這個世界到底是離散的還是連續的？

11-17

世界是連續的，測量結果是離散的。

我嘗試用最簡單的語言來說清楚在量子力學下對這句話的含義。當然，這樣不免影響到嚴謹性，一些不嚴謹的地方我會在括弧內解釋。

我假設讀者掌握了高中物理以及對量子物理有常見的科普書級別的理解。

第1,2節從量子力學的基本假設出發說明這句話的含義，後面舉例來說明這些假設的意義。

1.態空間與可觀測量
首先，世界是連續的：量子力學中認為，系統的狀態可以，完備的，用態空間中的一個點（或者說，將從原點指向該點的矢量，稱作態矢）來描述：這個態空間可以取的足夠大，以至於可以描述整個宇宙；也可以取得相當小，剛剛好夠描述一個只能向上向下的自旋。

為了說明什麼是態空間，我們考慮從日常經驗中的三維空間入手進行類比。

考慮一個上下左右前後可以無限延伸的三維空間，其中有一個矢量A

為了具體描述這個矢量，我們需要引入一個坐標架，並將矢量往三個坐標軸上投影。

這個時候，我們可以稱，這個矢量A在空間直角坐標系Oxyz下，沿三個坐標軸有三個分量 $A_x,A_y,A_z$ 。也可以通過下圖來表示（我們可以稱之為譜圖）

好了，我們來看量子力學。
對於一個三態系統，我們可以用一個三維的態空間中一個態矢A來描述

為了具體描述這個矢量，我們需要引入一個可觀測量X（一般都被稱作力學量完備集，但為了簡化概念，直到第4小節前我都稱之為可觀測量），它包含三個可區分的正交坐標軸 $X_1,X_2,X_3$ ，並且每個軸都被賦予一個獨一無二的實數 $x_1,x_2,x_3$ 。

什麼叫做一個可觀測量呢，最常見的就是坐標x，動量p，或者是自旋z分量 $s_z$ ，差不多就是我們的物理量。當然它們的維數對應不到我們這個例子上來，但是不太影響我們的討論。

好了，我們發現，物理量變成坐標軸了！（再多附加上一組實數）用這種觀點能做什麼呢？設態矢A在三個坐標軸下的分量分別為 $A_1,A_2,A_3$ （一般而言這些分量都是複數，但假定其為實數並不影響主要的結論），我們再畫出這幅圖

這個時候，我們稱我們體系的態是處在可觀測量X的值分別為 $x_1,x_2,x_3$ 的態，按照比例係數 $A_1,A_2,A_3$ ，的相干疊加。

一般的，一個可觀測量可能的值不止有三個，那麼對應的正交坐標軸的個數就也不止三個，態空間的維數就會很高（我們常考慮的態空間都是可數無窮維，當然還有像坐標和動量這種不可數無窮維的逗比傢伙）。為了清楚的描述這類系統，我們使用譜圖來描述，下圖是五維態空間中一個點的例子。

好了，到現在為止我們描述的一切東西都是連續的，如果你覺得物理量可以用幾個軸來講就能算是離散的話，那麼我無話可說，三維空間由於有三個維度，因此也是離散的。
下面我們討論測量的問題。

2.測量
量子力學中一個標準的測量，需要明確你想測量的可觀測量X。也就是說，在N維態空間中定出N個相互正交的坐標軸 $X_i$ ，以及賦予每根坐標軸一個獨一無二的實數值 $x_i$ 。另外，你需要一個處於該態空間中的待測態A，其沿坐標軸 $X_i$ 的分量為 $A_i$

量子力學的測量公設說：對可觀測量X進行一次測量，觀測者有正比於 $A_i^2$ 的概率得到一個 $x_i$ 的測量結果，若得到該結果，測量完成後體系的態將坍縮成一個與 $X_i$ 軸平行的態矢。
（你可以仍然在腦海中保留著一個三維空間，重複這些操作）

好了，如果光從基本假設上來講，上面就是全部了：
量子系統處於態空間中的一個點，這個空間完全是連續的，這個點無論在哪兒都成。
進行測量時，我們需要取一個特定的坐標系，將態往各個坐標軸上面投影。測量可能得到的結果個數與坐標軸的個數相同，只要這坐標軸的個數還是可數無窮的，那麼你所得到的結果就不可能是連續的。

對於坐標和動量這種可觀測量，我們一般認為其對應的態空間是不可數無窮維的，也就是說坐標和動量的測量結果可以是連續的。
而對於能量、角動量，大多數情況下其對應的態空間是有限維或者可數無窮維的。也就是說測量只能得到離散的結果。

