西是分形的，我們知道分形的性質，也可以在計算機中生成分形結構。
但是我覺得人們對自然界中分形的產生機理還知道的很少（也可能是我孤陋寡聞）。
目前有一些模型試圖解釋成核和晶體生長過程中產生的分形，比如DLA[1]是比較出名的一個。

看來有必要詳述一下：
DLA的基本想法很簡單：環境中的粒子隨機行走，如果撞上晶體就成為其一部分，晶體如此生長。
DLA考慮的物理過程簡單且合理，它能模擬出很多分形結構，是比較成功的。
具體到雪花，它們除了分形，還有對稱性，六度對稱是是來自晶體的對稱性。
在雪花的尺度下，晶體生長的物理條件比較均勻，所以六個方向的生長基本一致。
但是不同的雪花生長的物理條件就大相徑庭了，所以沒有兩個雪花是一樣的。
考慮這些因素，然後用DLA的想法去模擬，有人生成了雪花分形的樣子[2]。
還不錯……但是，自然界中的雪花要複雜漂亮得多了，還有許多研究要做。
[2]中有更詳細的解釋和漂亮的圖片。

我邀請了＠金晨羽來回答……一個希望能在幾年內能研究出一個更好的答案的博士生。

[1]http://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion-limited_aggregation
[2]http://classes.yale.edu/fractals/panorama/physics/dla/snow/snow.html

你這是兩個問題！
1.自然界中普遍存在的分形現象的形成原理是什麼？這種分數維幾何結構可能的優勢在哪裡？

分型有多種形成原理。其中一種就是不同的角度的邊緣堆積/腐蝕的速度不一樣。。於是形成越來越曲折的結構。大量的分型物體並不是生物。所以無法以自然選擇來解釋。優勢也是沒有意義的。

對於生物內部存在的分型。一個優勢是可以用簡單的"編程"來實現複雜的結構。事實上。生物體很少採用完全的分型。更多的是一種類似遞歸組合的設計模式。

2.雪花為什麼邊長無限，面積有限

正方形為什麼包含無限多根平行的線段。但是他的體積確是0？因為正方形是一個2維物體。它的1維測度是無窮。他的3維測度是0。這其實是測度的一個典型的特徵。一個物體只有以他的維度的測度去測量才有準確的測度。以高維測度去測量，測度則為0，以低維測度去測量。測度就是無窮。

我猜你所說的雪花是 科赫曲線。這是一個1.26（LOG 3 4)維度的物體。只有它大於1維小於2維。所以邊長無限。

六段科赫曲線所圍成的區域是一個2維物體。所以面積有限。

原文：
http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIzODExMDE5MA==mid=428718143idx=1sn=ced6686576272cb319abd674ac8b43c5#rd

動力系統，聽起來像工程上面的發動機，但是它卻是數學的一個分支，主要研究的就是在一個固定的規則下，一個點在時間的變化下在空間中的位置變化。比方說鐘的擺動，動物種族的繁衍，全球的氣候變動。這類的模型都屬於動力系統。這篇文章要介紹的，是動力系統與分形幾何的一些奇妙性質。

失之毫釐，差之千里

1961年，作為天氣預報員的Lorenz在利用計算機來做氣象預測時，為了省事，就在第二次計算的時候，直接從第一次程序的中間開始運算。但是兩次的預測結果產生了巨大的差異。Lorenz看到這個結果之後大為震驚，然後經過不斷地測試，發覺在自己的模型當中，只要初始的數據不一樣，就會產生不同的結果，而且結果大相徑庭。在1979年的科學會議上，Lorenz簡單的描述了「蝴蝶效應」:

一隻蝴蝶在巴西輕拍翅膀，會使更多蝴蝶跟著一起輕拍翅膀。最後將有數千隻的蝴蝶都跟著那隻蝴蝶一同振翅，其所產生的巨風可以導致一個月後在美國德州發生一場龍捲風。 —Edward Norton Lorenz

