在推導物理的基本方程時，我們有什麼理由相信拉氏函只含有低階導數?

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物理似乎總是默認的拉氏函只含有一階導數。
這導致我們的基本方程總是二階的。
比如力學中的拉氏方程對廣義坐標是二階的。
電動力學中對磁矢勢和標勢，Maxwell方程也是二階的。
廣義相對論也是高度非線性的二階方程組。
這或許與理論和實測值精度要求有關係(或許那些高階項效應很小)，但這作為理論物理的突破方向是否合適?

從經典物理來看，更多的導數意味著需要給更多的初值，而這常常是難的，而且不是很物理。

但從量子場論的觀點來看，沒有higher derivative theory是有一些原因的。上面有人說可重整性和規範不變性限制了lagrangian的形式，我想並不是這樣。完全可以加入符合所有對稱性的higher derivative項，這會改變propagator，並且這樣的propagator在UV的行為會更好，有些時候理論可能是超可重整的甚至有限的。所以可重整性並不是higher derivative theory的限制。另外，有效場論根本不對低能理論的renormalizability做任何要求，這也解釋了為什麼Fermi theory of weak interaction即便不可重整也可以給出比較好的結果。

這種理論之所以被認為是病態的是因為高階導數一般會破壞unitarity（所有散射過程概率非負且和為一）。形如 $mathcal{L} = -frac{1}{2} varphi partial^2 varphi - frac{1}{2m^2} (partial^2 varphi)^2$ 的理論會給出 $frac{1}{p^4+m^2p^2} = m^2Big(frac{1}{p^2} - frac{1}{p^2+m^2}Big)$ 這樣的propagator，它有一個residue為負的pole，對應於負的spectral density，從而破壞了unitarity。七十年代Stelle提出了R^2 gravity，如果不是unitarity的限制，那麼這是一個自恰的且可重整的引力理論。

於是，如果要去找higher derivative theory的話，一定要去找那些propagator的分母是解析函數（沒有零點）的理論。這也是string effective action會給出的結果。這樣的理論在經典層面上應該和Einstein gravity是完全等價的，並且樹圖階的計算也給出了同樣的結果（雖然這是非常nontrivial的結果）。

另外一個原因是因為這樣的理論比較難處理。一般來說物理學家只會玩harmonic oscillator，但也有人（PaisUhlenbeck）研究過奇奇怪怪的harmonic oscillator。個人覺得這（簡單性）不是一個很好的理由。

之前我也想過類似的問題，目前學到一種很好的解釋的辦法。
就以拉式量含有二階導數為例
$L=frac{1}{2}dot{q}^{2}+frac{alpha}{2}ddot{q}^{2}$
可以直接通過求變分求得運動方程 $ddot{q}-alphaddddot{q}=0$ .
而對於另外一個拉氏量 $L=frac{1}{2}dot{x}^{2}+dot{x}dot{y}+frac{1}{2}eta y^{2}$ , 對於這個拉氏量可以通過歐拉－拉個朗日方程求得x，y的運動方程分別是
$ddot{x}+ddot{y}=0$
$eta y-ddot{x}=0$
如果將它們聯立起來， $y=frac{ddot{x}}{eta}$ ,可以很容易的看到如果 $eta=-frac{1}{alpha}$
那麼運動方程和前面推的相同，給出相同的運動方程的拉氏量是等價的，所以含有高階導數的拉氏量也可以寫成
$L=frac{1}{2}(dot{x}+dot{y})^{2}-frac{1}{2}dot{y}^{2}-frac{1}{2alpha}y^{2}$ , 重新定義 $z=x+y$
$L=frac{1}{2}dot{z}^{2}-frac{1}{2}dot{y}^{2}-frac{1}{2alpha}y^{2}$ ,
注意y的這一項，它具有負的動能
所以它必定代表了非物理的自由度（動能項為負的），叫做ghost，這個ghost的定義和FP方法中引入的ghost不是一回事。所以拉氏量含有高階導數後可能會出現ghost導致理論不自恰。對於場論也是一樣，就是把單粒子自由度擴展了一下。前面有答主提到了它也會破壞幺正性，也許在這種意義上和fp方法中的ghost有點類似。

話說知乎為什麼寫公式之後打字就非常卡啊？用的是Mac系統，累覺不愛。
以上答案參考了基本是呂宏老師量子場論課上的內容。

我寒假的時候，看了下朗道的力學，正好在查找過這個問題
下面的推導是假設lagrangian與廣義坐標的二階導有關推導的，然後可以向更高階推廣下去

來自variational principle

題主可能沒有學過量子場論。實際上你可以在拉氏量上加上任意項。以重整化群的觀點來看，當我們調節尺度時，主要是能量，但是會從原先的拉氏量中蹦出各種各樣的項，理論上來說是會產生一切可能的項，也就是說高能的物理行為與低能是不同的，但是在低能，大部分的高階項都"流掉"了，也就是說我們也賦予低能拉氏量可重整的限制，這就是所謂的"有效場論"—我們的理論在低能下必須是可重整的。這一限制幾乎回去掉所有的高階項和高階導數項，也有例外，那就是引力，引力的最低階拉氏量都是不可重整的，所以量子引力到現在都是一個問題，但是重整化群的觀點同樣適用，引力拉氏量中當然會出現高階量，只不過它們是高能下的量子行為，對於經典而言一階是完全足夠的。以現代量子場論的觀點來看，我們不需要說明為什麼存在這一項，而是要說明為什麼不能有這一項。各種對稱性例如規範對稱性，和可重整要求(主要是它)會禁閉很多項。所以拉氏量才是現在這個樣子。

ps 上面大概說明了自然不喜歡高階項的原因。以另一種觀點來看，在拉氏量中加上高階項在數學上會很難處理，會出現各種亂七八糟的非線性效應，我們能處理的幾乎只有線性了。所以我們不加高階項的一個很重要原因是沒有能力處理。

ps的ps 如果題主感興趣的話，這個當然是可以做的，不過預計在數學上很困難。可是現在遺留的問題那個是簡單的？我們也發展了很多工具。這是個物理問題，只要你做出來就是突破，就是有意義的。

