債券屬性「久期」的本質是什麼？

11-17

金融學裡邊的久期，作用是反應債券對於利率變動的敏感性。我看了MBA智庫中的解釋，但是理解不了這個屬性的本質，不明白為什麼會有這樣一個屬性存在，它的本質是什麼？謝謝！

樓上基本上已經把該說的都說了。我隨便扯扯吧。

債券有兩大風險，一是利率風險，二是信用風險。其中利率風險就是用久期來衡量的。學術點來說，久期就是用現金流作為權，計算的加權平均剩餘期限。

債券還本的時間越長，面臨的利率風險就越大。但是不僅僅需要考慮最後到期時的那筆本金兌付，還要綜合考慮到期前的每一筆現金流。比如中國很常見的7年城投債，一般都安排在到期前的5年，平均每年20%還本，那就有很大量的現金流在第3-7年之間還掉了。與此相比，正常的7年期公司債都是在到期的那天才還本的。很明顯，由於提前換本條款的存在，那個7年的城投債所面臨的利率風險要遠遠低於7年的公司債。可是到底低多少呢？

偷懶的證券工作者就很粗暴地發明了一個粗略的估算方法，用現金流作為權重，去算一個債的所謂「加權剩餘期限」，這樣就能理直氣壯地說，某一個債比另一個債的利率風險高還是低了。這個概念是Frederick Macaulay發明的，一般實踐中會使用一個數學變換過的被稱作修正久期的東西。原理相同，公式樓上應該已經貼了。

其實吧，哪怕在實踐中，久期也是一個極端粗略的指標，其粗略的程度類似股票裡面的市盈率了。拿最常用的修正久期來說，它所反應的是利率的邊際變動將帶來的債券價值變化。其坑爹之處在於，由於這個修正久期的公式是從麥考萊久期推導出來的，因此它只能反應利率曲線平移所帶來的債券價值變化。而利率曲線平移出現的概率有多高呢？現實中幾乎沒有。

所以，與其說久期是一個定量的指標，倒不如說它是一個定性的指標，用來大致推測和比較債券的利率風險。

另外，容我吐槽一下今年以來，中國極端平坦的利率曲線。感謝周小川同志一家門。

把債券相像成一系列排在蹺蹺板上的積木，每個積木代表一個現金流，現金流越多，積木越長。把這些木塊按時間順序從左到右排列在蹺蹺板上，大多數積木都是矮短的（每期的利息），最右邊一塊（到期還本付息）則擎天一柱比其他的高出很多。那麼，債券的久期就是：

從蹺蹺板的左端到使蹺蹺板平衡的支點的距離。

來個通俗易懂版的解釋：

久期是一個很好的權衡債券現金流的指標。

其實我覺得久期的英文更能反應這個指標的本質：duration。

債券有幾大重要指標，面值（face value），收益率(yield rate)，到期時間(maturity)。

duration本質上其實就是加強版的maturity。

讓我們看兩個債券的現金流：

兩個都是5年期的債券，maturity 都是5年，但是這一個乾巴巴的到期時間數字不能表現出來現金流的變化啊。

每年都拿100，拿5年，和第5年拿500明顯是不一樣的。（就算我們把bond1裡面每年的現金流都調低一些，調成5年後剛好終值剛好是500其實兩個bond也是不一樣的，因為風險不同）

於是我們就把每天的現金流按照時間加權，再除以現值：

於是我們就得到了久期這麼一個好的指標，媽媽再也不用擔心下圖這種奇葩現金流干擾我的判斷了：

按照maturity的判斷這是個5年的債券，但是我真的真的真的不關心5年後那1塊錢。

於是用久期這個大神器算一下，duration=1.050186009年（折現率按5%算）

於是我們成功的揭開了這個名為5年期債券，實為1年多一點期債券的實質。

想想如果你的portfolio裡面有thousands of bonds...

