量子力學的基本理論是什麼？

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感覺要長篇大論了，緊張。我主要是從數學上考慮的，和物理上的考慮基本是殊途同歸，當然嚴格一點總是好事嘛。

原理1：被測體系所有可能狀態由一個可分的希爾伯特空間描述。
概念1：希爾伯特空間。
完備的復內積空間叫做希爾伯特空間。
內積是線性空間上的一個正定的、共軛對稱的、半共軛線性半線性的二元函數，它給線性空間帶來了正交，帶來了長度，也帶來了拓撲。
對於無限維空間，拓撲決定了空間的結構，它可以看出一個空間是否完備，不完備的空間中存在空洞，只有填補了空洞，才有可能使得：
1.存在一組正交歸一基，使得任何態矢量都可以在基上展開。
2.任何一個態矢量都一一對應著一個有界線性泛函。
這就是完備性，沒有這個保證，我們無法讓任何態表示成一些基本態的疊加，我們無法認為左右矢是一一對應的。

概念2：可分。
有可數的稠密子集的拓撲空間叫做可分的。
可數是指有限或者可以與自然數建立一一映射，雖然這個集合是無限的，但我們可以把元素一個一個排開，從第一個，第二個，第三個，無限地排下去。
整數可數、有理數可數、代數數可數、實數不可數。
稠密是指此集合的閉包是全空間。
對於距離空間，稠密等價於，對於任意點A和任意小的距離d，我都可以在此集合中找到一個點，使它與A的距離小於d。
有理數在實數中稠密，所以實數是可分的。
可分的希爾伯特空間總有可數的正交歸一基，總有一個矢量，它與所有基都不正交。
不可分的希爾伯特空間，有不可數個正交歸一基，但任意矢量至多與可數個基不正交。
也就是說，只有可分的空間，我才敢斷言，存在一個態矢量，它在所有基上的分量都不為0！

概念3：態矢量和態
可分希爾伯特空間中的任何一個矢量，都叫做態矢量，而共線的態矢量描述了同一個態。
|X&>和k|X&>是同一個態。
與非0矢量|X&>共線的所有矢量，叫做線性空間中的一條射線，態與射線是一一對應的。

原理2：可觀測的物理量，可以由希爾伯特空間中的一個稠定自伴運算元來描述。
由於右矢（希爾伯特空間中的點）與左矢（希爾伯特空間上的有界線性泛函）是一一對應的，那麼我們可以問及這麼一個問題，任何一個運算元A，是否有一個運算元B使得：
$<x|A=<Bx|,forall xin D(B)$
這個B叫做A的伴運算元，記作 $A^dagger$ 。
其中D(B)是B的定義域。就像函數有定義域，運算元也有定義域，如果運算元的定義域是全空間的稠密子空間，這個運算元叫做稠定的。
稠密的子空間中存在著全空間的基，只是由於這個子空間不是閉子空間，它有漏洞。
如果我們重新定義內積：
$<x,y>$ +" eeimg="1">
那麼A的定義域雖然依照原來的內積不是閉的，但可能對於這個新的內積是閉的，如果這樣我們稱A是閉的。
如果A比A"的定義域大一點，但在A『的定義域D(A")中，A和A』相等，即它們作用於D(A")中任意矢量都有相同的結果，我們稱A『是A的部分運算元。
兩個運算元相等是指它們有相同的定義域，而且對定義域中任何矢量作用後有相同的結果。
對稱運算元是指它是它的伴運算元的部分運算元；
自伴運算元與它的伴運算元嚴格相等。
物理上的「厄米算符」雖然從文字上是指數學上的「對稱運算元」，但由於物理書都沒有太考慮運算元的定義域問題，而且強調「厄米算符」有實數觀測值，應當把物理書中的「厄米算符」理解為自伴運算元。

原理3：物理量的觀測值，是它的譜點，物理量觀測值處於集合X中的概率等於&，其中E是該物理量對應的譜族，x是系統所處的狀態對應的一個歸一化態矢量。
概念1：譜
運算元A的預解式定義為 $(A-lambda I)^{-1}$ ，使得預解式在全空間都有定義的 $lambda$ ，叫做運算元A的正則點，其他的點叫做譜點。
譜包括：
1.點譜， $A-lambda I$ 不是單射，所以它的逆不存在。
2.連續譜， $A-lambda I$ 不是滿射，所以它有逆，但逆的定義域不是全空間，但是全空間的稠密子空間；
3.剩餘譜， $A-lambda I$ 不是滿射，它的值域也不在全空間稠密。
對自伴運算元，也就是物理量而言，剩餘譜為空集，所以只有點譜和連續譜，而且其譜集是實數集的子集。