在實際的天期預測中，影響天氣變化的因素數不勝數，用成千上萬的變數來預測天氣都不為過。科學家在研究問題的時候，就需要把一個非常複雜的問題簡單化，但是又必須保證不能過於簡單化。於是Lorenz在1963年發表的文章「Deterministic Nonperiodic Flow」裡面提出了一個只有三個變數的模型:

原文請見：
http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIzODExMDE5MA==mid=428718143idx=1sn=ced6686576272cb319abd674ac8b43c5#rd

嚴格來說Koch雪花是面積有限、長度無限的，是一種數學上的理論的分形（程序也只是模擬也無法完全實現，因為不可能無限循環下去）。

自然界的雪花，還有菜花，都是統計意義上的分形，趨近於無限，但實際上不是無限的。

同意上述長度和面積的概念對分形集不適用的說法，分形維數定義下雪花應該是介於1和2之間的一個維數。

對分形集的對應於面積、長度的概念是測度，簡單來說就是為微小集合在某種定義下（如質量密度）賦予一個數值，然後用微積分來進行研究，現在發現很多自相似集合併不是完全滿足自相似，因此發展出了用多重分形(multifractal)測度來進行研究。

我最近看了些分形物理機理的文獻和書籍，想用於故障診斷方面。分形成因眾說紛紜，DLA是很經典的一種對雪花的解釋，分形或多重分形是在具有大量相互作用情況下導致多重疊加的動力系統中大量存在的。

分形在物理上也表現為物理定律在尺度（scale）變換下的不變性（不考慮普朗克尺度以下的現象），用通俗的話講就是，在大尺度下的物理定律和小尺度下的物理定律是相同的。
舉個例子，雪花在大尺度上的生長遵循晶體生長的規律，從而呈現特定的形狀。在小尺度上（還是相對宏觀的尺度，微米級以上），其生長還是遵循同樣的經典晶體生長規律，小尺度上因而也是呈現類似的形狀。

定義曲線的長度是使用折線逼近的, 如果用折線逼近分形的邊界, 折線的長度沒有上界, 所以說, 分形的邊界沒有長度, 或長度為無窮大.

嚴格說, 大部分分形的邊界並不是一個曲線, 長度這個概念不適用於它. 面積, 長度等概念只適用於可測集, 不可以隨意說一個點集的面積, 長度等.

一般, 一維說長度, 二維說面積. 維數可定義為集合線度擴展一倍後所含與原圖形相似的圖形個數的對數(底為2). 如此看來, 大部分平面分形維數大於一, 小於二, 沒有長度是自然的.

平面分形邊界所圍的圖形, 明顯有上測集, 就是可以放在一個大的矩形里, 自然有面積上限.

其實可以這樣理解，自然界中有很多規律，同時有很多適用於這些規律的對象。而將某個非線性的規律迭代很多次或將某個線性的規律非線性的迭代很多次後，通常都會顯示出一部分分形特徵，隨機迭代和互動式的迭代也同樣會顯示出分形特徵。畢竟規律與適用於這些規律的對象相比少之又少。自然的演化就可以看成這些規律在對象上的各種類型的迭代，產生出很多分形現象就不足為奇了。分形還是有很多實際的意義。像人體內的血管，肺葉，都有分形特徵，它可以極大得提高血液循環和交換空氣的效率。在信號傳遞中也可以用分形來提高傳輸效率。