關於對一個給定物理量的測量到底該如何做，這是量子力學中較次要的理論了。正如牛頓力學中給出了牛頓三定律之後，雖然我們還不知道這個力到底從哪裡來啥都幹不了，但是關於這些力的理論（庫侖摩擦定律、胡克定律、萬有引力定律）也只能屈居於三定律之下。

在後面我會再引申一些東西，這有助於讀者理解我前面所說的假設的意義。

3.不可同時測准
我可以再談談上面的假定引起的另一個直接的後果：兩個物理量不能同時測准。

考慮由兩個物理量：「坐標」X，「動量」P，可以用三維態空間中的兩套坐標架加上兩組數來描述（當然事實上沒有隻能取三個值的坐標和動量，這裡只是為了簡化描述）

好了，我們現在考慮什麼叫做測准。
根據我前面說的測量公設，對於給定的態以及給定的物理量X，測得什麼結果是概率性的：按照投影分量平方的概率得到各個可能的值。除非我們的態就處在某一根坐標軸 $X_i$ 上——這時態矢在其他坐標軸上的分量為零，即得到其他結果的概率為零，即以100%的概率得到測量結果 $x_i$ ，這個時候，我們說物理量X是能被測準的。
那麼，我們可以得到結論：對於一個態，它一般沒有一個物理量的確定值，除非這個態處在該物理量的一根坐標軸上。或者，一個物理量是有可能被測準的。

如果我們有兩個物理量呢？如果要測准，我們的態得同時處於兩個物理量的一根坐標軸上，這隻有在這兩個物理量有兩個坐標軸重合時才可能辦到。
回到上面那張圖，顯然，六根坐標軸沒有哪兩根是在一起的。因此，我們這裡的「坐標」X和「動量」P是不可能同時測準的。

4.廣義測量
上面所說的測量事實上過於嚴格了——設想宇宙是我們考慮的對象，每當我們希望知道其中一個電子的坐標時，就得對整個宇宙作出一個測量——因此我們考慮放鬆我們的約束。
一個最簡單的推廣是可以向一個平面投影。例如下圖，一個光子從左方入射，通過45度角放置的半透鏡後會處於透過和反射的疊加態。我們現在想知道的是光子有沒有從C口出來——如果測得沒有從C口出來，我們事實上還是不清楚光子是從B口走還是從A口走，但是我們不關心。
（你可以思考一下測量結果的離散性在這個問題中的體現：你只能測得C口有沒有一個光子出來，而不能測得C口有半個光子出來，雖然平均而言可能是這樣）

完整的說，這是一個三態的系統，我們依舊畫出三維態空間

從某一個特定的口出去對應著一個測量結果，以及一個特定的坐標軸。但是，當我們僅關心光子有沒有從C口出去時，A和B兩個口對於我們來說已經沒有區別了。因此我們可以認為這個態空間中的矢量可以僅藉助一根坐標軸C和一個坐標平面NC來描述——而不需要這個坐標平面內的兩個軸。

這個時候我們的測量便成了：我們有正比於 $L_C^2$ 的概率得到光子從C口出來，若得到這個結果，光子塌縮成一個與C軸平行的態矢；有正比於 $L_{NC}^2$ 的概率得到光子沒有從C口出來，若得到這個結果，光子塌縮成一個與L在NC平面上的投影平行的態矢。

值得注意的是，這樣定義的測量與「測量光子到底從哪個口出來，然後從結果再看光子有沒有從C口出來」是不同的。至於為何不同，你可以考慮在完成測量後再進行一次「光子到底從哪個口出來」的測量，就能發現區別。

如果我們從頭到尾就不關心光子是從A口走還是B口走，我們還能將NC平面看做是一根坐標軸

很明顯，這樣不會對我們關心的問題造成任何影響。但是我們卻發現：原來一根坐標軸可以包含這一個二維平面！
更一般的，一根坐標軸里可能還會包含這一個三維空間，或者更高維度的態空間（如果你有線性代數里子空間的概念，可能就會覺得稀疏平常了。另外，弦論中的11維時空中有若干個蜷曲的維度是另一個概念，請不要混淆）

進一步將測量理論推廣，我們可以考慮態矢在一組非正交的坐標軸下分解

或者是軸的個數比考慮的態空間維數更大的一組軸

關於廣義測量的一個簡介，可以參考維基頁面POVM

5.粒子數的量子化
我們知道，對於粒子數的測量結果只可能是自然數——離散值。物理學家們自然不會放過這個將理論推廣的機會，他們認為某個體系的某類粒子數n是一個可觀測量，滿足之前的假設。那麼，一個體系的一般態應該可以用下圖來表示