你想知道你大概需要承擔多久的風險的時候

有duration這種東西是多麼幸福吧。。

從數學的角度上來說，你把債券價格（Bond price）的對數看成是一個關於收益率（Yield）的函數，然後久期（Duration）是泰勒展開式的第一階係數，凸性（Convexity）是展開式的第二階的係數。實際上是近似了債券價格關於收益率的semi-elasticity（求中文翻譯）。

比較通俗的解釋自然就是樓上諸位說的「（現金流加權）平均到期時間」。

也來答一下。保持以前的答題風格，目標是讓門外漢快速了解最簡單的麥考雷久期，並把這個抽象的概念形象化起來，方便大家理解和記憶～

下面我會先介紹兩個「久期」相關的前導知識，然後展開講述「久期」。

一、前導知識：債券的生命軌跡

購買債券獲得收益的基本過程很簡單：

1、一開始投入了一筆錢，買入債券；

2、按照債券票面的約定，定期給我利息；

3、等到債券到期，會將本金連同最後一期的利息一併給我。

現在假設我花1000元買了個債券。按照這支債券的約定，債券期限為4年，每年給我利息10元，最後1年將本金連同最後一期的利息一併給我。

我們在一個時間軸上把債券的生命軌跡畫下來：

好啦，注意上面這個「時間軸」，後面我們講解時會經常用到它。

二、前導知識：錢的時間價值

你手裡有1000塊錢，假設1年定期存款的利率是2%，那麼存成定期存款後，1年後你會有1020元（為了簡化，所以省略了政策風險和息稅，直接本金乘以利率了）。

也就是說，你手上的1000塊，不做任何理財、股票投資、債券投資……至少至少會變成1020塊。

所以，隨著時間的延長，你手裡的錢是必然會增加的。

錢的時間價值也就從這裡體現出來了。

好了，現在稍微複雜一些，我們倒過來想想，如果1年後我預計會有100塊收入，那未來這100塊按照2%的利率倒算至現在，應該是多少錢呢？

假設倒算至現在的錢數是X，那麼X $imes$ (1+2%)=100（元），解出X約為98元。

所以，如果你預計1年後能拿到100塊，其實這筆錢算到現在也就值98塊錢。

或者說換一種說法，你1年後能拿到的100塊，其實與你今天的100塊是不一樣的，它只相當於今天的98塊。

這個X（X＝100/（1+2%）），在金融中有個專門的名詞，叫做：現值（現在的價值），用字母PV表示（Present Value），而這個2%，就稱為：折現率！

好了再複雜一點，如果假設2年的定期存款利率也是2％，那麼100元存2年，拿到的本息就是：

100 $imes$ （1+2% $)^2$

那麼，繼續假設：我兩年後會收到100元，這100元折算成現在的現值PV是多少呢？

聰明如你肯定已經想到了，是：PV=100/（1+2% $)^2$

3年、4年的情況也就不贅述了。

最後，再複雜一點！

舉上面債券的例子：

假設銀行定期存款存多少年都是2%的年利率。那麼，我買了上面這隻債券，第一年會收到10元，第二年會收到10元，第三年會收到10元，第四年會收到1010元。我預計收到的這些錢，折成現值是多少錢呢？