概念2：譜族
譜族是一個把 $sigma$ 代數中的集合映射為希爾伯特空間中的正交投影運算元的映射。
投影運算元是滿足 $P^2=P$ 的運算元。
自伴的投影運算元叫做正交投影運算元，它是有界的，除0運算元外，其界為1。
譜族滿足3個性質：
1.任意可數個不相交集合 $X_i$ 滿足 $sum_i{E(X_i)}=E(igcup_{i}X_i)$ ；
2.空集的譜族等於零運算元 $E(phi)=O$ ；
3.全集的譜族等於恆等運算元 $E(X)=I$ 。
注意兩個正交投影運算元之和為投影運算元，當且僅當它們之積為0運算元。

概念3：自伴運算元對應的譜族
數學家馮諾依曼（對就是那個後來搞計算機的那個）證明了：
任何一個稠定的自伴運算元A都對應著一個唯一的譜族 $E_A$ ，使得：
$A=int_{sigma (A)}adE_A$
積分空間 $sigma (A)$ 是運算元A的譜集。
這個 $E_A$ 和被測體系的歸一化態矢量|x&>構成了一個概率測度：
$P(X)=<x|E_A(X)|x>$
這個概率就是當系統處於|x&>狀態，物理量A的測值在X中的概率。
馮諾依曼的著作《量子力學的數學原理》討論了自伴運算元的譜分解，並賦予了量子力學嚴格的數學基礎。

原理4：處於|x&>描述的狀態的體系，在觀測到結果 $Ain X$ 之後，狀態變為 $E_A(X)|x>$ 。
這個過程叫做量子態的坍縮。
量子態坍縮，與唯心主義無關，因為觀測任何系統都必須使用物質的工具，在觀測的過程中，探測儀器不可避免地要與被測系統發生相互作用。
要觀測粒子的自旋，必須外加磁場，要觀測粒子的能量和動量，必須用另一個粒子去轟擊它。
觀測結果不一定是個實數，也有可能是一個實數的集合，因為觀測總是存在誤差。
如果空間不是離散的，意味著我們不可能找到一個尺度，它足以分辨任意兩個點。
所以測量一個粒子的位置，我們總是需要帶著誤差。
這意味著位置這個物理量對應的自伴運算元，沒有點譜，只有連續譜。

原理5：對系統的任何操作，可以視為對描述系統的態矢量做了一個幺正變換。
物理上的幺正變換，數學上叫做酉運算元。
如果運算元U能夠保持矢量的內積不變：
$<Ux,Uy>=<x,y>$
它被稱為等距運算元，而可逆的等距運算元稱為酉運算元。
酉運算元的逆等於他的伴運算元，它的逆也是酉運算元。
$U^dagger U=UU^dagger=I$
時間演化，也是一種幺正變換：
$|x(t)>=e^{-itH}|x>$
幺正性要求，無窮小生成元H，是自伴的，它自然導出薛定諤方程：
$ifrac{d}{dt}|x(t)>=H|x(t)>$

原理6：交換兩個全同粒子的狀態，不改變系統的狀態。

粒子置換運算元作用於全同粒子系統，結果等於乘上了一個複數因子，幺正性要求這個因子的模為1。

$Pi|x>=e^{idelta}|x>$

其中復因子為1的叫做玻色子，復因子為-1的叫做費米子。

目前我們只看到了這兩種粒子。

也有人猜測這個因子還能為其他複數，這種粒子稱為任意子。

量子力學的表述有很多，對於我們熟悉的量子力學的框架，前面幾位答主已經說得非常完善了，我就不再贅述了。

框架1，

正如前面幾位答主所說，量子力學中的狀態空間是復可分希爾伯特空間 $H$ ，可觀測量對應與 $H$ 上的自伴運算元。在量子力學中我們會格外關注自伴運算元的譜，它關係到物理學量的取值。量子力學中的不確定性原理由力學量的對易關係反應。具體細參考上面幾位答主的回答。

在經典力學中，狀態空間是相空間，即構型空間的餘切叢 $T^*M$ 。力學量的集合可看做相空間上光滑函數的集合，其構成一個泊松代數。

對比一下：

經典力學：相空間，泊松代數，泊松括弧。

量子力學：希爾伯特空間，C*代數，對易子。

框架2，

對於一個力學系統來說，最重要的東西有兩個：物理學量的集合 $mathfrak{A}$ ；狀態的集合 $H$ （狀態空間）。物理學量之間可以做加法，乘法，數乘，那麼很自然的物理學量的集合構成了一個代數，更進一步的其構成一個非對易的C*代數 $mathfrak{A}$ 。考慮其GNS構造，我們很自然的可以得到：

（1） $mathfrak{A}$ 上的態，對應於相應力學量的期望值： $omega [hat{A}]=left[ psi ,pi [hat{A}]psi ight]$

（2） $mathfrak{A}$ 的循環表示，對應於「物理學量用算符表示」： $p ightarrow hat{p}$ ， $r ightarrow hat{r}$ 等。

