哲學論證有可能像數學一樣精確嗎？
這是一個非常美好的夢想，其實這個問題本身並不完全是一個哲學問題，至少部分地，是一個關於語言的問題：自然語言有可能像形式語言那樣精確嗎？
那麼我們先來看看形式語言為什麼可以如此精確，而形式語言本身又到底有多精確。
首先，在談論形式語言的時候，我們有元語言，在這裡，就是我們使用的現代漢語，對於英國人來說就是英語，對於德國人來說就是德語，但是無論如何要有一個在形式語言之前的元語言來幫我們解決一些最為基本的表達需要。沒有元語言是不可能進行交流的，因為交流必須要語言（任何形式的語言都行，包括手語），而初始的語言不可能是形式語言（這一點可以由 Quine 關於意義模糊性的論證所確立）。
那麼我們開始構建一個形式語言。為了簡單起見，以常規的邏輯系統中最不複雜，並且應用最為廣泛的命題邏輯（Propositional Logic）為例：
一個命題邏輯系統包含以下基本符號：
常元符號：
命題常元符號：（一個系統中可以沒有命題常元符號）
一元邏輯連接詞：
二元邏輯連接詞：
變元符號：
命題變元：
輔助符號：,
以及導出符號：
邏輯常元：;
二元邏輯連接詞：，
，
（其實
和
也可以作為基本符號，而將其它二元邏輯連接詞視作導出符號）
其中「」是元語言中的符號，表示右邊的式子定義了左邊的式子，或者，左邊的式子是右邊式子的縮寫，而
和
也都是元語言中的符號，用來代指合式公式。很難想像在沒有元語言的情況下要如何構造形式語言。除了基本符號和到處符號，命題邏輯中不包含任何其它符號， Godel 的處理方式更為激進，他為了簡便而不採用數字下標，形如
的符號被他記作
，不過這僅僅是一些技術處理上的細節。
一個 WFF 是：
- 一個原子公式（無論是命題常元還是命題變元），或者，
- 形如
的公式，其中
是一個 WFF，又或者，
- 形如
的公式，即由二元連接詞連接的兩個 WFF。
此外沒有別的 WFF。當然，括弧是用來確定優先順序的，所以如果我們採用波蘭式或者逆波蘭式的記法，那麼括弧就是沒有必要的，此時合式公式的生成規則也就和上面的生成規則不同了，如，寫成波蘭式的
WFF 的生成規則是：
- 一個原子公式（無論是命題常元還是命題變元），或者，
- 形如
的公式，其中
WFF，又或者， - 形如
的公式，即由二元連接詞連接的兩個
WFF。
為了方便，我們在書寫中綴表達式的時候可能會省略某些括弧，比如說一個公式的最外層括弧，或者，在明確優先順序的情況下，省略某些不改變語義的括弧。但是此時這串字元就不再是一個 WFF，而僅僅是一個元語言中為了方便起見而採用的字串。你可以理解為「三亞海天盛宴.avi.rar」不等於「三亞海天盛宴.avi」，因為前者不是一個可播放文件，雖然通過它你可以準確地得到你想要的東西。
說到這個，我們會發現，
自然語言幾乎沒有所謂的 WFF，很多時候我們可以理解一個殘缺不全的，或者順序混亂的句子，因為我們不是通過 syntax 來理解句子，而是通過 semantics 來理解句子。當然，概念的澄清還是必要的，概念之間的結構雖然不會以句法的形式強行規定出來，但是還是存在某種特定的結構。
此外，正如下面指出的那樣，形式語言的意義是確定的。當然，邏輯本身的意義就是可以廣泛代入各種別的東西，然後構成一個個具體的論證。但是另一方面，邏輯常項的解釋是確定的。比如說在日常語言中，蘊含可能是指相干蘊含。這樣，反事實條件句才有可能是錯的，如「如果太陽從西邊升起，那麼它就從東邊升起」本身是一個反事實條件句，而在日常意義下這句話也應該是錯的（但是作為一個前提為假的條件命題來說是對的）。日常語境中，不同意義的「或者」以及「推出」/「蘊含」是被混用的。從這個意義上來說，形式語言的語義確定性也是精確性的基礎。
之後，我們有兩套模式來分別進行處理這些公式，來看它們到底是不是「好」的公式，或者，看一個推理（即，從一個公式集出發，得到一個公式的過程）是不是「好」的推理。這兩套方式中，一套是內功，一套是外功。
所謂內功，就是語義的方式，語義將真體現為一種對於符號來說內在的東西，即，通過規定一元和二元邏輯連接詞和