現值PV＝10/（1+2%）＋10/（1+2% $)^2$ ＋10/（1+2% $)^3$ +1010/(1+2% $)^4$

三、麥考雷久期

有點小興奮，進入正題了。

要理解麥考雷久期的本質，就需要先理解債券的本質。

我們在第一節簡單講過債券：我在期初投入一筆錢買債券，定期會收到回款（利息），最後發債人將我的本金和最後1期利息都還給我。

所以購買債券，我們主要會關注兩個事情，一是每期還多少錢，二是多長時間還完（為了簡單，一些債券信用風險方面的事情我們不再考慮了）。

對於第一件事情，債券票面就已經說明了每年會還多少利息。承諾的利息越高，回款金額也就越多；

對於第二件事情，用什麼來衡量呢？這時麥考雷久期閃亮登場了。麥考雷久期的定義是：使用加權平均數的形式計算債券的平均回款時間。怎麼理解呢？

首先，我們來看兩個債券：

債券一是上文中提到的債券。債券二則是一個新債券，這個債券有點特殊，按照這支債券的約定，第1-3年並不支付利息，直到第4年連本帶利結清。

這兩個債券，後面回款的金額加總後都是1040，那麼如果你是一個投資者，你會買哪個呢？

冥冥中，你選擇了第一個……

為什麼你不選擇第二個？第六感告訴你，資金早早落袋為安最好。第一個債券每年能拿回10元，而第二個債券直到最後1年才能見著錢。我當然選擇第一個債券了！

但是，這種「定性」的判斷並不精準，因為下面這種情況你就無所適從了：

可以看到，上面兩個債券中，第二個債券是兩年付一次利息，與上面那隻一年付一次利息的債券相比，第一年回款少、第二年回款多、第三年回款少、第四年回款多……

這種情況下選哪個債券投資合適呢？！崩潰！！！

所以，我們需要用麥考雷久期對回款時間進行「定量」的更加精準的測算。

從麥考雷久期的定義，我們了解到它是衡量債券回款時間的指標。那債券的回款時間怎麼計算呢？我們就來研究一下下面這個債券的回款時間：

這支債券，我們總共用了4年時間進行回款，並且，總共回款了1040元。

我們用了1年的時間回款了1040元中的10元（見下圖），所以我們把這1年加一個權重 $frac{10}{1040}$ 。

我們用了2年的時間回款了1040元中的10元（見下圖），所以我們把這2年加一個權重 $frac{10}{1040}$ 。

我們用了3年的時間回款了1040元中的10元（見下圖），所以我們把這3年加一個權重 $frac{10}{1040}$ 。

我們用了4年的時間回款了1040元中的1010元（見下圖），所以我們把這4年加一個權重 $frac{1010}{1040}$ 。

好了，有了上面的分析，那麼這個回款的總時間為多少呢？很顯然，回款總時間為：

1年 $imes$ $frac{10}{1040}$ ＋2年 $imes$ $frac{10}{1040}$ ＋3年 $imes$ $frac{10}{1040}$ ＋4年 $imes$ $frac{1010}{1040}$ $approx$ 3.9423年

講到這裡，計算回款時間的邏輯你是否已經清楚了？

然而！

這真的是準確的回款時間嗎？！

別忘了，前面提到了錢是有時間價值的。

所以，這裡的計算稍稍有些不準確了！回顧前面我們講的錢的時間價值，第一年的10元、第二年的10元、第三年的10元，他們的實際價值並不相等，這就造成了上面「年數 $imes$ 權重」中的權重不夠準確。如何將它修正準確呢？

我們把所有年份的回款，全部折算成「現在」這個時點的現值，問題就迎刃而解了。

因為這樣所有的錢都還原到了同一時間點，才具有可比性：

在這個背景下，我們先計算出回款總金額的現值PV（假設折現率為2%）：

PV＝10/（1+2%）＋10/（1+2% $)^2$ ＋10/（1+2% $)^3$ +1010/(1+2% $)^4$

然後，我們開始逐年分析：

我們用了1年的時間回款了10元，這10元的現值是10/（1+2%），所以準確的權重為：

$frac{10/(1+2\%)}{PV}$

我們用了2年的時間回款了10元，這10元的現值是10/（1+2% $)^2$ ，所以準確的權重為：

$frac{10/(1+2\%)^2}{PV}$

我們用了3年的時間回款了10元，這10元的現值是10/（1+2% $)^3$ ，所以準確的權重為：

$frac{10/(1+2\%)^3}{PV}$

我們用了4年的時間回款了1010元，這1010元的現值是10/(1+2% $)^4$ ，所以準確的權重為：

$frac{1010/(1+2\%)^4}{PV}$

所以，最後我們終於可以得到準確的回款時間了，它是：

1年 $imes$ $frac{10/(1+2\%)}{PV}$ ＋2年 $imes$ $frac{10/(1+2\%)^2}{PV}$ ＋3年 $imes$ $frac{10/(1+2\%)^3}{PV}$ ＋4年 $imes$ $frac{1010/(1+2\%)^4}{PV}$ $approx$ 3.9396年