這個問題不錯，在量子理論中，可以從有效場論的角度做理解。也可以這麼看：

假設 Lagrangian 存在高階導數項，技術上完全可以把場的高階導數定義為新的場，比如有二階導數，那麼二階導數那一項定義為新的場，這樣 Lagrangian 裡面多了一個場，但形式上回歸成一階導數和零階導數項的和。從這個角度上看，高階導數項的出現不外乎增多新的場數目。我們只要能解釋好新增加的場的物理意義和角色就好。問題壞在量子化上，通過定義新場，我們又有至多一階導數項的 Lagrangian ，它所對應的 Hamilton 方程，你會發現不存在新增場的 共軛動量 ，這在量子化中出現了和規範場一樣的困境，這使得我們協調各種對稱性，解釋新增的場帶來非常大的困擾。

所以，在 Lagrangian 上，原則上，我們不考慮包含大於一階導數的項。

至於，經典物理情況，已經有人貼出 stackexchange 的討論，看那裡面就好。

量子場論新手，加上中文描述能力有限，大神們輕TX。。

我從lattice的角度談一談我的想法

KG場的動能項是
$mathcal{L}sim(partialphi)^2simBig[frac{phi(x+Delta x)-phi(x)}{Delta x}Big]^2 sim frac{phi(x)phi(x+Delta x)}{Delta x^2}$
平方展開後，只有交叉項是描述粒子位移的。只考慮這項。

把它放進 $exp{(-isummathcal{L}Delta x^4)}$ ，因為 $Delta x$ 是個小量做級數展開，另外為方便把 $phi(x+Delta x)$ 記作 $phi(x$ ：
$e^{(-isummathcal{L}Delta x^4)} sim 1-iDelta x^2sumphi(x)phi(x$

以右手邊第三項為例，這項描述的是一個粒子從 $x ightarrow x$ 的過程，或者等價的，一個粒子 $x ightarrow x$ 另一個粒子 $x$ 。如果級數展開保留更高次的項，就可以描述更多的粒子或者更長的運動路徑。

如果動能項和 $phi$ 的二階導數有關，比如
$mathcal{L}sim(partial^2phi)^2$
類似的，還是用finite difference估計導數,

$mathcal{L}simBig[frac{phi(x+Delta x)-2phi(x)+phi(x-Delta x)}{Delta x^2}Big]^2$

把它放進 $exp{(-isummathcal{L}Delta x^4)}$ 里，Lagrangian裡面出現的 $1/Delta x^4$ 把外面的 $Delta x^4$ 消去了。。。級數展開失效。

以上僅僅為我naive的臆測，輕TX。。。

從有效場論的觀點來看，並不是只含有最低階的拉氏量，而是Power counting告訴我們，高階導數的項在能量低（意味著動量低）的時候往往是不重要的。
在這裡「可重整」並不是首先考慮的條件，按照Weinberg 的「定理」，我們只需要寫下滿足對稱性要求的最一般的拉氏量，它包含所有對稱性允許的項，包括高階導數項。然後根據這個拉氏量去計算物理量到需要的精度，而精度的控制就是來自於Power counting。這裡的對稱性除了特定系統要求的以外，Unitarity是必須滿足的。
以手征有效場論為例，在能量比較低（~10^2MeV）的時候，散射振幅可以按照Q/M展開（M是QCD能標，大概在1GeV，Q就是參與相互作用過程的粒子的動量），不再是QFT裡面的按照Coupling Constant展開，高階導數項的效應會被（Q/M）^n，（n是導數的階）壓低。所以一開始只需要考慮低階導數的效應，高階導數可以一階一階以微擾的形式加進去。
而且在實際計算過程中高階導數並不會直接進入傳播子當中，高階導數項會修正低階導數項的Coupling Constant，也就是對它進行重整化，有效場論的重整化就是這麼一階一階實現的，和傳統的QFT還是有很大差別。這和 @李無咎說的有些差別，不過這只是有效理論的觀點，作為基本理論的拉氏量就不一定是這樣了。

從經典的觀點來看，只要給定了初始位置和速度，系統的運動狀態就被確定了，所以Lagrangian最多只含動力學變數的一階導數（二階可以通過分部積分轉化為一階）。在量子場論中，可重整的理論也是到一階為止，這是因為出現了高階導會導致能量含負模，於是能量無下限，真空可以衰變出正反粒子對，系統就不穩定。

variational principle
This maybe helpful

不懂物理，只從數學的角度來說，因為龐加萊引理（Poincare"s Lemma）：任何外微分形式的兩次外微分為零。

在研究Laplace / Maxwell 方程的時候其實我們早就見過Poincare"s Lemma 在三維歐氏空間的特殊形式，即：

$abla cdot ( abla imes A) = 0$
$abla imes ( abla phi )= 0$