你可以將這個態念作：粒子數分別為0,1,2,...的態按係數 $A_0, A_1,A_2,dots$ 疊加而成的態。
注意，粒子數這個物理量以及其對應的測量，應該理解成前面所引入的廣義測量。很顯然，確定了只有一個粒子的系統，也有很多可能的狀態，粒子數為1這根坐標軸，實際上代表著一個高維的態空間，只是在我們不關心其內部的具體狀態時，可以看做一根軸。
當有多類粒子同時存在的時候，可以使用下圖來表示（以2為例）

讀者可以試著從這個觀點去理解基本粒子的碰撞與相互轉換是怎樣一個過程。

6.總結
總之，本答案試圖向讀者們介紹一個新的「世界觀」，並舉幾個用這種觀點看待問題的例子。我本來希望引入更多一點的東西，但感覺還是無法駕馭（面對我假定的讀者群體）。因此，真正感興趣的讀者還是請系統學習量子力學。

另外有人提到了普朗克尺度的事情，這裡我做一下澄清。普朗克尺度是由普朗克常數、引力常數、光速一起組成的一個長度量綱的量。一個簡單的物理意義是，在這個尺度下，空間中自發漲落出現的能量，足以形成一個這麼大的黑洞。眾所周知，量子場論和廣義相對論是不相容的，在這個尺度下矛盾就尤為突出——自發漲落出現的黑洞都到哪裡去了呢？所以，這個尺度描述的是現有理論失效的尺度，或者說，現有理論能適用的最小尺度，而不是說現有理論預言該尺度為最小尺度。

我想這個問題想問的是時空是連續的還是離散。我想我們不知道。

我們一般說空間的最小尺度是普朗克長度 $10^{-35}m$ 左右，時間的最小尺度是 $10^{-44}s$ 左右。小於這個尺度，時空的定義是什麼我們並不清楚。我們能不能通過一些實驗來探測這個尺度一下的物理呢？目前的看法是不能。為什麼這麼說呢？其中一個原因是因為黑洞。

根據量子力學的不確定原理，你如果想要探測更小的尺度（比如普朗克長度以下），那你需要更大的能量。這是為什麼中國想建造的大型對撞機需要一百公里的周長。但是根據廣義相對論，當你在把很大的能量放到一個很小的地方的時候，你會製造出一個黑洞。所以這就造成了矛盾，本來你想要看到更小的尺度，結果卻產生了一個黑洞。所以在普朗克尺度以下時空的定義是什麼，我們並不清楚。

這是一個物理學問題，不是一個哲學問題，更不是一個心理學問題

不從本體論而從認識論的角度來看，不論外界變數是我們自認為的「連續的」，還是我們自認為的「離散的」，神經系統採集的都是離散的信號，卻又把這些離散的信號聯繫在一起為情景或語義記憶。
主體的連續性，「我」的概念，很大程度上與其它的概念都是「共相」化的概念類似，都是與神經系統的生理功能相關的，也就是說從分析哲學的角度來看，「我」的連續性是建模過程中不可約化掉的語法結構，而不是採集到的信息。
那麼外界呢，「共相」本體論的物理主義，還是實在論的物理主義，亦或是方法論的物理主義。也就是說不論是認為外界與內部都是整體連續的，還是認為外界是一個個獨立的本體（每個本體內部是連續的並且之間存在相互作用），亦或是僅僅從方法論的角度設定外界為連續的，而不考慮外界連續與否。
總之物理模型在整體上都是連續的，包括量子物理模型（關於量子物理模型是否連續，高票答案已經回答了），不論其代表了背後的本體是怎麼樣，還是僅僅為了實用。

無法確定這個問題的答案，能確定的是對我們而言只能離散的觀測世界。

時間線上是連續，空間線上是離散…

不知道，也沒法知道。
1 人類對這個世界的感知或測量是離散的。
2 對這個世界建模成連續的話更加方便。
3 吐槽：世界是否連續和是否有最小粒子，和量子力學，和海森堡不確定性原理，和普朗克長度，統統沒有關係。

我認為是離散的。
因為連續必然蘊含著無窮：空間里有無窮多個點、這一秒與下一秒之間有無窮多個時間點。估計這個物理世界無法處理無窮大的信息。
這個世界應該遵循某個差分方程，而不是微分方程。時間單位是如此小，以至於無法看起來就是一個微分方程。