好了，我們把上面這個準確回款時間的公式提煉一下，就變成：

其中，權重 $W_{t}$ 為

上面公式中的回款時間D，就是麥考雷久期。看到其他答案中還有英文版的公式解讀，引用一下，也非常清楚：

我相信講到現在，你應該已經理解「麥考雷久期」的本質了。

最後，如果有興趣，你可以用麥考雷久期比較一下這兩個債券，哪個回款時間更短、更值得投資～

想知道答案可以關注我的公眾號：金融極客，我們一起交流哈～

http://weixin.qq.com/r/CEVYQBvE9EaLrV8j9xAa (二維碼自動識別)

（完）

其他一些推薦的通俗易懂類答案，感興趣的朋友可以閱讀：

作為一個非金融從業者怎樣才能看懂電影《大空頭》？ - GRAYLAMB 的回答 - 知乎

如何通俗易懂地解釋「協方差」與「相關係數」的概念？ - GRAYLAMB 的回答 - 知乎

關於外匯標價方法的定義，直接標價法到底是什麼？ - GRAYLAMB 的回答 - 知乎

如何淺顯易懂地解說 Paxos 的演算法？

未來計劃繼續通俗易懂解讀區塊鏈、機器學習、電子支付，歡迎關注。

——2017.3.11

關於比特幣與區塊鏈的文章寫好了，有興趣的可以來瞅瞅～

GRAYLAMB：比特幣 (Bitcoin) 系統是如何運行的？

——2017.8.4

首先久期(Duration)是與固定債券相關的一個概念。
固定收益債券的價格由收益率(Yield)來決定的。收益率增加，債券的價格下跌，反之亦然。
我們可以把久期看作是債券價格的變化對收益率變化的斜率(一階導數)。我們可以通過久期對債券進行一個簡單的估值。這是久期的最重要的現實意義。
債券的價格變動 = -(債券的當前價格 × 久期 × 收益率的變動)

到期時間~離到期時間越久的債券，對於利率變動越敏感。。。相對的，比方明天就到期的債券，市場利率幾何幾乎對持有人沒有任何差別了。

首先，久期分為麥考利久期（Macaulay Duration）和修正久期（Modified Duration），二者之間存在一個轉換關係（和債券付息頻率有關）；

其中麥考利久期（Macaulay Duration）用來衡量一個固定收益證券，平均幾年能收回現金（比期限/Maturity多考慮了現金流在不同時間點上的權重分配，因為貨幣是有時間價值的；只有當現金流全部放在債券到期一筆還清時，麥考利久期才等於期限，因為只有此時現金流分布才不存在權重問題）；這個東西表明你的成本如何影響你的收益；當麥考利久期越高時，表明現金流在越遠的未來才能回收，市場利率對你的收益影響就越大（因為折現期長），反之則影響越小。

而修正久期（Modified Duration）衡量的是債券的價格/收益率對於利率的敏感度（衡量利率風險），即當市場中利率變動一個微小的百分比時，你持有的債券價格/收益率如何變動？同麥考利久期，當修正久期越大時，市場利率變動對你的收益影響就越大。

當付息是連續的時候，二者相等（轉換比例=1），此時久期可以同時衡量上面兩個東西。只是現實中付息通常是離散的。

（具體債券市場不了解，以上只是書本式回答）

債券的久期（duration），有兩種概念，一種是還款期限的概念，還有一種是價格變動敏感度的概念。

我們先來看久期的還款期限概念：

久期，是從英文單詞duration翻譯過來的，duration有持續時間的意思，是介詞during的名詞形式，顧名思義，久期應該跟持續時間有關，那究竟是什麼的持續時間呢？