（3） $mathfrak{A}$ 的表示空間，即為 $L[H]$ ，得到了狀態空間 $H$ 。

對於經典力學，也有類似的構造。力學量的集合是 $C[T^*M]$ ；狀態空間就是構型空間的餘切叢（相空間） $T^*M$ 。Riesz-Markov表示定理給出物理學量的期望值： $omega[varphi ]=int_{T^*M}^{} varphi dmu$ 。

對比一下：

經典力學：可交換C*代數作為物理學量的集合。

量子力學：不可交換C*代數作為物理學量的集合。

框架3，

首先，量子力學中的C*代數 $mathfrak{A}_W$ ，它的表示可以有很多。但可以證明，關於參數強連續且不可約的表示只有一個。由這個表示我們可以切換到波動力學，相應的狀態空間就是波函數空間 $L^2$ ，物理學量依然對應於其上的自伴運算元。系統的性質可以通過波函數 $psi$ 完全確定。

但是，要知道，波函數空間 $L^2[R^n]$ 不止一個（比如位置波函數，和動量波函數）。這個波函數空間和我們的「欽定」是有關係的。欽定的方法如下：將相空間上的辛形式記做 $omega =d heta$ ，方便起見我們考慮平直的相空間 $R^{2n}$ ，定義映射： $Q[f]=ihbar abla_{X_f}+f=ihbarleft[ X_f- frac{i}{hbar} heta left[ X_f ight] ight] +f$ ，它把相空間上函數映射為 $L^2[R^{2n}]$ 上的運算元。然後，利用 $abla_{X_f}$ 選取 $L^2[R^{2n}]$ 的子空間 $L^2[R^n]$ 作為波函數空間。

例如：對於 $psi[x,p]in L^2[R^{2n}]$

坐標波函數空間：欽定， $abla_{frac{partial }{partial x_j} }psi =0$ 。波函數為： $psi[x,p]=phi [x]in L^2[R^n]$ 。相應的運算元為： $Q[x_j]=x_j$ ； $Q[p_j]=-ihbarfrac{partial }{partial x_j}$ 。

動量波函數空間：欽定， $abla_{frac{partial }{partial p_j} }psi =0$ 。波函數為： $psi [x,p]=e^{frac{ixp}{hbar} }phi [p]in L^2[R^n]$ 。相應的運算元為： $Q[p_j]=p_j$ ； $Q[x_j][e^{frac{ixp}{hbar} }phi [p]]=e^{frac{ixp}{hbar} }ihbarfrac{partial phi }{partial p_j} [p]$ 。

可見，波函數空間取決於我們選取的協變導數的「方向」，這種選取不僅僅只有這兩個。我們還可以選取 $abla_{frac{partial }{partial ar{z} _j} }psi =0$ ，得到的子空間（波函數空間）即holomorphic subspace 。

框架4，

上面三種關於量子力學的表示，都沒有脫離量子力學中最基本的兩個東西：希爾伯特空間 $H$ ；和其上的自伴運算元。不過呢，在波恩的概率詮釋下，我們可以考慮直接用類似於概率分布的東西來討論量子力學，從而完全脫離希爾伯特空間的框架。

考慮平直相空間 $T^*M=R^{2n}$ ，量子力學系統的狀態用一個相空間上的准概率分布 $W=W[x,p]$ 表述，物理學量的平均值可表示為： $<hat{A}>=int_{}^{} W[x,p]A[x,p]dxdp$ 。替代運算元之間乘法以及其對易關係的是star product ： $fstar g=sum_{n=0}^{infty }{frac{1}{n!} left[ frac{ihbar}{2} ight]^nPi ^n[f,g] }$ 。利用Wigner-Weyl變換： $Phi :fmapstoPhi [f]$ 我們可以將其與我們熟悉的希爾伯特空間表示下的量子力學聯繫起來。當 $f=f[x,p]$ 為相空間上的實值函數時，運算元 $Phi [f]$ 為自伴運算元，且 $Phi [fstar g]=Phi[f] Phi[g]$ 。

對於 $T^*M=R^{2n}$ ，此時star product中： $Pi^0[f,g]=fg$ 為函數之間對易的乘法； $Pi^1[f,g]=left{ f,g ight}$ 為泊松括弧；可見，當 $hbar ightarrow 0$ 時，反應量子力學中對易關係的star product就還原為經典力學中力學量（函數）的乘法。

個人感覺，我們通常量子力學教程中所談到的所謂「正則量子化」： $left{ f,g ight} leftrightarrow left[ hat{f},hat{g} ight]$ 更像是一種correspondence而不是deformation。對於一般的相空間，我們也可以證明：關於經典力學的formal Poisson structures 的等價類與關於量子力學的star product的等價類存在一個一一對應關係。