的運算規則，來得出每個公式的真值條件，進而讓我們知道什麼推理是語義有效的（無論出現的命題變元如何賦值，只要所有前提集合中的 WFF 都為真，那麼結論也為真），一個命題集合的語義後承是什麼。由於真值只有兩個，所以一元運算元的真值表可以通過一個兩行的表格給出，而二元運算元的真值表可以通過一個四行的表給出。（事實上命題邏輯裡面採用的是一個更為嚴謹的表述方式，但是這種表述方式本身涉及到了元語言中的「和」「或」「推出」「當且僅當」等邏輯辭彙[3]）
另一方面，我們有一套外功，之所以說是外功，是因為這裡我們並不在乎符號的意義，而通過外部強加規則的方式，來限定符號的意義，也就是採用一個證明系統，比如說希爾伯特的證明系統（它包含了三條公理模式和一個推理規則，或者說三條公理和兩個推理規則）[1]。通過這些公理和規則，我們可以進行定理證明和句法推理。進而，我們可以知道，在系統內，哪些命題是可證明的，哪些推理是句法有效的，一個命題集合的句法後承是什麼。
幸運的是，對於命題邏輯來說，一般的（也即正常的那些）命題演算系統[2]中，通過證明系統和通過語義定義得到的結果是相同的，即：凡是有效的語義推理都是有效的句法推理（強完全性），反之亦然，凡是有效的句法推理都是有效的語義推理（強可靠性）。而定理和真命題就分別可以視作從空集分別以證明系統和語義的方式推出來的那些命題，於是就有：凡是真的都是可證的（弱完全性），以及，凡是可證的都是真的（弱可靠性）。
當然，命題演算系統對於日常語言來說是表達力不足的，比如說，我們無法通過這個系統解釋三段論的有效性。因為任何一個三段論都是「p, q 推出 r」式的。而這顯然不是一個有效的命題演算。
所以人們修改了命題邏輯，在保留邏輯常元符號（一元和二元連接詞，導出符號和
）的基礎上（當然，導出符號的定義也修改了，比如在有等詞運算元「=」的一階邏輯中，兩個符號分別被定義為「a=a」及其否定），將命題進一步分解，每個原子命題都是一個作用在 n 個詞項上的 n 關係，而每個詞項要麼就是一個原子詞項，要麼就是 m 個原子詞項在一個 m 元函數作用下得到的一個新的原子詞項（比如說個體的人作為原子詞項，那麼 f(a,b)=c 就可能被解釋為：「c 是 a 和 b 的長子」，其中「=」 是一個二元關係）。然後有了更為複雜的一階系統。但是由於談論這個系統實在是太麻煩了，要設計到基礎的模型論，所以暫且略過不談。
當然，一階邏輯的表達力也是不夠的，雖然這個東西已經足以讓我們去處理一些哲學問題，比如說：關於上帝存在的本體論論證。
Frege 將上體的本體論論證的結論視作一種非法的公式，他認為，「上帝存在」是一個非法的句子，我們可以說「禿頭男人存在」，這樣就是說，此時，存在這種性質是作用於屬性（這裡是三個屬性的合取）上的二階性質。此處 x 作為約束變元僅僅是一個佔位符。但是，上帝不是屬性，而是一個個體，所以「上帝存在」這句話是非法的。因為它沒有辦法表示為一個一階邏輯的命題。（當然，這裡本身也涉及一些關於專名的複雜性的問題，暫且不理）即便一階邏輯看上去很有用（比如說羅素的摹狀詞理論整個就是搭建在一階邏輯上），但是這個系統甚至沒有辦法幫我們表達某些簡單的數學定理，比如大家都知道的確界存在定理：有上界實數集均有實數上確界，這個定理必須用二階邏輯進行表述（注意開頭的全稱量化是針對所有實數集合 S）：
所以，人們擴充（而不是修改）了一階邏輯，讓它能夠對性質進行量化，進而有了高階邏輯（如二階邏輯），又有人為了表達模態詞「可能」、「必然」而創造了模態邏輯。但是，這時哥德爾告訴我們，凡是一個能夠表達自然數系統的一階邏輯的擴充，都是不完全的，即，存在不可證明的真命題。
總的來說，對於一個邏輯系統，表達能力和優良的性質（如可判定性、計算複雜性、強/弱完全性、緊緻性）之間是一對矛盾：表達能力越強的系統，優良性質就越少，而且，進行判定的複雜度就越高。後面這一點可以從命題邏輯和一階邏輯之間的差別體現出來：命題邏輯中的判定是可停機的，而一階邏輯中不存在一個有效的判定方法，即，如果一個公式是正確的，那麼系統最終能夠證明這個公式，但是如果這個公式是錯誤的，或者不是系統中的一個定理，那麼系統就不會停機。
