微積分在微觀量子世界還適用嗎？

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物理研究中總是試圖消除無窮大因素，因為會導致發散，也與現實世界不相符，所以予以排除，這個可以理解。那麼無窮小呢？甚至以無窮小為基礎構建了微積分這個數學工具來研究物理。如果無窮小在現實世界並不存在，那麼微積分演算的結果還是否正確呢？在宏觀世界，由於原子極其小，時空量子也極小，可以使用微積分取得與現實符合的很好的精確結果。但在微觀世界，研究對象為電子、光子這些，其各方面的性質，包括時空運動軌跡，其不連續性非常明顯，繼續使用微積分，得到的結果還可信嗎？

聲明: 任何針對問題做出的回答，不管題主是否滿意，哪怕是跑題了，題主都心存感激，感激花費時間寫出這麼多文字，感激不吝與我分享您的想法，在下洗耳恭聽。但是，任何針對題主本人的回答，諸如「題主不好好學習，理論基礎不紮實「，「思而不學會變民科「，「要對科學有敬畏之心「，我知道說這些話的人大部分沒有惡意，故我的答覆如下，「感謝關心，哪兒涼快哪兒呆著去！「

數學是不依賴於具體物理現象而存在的。就好像不管你在研究什麼物理問題的時候，1+1=2都是成立的，但不一定在研究相應的物理問題中有用。選擇出有用的數學模型來描述相應的物理問題，是物理學家們的主要工作之一。處理顯然是不連續的問題時，自然要求不同的數學工具，但這並不是說在微觀世界微積分本身有問題。
比較有意思的是，很多物理學家在使用的數學工具，是超前於數學家的，或者說是在數學家給出良好的數學定義之前的。比如說牛頓時代的微積分，比如說 $delta$ 函數，再比如說路徑積分。這個現象在數學上意味著什麼，是一個很值得討論的（哲學（誤））問題，但和題主問題關係不大。不過從這裡卻可以得到一個能也許對題主有幫助的結論——物理學家使用數學的時候，很大程度上並不那麼關心在數學意義上是不是嚴密，因為物理的結論是可以通過實驗來驗證的，數學上不嚴密，但和實驗吻合得很好，那就是個好的理論。

要分清數學工具和物理理論的區別。

所謂適用不適用，是具體的物理近似理論在具體情形下是否符合近似條件而言的。
舉例：牛頓力學將光速近似為無窮，因此在討論高速運動時近似不成立所以理論不適用。

好用不好用，才是討論數學工具對於你的處理對象的用詞。
舉例：固體物理中討論電子運動，最基礎的數學工具是多電子相互作用，但是要聯立無窮多個偏微分方程，因此偏微分方程是不好用的數學工具；相應的，泛函則是比較好的處理手段。

數學工具就像工匠生產了各種鎚子鋸子釘子等等供你用，每一項都是嚴格的合理的完善的；而物理理論則是這些工具的使用方案，牛頓的三定律就是解讀世界的一套方案，而這些方案是有時不合實際情況的需要考慮使用範圍。

最後，題主微積分剛八代吧！微積分學懂才能有一個好起點去熟悉物理理論。

微積分一開始由牛頓和萊布尼茲建立，牛頓也以此應用在其力學體系內。這個適用，因為牛頓把物質和很多現象視為連續體。對的，到了量子物理，很多東西都被視為量子，如光。但這不代表量子世界沒有連續性，因為：

波粒二象性（wave-particle duality）：有些東西既有粒子特性也有波的特性。我們說光是粒子了，但我們認為是粒子的電子也有波的特性，因為它也呈現衍射（diffraction）現象，這是連續的現象。
波函數（wavefunction）：一個量子態可用不連續性表示，如用Fock特徵向量表達， $|psi angle=sum_n c_n |n angle$ ，也可用連續量表達（如x、p）， $|psi angle = int dmathbf{x} cdot psi (mathbf{x}) |mathbf{x} angle$ 。積分符號出現了。
積分變換：不要忘記，我們常在實空間（real space）和傅立葉空間（Fourier space）相互變換，我們變要用傅立葉變換（Fourier transform）。如果我們著意系統初始態，拉普拉斯變換（Laplace transform）便大派用場。

單看這幾個原因，微積分在量子世界還是大派用埸。

到了多粒子體系，那就很值得討論，我想這也是題主真正想問的問題。是的，如前所述，我們還有連續量需要用微積分，毋容置疑。但當我們描述非連續的東西時，用微積分恰當嗎？例如凝聚態的Heisenberg model： $H=-sum_{langle i, j angle} mathbf{S}_i cdot mathbf{S}_j$ ，這顯然不是連續描述，但這描述不容易解決問題。所以我們可用Hubbard-Stratonovich變換將其變為連續描述的Landau-Ginzburg模型。這個變換的寫法是：