量子力學的基本理論是：「態」(state)、「觀測量」(observable)、「觀測結果」三者應該是不同的東西，並且這個理論應該有能力描述經典概率。在這個前提下我們自然會得到量子力學（至少是大部分內容）。

物理學是預測「對一個系統（態）做一個實驗（觀測量）得到的實驗結果（觀測結果）」的，也就是說這三者是任何一個物理理論的基本構成元素，一個好的理論中這三者應該自然地被區分開。

然而經典力學不是這個樣子的：在經典力學中，當我們寫下 $(q(t),p(t))$ 時，既可以指一個系統處在這個狀態，也可以指「觀測系統在 $t$ 時刻的動量與位置」，還可以指系統在時刻 $t$ 的觀測到的動量與位置。這種三位一體是不好的，很容易造成混淆（我記得 GR 的教材裡面很可能會強調這個事情，因為那裡源自經典力學的記號就很容易出問題了）。

這個混淆是經典邏輯上的必然。
經典邏輯是說，給定一個命題的集合，定義「 $wedge, vee, eg, Rightarrow$ 」這些運算，它們應該符合一些公理，比如 $eg eg A=A$ 等等，我們把這個結構叫做 Boolean lattice（這個 lattice 是一個抽象的代數結構，和物理上的 lattice 沒關係）。注意這些運算不一定是邏輯運算，還可以是集合論運算「 $cap, cup, ^c,subseteq$ 」等。可以證明 Stone representation theorem：給定一個抽象的 Boolean lattice，存在一個集合論模型和它同構。
我們考慮一個物理實驗的命題集合：給一個態 $x$ ，看觀測結果是不是 $y$ ，運算就是通常的邏輯運算。一個似乎自然的考慮是它們應該構成一個 Boolean lattice。
但 Stone representation theorem 表明這個 Boolean lattice 同構於那個集合論的模型，因此這些物理實驗的命題最終可以被翻譯成：態是一個大集合 $S$ 裡面的一個點，我們去觀測這個點是不是某個給定的點。那麼態、觀測量、觀測結果的時間演化都是一個函數 $f:mathbb{R} o S$ ，就和經典力學一樣，這不是一個好的理論，而這種「壞」是必然的。

所以為了解決這個問題，我們必須放棄掉 Boolean lattice 公理中的某些東西。可以驗證放棄絕大部分公理都會導致荒謬的結果，比如一個 $eg eg A=A$ 不成立的理論一般都是很病態的。但放棄其中的一個公理不會導致這麼嚴重的後果，就是分配律
$Awedge (Bvee C)=(Awedge B)vee (Awedge C)$
這在物理上大概可以解釋成：兩個實驗結果合起來不一定等於合起來的實驗的結果。 $Pin S(mathcal{H})$
我們來嘗試構造一個不符合分配律的模型。
給定一個 Hilbert space $mathcal{H}$ （注意不一定是復的，光從這裡是導不出引入復 Hilbert space 的必要性的。關於為什麼是復的這個問題可以參考量子力學中引入虛數 i 的深層意義是什麼？），定義 $S(mathcal{H})$ 為其上投影運算元的集合。顯然這個集合和該空間子空間的集合 canonical 地同構 $Pin S(mathcal{H})leftrightarrow P(mathcal{H})$ ，所以我們之後不區分投影運算元和子空間。
這個模型上的運算定義為：
$Pwedge Qequiv P(mathcal{H})cap Q(mathcal{H}),Pvee Qequiv P(mathcal{H})+Q(mathcal{H}), eg Pequiv Id-P,Pleq Qequiv P(mathcal{H})subseteq Q(mathcal{H})$
很容易驗證它們符合 Boolean lattice 中除了分配律以外的公理並違背分配律。那麼在這個模型下上面提到的（最基本的）物理實驗的命題（要求它們只能是 true/false）會被翻譯成：觀測量是一個投影運算元，態是它的某個本徵態，測量結果是它對應的本徵值（0 / 1）。把這些基本實驗複合起來，允許觀測結果取任意實數就得到：觀測量是一個 Hermitian operator，態是某個對應的本徵態，測量結果就是對應的本徵值。
現在我們希望這個理論能描述概率，經典的概率就夠了，那麼給定一個態，我們總可以對應地構造出一個函數 $f: P o f(P)equiv{mathrm{Pr}[ ext{measure result is } 1]}$ 符合一些公理（比如概率在 0 到 1 之間，兩個不同的 observable 總存在一個態可以區分開，對於正交的投影運算元概率是直接相加），那麼由 Gleason theorem，態可以用一個 density operator $ho$ 來描述，測量的期望值就是 $mathrm{Tr}[ ho A]$ 。到現在，我們已經建立了通常量子力學中的 Born rule。
然而 density operator 中有一些態是不能解釋成經典概率的疊加的，然而按照上面的模型在這些態上面仍然表現出了隨機性，這就是量子力學中隨機性的必然性。
我們現在已經恢復了整個量子力學，就是前面很多人提到的量子力學公理：
（1）state 是 Hilbert space 中的 density operator。
（2）observable 是 Hilbert space 上的 Hermitian operator。
（3）測量結果的期望值為 $left<A ight>=mathrm{Tr}[<br /> ho A]$
動力學（信息守恆要求必須是 isometry operator）和複合系統（見什麼是張量 (tensor)?）是另外的故事了。
事實上可以證明給定一些非常自然的公理後這個模型是 universal 的，就像集合論模型之於 Boolean lattice 一樣。因此，量子力學的框架在邏輯上是必然的（這個「必然」應該理解為通常物理書中的「必然」）。