而像是那些不具有完全性的系統，則直接沒有可能通過證明系統中的機械的句法的演算來進行語義有效性的判定。
顯然，人類的自然語言是無窮階的，因為我們可以採用任意的量化來進行討論。當然，有人會問，既然如此，我們為什麼不去限定自己的語言呢？就像是 Frege 做的事情那樣：通過一階邏輯或者某些一階邏輯的優良拓展（如一階模態邏輯）來限定我們的語言。
這個理想自然是很好的，事實上分析哲學也基本上就是起源於這樣一種思想：將能夠說清楚的都說清楚，對不能說清楚的保持沉默。
但是，哲學和形式系統之間有一個本質上的區別：形式系統是一種工具，其合法性是外在的，我們會通過別的手段（如邏輯哲學）來為之進行證明或者辯護。但是哲學不同，哲學負責解決那些需要澄清的問題。比如說「科學是什麼」不是一個科學問題而是一個哲學問題，「『美』是什麼」也是一個哲學問題，「『善』是什麼」不是一個規範倫理學問題，而是一個元倫理學問題，最後，「哲學本身是什麼」也是一個哲學問題。這也就使得哲學的研究對象、研究手段等問題都需要哲學自身來回答。
在形式系統中，我們可以有很多系統外的理由來為使用這樣一個形式系統來進行辯護，但是如果我們希望哲學本身也限定在某些內容或者某些研究近路上，那我們就必須為哲學的這種選擇提供一個系統內的辯護，而這種辯護本身必然不能使用形式化的方法，因為你恰好就是要為形式化的合法性來進行辯護。
以上是第一個問題。
將第一個問題放大，其實可以得到一種對於理性的質疑，以及，對於「理性基礎」這一概念的質疑：理性既然是以工具的形式呈現在我們面前的，是否可能存在一個所謂的理性基礎？比如，你應該如何給出一個演繹有效的論證，證明自己應該活著，或者，證明殺人是不對的？我們最後可能會訴諸情感，但是即便如此，我們依然不能為這個行為本身提供一個辯護，而如果我們訴諸本能的話，那麼事實上我們就是在逃避使用理性的方式。當然，我個人是反對理性基礎的概念的，所以我會毫不猶豫地承認，存在一些理性沒有辦法解決的問題，關於問題背後的依據，完全是非理性的個人喜好。
第二個問題，是形式化的困難性。或許這才是真正的困難。對於數學，我們在形式化的過程中是沒有異議的，當然，這種異議也並不是絕對沒有，比如說畢達哥拉斯不認為無理數應該被囊括入論域中，進而否定無理數的存在。也有很長一段時間，人們否認虛數單位的存在。非歐幾何的發展的困難也說明了這樣的問題。類似的，還有對於無窮大的概念（實無窮）等等。Quine 在 On What There Is 中的觀點是非常正確的：如果一個人認為某個東西在本體論上是存在的，那麼這種想法對於這個人來說必定是 trivial 的。
我們可以通過 Quine 給出的本體論承諾的標準判斷一個系統是否承諾了某個實體（認為某個實體存在），只需要看這個實體是否能夠作為一個（一階）量化表達式中約束變元的值存在於值域中就行了。比如說在實數域中，無理數存在，但是在有理數域中就不是這樣，因此我們可以說，實數的本體論承諾了無理數，而有理數的本體論沒有，更具體一點，我們可以將前面的「無理數」替換為「」或者「
」。但是，對於論域本身的問題，沒有辦法通過形式系統解決。因為論域的確定是先於形式系統的。與本體論相關的哲學問題往往在形式系統構建之前就提出來了。
形式化的困難性同時也體現在個人經驗的私有性上。相信現代醫學肯定會出現這樣的情況：儀器檢測出來的數據顯示完全沒有問題，但是患者卻自己覺得有問題。這種私有感覺使得對應的語言是不可能的。你指向的東西對於別人來說可能不存在，就像一個女人對男人說痛經，男人對女人說蛋疼那樣，實際上是沒有可能交流的。
作為普通的經驗交流，我們似乎還能忍受這種無法指稱的問題，因為感覺經驗似乎和哲學關係不大，但是當我們涉及神聖的存在，比如說上帝的時候，這就變成討論的困難之處了：基督徒並不試圖證明上帝存在，他們只是在描述上帝是如何存在的，而非基督徒們把這個當成了證明，這直接導致了交流無法進行。這也是前面的論域困難性的一個例證。