久期就是投資者購買一個債券後，把本金和利息全都收回的加權時間總和。

根據我在這篇題目下寫的答案：

為什麼利率上升，債券價格下降？

大家知道了債券價格和利率之間是反相關的關係，債券利率上升，債券價格下降，因為計算債券價格的方式，就是把每一期該債券產生的現金流折現求和，得到的值就是該債券在今天的購買（發行）價格。

計算債券價格的基本公式：

我們今天購買了一個債券，債券的年息票為C，市場利率為Y，期限為3年，到期償付面值100元，那麼該債券在今天的價格為P：

P=C/（1+Y）+C/[（1+Y）（1+Y）]+（C+100）/[（1+Y）（1+Y）（1+Y）]；

我們舉例說明：

如果我們購買一個債券，年息票率coupon rate為8%，到期收益率YTM為10%，期限為三年，到期償付100元債券面值，問該債券今天的購買價格？

關於債券的到期收益率、息票率、折現求和的相關概念，大家可以看我在這篇題目下寫的答案：

債券的即期收益率，到期收益率，遠期收益率有什麼區別？

該債券的息票率為8%，那麼每年會收到的息票為：

coupon=100X8%=8元；

這個8元也就相當於該債券每年會向投資者支付的利息；

但是該債券的到期收益率為10%，你可以把這個到期收益率理解為市場利率，那麼把每年的息票折回到今天（零時點）的現金流為：

第一年息票折現：8/（1+10%）=7.27元；

第二年息票折現：8/[（1+10%）（1+10%）]=6.61元；

第三年息票折現：8/[（1+10%）（1+10%）（1+10%）]=6.01元；

注意：第三年末還會收到該債券的面值100元，也要折現：

第三年面值折現：100/[（1+10%）（1+10%）（1+10%）]=75.13元；

所以第三年的折現總金額為：6.01+75.13=81.14元；

根據債券價格的計算公式：

P=C/（1+Y）+C/[（1+Y）（1+Y）]+（C+100）/[（1+Y）（1+Y）（1+Y）]；

P=7.27+6.61+81.14=95.02元；

所以，該債券在今天的購買價格為95.02元，在零時點，債券的購買價格和發行價格是同一價格，所以該債券的發行價格也為95.02元。

我們購買一個債券，最關心的就是要用多久才能收回本金和利息，美國債券專家麥考利（Macaulay）使用加權平均數的方法計算債券的平均到期時間，也就是我們通常說的麥考利久期（Macaulay Duration）.

麥考利通過給債券不同的時間賦予不同的權重，從而得出加權平均到期時間，注意，這裡是給時間賦權重，權重就是折現現金流與債券價格的比值。

繼續上面的那個例子，該債券在今天的購買價格是95.02元，我們可以求出每一年度現金流折現後所佔購買價格的權重：

第一年現金流的權重W1=7.27/95.02=7.65%；

第二年現金流的權重W1=6.61/95.02=6.96%；

第三年現金流的權重W1=81.14/95.02=85.39%；

該債券一共三年到期，我們給第一、第二、第三年分別賦予權重7.65%、6.96%、85.39%，然後加總求和：

Duration=1*W1+2*W2+3*W3=1*7.65%+2*6.96%+3*85.39%=2.7774年；

所以，該債券投資者把本金和利息全部收回來的平均時間是2.7774年，也就是該債券的久期為2.7774年。

那麼，久期受哪些因素影響呢？

首先，債券到期時間越長，久期就越大。

十年期的債券肯定比一年期的債券久期要大，因為十年期的債券平均還款時間更長。

其次，息票率、到期收益率越大，久期就越短。

息票率越大，那麼在接近發行日的那幾年回收的息票（利息）就越多，折現後所佔債券發行價格的權重就越大，總權重是一定的，權重較大的數乘以較小的年數，那麼久期就越小，回收資金更快。