這就是我在開頭說的，量子力學的基本理論源於「態」、「觀測量」、「觀測結果」的三權分立與對理論能自然地描述概率的希望。

（PS：我個人不喜歡這個對測量的解釋，總感覺實際上測量過程應該是某種有效理論）

有趣的是，相對論也可以用類似很不依賴於實驗的 argument 來「導出」（不過我相信在所有的平行世界上這些物理定律都是源自實驗，而不是邏輯上的考慮的），基本模式就是：列出一些自然的考慮，然後一個關於唯一性的數學定理唯一地給出這個理論。比如「spacetime 是一體的」+「時間應該和空間不一樣」再補上「二次型的慣性定理」就得到 spacetime 的符號差必須是 (-,+,+,+)，進而得到狹義相對論。廣相可以類似地得到，但我忘了（好像是 Lovelock 定理，大概是說只用度規的不大於兩階導數能構造出來的對稱張量且滿足 $abla_mu G^{mu u}=0$ 的只能是 Einstein tensor 再加上宇宙常數項，所以我們把能動張量整理到方程一邊後另一邊自然地要長成 Einstein 方程那個樣子）。
再 follow Weinberg 的邏輯，我們就能從相對論的要求和量子力學的框架得到 QFT，這個可能最有解釋力的物理模型。假如有一天我們也把引力納入了一個統一的框架，大概事後也會得到一個類似的「你看這個理論就是這麼的自然」的 argument 吧。

偶爾想一想這些實際中並沒有什麼用的東西還是挺好玩的。

（我只是聽了一些關於這些內容的高級科普，很多細節沒仔細想過，我覺得後面邏輯上也有一些 gap，現在我可能還沒法補上，對這個話題感興趣的人比起問我來還是更推薦去看一下 Quantum logic - Wikipedia）

基本同意 LS… 只是，覺得他說得太多太詳細了，以至於把一些不夠中心的外延（比如，那四條，只是非相對論量子力學的處理方法）也拿進來了。

以下乃個人之愚見。量子力學的基本理論，只有一條：用線性空間（Hilbert Space 算一種）中的態來描述體系的狀態。

其他的，LS 說得很清楚；但那些也就是對稱性的要求，是凌駕於物理之上的。至於測量帶來的概率問題，我還是以為，它是人為地將體系割裂為體系和儀器的直接後果，這應該就是 LS 所說的「有效定理」的意思吧。

註：鑒於題主還有可能別的人的需要，我做了一些更通俗的解釋。

----------- （但願）適用於有高中理科程度知識的人 -----------------------------------
如果你要問的是教科書式的答案，那我記得應該是這幾條：
1、「態」構成希爾伯特空間；
2、「可測量」由希爾伯特空間上的厄米算符表示；
3、態的「時間演化」滿足薛定諤方程；
4、「測量」相關：態之間的內積（波函數）的模平方等於坍縮概率。

沒有翻書，如果有遺漏歡迎補充。

那麼怎樣通俗地理解呢？
當然我不贊成向廣場舞大媽科普量子力學，所以我所說的「通俗」至少是建立在高中理科物理知識基礎上。
很多科普都會向你解釋量子力學的理論，每個人思路不同，我也只是提供一種思路，未必適合所有人，但我希望可以啟發一些人。

（你也許用到的知識包括並不僅限於：函數、向量空間、概率與平均值、牛頓力學
*** 經典力學回顧 ***
首先，讓我們仔細看看非量子力學是什麼樣的。原則上，到了大學學習分析力學才能系統地了解經典力學，我們這裡只是大概描述一下框架。

任何力學裡都有一個概念：相空間。相空間里的元素是「物理狀態」，簡稱「態」。在經典力學裡，相空間由質點的位置和動量描述，意思就是當你知道一個質點的位置和動量，你就完整的知道了它的狀態。同理，如果你有很多質點組成系統，那麼相空間就由每個質點的位置和狀態描述，自由度就多了很多，但基本思路還是這樣的。