除了確定論域的困難，翻譯的困難也是阻礙哲學形式化的一個嚴重問題。
以知識為例，最經典的 JTB 定義中，知道運算元（一個人知道的命題是他所相信的）
（His belief is justified）
第一個條件是正常的，第二個條件就已經會引發一些問題了。比如說，信念運算元是否是對於邏輯後承封閉的？一個人相信一族命題，是否就會相信這個命題集合的所有邏輯後承？
但是關鍵還是在於第三個條件中的 J 運算元，這裡 J 的意思是，相信
的行為是受到辯護的（justified），但是這個運算元暫時還沒有一個公認的形式化方案（一階邏輯中給出單純的一個詞是不夠的，你還要給出對應的模型）[4]。因為對於辯護的弱的要求會使得一些碰巧猜中或者經過錯誤的推理得到的信念也被囊括入知識中，而對於辯護的過於強的要求則會導致不可知論。
而在 Nozick 關於知識的定義中，他將第三個條件改寫為一個模態語句：
即，在我們這個可能世界可以通達的所有可能世界中，如果事件發生了，我就會相信它，如果事件
沒有發生，那我就不會相信它（根據逆否命題得到上面的第二個分支）。
但是並不是採用了模態公式就能解決問題，因為在確定模態公式之後，我們還需要確定可能世界的結構，顯然，我們這裡「所有可以通達的可能世界」並不是指所有的可能世界，而應該是那些和我們這個可能世界相差不大的可能世界。但是這個「相差不大」本身就是一個難以形式化的辭彙，而如果我們考慮的是所有可能世界的話，那麼就會得到比休謨命題更為強的一個結論：我們不可能擁有任何關於經驗的知識（特稱的知識都不行，因為一個事件發生之後，總存在一個可能世界，使得在這個可能世界中「發生了」為真而「我相信
發生了」為假。）
倫理學中也會遇到形式化之後產生的困難。比如，道義邏輯中，一方面，我們會發現很多時候命題演算中正確的推理模式沒有辦法應用，比如說，在標準的道義邏輯系統裡面，會有如下經典悖論：
首先，是一個系統內可證明的公式，其中 O 表示應該運算元，p、q 是命題。
於是得到悖論：如果你應該寄出這封封信，那麼你應該寄出這封信或者燒了它。
類似的，對於允許運算元也有這樣的可證公式，於是我們有：
如果你可以喝水，那麼你就可以喝水或者喝酒。
當然，通過技術手段可以避免這些悖論，但是很容易看出來，日常語言和形式語言中的「且」和「或」是不盡相同的。因此，我們不能直接形式化。而要在形式化的過程中仔細考量形式化本身是否正確反應了語言，以及，得到的形式語言的結論要如何才能正確的變為元語言中的語句。而這個過程是不可能由形式化的方式來進行的。哲學比起數學，在某些層面上更像是應用數學：關鍵不在於技巧性的、機械性的地方，而在於建模的過程是否和事實一致。
關於倫理學的另一個困難就是，道義邏輯本身的假設就是已經假設了善的存在。它一開始的設定了一個 d，用以表示所有的道德義務，然後將定義為
，即，在每個可能世界中，p 都能從 d 中推出，換而言之，p 在任何情況下都是一個道德義務。但是問題在於，這裡的 d 本身是什麼是沒有辦法通過邏輯系統給出來的，這種元倫理學問題和前面的本體論問題一樣，是要先於形式系統確定的。
和倫理學類似，涉及審美判斷的美學也有這樣的問題，我們自然可以在有了「美」的概念的基礎上建立一個形式系統，但是美學要問的就是：美是什麼？
而政治哲學就更不用說了，關於自由、平等、正義這些概念，形式化僅僅是方便大家理解，而沒有辦法為形式化本身的合法性作出辯護。
據此，我們可以看到，哲學的幾個重要分支都的根基都沒有辦法踏入形式化的領域內，而這些根本的問題也恰恰就是哲學最為關心的問題。不過正是因為如此，哲學才是有趣的。正如同 XXX 的吐槽那樣：代數學家是把靈魂出賣給惡魔的人，依靠直觀的幾何才是更為有趣的東西。
[1] Hilbert 的公理系統可以寫為如下兩種模式之一：
第一種：三個公理模式加一個規則：
為什麼說是公理模式呢？因為這裡的、
、
都是元語言中用來代表合式公式的符號。換而言之，這個系統中有無窮多條公理。
至於推理規則，就只有一個 MP 規則：，中間的