自然界分形現象是普遍存在，其本身包含了無序生有序的規則，不是事先設計出某種形態，而是通過不斷給出無序【生長】，再淘汰掉不適合的分支，留下適合的分支，呈現出某種結構，而這樣的無序生有序在每個層面的大小分支上都在發生，實際上又不是完全重複
理想的分形在自然界中並不存在，自然界的分形結構都是環境選擇的結果，人們設計的各種分形如太極圖都是模擬自然的理想化抽象。分形的具體規則的數學形式各有不同，也就是需要人們具體針對對象研究確定的
有的樹枝和樹根是明顯頂端優勢的，更多的則形態不一；高等哺乳動物是優生優育取勝的，大量水生生物和植物則靠量取勝；人類從生殖崇拜到計劃生育，分形的方案都是盡量適應環境，這些方案中並沒有哪一種具有普遍優勢，而是要根據條件醞釀演算法
蜂巢為什麼六邊形？不是蜜蜂設計出來，而是在無序的建築材料堆砌中，六邊形的力學結構穩定性導致堆放不合適的材料脫落被重新安放，堆放合適的則不動，也就是說蜜蜂是順從了力學上的必然而非事先知道力學的六邊形科學性；同理，遷徙鳥類的飛行縱隊也是感覺到如何空氣阻力最小而非計算得到；雪花的六邊形也是篩慮出來的，不得不提一本書《水知道答案》，請無視這本書所有的文字，只是為了借用那裡的雪花圖片

可見，不是所有雪花都長成漂亮的六邊形，也有畸形，和動物生怪胎同理，但是為啥六邊形居多？因為這樣的冰晶體結構穩定（而非幾何形態的優美，美學是後於規則的），不穩定的結構容易消融重組被淘汰掉，就和怪胎活不長一樣。當然如果人為製造一些留存環境保存那些怪胎，也能多活一段時間，這種社會福利工作就和《水知道答案》的作者做的事一樣，多少有些奢侈
當我們的理性開始形而上的歸納出一些適應性的必然規則後，會問為啥規則如此。首先，我們把規則想得太高大上，規則源自現象、實踐，而非先驗，而把規則作為現象去探討背後的推動，就好像問上帝的上帝是誰、本質的本質是什麼一樣，這本身就是一種分形式的邏輯，可以問，但首先要問這麼問的目的是什麼，無窮追溯這種事誰都做過，沒完沒了的事過頭了就該適時打住。其次，自然界的分形現象是不統一的多種多樣的，每一種分形現象都有具體的幾何形式相對應，還有多少分形現象等著被發現，這種競爭其實是不同演算法之間的競爭，優勢是一種幾何形式相對於另一種幾何形式而言的，同樣任何一種分形的優勢都是相對的，不同環境下總會有更有優勢的演算法出現，可能是另一種分形或者另一種幾何形式。最後，對於普遍存在產生的疑問總讓我覺得是問存在為何存在這種哲學式的問題，而非普遍為何普遍，因為任何東西只要存在都可以說成是普遍的，任意抽象元素比如分形能融合到其它規則中去比如進化論、物理結構、網路交互、社會學、經濟管理、組織關係等等，而這些理論互相又不是獨立的，最終就成了馬哲教材中的一句話：世界是普遍聯繫的……世界如果不是普遍聯繫的就成不了一個世界而是多個不相干的世界了，而不相干的世界之間如果沒有聯繫又如何知道對方是存在的呢？好吧打住，我們還是形而下一點，看看有哪種分形結構是有實用價值的比較好，否則就體現不出優勢啦

分形特點就是自相似，自然地物自相似的重要條件是尺度，在某個尺度級別下，才有自相似存在。我覺得自然物自相似的原因是同種因素選擇造成的。同時由於這種選擇，往往很粗糙，感覺雪花也不一定是哪個完美的圖案，就好像地球我們心裡說它好圓，但是把水去掉，它就是個梨形的。
我覺得生物進化也是同樣的，一個大概相同的環境，推動了生物凈化，所以基本大部分生物都有細胞組成。對於同一棵樹，由於環境很相像，所以環境也是近似一樣的。想到這裡，我就覺得地球真的像一台很大的計算機，它運算的規則足夠簡單，但是就能產生生命