有了「態」的概念，我們就考察它怎麼變化。由於「態「涵蓋了所有可能的物理信息」，所以它的變化率應該已經確定了。也就是說，我們知道了所有質點的位置和動量，我們就應該能夠知道它們的加速度，否則我們的相空間就沒有定義好。

怎樣通過「狀態」知道「狀態的變化率」呢？就是通過各種力的公式，比如胡克定律，庫侖定律，牛頓引力定律，磁力（洛倫茲力，依賴於速度），它們結合牛頓第二定律，就能告訴你在特定狀態下所有質點的加速度。

所有這些力的公式，它們的信息可以隱含在一個量里，叫哈密頓量，你暫時不用明白它怎麼來的。你需要知道的是，經典力學運作的框架就是：你知道一個相空間長什麼樣，然後你知道一個叫哈密頓量的東西，這個量能夠告訴你在相空間里任意一處狀態會隨時間怎樣變化。

*** 向量空間與波函數 ***
那麼量子力學的理論有哪些本質上的不同呢？在以上的圖像里，有一點對於「經典力學」尤為重要，那就是相空間的結構（餘切叢）。量子力學主要就是相空間的結構不同，量子力學裡的相空間是個線性空間，也就是中學學的向量空間。

我們來看看量子力學的相空間怎樣描述狀態的。作為一個向量空間，中學知識就可以告訴你，可以選取一組互相垂直的基向量，然後任何一個向量都可以用這些基向量的組合來表示。量子力學裡，我們可以這樣選基向量：質點在位置A是一個態|A&>，質點在位置B是另一個態|B&>，由於這兩件事是互斥的，我們定義這兩個態在相空間里是互相垂直的向量，那麼我們可以把所有有確定位置的態定義為基向量。這樣定義後，相空間就是一個無限維的線性空間了。

既然是向量，就可以相加。於是我們有了一個「疊加態」：a*|A&>+b*|B&>。量子力學相空間的結構表明了這樣的態是存在的。這就是科普書里說的，既在A地又在B地的狀態。而這裡的係數a, b就是波函數。這是一個位置的函數，位置A的函數值是a，位置B的函數值是b（此處有歸一化問題，不嚴格）。這裡只給兩個位置賦了函數值，你可以給所有位置都賦一個值，就可以得到一個連續的函數，比如高斯函數，正弦函數等等。

如果你擅長向量空間，那麼我們可以把一個向量用不同的基向量下的坐標表示（高中有學么？沒有的話百度百科一下，不難）。上面我們用的基向量是有確定位置的態（術語是位置本徵態），你也可以用別的基向量，比如有確定動量的本徵態。用群論可以證明，這兩個本徵態之間的變換就是傅里葉變換，這句話的意思就是說，有確定動量的態的波函數是一個簡諧波（正弦波餘弦波這種）。你現在也許沒法證明，事實上本科生也基本上是把這個當結論。這個波，就是德布羅意說的波粒二象性的波。一個粒子以確定的動量運動，它同時也是一個簡諧波。

*** 疊加態與可測量 ***
說了這麼多波函數，那麼「疊加態」究竟是什麼意思呢？為什麼質點可以同時存在於兩個地方呢？理解量子力學，這一步很重要。我們要重新審視一些命題，比如說「質點在位置A」。在量子力學的語境里，質點的位置是個可測量，而一個可測量的值並不總是確定的。

在經典力學裡，你可以構造一個相空間的函數，對於每一個狀態，輸出它的位置，這個位置對於該狀態來說是確定的。在量子力學的相空間，只有位置本徵態有確定的值，而它們的疊加沒有。一個任意的態，它的位置，或任何其它可測量，只有「平均值」，做平均的權重就是波函數的平方。你可以證明，這樣取的平均值，是符合經典力學的方程的，也就是說經典力學裡我們理解的可測量，其實都是量子里的「平均值」。那麼用「平均值」來描述理論，是否不嚴謹呢？不，事實上，如果你不做特定可測量的測量，疊加態的演化是可以嚴格寫出的，不需要任何的取平均，我們取平均，只是為了能和經典的結論作比較，應該說在量子的級別上，取平均是一件多餘的事，是為了使用一些經典概念而強加於這個理論的操作。這就是「可測量」這個概念在量子世界的糾結之處。進而，「測量」這個過程也變得糾結起來，這個後面說。

*** 時間演化 ***
量子態的時間演化，沒什麼好說的，就是薛定諤方程。這個方程和經典力學裡的哈密頓方程非常非常相似，區別幾乎就是對相空間結構和哈密頓量的本質做了重定義。這個你暫時不會有體會。
值得一提的是，薛定諤方程是「酉」的，意思就是在演化過程中沒有信息丟失；換句話說，你能從更早的時間的態推導出較晚時間的態，由於沒有信息丟失，通過該方程，你也可以反著推，從較晚的態推導出更早的態，和經典力學裡一樣。這個特徵杜絕了「隨機性」，因為如果隨機事件發生了，那麼就會有信息丟失，你就不可能進行反推。