到期收益率越大，那麼息票折現的分母（1+Y）就越大，那麼每筆現金流折回的現值就會變少，債券發行價格也會降低。

但是當Y變大時，[（1+r）（1+r）]的變動要比（1+r）變動的更劇烈，比如原先的Y=10%，現在增長2%到12%，那麼他們的變動關係是這樣的：

（1+12%）/（1+10%）=1.018倍；

[（1+12%）（1+12%）]/[（1+10%）（1+10%）]=1.037倍；

所以，帶來的結果就是，越是接近發行日的那幾年，息票折現後所佔債券發行價格的權重就越大，總權重是一定的，權重較大的數乘以較小的年數，那麼久期就越小，回收資金更快。

同時，我們還能得出幾個結論：

第一、對於零息債券而言，它的到期期限就是麥考利久期。

根據我們前面對麥考利久期的定義：久期就是投資者購買一個債券後，把本金和利息全都收回的加權時間總和。

零息債券在每個年度都不付利息，以低於債券面值的購買價格買入，到期後發行方直接償付債券面值，中間的差價就是投資收益，因此對於零息債券而言，只有在到期日才能把本金和利息全都收回，那麼到期期限自然就是久期。

第二、對於普通債券而言，它的麥考利久期小於到期期限。

債券可以溢價發行，也可以折價發行，還可以平價發行，具體介紹請看我寫的這篇答案：

為什麼利率上升，債券價格下降？

平價發行的債券，息票率等於到期收益率。

之前我們舉的那個例子是折價發行的債券，我們再來舉一個平價發行的例子：

如果我們購買一個債券，年息票率coupon rate為10%，到期收益率YTM為10%，期限為三年，到期償付100元債券面值，求該債權今天的購買價格？

該債券的息票率為10%，那麼每年會收到的息票為：

coupon=100X10%=10元；

這個10元也就相當於該債券每年會向投資者支付的利息；

該債券的到期收益率為10%，你可以把這個到期收益率理解為市場利率，那麼把每年的息票折回到今天（零時點）的現金流為：

第一年息票折現：10/（1+10%）=9.09元；

第二年息票折現：10/[（1+10%）（1+10%）]=8.26元；

第三年息票折現：10/[（1+10%）（1+10%）（1+10%）]=7.51元；

注意：第三年末還會收到該債券的面值100元，也要折現：

第三年面值折現：100/[（1+10%）（1+10%）（1+10%）]=75.13元；

所以第三年的折現總金額為：7.51+75.13=82.64元；

所以該債券在零時點的購買價格（發行價格）為：

9.09+8.26+82.64=100元；

所以，該債券為平價發行債券，購買價格（發行價格）為100元。

我們接著計算每一筆現金流所佔的權重：

第一年：9.09/100=9.09%；

第二年：8.26/100=8.26%；

第三年：82.64/100=82.64%；

久期=1*9.09%+2*8.26%+3*82.64%=9.09%+16.52%+2.4792=2.7353年；

然後，我們再舉個溢價發行的例子：

如果我們購買一個債券，年息票率coupon rate為12%，到期收益率YTM為10%，期限為三年，到期償付100元債券面值，求該債權今天的購買價格？

我們簡便計算：

現值：

第一年：12/1.1=10.91；

第二年：12/1.21=9.92；

第三年：112/1.331=85.15；

債券價格：10.91+9.92+84.15=104.98元；

權重：

第一年：10.91/104.98=10.39%；

第二年：9.92/104.98=9.45%；

第三年：84.15/104.98=80.16%；

久期計算：

久期=1*10.39%+2*9.45%+3*80.16%=0.1039+0.189+2.4048=2.6977年；

我們比較三種債券的久期;

折價債券（coupon rate &

平價債券（coupon rate =YTM）：2.7353年；

溢價債券（coupon rate &>YTM）：2.6977年；

債券息票率（coupon rate）越高，久期越小。

以上介紹了麥考利久期的概念，這是從還款期限的角度來進行解釋的，麥考利久期是債券本息的平均還款期限。

下面我們再來介紹另一種久期，也是我們最常用的久期，稱為修正久期（Modified Duration）.