$expleft(-frac{a}{2} sum_i mathbf{S}_i^2 ight) = int Dmathbf{M} expleft[ - int dmathbf{x} left(frac{1}{2a} mathbf{M}^2 + i mathbf{M} cdot sum_i mathbf{S}_i ight) ight]$

這樣，我們把一個非連續的描述（用 $mathbf{S}_i$ ）變成連續的描述（用 $mathbf{M}(mathbf{x})$ ），而我們從式中可看出， $mathbf{M}(mathbf{x})$ 是 $mathbf{S}_i$ 的某種平滑近似。

把其換成Landau-Ginzburg模型後就更容易處理，它是一個場的泛函（functional），物理學家都熟知的東西。因為重整化群理論，我們知道我們只需寫至 $mathbf{M}^4$ 項。它的平均場論（mean-field theory）可直接從Euler-Lagrange方程求出。求出後，用微擾（perturbation）方法求出其波動（fluctuation）的特性（如系統有自發對稱殘缺（spontaneous symmetry breaking），其Goldstone modes便可在這時求出）。這時我們會發現有些項發散（diverging），是的，部分原因可能是因為這個連續近似惹的禍，我們怎樣解決呢？

在積分中加上有限上下限：我們通常用動量空間，故我們會加一個上限 $a^{-1}$ ，這 $a$ 是微觀系統中的單位距離，可能是原子間的距離。
重整化（renormalization）：加counter-term。
重整化群（renormalization group）：如果系統有自相似性（self-similarity），我們可用重整化群（renormalization group）看看這場論有一些項是不是不重要的。

我們看到這個過程，我們會覺得這裡有很多人工或不自然的東西，如加上上限或消去發散項。這是不是代表我們的理論不恰當？這在歷史上也有爭論，如費因曼（Richard Feynman）便很不喜歡重整化。但我們會想一想以下問題：

如上述例子，Heisenberg model用 $mathbf{S}_i$ 作表示的是不是也是恰當的？
那個連續表示的Landau-Ginzburg模型不過是非連續表示的另一個寫法。
用上限 $a^{-1}$ 已用真正的情況可能解決了發散問題。
counter terms不過是修正了每一項的參數而已。
我們真的需要把物理模型還原至基本嗎？如果我們研究微米系統，你真的需要看納米尺度的事嗎？研究火車運行，你要看看原子怎樣運動嗎？

當然，我們要知道模型是否可被重整化，如不能，我們便要用非連續模型（但這也不代青我們不用微積分）。

結論：

微積分在量子世界還適用，而且必需。
用連續方法表達非連續系統是恰當的，一方面非連續模型不一定真實，而連續模型亦是近似，但我們懂得怎樣處理連續模型。

吐槽：為啥 @運算元的答案被摺疊了？

我是題主，我上過大學，理科，但不是數學也不是物理專業，這個問題純屬自己從腦子裡冒出來的，所以拜託不要指責我不好好學習，理論基礎不紮實了。再說了，我問的問題有那麼專業嗎？

路徑積分應該算微積分吧？薛定惡方程也是吧？這兩個都是量子力學的數學基礎。

微積分跟物理雖然有關係但是那是純數學理論啊！！除非ZFC+集合論被廢掉否則所有的數學結論都對啊……所謂的量子理論應該只是微積分的應用吧……概率論這種東西可是純數學哦

你知道薛定諤方程嗎？

微積分就是一個工具，你想世紀生活中有萬能工具嗎？有的東西用扳手，有的就得用改錐所以微積分不能解決粒子問題就用別的理論解決！

現在並沒有證據表明空間或時間不是連續的，所以至少在位置表象下，無窮小和微積分的概念還是有用的。
實際上，抽象的說，在無窮維Hilbert空間描述量子系統，都要用到微積分。
另外前面有答主也說到了薛定諤方程，在這裡要用到對時間求導。

你們啊，不要聽說一個量子化，就以為量子世界是單純的1234數數好不好

量子力學中的很多概念也是基於微積分中無限小這個概念定義出來的，比如動量能量位移之類的不過這裡所說的物理量和我們日常接觸的物理量有差別

所謂的離散不連續不是所有物理量都有得現象比如動量位移的值就是連續的要想真正明白的話你需要對運算元（物理量）以及運算元的譜（物理量的值）和兩個概念有認識

適用