對物理學而言，哪些數學是重要的？

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微積分、級數、微分方程、積分變換、漸近分析、特殊函數、線性代數、群論、概率統計、計算方法就不必說了。

看有什麼值得補充的，可以順便推薦些書。

重寫這個答案，給大學本科生大概的印象。

不過首先要強調一件事：做物理的人，應該知道為什麼我們要研究某個領域，歷史是很重要的。溫伯格的書一向先講歷史，再梳理物理；維爾切克在他的科普書中也強調關注物理髮展的歷史對學習物理的重要性。這是兩個諾貝爾物理學獎第二梯度的人的切身經驗。一個實例則是為什麼要學習量子場論，這就是歷史遺留問題了，負能量是一個出發點，相對論與量子力學的結合是一個出發點，二次量子化也是一個出發點，當知道量子場論發展歷史之後，自然知道量子場論要講什麼，會解決什麼問題。

數學，向來被看作是物理的語言工具，但是經過上個世紀的演變，逐漸成為物理的出發點，甚至導致很多物理學家被同行詬病說他們研究的不是物理，而是數學，這群人又被數學家譏諷說不嚴謹，語言混亂，只知其然不知其所以然。這群人就是研究大統一理論的人，不僅限於弦論。

現在大學生物理科班培養出來的學生很少有百年前物理學家的科學訓練，從上大學第一天開始，他們首先要學的是數學，這很大程度導致學生認為數學對於物理來說是首要的（當然是首要的），很可惜，大家忘記物理學的出發點是解釋自然現象，自然現象是複雜的，物理學只能抽象出來最簡單的模型，比如理想氣體模型，伊辛模型等等，描述模型的嚴格語言是數學，但是來龍去脈還是實驗，這個與數學在物理中占同等的地位。

說這麼多，只想說，要在物理中學數學。下面大約給出按照數學分類的物理學中的數學：

複變函數：在物理中，虛數用的比較多，傅立葉變幻中虛數的引入免除了很多三角函數化簡的問題。但是實際上複變函數最漂亮的地方在於保角變換（共形變換）。物理中應用最廣的就是著名的共形場論。推薦看Conformal Field Theory

群論：我想還是有必要說下。物理中最漂亮的處理方法之一就是對稱性。對稱性雖然沒有直接解決物理問題，卻給了物理學家簡化物理理論或者模型的極佳的工具。人們通過研究對稱性，分類了場與粒子，定義什麼是規範場，發現了如何賦予規範場粒子質量，也就是希格斯機制，甚至單純從對稱性的定義創造了超對稱的概念並解決了很多問題以及重新激發了物理學與數學的相互影響等等。而研究對稱性的數學理論就是群論。推薦看Representation Theory，群論對於理論物理重要到什麼程度？

微分幾何：注意，這裡面提到的是「微分」幾何，實際上在物理學角度看就是廣義的微積分，通常大學中微積分是在歐幾里德空間做的，沒有區分局域與整體的概念。而微分流形上，我們首先要定義的就是局域的概念，我們只能做局域微積分，而不能對整個微分流形做微積分。因此在物理中，首先用到微分幾何的自然是連繫時空與幾何的廣義相對論。規範場論在某種程度上與廣義相對論有類似的公式，起源在規範場論與纖維叢的關係。推薦看Differential Geometry

辛幾何：量子化中有很重要的概念是泊松括弧，而這個概念在數學中與辛幾何是密切相關的。我並不熟悉這裡面的內容，所以書與綜述也不能給出很好的推薦，只是要強調下，這是很嚴肅的數學物理方向，是數學家做的，很罕見有物理學出身的做這個東西。

復幾何（復代數幾何）：很感謝知乎某人告訴我這個概念，以前認為復幾何就是複流形。。。物理學應用是卡丘流形（Calabi-Yau Manifold）與弦的緊化（string compactification），最簡單的non-trivial的例子是CY-2fold中的K3 surface與雜化弦（heterotic compactification），這裡面k3是值得注意的（當然不是德國辣媽3姐妹天團。。不信google圖片一個k3，閃瞎。我們都這麼開玩笑，這叫沒品笑話精選。），它有個很好很神秘的性質叫「馬修月光（Mathieu Moonshine）」。推薦看Compactifications