表示證明系統中的推出，並且，這裡的
和
也都是元語言中代表合式公式的符號。
第二種：三條公理加兩個規則：將上面的 A、B、C 換成原子命題，然後外加一條代入規則。
當然，Hilbert 的系統裡面是沒有剩下的三個二元連接詞的，因為不必要。
[2] 所謂正常自然是和不正常相對應的，比如說，如果一個公理系統中包含了 MP 規則，同時還包含了一個自相矛盾的公理，那麼任何一個命題都是這個系統的定理。這樣的系統也是一個系統，但是顯然是不好的，因為這個系統是不一致的。類似的，如果一個公理系統沒有辦法推出某些真命題的話，那麼這個公理系統也是不夠好的。所以事實上這裡所說的是一句廢話，因為一個足夠好的公理系統就必然能夠完整地，並且毫不多餘地刻畫語義推理。進而，不完全性定理就可以理解為，在給定了語義的情況下，不存在一個足夠好的系統。
[3] 事實上， 即便是簡單的命題邏輯，在處理這些東西的時候也比想像中的要複雜。首先要定義的是一個賦值，一個賦值是一個函數 V，定義域是原子命題的集合，值域是
進而，通過賦值定義模型，由於命題邏輯不是一階邏輯，所以一個模型
進而我們有如下的關於語義後承
當且僅當
當且僅當並非
（由於這裡的邏輯是二值的，並且賦值函數在所有出現過的原子命題的集合上是有定義的，所以，
兩者必有一個成立）
當且僅當
我們將這個模型的語義後承稱為在這個模型上可滿足的。進而，將那些在任何模型（即是任何賦值）下都可以滿足的公式稱為有效的（永真的）。注意，這裡的「當且僅當」、「並非」以及「或者」，都是元語言中的符號。
可以注意到，這個定義是一個遞歸定義。
- 牛不是馬，所以牛頭不是馬頭。
- 牛不是馬，所以牛的祖先不是馬的祖先。
這裡本質的問題在於，「X 的頭」和「X 的祖先」這兩個函數（不是性質，而是函數，因為「X」 的頭是一個對象）具有不同的結構，對於一般物體來說「X 的頭」和「X」是一一對應的，所以推理成立，而對於祖先來說，不同的個體可能共有一個祖先，進而破壞了推理。所以，前面的推理的有效性實際上是建立在函數「X 的頭」的特定模型上的。所以，無論是模態邏輯還是一階邏輯，給出最為基本的符號還是不夠的，同時還有給出一個討論的模型。或者， 在不確定某個具體模型的情況下，給出滿足某個性質的一族模型所構成的框架類（這個是針對模態邏輯）。
這個問題可以分解為以下三部分：
- 數學論證的精確性體現在哪裡？
- 數學論證的精確性來源於什麼？
- 哲學論證的特點是什麼？哲學論證的特點如何決定了它不可能擁有和數學論證一樣的精確性？
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1. 數學論證的精確性體現在哪裡？
數學論證並非一直都是精確的，事實上數學發展了兩千多年，直到近幾百年才能被稱作是「精確」的。比如牛頓對微積分的使用就遠遠稱不上精確。
現代數學論證的精確性主要體現在：
a. 數學證明完全按照邏輯鏈條進行，似乎完全不可能是錯的。
b. 數學證明中，不論是命題還是詞語還是單個符號，都不會出現任何含混之處或歧義之處。
c. 數學證明了的定理在該體系下一定是成立的。
d. 證明過程中的數學命題，都是按照一定的嚴格的句法規則組成的。
（記住abcd分別對應哪一條，下面就直接用abcd指代這四句話了。）
2. 數學論證的精確性來源於什麼？
數學證明的精確性主要來源於：
2.1. 數學證明使用了十分嚴謹的語言- 在句法方面，數學符號和概念要想組成一個語句，需要遵循一個嚴格的句法規則。比如最基礎的數列極限的
定義：
such that
，要表達這個意思就只能這樣寫出來，或者按照邏輯句法規則去做變形，否則就不成為一個數學語句。這也就是上述d的來源。
- 在語義方面，只要給定了這個數學證明的語境（它是哪個數學領域中的證明），那麼它使用到的符號、概念就都具有絕對確定且嚴格的含義。比如，且、或這種邏輯詞基本遵循數理邏輯中對應的語義；笛卡爾積、同態映射等等只在數學中出現的術語概念自然有明確的定義；群、環這種在日常語言中也有的詞語，數學上也會給它明確的定義。這就是上述b的來源。