沒有隨機性？你一定認為我瘋了。但這就是薛定諤方程的結論。那麼人們說的隨機性是哪來的？下面就說。

*** 量子測量 ***
之前說到了「平均值」，既然有平均值就有概率分布，那麼這個概率是什麼呢？
如果我們讓一個態按薛定諤方程做演化，它不會管你可測量有什麼值，你永遠只能算平均值，即使知道一個用於計算的概率分布，你似乎也無法檢測那個概率，畢竟這個態永遠不會演化成有某個特定測量值的態。也就是說這個概率分布只是用來計算出一個平均值以擬合經典結果用的，沒有概率本身的意思。

但是，有一種過程，叫測量，它可以強行告訴你一個態的測量值。為什麼呢？因為它可以讓這個態坍縮到某一個測量值的本徵態（就像向量的投影）。坍縮到哪個本徵態呢？按照之前說的概率——波函數的平方，此時才把它當做一個概率來用。因此你會得到，這樣一個測量過程能夠得到的值，的平均值，正是我們之前算的那個符合經典力學的平均值。注意：這兩個平均值的含義不同。測量的平均值是只有測量的時候才能得到的測量結果的平均值；而之前算的平均值是測量不測量都存在的，每個態都有的性質，並且其變化遵守經典力學。

是的！有兩種不同的過程。一種是演化，它遵循薛定諤方程，它是酉的，它沒有隨機性；一種是測量，它以波函數的平方為概率進行態的坍縮，有隨機性。

這就是哥本哈根學派的量子力學詮釋。實驗證實了這種詮釋，如果你看過很多量子力學的科普，也許會看到「貝爾不等式」，那個就是對它的實驗證實。

那麼兩種過程的界限是什麼呢？意識。很多人認為，只有人的意識參與了過程，才產生測量。比如薛定諤的貓，如果人不看一眼盒子里，貓是出於生與死的疊加態的；只有用人的意識觀測過，貓的態才會坍縮到生死確定的態。

哈哈，這種觀點出來後，可算讓民眾多了不少茶餘飯後的談資。多新鮮，原來科學最後也變成了唯心主義。

後續的發展，我不能很確定的說，因為我不是這個方向的（量子信息），而且你現在的知識儲備就更難理解了。只能告訴你，以上對「測量」的看法作為裝逼談資可以，嚴肅的科學應該已經不採取這個思路了。

*** 關於名字「量子」 ***
講了這麼多理論基礎，怎麼都沒有講到「量子」的意思？不是說量子力學裡什麼都是一份一份的嘛？其實這麼說不準確。如果單看非相對論量子力學，有很多東西都是非量子化的，只有「束縛態」有量子化現象。束縛態就是粒子在一個勢裡面，由於能量的不足，空間上受到束縛。這樣的狀態下，解微分方程可以得到的解往往是離散的，就好像兩端固定的弦有離散的可取的波長一樣，或者像四周固定的鼓有特定的一些離散的頻率一樣。量子化這個現象本身，是微分方程理論就可以得出的，只是量子力學引入了「波函數」概念，把態的方程變成了波函數的微分方程，因此才「變出了」量子化。

到了相對論量子力學——量子場論後，你會發現「粒子」這樣一個離散的概念也是一種量子化的產物。早期愛因斯坦發現的光量子就是一個例子，只是當時還沒有理論可以描述它。這後面的理論就真的不是你現在可以懂的了。

--------- High-Level 內容的分割線（以下內容需要學過量子力學的本科生才適合閱讀）---------

但是如果你想知道構造新的量子理論時所遵循的規則，比如弦論也必須遵循的基本遊戲規則，我想表述會很不一樣。具體的我也還沒有總結，但我有以下幾個體會：

首先我認為測量公理應該不是一個基本公理，或者說它即使是對的，對一個理論來說也沒有框架級的重要性，應該說是一個當人類面臨測量的時候可以採用的一個有效定理。

然後，態的「時間演化」不會被單獨強調，因為1、時間只是時空的一個分量，從狹義相對論的角度來說它沒有單獨的重要性；2、演化其實只是「時間平移操作」，從對稱性的角度來說，它和「把時間平移生成元定義為能量」是等價的。即如果你把能量（哈密頓量）定義為時間平移生成元，自然就有薛定諤方程。

由上一點你也可以看出，也許對稱性會扮演很重要的角色。但是對稱性應該說不屬於「框架」，而是「內容」，即你可以在理論中加入或拿走各種對稱性，只要理論自洽就行，任何對稱性的存在都不是原則性的。