拓撲：一張圖說明一切，分別從1，2，3，4維說明拓撲的重要性。我不知道拓撲絕緣體到底是跟幾維有關，但是看他們每一個人都似乎知道Chern-Simons，這是2，3維中的。書就不推薦了，比較小眾，大部分都是論文的集合了。1，2維中與Atiyah-Singer index thm有關，2，3維中與規範場中的Chern-Simons項有關，4維我不懂。

代數拓撲：我覺得這即將成為物理學中類似於群論的不可替代的數學語言。文小剛老師曾經說過群的上同調理論會成為像群論一樣的理論物理學學生的必修課。這裡面的應用實在太多，甚至牛頓第二定律都可以用上同調的概念。說一個中端的BRST上同調為了分離出physical states。說一個高端的橢圓上同調可以聯繫到量子場論的配分函數。

數論：partition function！！！！重要性不言而喻了。這裡面是2個相關，數論中的配分函數與弦論中的配分函數關係（共形場論），以及弦論中配分函數與統計物理中配分函數的關係（共形場論）。重要論文是witten的string theory on group manifolds。

大約想這麼多了，數論，分析，表示論，幾何基本都包括了。
這些都是皮毛，僅僅是給一個大概的圖景，裡面不乏敲鍵盤者的偏見與誤解，希望做凝聚態理論的童鞋進來拍磚。。。

路徑積分（path integrals）或涵函積分（functional integrals）、變分微積分（variational calculus）

書目參考：

Feynman Hibbs, Path Integrals and Quantum Mechanics (http://www.amazon.com/Quantum-Mechanics-Path-Integrals-Emended/dp/0486477223/ref=sr_1_1?ie=UTF8qid=1401906462sr=8-1keywords=path+integrals)
Negele Orland, Quantum Many-particle Systems (http://www.amazon.com/Quantum-Many-particle-Systems-Advanced-Classics/dp/0738200522/ref=sr_1_1?ie=UTF8qid=1401906919sr=8-1keywords=negele+and+orland) （建議只讀第一及二課）
路徑積分與量子物理導引︰現代高等量子力學初步（侯伯元、雲國宏、楊戰營編著）(http://www.books.com.tw/products/CN10116992)
Schulman, Techniques and Applications of Path Integration (Amazon.com: Techniques and Applications of Path Integration (Dover Books on Physics) eBook: L. S. Schulman: Kindle Store)
Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (Amazon.com: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets eBook: Hagen Kleinert: Kindle Store)
Atland Simons, Condensed Matter Field Theory (http://www.amazon.com/Condensed-Matter-Theory-Alexander-Altland-ebook/dp/B00AKE1WK8/ref=sr_1_1?ie=UTF8qid=1401906570sr=8-1keywords=condensed+matter+field+theory)
Baaquie, Quantum Finance: Path Integrals and Hamiltonians for Options and Interest Rates (http://www.amazon.com/Quantum-Finance-Integrals-Hamiltonians-Interest/dp/0521714788/ref=sr_1_1?ie=UTF8qid=1401906607sr=8-1keywords=quantum+finance)

李群李代數及其表示論；

代數拓撲；（整體）微分幾何；

交換代數；代數幾何。

我今天去問了我教授這個問題，他的回答是這樣的:「身為一個理論物理學家，我已經學了很多數學，但是我還是發現我什麼都不懂。我已經學了很多數學課但是我發現這根本就不夠(it"s never enough)，數學根本是學不完的。可以肯定的是，你會的數學越多自然是越好。但是數學要選擇性地學，學什麼數學課取決於你以後做什麼方向的研究。」

我是留學生，教授講的是英文，但是我英文不好沒法把教授說的原文用英文複述一遍。中文大概就這個意思。

還是別從數學著手，這是捨本逐末，學物理的還是應該懂物理。當遇到問題需要數學工具的時候，再去學相關的知識，這樣效率更高。

以後只需要學數學了，在國外也用不上語文，物理化學生物都要數學

研究物理的三個方向:理論、實驗、計算，不同方向所側重需要的數學工具還是有區別的吧，不過三者的共同的數學基礎大概就如題主所列舉的那些，不過再深入這三個方向中的某個方向時就需要在之前的數學基礎上再深入學習該方向相關的其它數學工具吧。

數學作為基礎學科，也是工具學科，邏輯思維，演算法應用等等在物理上都是不可缺少滴