大千世界，具有所有屬性，觀察起來，既是離散的，也是連續的。離散和連續並不矛盾。

如果我們能聽到這個問題的正確答案的話，這個世界就是離散的
現在的問題是我們能否得知這個問題的正確答案

假設世界是連續的，那麼直到人類滅亡都無法探究到這個事實（就像走向無窮遠處的終點，在有限的時間裡無法走到終點一樣）

什麼的離散什麼的連續？
時間？空間？能量？物質？基本粒子？

應該是離散的（猜測）

如果是連續的，就可以用分球定理憑空創造物質（不消耗任何物質、能量）

這也太可怕了，基本上否定了質量/能量守恆。

那熱力學第二定律之類的物理基礎定律也可能是錯的。

人類的科學存在基礎可能都是錯的。

邀請了與光醬來回答這個問題，這裡我先做點拋磚引玉的活。

這個世界究竟是連續的還是離散的？

這是個很有趣的問題，讓我們先來考慮一下，這個世界是由什麼組成的？

根據許多人的直覺，這個世界是由物質組成的。你的身體，身邊的桌椅，手上的手機等等，這些物質組成了世界。

那什麼又是物質？還是根據許多人的常識（這個常識由笛卡爾精確化地提出），物質就是佔據空間的東西。而空間就像一個大容器，裡面裝滿了物質。但要注意，這些物質是不能重疊的。

不過，這種想法在物理學發展到如此地步的今天，或許有點過時。我們可以放大身邊的那些物質，發現這些物質其實是由更小的粒子組成。

這似乎就能回答最開始的那個問題，因為粒子似乎是離散的。杯子里的這一堆水物質，看起來是連續，但如果放大，其實是一個個離散的水分子。

但問題似乎沒有這麼簡單。如果世界是由粒子組成，那粒子是什麼？

粒子是那種非常非常小的圓球嗎？似乎大家會如此想像。但物理學家可能不會同意這種想像就是現實世界的模樣，因為粒子都有波粒二象性。

什麼是波？想像一下水面的漣漪，那就是一種波。我們會認為這種波是物質嗎？好像不會。水波的確是由物質組成的，但波好像僅僅是物質的特定組成形式，它好像不是物質。就像你說人群排成了一個方陣，但方陣並不是人群，它只是人群的排列方式。

而且，如果把目光放得更寬廣一些，考慮一下各種各樣的波。不僅僅有聲波、光波，德布羅意的一篇很短的paper里主張，物質其實也是波。只是波長特別短，所以你看不到它。你眼前的那把椅子看起來是物質，它沒有擾動，但其實它是波，它在擾動，只是波長太短以至於你沒法看見。

那如果萬物都是波的話，波可是連續的。你能找到一個離散的波嗎？你也許覺得波峰和波谷之間有起伏，而這種起伏是離散的，像一個個凸起的小疙瘩和凹陷的小坑。但其實，這種想法是不正確的，那些起伏之間都是連續的，我們都是用連續的函數來刻畫這些波。

而且這個觀點也挑戰了「世界是由物質組成」這個主張，因為波好像不是物質，波是場的擾動。

場是什麼？還沒有人知道。

如果粒子是離散的，波是連續的，那有波粒二象性的萬物究竟是連續還是離散的？是既連續又離散？還是既不連續又不離散？

如果你越深入地了解物理學，你會發現物理學所描繪的世界和我們常識中的世界非常不一樣。在那個物理世界中，很多概念都沒有意義了。比如不確定性原理讓一個粒子的精確位置和精確動量成了沒有意義的概念。

同樣，你對世界的了解越深入，你也許會發現「離散」和「連續」這樣的概念已經失去了意義。或許我們已經沒有辦法再問這個世界是「離散」還是「連續」的了。即使是在數學中，也有許多反直覺的事情，比如離散的點可以組成連續的線嗎？

實數系統連續性對於物理系統會造成問題，細思恐極。

如果物質無限可分，無限位小數可以存儲無限bit的信息。總的信息（熵）發散，熱力學第二定律受到威脅。而且在這種情況下，可以製造出內部存儲信息的狀態數趨於無限大的「智子」。

要麼自然界本身鎖科技，要麼就可以實現「智子鎖科技」，蟲子死在太陽系……

當然你可以認為尺度的縮小和信息（熵）的發散靠加速器能標的不斷提高注入趨於無限大的能量實現，但最終過多的能量會形成極度高能的粒子……「水滴」「光粒」也有了嗎？

不，過量的能量按照E=MC2產生的質量會使粒子變成黑洞，這就是普朗克能量、普朗克尺度。

如果時空結構與物質結構等價（弦論會支持這樣的結論嗎？），時空結構也會變成bit。

首先, 連續性的定義在拓撲學上與日常空間的直觀相矛盾,你認為是離散的點,可能在拓撲意義下就是連續的。
然後, 如果用正常歐式空間或微分流形的那種連續性來理解你的命題的話, 我想說對於我們的物理實在探討這個問題就沒有意義了或者說只有在宏觀近似的角度下世界才是連續的。