2.2. 數學證明使用的推理規則基本是經典的數理邏輯中承認的規則
不管哲學上如何討論數理邏輯是否比非經典邏輯更為合理，如何討論演繹邏輯的證成，似乎根本影響不到數學家們。數學學術共同體內該用經典的數理邏輯照樣用（如果你是直覺主義者當我沒說）。不論如何，這個學術共同體既然有關於應當使用何種邏輯規則的共同意見，那麼數學家只需要好好遵循這一公認的邏輯規則就好了——何況數理邏輯確實完全符合我們的思維規律，也基本被公認為「邏輯的典範」。
因此，數學論證的正誤——只要你有相應的背景知識能看懂——就一定可以通過數理邏輯去檢驗，檢驗得出的結果基本是全人類公認的。而且，如果一個數學論證完全符合數理邏輯的規則，那麼我們甚至無法想像一種可能情況使得這個證明是錯的——這就是上述a的來源。
2.3. 數學證明的出發點都是某些公理或定義
數學證明總是在特定的語境下出現的——也就是它總是關於數學的某個分支領域的。每個特定領域都有自己的一套公理體系和概念定義，根據2.1中的內容，這些公理和概念當然都是精確無歧義的。又根據2.2中的內容，由於數學證明使用了數理邏輯的推理規則，因此由特定公理和定義出發，得出的結論必然在該公理體系下成立。這就是上述c的來源。
當然，總有人質疑公理的正確性，定義的合理性。但質疑了之後也只好選擇自己重新搞個體系，並且在這個體系下繼續做證明。這並不影響原來那個體系中證明出的結論在原來體系中成立，比如非歐幾何得出的任何結論都不能說幾何原本里的東西是錯的。公理和定義的合理性等等元層面的問題，不是數學要管的問題，不論合不合理，只要所有的公理不能推出矛盾（是一致的），那麼就可以不斷地證明出新的結論，並且你不能說它沒有意義——至少數學證明不能證明它有沒有意義。
3. 哲學論證的特點是什麼？哲學論證的特點如何決定了它不可能擁有和數學論證一樣的精確性？
3.1 哲學論證的語言不嚴謹
哲學論證使用的有兩種語言，自然語言和形式語言。
若是自然語言，則由於句法的靈活性、語義的多樣性和語用的靈活性，導致了很多弊端，詳見 為什麼會產生悖論？ 這個回答中的「自然語言的缺陷性」部分。
若是形式語言，句法上的弊端自然可以避免，語義也可以通過語義學人為指定。然而只要是使用了形式語言進行論證，就不可避免要面對元層面的問題。（比如 @羅心澄 回答中提到的：這種辯護本身必然不能使用形式化的方法，因為你恰好就是要為形式化的合法性來進行辯護。）
這些就是形式語言無能為力的了。而且，大概只有分析向的哲學才會使用形式語言進行論證，其他流派並不使用形式語言。
（再貼一次鏈接：為什麼會產生悖論？）
因此，數學證明使用嚴謹語言帶來的精確性b和d，哲學論證無法擁有。
3.2 哲學論證使用的推理規則多種多樣
從哲學邏輯的多樣性就可以看出來了。並且，所用的哲學邏輯本身也需要辯護，和數理邏輯在數學中的地位不一樣，某一種特定的哲學邏輯並沒有什麼權威的地位，辯護永遠需要，這種辯護自然也屬於哲學論證，此時似乎只能使用元邏輯，這大概是為數不多的能基本達成共識的地方吧，但元邏輯能幹的事實在太少了。
因此，數學證明中幾乎統一使用同一套數理邏輯帶來的精確性a，哲學論證無法擁有——至少存在一部分哲學論證無法擁有。
3.3 大體來說，哲學論證的出發點是「直觀」
也有哲學家試圖用公理體系的方法做哲學論證，斯賓諾莎的倫理學就是這種畫風：由公理xx定理xx可知xx。但效果...而且，一切試圖用公理體系做哲學論證的嘗試，都繞不過「公理為什麼是合理的」，「使用的推理規則為什麼是合理的」這兩個元問題，這是無法用公理體系解決的。而數學就不一樣，它不需要管這些元問題。
分析哲學中試圖用形式邏輯，從一些公理和定義出發得出結論，一般來說這種哲學論證受到的反駁都是被質疑公理和定義的合理性。
論證需要前提，哲學論證的前提大約有兩種來源：思想實驗和直觀。不過思想實驗進行的過程本身也依賴於直觀，所以可以說哲學論證的出發點基本都是「直觀」。而「直觀」並不是一個普適性的東西，因此哲學論證總是會出現根本上的爭議。不過，現在也越來越多見哲學吸收科學的研究成果作為論證的前提，尤其是心理學、物理學、人類學等等。但並非所有的哲學問題都能使用科學研究成果來論證，很大一部分哲學問題還是要靠直觀。並且科學結論相比數學公理來說依然不夠精確。