（一本正經的胡說八道）
問題一：
1、結構的存在需要能量在內部支撐。所以我們看到的物質結構分形其實是支撐能量的分形。
2、物質和能量是可以相互轉化的，物質本身就是能量的集結方式。所以分形本質上就是能量分形。
3、我們的宇宙由能量構成，能量分形遵循宇宙在創生時所確定的演算法。所以分形是宇宙能量的自我組織方式，從微觀底層一直到宏觀圖像，體現在我們世界的方方面面。
4、由於宇宙本身是混沌系統，分形在各種層面和環境下受到多種因素的綜合影響，體現出大量的隨機差異性。隨著環境對結果作出選擇，最不易被破壞的分形結構保留了下來，使我們能夠觀測到。
問題二：優勢是相對於競爭環境而言的，某種分形結構是否有優勢，要看所處的具體競爭環境。

題中所說的面積是正面投影面積，而不是表面積吧。如果上下表面邊長無限，厚度為常數，無限乘以常數肯定也是無限啊，再加上有限的上下表面也還是無限，所以表面積一定也是無限。
至於自然界為什麼會分形，我認為是因為自然界是由有限的幾種基本粒子（費米子），加上有限的幾種相互作用（玻色字）構成的吧。這些有限的基石只能構成有限的相互作用模式，這些相互作用模式多次迭代之後就形成了分形。

樓上的都答的好「數學」，我來個通俗版的答案吧。

Q：為什麼面積有限？
A：因為你可以畫個圈把整個圖形包住，所以它的面積肯定是小於你畫的圈的，也就是「面積有限」了。

Q：為什麼邊長無限？
A：從兩個方面回答。
一、無限個無限小相加是可以等於無窮大的，最典型的例子是1+1/2+1/3+1/4+...，當然這裡的面積公式複雜一些，道理是一樣的。
二、有限面積內可以包括無限的長度，把一個正方形沿中線畫條線，再沿其中一半畫條線，再沿其中一半畫條線...無限下去，這些線的總長顯然是無窮大的。

Over.

用海岸線為例，你拿著米尺量海岸線，得到一個數據，你那遊標卡尺量海岸線，又會得到另個一數據，不停的精確你的工具，你得到的海岸線周長几乎是無限的。

而面積與周長是沒有關係的。。。。

知乎傳視頻太痛苦了。直接給個鏈接吧，這裡有一個美國化學學會（American Chemical Society）製作了一小段視頻，解釋了雪花是如何形成的。希望對你有用自然真相：雪花是如何形成的？

在「無限」這個概念下，面積和邊長沒有絕對關係。
我們可以設雪花面積為S，雪花邊長為L，邊對應的高為H，則S=∫ L*H。當L無限大時，不意味這S就會跟著無限大，因為上面這個簡單的積分式里還有一個變數H！事實上，當H為無限小的時候，隨著L和H」無限程度「的不同，S有三種情況。
為了簡單說明，我們假設L=n2，n趨近於無窮大，即邊長趨近於無窮大，則：
當H=n時，S=1/n，趨近於無窮小；
當H=n2時，S=1，為常量；
當H=n3時，S=n，趨近於無窮大。
具體到雪花問題，沒有上述這麼簡單（基本原理一樣的），涉及到測度等概念，樓主如果感興趣，找本大學本科數學專業的實變函數教材，看看前幾章就清楚了。

對於研究分形20多年的小夥伴我對上述答案表示驚呆啦

打個比方在群論里所有的單群都清楚了但所有的群如何由單群生成並不像素數分解唯一性那麼直觀

牛頓萬有引力是最好的回答。物體之所以分形都是受力的結果

對人腦的研究發現血氧活動的信號也具有自相似性，我覺得這可能來源於能量的冪律分布——在兼顧資源節約的同時又保持一種準備狀態，並維持整體上的有序。

分形或者混沌，是簡單規則形成的複雜結果。統治大自然的自然規律必然是無比簡潔，而這無比簡潔的規律能產生無限複雜的物理現象。以上可以部分探討題主的問題。