另外，所謂「可測量」，其實就是對稱性的諾特荷和諾特流，對於酉對稱性（溫伯格在第一冊證明了量子態的對稱性只能是酉且線性的或反酉且反線性的，且後者貌似只有時間反演這個離散對稱性，因此這不是一個很特殊的要求），它自然是厄米的，所以也無需多言。

這樣算下來，至少這個框架在外觀上會很不一樣。如果有人有看過類似的整理的比較好的規則，歡迎請教。

看到熱門回答裡面提到態，觀測算符和觀測量，我想補充一個老師在課堂上舉的關於量子力學三大圖景的通俗解釋：
***其實就是對於時間演化的三種處理方式***
薛定諤圖景：風動幡動（狀態）心（觀測）不動
海森伯圖景：風幡都不動，心動了
相互作用圖景：兩個都動

想一想真是那麼回事~~~┑(￣Д ￣)┍

魔法師有一塊變幻無方的會飛的魔毯，魔法師想用它來當廁所的門帘，但是他不知道夠不夠大。他又想坐魔毯到帝都去上廁所，可惜帝都的廁所如果跑得不夠快動量不夠大，要被看廁所的攔下來收1塊金幣。
魔毯的尺寸 $hat x$ 和動量 $hat p$ 是多少，誰也不知道。魔法師說，"尺寸和動量都帶著一頂魔法帽子，我一直想知道魔毯的面積是多少，動量/速度有多大，但是魔法帽子一直讓我看不到真相。因為這個，我這泡尿憋了一個世紀了。」

魔法師讓魔法學徒去量魔毯的尺寸和動量。魔法學徒發現，他量完尺寸，再去測速度，得到的結果，跟先量速度再量尺寸，是不一樣的。他用兩次不同順序量得的數據，發現 $hat xhat p -hat p hat x=ihbar$ ，兩次不同順序得到的結果，總是相差一個 $ihbar$ , 「它拿著一根魔棒」，魔法學徒喃喃的說。

魔法師沉思了一會，輕輕的道，「量得的尺寸越小，動量越大魔毯飛得越快，越容易躲過收費站；魔毯飛得越快，尺寸越小，屁股都擱不下。」魔法師一拍大腿，大聲道，「我知道了，魔毯裡面有一個無窮維的異次元空間」。
說完這句話，魔法師一聲慘叫，欲知後事如何，且聽下回分解。

雙縫實驗是量子力學的核心實驗，它包含著量子力學的最神秘之處。
理查德費曼曾說過：「事實證明，量子力學中的任何其它情況都可以這樣解釋：『你記得雙縫實驗的情況么？它們都是一樣的。』」

這麼看來，量子力學的內容並不多，但它的降臨，直接毀滅了三觀，燒光了一切，整個世界突然之間所有的東西一下子都被它「腐化」了。
人們不懂這個「新」世界。即便是那些曾經被人們所熟知的事物，人們也很難懂它們現在的這個「扭曲體」。

1.微觀體系的狀態由希爾伯特空間矢量描寫，力學量由線性算符描寫。
2.在ψ描寫的狀態里，多次測量力學量F，所得期望值&=（ψ，Fψ），（ψ，ψ）=1。
3.在ψ描寫的狀態里測量力學量F，每次測量的可能值只能是ψ的本徵值之一，設λn為ψ的本徵值，un為λn對應的矢量，則λn出現的概率為|（un，ψ）|^2。
4.ψ的演化滿足薛定諤方程。
5.在多粒子體系中，交換任意兩個全同粒子，不改變體系狀態。

以我對於量子力學的認識，是它更客觀更理性，所以唯一的建議就是理解它的時候也需要更理性，不要以常識來理解邏輯

1.體系的狀態由希爾伯特空間中的向量表示
2.力學量表示為希爾伯特空間中的厄米算符
3.[x,p]=ihbar
4.薛定諤方程
5.交換兩個全同粒子後波函數只差相位。

求驗證

薛定諤表象下就是五條公理

對易關係

量子論核心大概就是發現了波粒二象性，態演化不過是波動性的體現，這個波當然是非經典波，但是具有經典波動的數學形式，至於為啥是這樣，現在沒人清楚。

量子是否具有生命？意識？（上帝會不會投骰子？愛因斯坦說的）
量子學是不是經典的，機械的，數學的知識可以解釋的。

量子力學是描述微觀體系運動規律的科學。量子力學的基本原理是由許多科學家，如薛定諤、海森堡、波恩以及狄拉克等人經過大量的工作總結出來的。量子力學包含5個重要的假設，從這些重要的基本假設出發可以推導出重要的基本原理。簡而言之，量子力學的基本理論有：1、波函數和微觀粒子的狀態。2、物理量和算符。3、本徵態、本徵值和薛定諤方程。4、態疊加原理。5、Pauli(泡利)原理。