因此，數學證明由於其總是出現在某一具體的分支中，有固定的公理和定義，而擁有的精確性c，哲學論證無法擁有。
通過數學論證和哲學論證使用的語言、推理規則和前提的對比，可以認為：哲學論證不可能像數學論證一樣精確。不過這也沒什麼可指責的，一方面這是由哲學本身的性質決定的（如 @羅心澄 回答中提到的種種），如果哲學真的可以像數學那樣精確地論證，那似乎會顯得無聊很多，甚至哲學這個學科還會不會存在都不好說；另一方面某些哲學流派並不認為精確性是最值得追求的性質，因此用精確性去批評他們並不恰當。
PS：本回答並不表明哲學論證不可能精確，僅僅是表明無法做到像數學一樣精確。沒看懂問題的飄過～主要是沒看明白，拿「哲學論證」和「數學」比精確性，比的到底是什麼。
如果比的是「哲學論證」和「數學論證」，那當然可能同樣精確。數學論證就是演繹推理，很多哲學論證也是演繹推理。所以同樣精確。
當然，有人會說，但哲學命題和數學命題不同樣精確啊，所以儘管哲學論證可以和數學論證同樣有效，但它們的前提不一樣啊。哲學論證的前提是哲學命題，數學論證的前提是數學命題，這些命題的精確性不一樣。
那我依然不太明白什麼叫一個命題的「精確性」。我可以理解，用數字表達的測量，能給我們更精確的對某些性質的測量，但這不是數學。數學是先驗的，是個公理系統。我只能說，我不明白說數學「精確」到底是什麼意思。
或者題主的意思是，哲學需要用自然語言表達，而自然語言本身是有很多歧義的。所以，在語義上模糊，所以不精確？那這個比較的就是自然語言和數學語言，跟哲學論證沒有關係，因為哲學論證並不必須依賴於自然語言。我們同樣可以像定義數學語言一樣，定義一套人工語言，比如一階邏輯，然後用它來做哲學論證。
所以我猜題主想問的其實是：自然語言可能像數學語言一樣，沒有語義上的模糊性嗎？
這個就複雜了。因為涉及到對自然語言的理解。我理解的自然語言是，必然的與世界發生關係，表達世界裡的事態的語言。而我同時又認為世界本身是有模糊性的，所以我認為在現實世界裡的自然語言，無法跟數學語言有一樣的精確性。但世界並非必然有模糊性的，所以世界可能沒有模糊性，所以我覺得一套沒有語義模糊性的自然語言是可能的。但這套語言可不可能被有限的人類思維所掌握呢？這個我就不知道了。
你拿的為什麼是PhD？
自然科學就是哲學的自然部分～
這裡不提哲學的人文部分和人文類科學，就自然部分而言，數學負責方法論，物理和其他學科負責世界觀。
然而古典哲學家提出的整體的世界觀（唯心的不算）基本都被後期的科學進展給否定掉了，方法論這塊也不容樂觀。舉個例子，這就好比拼圖，一大堆混亂的碎片放在眼前，傳統意義上的哲學家試圖不去辛辛苦苦的拼圖而直接預言整個圖形是什麼樣的，並且提出了一些可能，而更廣義上的哲學家（數學家和物理學家）則努力的去拼圖，去尋找能夠連接在一起的碎片，當找到某些碎片組合是某種傳統意義的哲學家預言的圖景里拼不出來（沒有的）就可以將這種世界觀淘汰掉了。
這就是為什麼牛頓這個大神將自己的著作命名為大氣牛逼的自然哲學的數學原理，而不是low逼的流數法和引力論，因為在他那個時代，他搞的東西在他自己和別人眼裡看來，基本上就是完整的世界觀和方法論了～直到麥克斯韋後來又建立了電磁學～以至於普朗克去讀物理學時真的以為他以後餘生的工作就是給小數點後增加幾位數字。
廣義的哲學家發現的組合越多，傳統意義上的哲學家越難以給出新預言（沒人能懂那麼多）～以至於到了現在，基本上都去弄人文領域，自然領域沒人搞了。
所以不是不嚴謹，而是廣義上講你弄的嚴謹的東西都算哲學的，狹義的傳統意義上的已經沒有新貨很久了。
斯賓諾莎在《倫理學》里做過類似的努力
數學和其他自然科學，都是試圖精確地描述這個世界。這個描述它是有限的，始終我們自己的認知範圍的表述。
哲學是幹什麼啊？舉個例子，老子說的叫「抱一以為天下式」，我所有的認知，都是圍繞這麼一個核心來運行和發散的，就是一個核心思想。
