怎樣才算真正理解了數學的一個概念？用什麼樣的標準去檢驗比較好？

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閱讀了些許書如《數學之美》，《邏輯的引擎》，《黑客與畫家》，神書《集異壁（哥德爾，埃舍爾，巴赫）》，《女士品茶》等，引發了自己對數學前所未有的興趣，可惜自己的數學底子並不太好，主要原因是自己從前和大多數人一樣應付考試的動機居多，而且沒有慧根……自己辭了工作（已工作兩年多）考研，在複習數學過程中，雖然帶著濃厚的興趣學數學，但是還是覺得挺痛苦。主要原因是，自己覺得看懂了書中的數學概念，但是做題目練習的時候發現好像又什麼都不懂似的，聯想不起來！所以題目也做得很費勁，當再回頭看概念的時候，又是覺得一眼懂了（可是自己懷疑這種懂是否真實），各位數學高手有什麼學習研究數學的心得？尤其這兩個問題:①怎麼判斷自己對於一個數學概念真的懂了？你的判斷標準是什麼？②有可參考的強化熟知數學概念的方法么？③你是怎麼學（研究）數學的？

謝謝

回答題主提出的幾個問題。

①怎麼判斷自己對於一個數學概念真的懂了？你的判斷標準是什麼？
對一個概念「懂了」是分好幾個層次的，從膚淺到精通可以列舉如下：

第一個層次：了解

知道概念、定義
在別人提起它的時候知道是怎麼回事
自己能嘗試去用它

第二個層次：掌握

知道其他等價定義
知道這個概念在所有應用場合下的作用
知道這個概念和其他概念之間的異同與聯繫

第三個層次：精通

體會出這個概念的意義、使用動機、在整個學科中的位置
建立它的和其他相似概念和關鍵概念之間交互的圖像
掌握使用這個概念建立的許多新概念

並不需要把每一個概念都掌握得爐火純青，很多時候對概念的理解夠用就行。然而，對很多關鍵概念的深入理解能夠讓你加深對整個學科以及後續更加抽象概念的認識。

②有可參考的強化熟知數學概念的方法么？
做題可以加深對概念的理解，但是這種幫助是有限的，對做題更重要的是技巧，掌握了應試技巧即使概念不懂你仍然可以拿滿分。最好的掌握一個概念的方法就是建立這個概念和其他概念之間的聯繫，理解這個概念在所有應用場合下出現的作用和意義。這是一個漫長的過程，可能需要看好幾本書才能完成。如果沒有那麼多時間，就把手頭有的幾本教材里所有和這個概念相關的部分拿出來好好體會一下。

③你是怎麼學（研究）數學的？
多看書。看教材，光看科普是不行的，科普書里滿篇都是坑。當我掌握了很多以某個概念為基礎的更加抽象的概念的時候，我自信對這個概念的理解已經足夠了。

其實不完全確定你說的概念是什麼意思。。感覺你主要指的是定義？

簡單說，知道為什麼需要這個定義就是理解了。所以你只要想明白這個定義最初的目的是什麼就可以了。
這個說起來容易，但很多概念的產生本身就花費了很多時間，內容繁複，此外大部分數學家寫書的習慣實在不好。。很多學生上過兩門線性代數之後都不明白線性代數是幹嘛用的。。

當然最初的目的之外，它可能還有其他後來被發現的用途，也要儘可能多了解。

想學好數學最重要的就是多想，當然做題也非常重要，但是做題屬於簡單的那部分，想比較難。

數學題可以簡單分為重理解的和重技巧的。前一種如果你想明白了自然就會了，後一種則不然，你可能經常發現答案非常扯（「這TM誰能想出來」之類的）。

但並不是這類題目就不重要。我由於天資所限，技巧非常差，也自然不喜歡技巧性題目。但，我從不否定技巧的重要性。數學研究大概有兩種，發展理論和解決問題。其中解決問題是極為被重視的，因為無法解決問題的理論不會得到關注（數學家在閱讀文獻上的精力是極為有限的），好的理論必須也必然能解決問題。同時發展理論本身就是為了解決問題。

而技巧可以看做跳過理論的發展來直接解決問題的一種工具。所以自然也十分重要，如果可能盡量掌握。同時尋找技巧間的相似也十分有趣。

然後回來說想。
想是我最喜歡的部分。
只要有關，怎麼想都是可以的。
最基本的想明白經典例子是怎麼回事。
然後想跟這個概念有關的定理，盡一切方法試圖找到反例，看看是不是對的？
想想定理的條件還能不能精簡，或者有沒有其他有效的等價條件？想想去掉某一個條件能不能證明？如果不能為什麼（不是原證明為什麼不管用了，而是為什麼不存在一個那樣的證明）？
想想在其他的領域有沒有相似的定理或概念？試圖套用其他領域的概念理解這個概念？
看懂作者的證明，每一個條件是怎麼起作用的？想明白每個概念直觀是怎麼起作用的？（我猜任何一個學數學的都經歷過我能看懂他的每一行證明，但是還是不明白到底怎麼回事。當然還有一種體驗叫看到第三行證明就看不懂了，更加酸爽！）
我上面說的是我學數學的時候會想的內容（我真的會逐一審查。。），你當然還可以想更多更多。