前幾位答主有提到普朗克尺度，當我們考慮量子引力時,即量子漲落和引力同時起作用的時空尺度,大約是普朗克長度量級（ $l_{p}simeq10^{-33}$ cm）,時空的fuziness就變得十分顯著了,時空在那種尺度可能只是個近似的宏觀概念。根據弦理論中的T-duality（T對偶）,考慮toroidal compactification的情況下, 弦在一個尺度為R的target space里傳播的散射振幅等於在尺度1/R的空間的散射振幅（設 $l_{p}=1$ ）。在這個空間閉弦的winding mode會和對偶空間的Kaluza-Klein exitation mode互換,對於開弦, 它在尺度為R的空間中滿足Neumann邊界條件, 所以沒有winding mode, 對偶到尺度為1/R的空間會發現開弦的端點會在D-brane（D膜）上運動。所以當我們要探索比普朗克尺度更小具有尺度R的時空時,我們等效於在考察一個 $ilde{R}=1/R$ 尺度的時空,所以時空的最小尺度就是普朗克尺度。

我們還能用非交換幾何的思想來理解時空有一個最小尺度的概念。在量子力學中, 我們有
$[ x^{i}, p_{j}]=idelta^{i}_{j}hbar$ , 所以在量子力學中相空間是彌散開來的。假設如果空間坐標也滿足某種對易關係 $[x_{mu}, x_{ u}]=i heta_{mu u}$ , 我們有不確定關係 $Delta x_{mu}Delta x_{ u}geq frac{1}{2} | heta_{mu u}| simeq l_{p}^{2}$ 所以時空里的一個點被普朗克胞所替代。

最後,引用一些著名物理學家的話：
『Space and time may be doomed." Edward Witten
『I am almost certain that space and time are illusions." Nathan Seiberg
「The notion of space-time is clearly something we』re going to give up.『 Andy Strominger
"If you ask questions about what happened at very early times, and you compute the answer, the answer is: Time doesn』t mean anything." Sidney Coleman

作個類比，一個三角函數，其周期性表現出離散性，局部表現出連續性，假如我們只觀察到周期性，那麼我們會認為它是離散的，如果我還觀察到它的細節，我們又會說它是連續的。

對於物質，量子性質無疑具有離散性，而我們已經了解到的細節已經到了夸克，那再往下是什麼誰也不知道，有的理論用數學公式統一表示基本粒子，這時候說離散還是連續似乎就不太恰當了。

離散和連續大概只是人類見識少的情況提出的疑問。這兩個詞甚至都有濃濃地科普味道，畢竟專業領域你需要嚴格定義什麼是離散什麼是連續。

其實...就數學而言，連續是依定義的拓撲結構而言的...
咱們取個平凡拓撲，世界就顯然連續了...

除了圈量子理論之外，所有物理理論(包括弦理論)都認為時空是連續的，具體來說我們討論的都是一個微分流形M上的物理，這個流形和R_n局部同胚，因此我們假定可以用實數來刻畫每一個事件的坐標。或者粗略地講，我們假定時空不像有理數域那樣充滿空隙(注意，這只是假定)，不然就會出現根號2這樣詭異的"非物理"存在。量子力學裡的離散往往指的是束縛體系下能量本徵值的離散，當然在一個非束縛體系下能量可以做到連續的能量取值，(只不過現實世界往往遇到的是束縛體系),典型的能量連續的情況比如在粒子對撞機中。
當然，很多人也提到了普朗克尺度，在那樣的一個高能標下，沒人知道時空連續的假設是否成立。弦理論認為假設仍然成立，但Loop理論認為時空本身也可以量子化，並且在理論上已經做到了這一點，但是如何在一個量子化的時空里構建物理，而且在那樣一個離散的時空里又怎樣定義物質並建立相應的物質場論和規範場論仍然是一個擺在我們面前的理論沙漠。

這個不是絕對的，要看時間。

某一時刻的世界的確是離散的，但一段時期的世界是連續的。
因為時間是連續的，而物質是不可無限分割的。

請閱讀「如何理解哲學名詞「空間」」裏，有關離散與連續的解說。

非斷非常，遠離兩邊。