如果像數學一樣精確，那它就已經不是哲學，而是數學。
我認為，哲學的意義不在於給出絕對真理，而在於啟發人們思考，用新視角新思維解決問題，因此必然是經常有含糊不清的地方的。不過話又說回來，雖然為了啟發人們思考，需要有含糊不清的地方，但邏輯上還是大致要通的，否則就根本無法描述問題，只是胡攪蠻纏，喪失啟發意義。
你以為數學很精確嗎
哥德爾把這個夢想破滅了。（以下引自wiki）
不完備性的結論影響了數學哲學以及形式化主義（使用形式符號描述原理）中的一些觀點。我們可以將第一定理解釋為「我們永遠不能發現一個萬能的公理系統能夠證明一切數學真理，而不能證明任何謬誤」笛卡爾為此努力了畢生，最終也還是承認存在靈魂。
《邏輯哲學論》
@斯賓諾莎
正如這裡的熱門回答所說，指望哲學論證有可能像數學一樣精確顯然是天方夜譚。更加一般地，想要給自己尋找不能幹某事的原因，千千萬萬都能找到。
但這不等於說「通常屬於哲學範疇」的問題得不到精確的回答。
意義學在一個只有六條簡單公理的緊湊理論框架體系中已經或者將能完全在公認的科學範疇內精確解決通常屬於哲學範疇的問題中常見和重要的部分，完全不需要迴避現實的驗證與核查。
問題不完全列舉如下：- 本質
- 存在
- 錯誤
- 大數定理
- 放任
- 共產主義
- 公正
- 好
- 壞
- 價值中立
- 進化論
- 均衡
- 客觀，絕對客觀
- 科學，科學劃界
- 理論體系的定量評估
- 歷史終結說
- 理性，絕對理性，相對理性
- 民主
- 奴役
- 平等
- 普世價值，舊普世價值的現實困境
- 人性
- 是
- 舒適，舒適的度量
- 數學是否科學
- 完備，完備的度量
- 萬有引力
- 物質
- 系統
- 先驗
- 效率
- 意識
- 意圖，絕對意圖
- 有
- 哲學的作用和機制
- 真善美
- 正確
- 正義，絕對正義，現實正義，正義的度量
- 秩序
- 主觀
- 自然
- 自私假設
- 自我
- 自由，自由的度量
- 自由意志
- 最優
用最簡單的一句話說，那就是：你們挖空心思所論證不可能的事情，老子已經做到了。
可以啊。那些說就自然語言精確不了的人站住，數學也替代不了自然語言ㄟ(▔ ,▔)ㄏ
在相同的論證層面和過程中 邏輯語言不輸數學。
假如你都能看懂，都能理解，那當然都是「精確」的。如果不能，包括半吊子，那就不用說了吧？
數學是一切自然科學之根基，再從畢達哥拉斯不完備定理引申開來，世界是無限的，人類的認知是有限的，以有限的認知去探索無限的世界，是無力的。
這就是用數學論證哲學的結果，歪理一個，不過好歹還有些道理。
哲學到最後應該是就基本問題的討論屬多，這些基本問題很難達成一致。
這個問題問的不對，下面的很多回答也答的不對，應該是對數學的了解不多導致的。
嚴格的講精確這個詞是不應該用在數學上的，因為這是用來描述測量的概念。如果用準確這個詞，略靠譜一些，但這個詞也只是描述算數而不是數學。
這個問題應該是，哲學可以像數學一樣論證嚴密嗎？
能。因為二者都是基於大前提——小前提——結論的論證過程。
就以1+1＝2為例。這個等式成立的大前提是：一個自然數的後繼＝這個自然數+1，小前提是自然數1的後繼是2，所以1+1＝2。
從這個角度來說，哲學與數學，二者的研究方法是類似的。不能，哲學本身便是矛盾，辯證和衝突。無法精確。
正因為想要精確，所以衍生出了數學物理學化學啊。
哲學已死，只能作為基礎讀物了（不是說不重要哦）。可以這樣回答，數學能夠像哲學那樣雖然不一定精確，確能夠給出千年銘記的答案嗎？顯然數學不能也不敢，並不是垢病數學的問題，而是這個問題不能這麼問。
這是一個相對的答案，有人可以確認「精確」的完整定義么？如果沒有標準的話，就沒有比較。在計算機面前，人類的數學計算就太模糊了，反而哲學能力是計算機不能理解的
當然能。數學是哲學的一部分，或者說哲學是大一統的學問，涵蓋了所有學科。哲學的論證當然也是講邏輯的，數學往往是其論證工具。
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