搞定這些之後，我會覺得我已經基本上直觀理解某些定理或者概念了，然後再通過實例加深理解（有時候好的例子無比具有啟發性）。

此外，你還要能夠獨立復現證明，證明是一個格外technical的事，除非直觀想得真的很明白了，如果只是模模糊糊覺得自己明白了，往往不能寫出證明。而且人和人的直觀不一樣，你想把你的直觀寫出來可能還需要自己發展語義。。我相信對於考研他不是一個好事。。
獨立復現經典證明以及利用重要定理證明小定理是一個本科生的基本能力吧。

知道為什麼定義這樣的概念就是理解。

不過理解之後，還需要掌握應用。

確定定義（充要條件）、判定（充分條件）、性質（必要條件），而後由淺入深地做適當的練習。然後，嘗試將這個概念與數學中的其他領域中的概念聯繫起來（共同點），並發現概念彼此間的關係（結構）。最後，嘗試在另一個情景需求下獨立地重新推導、發現這個概念，據此明白為什麼要有這樣的概念（動機）。這樣，大抵可以獲得本質性的、不一樣的視角。

樓上幾位感覺都沒回答問題，要不就是沒有提供一個標準。
我來提供一個標準：如果你能夠由「某個概念」以及其他一些知識推導出與「某個概念」相關的所有定理，推論，你才能說你理解了這個概念。
為什麼這麼說?數學其實是知識點練成線，線再連成面，面再組成超平面的問題。就是對維度的不斷擴展，如果你真正了解了一個概念，你就了解了這個概念在所有維度中的樣子。

1,邏輯上理解，
2,在腦中有直觀的反映
3,有自己獨特的理解

任何一個問題都不能在和它同一層面的意識上解決

數學不是看會的，是寫會的。
真正說會一個概念、一個定理，意味著手裡一張紙，一根筆，可以寫出來這個概念的全部要點，這個定理的全部內容，並且可以給出定理證明的思路。
數學有很強的邏輯性。從公理概念開始，如果能將一本書的內容都串下去，那是真的懂了。
要能寫出來，這很重要。但這並不意味著要去和背古詩一樣背，應該是理解代替記憶為多。重複是記憶之母，理解是記憶之父。

自己也在複習數學。對你的感受表示理解。其實看懂一個概念不難，因為大部分的書邏輯性還是比較強，論述也比較全面。但是為什麼做題做不出呢？
因為做題（簡單的題）是你學過的知識的關聯。題做不出來，想破頭也想不出，但是看了答案就恍然大悟，每個步驟都懂，心裡也都記得。但是就是沒關聯起來，題就沒做出來。
如果題主數學底子薄，就更明顯了。
考試的話還是做題吧。做了之後思考解題技巧的邏輯在哪，這種技巧在哪裡還會有用，是否還有更好的方法。這些智力遊戲都能加深知識之間的聯繫，便於之後的解題學習。也不算應試，只是凡人學數學需要凡人的方法。
以上適合解決簡單數學問題。至於那些難題，交給高斯們吧……
就這樣。

2年前12月31日去Kitchener參加一個新年倒數活動，當時有一個樂隊搭台演出。哄哄哄，哄哄哄。結伴的有一個初次見面的研究生學長，他在我準備向那個檯子靠近的時候說了一句話--「強度和距離的平方成正比via via。」然後我楞了一下，就和他站的遠遠的一起欣賞whole picture了。（其實是被他書包上的北大字樣鎮住了。）（via via 是我腦補的--你要走嗎 via via 你要去哪via via 向前走就這麼走就算你會錯過什麼）

這與題煮的世界觀有關.

理解本質上是不可能的 (我比較懷疑我能不能說出這麼有智慧的話, 所以這話好像是有出處的?), 你只能不斷的加深對一個概念的理解.

其實很多東西開始的時候並不需要理解的很深 (咦? 深是多深? 請勿自己對號入座), 而是能不能運用自如臨陣殺敵 (張無忌練乾坤大挪移時有把這功夫的理論基礎先推一遍莫?), 數學裡艱深奧妙的東西非常多不可能全學一遍再來耍, 職業數學家的能力不在於能不能讀懂其他人的工作 (但可以是一個準入標準, 用來清掃民科).

知乎上有人問能否通過嘗試解決某問題來展開相關學習, 我覺得這個方法挺好的, 但也不能代替一些修養類數學的學習 (學這些數學我所知道的唯一方法就是做題), 至於修養類的數學要念多少這就因人而異見仁見智了.