修正久期是債券價格對利率變化的敏感度反應，以下為修正久期的通俗解釋：

債券利率每變動百分之一，債券價格變動百分之多少。

債券利率上升，債券價格就會下降；債券利率下降，債券價格就會上升，債券價格和債券利率之間有函數關係式：

P（Y）：債券價格P關於債券利率Y的函數關係；

債券價格P對利率Y求導，即可得出斜率敏感度：

以上推導過程看不懂也沒關係，只需記住一個結論就可以：

修正久期=麥考利久期/（1+利率）；

麥考利久期為正數，修正久期為負數，所以還需在上述計算式之前加一個負號，因為債券價格和債券利率的變動方向是相反的。

我們再舉一個例子：

如果一個五年期的債券，麥考利久期為4.256年，債券發行價格為86.8元，利率為10%，該債券利率下降0.2%，那麼債券價格變動多少？

分析：

首先我們需要根據麥考利久期計算出修正久期：

修正久期=麥考利久期/（1+利率）；

修正久期=4.256/（1+10%）=3.87；

在修正久期前加一個負號，就是-3.87；

債券價格變動的比率=久期X利率變動的百分率=-3.87X（-0.2%）=0.774%；

債券利率下降0.2%，債券價格上漲0.774%；

根據債券價格變動的百分比，我們可以計算出債券價格的變動幅度：

上漲幅度=發行價格X上漲百分比=86.8X0.774%=0.671832元；

最新價格=發行價格+上漲幅度=86.8+0.671832=87.471832元；

所以，該債券在利率下降0.2%後，債券價格從86.8元上漲到87.471832元。

以上就是對修正久期的介紹，修正久期是一個斜率敏感度，用來衡量當債券利率變動時，債券價格的變動大小，久期越大，受利率變動影響，債券價格的變動幅度也就越大。

除了麥考利久期和修正久期，還有一種久期，是用來衡量含權債券的，這種久期叫有效久期（Effective Duration）.

有效久期是一種事後久期，根據事後債券價格波動的幅度大小和利率波動的大小，來計算久期。

根據前面修正久期的計算方式：

修正久期=債券價格變動的百分比/利率變動；

我們設利率變動前的價格為V0，利率變動後的價格為V1，利率變動為R，那麼修正久期的計算公式為：

修正久期=[（V1-V0）/V0 ]/R；

如果一個債券，先是由於利率上漲R，債券價格從V0下降到V1，又由於利率下降R，債券價格從V0上漲到V2，根據事後數據，我們能夠求出該債券的有效久期：

有效久期=債券價格變動的百分比/利率變動；

有效久期=[（V2-V1）/V0 ]/（2*R）；

因為久期是一個彈性，所以我們需要取債券的初始價格V0作為計算彈性的基準，又由於債券價格從V1到V2，是經過了兩個R，所以利率變動需要乘以兩倍。

麥考利久期和修正久期不能計算含權債券的價格變動，只有有效久期才可以，實際上，債券的價格變動和利率變動並不是線性相關的，而是有一定凸度的，關於債券凸度的介紹，請看我寫的這篇答案：

為什麼債券要選擇凸度大的？

以上就是對債券久期的介紹，希望能為大家的理解提供一點幫助。

久期就是債券現金流被收到所用的平均時間

關於duration（久期）的用途和適用範圍知友們都答得很完善了，但看題目描述，但關於題主強調的這個概念的數學本質，即為什麼加權剩餘期限可以用來衡量利率敏感性，我認為duration和convexity數學本質上是泰勒展開的結果，令y為利率，債券價格為V=f(y)，有

設D為duration，C為convexity，對f(y)求導，則有

根據泰勒展開式，有

因此，duration作為一個整體從泰勒展開式中剝離出來，可以

因此，duration作為一個整體從泰勒展開式中剝離出來，可以近似地，線性地表達利率極小的變化所導致的債券價格變化，而convexity則可以加強這個精確性，而我們其實是再賦予它一個現金流現值加權到期期限的直觀意義用來幫助理解。

久期（有翻譯成有效期限，也挺貼切的）是利率風險的一種測量方法。其實利率風險的測量方法還包括重新再定價模型（repricing model）和到期模型(maturity model).
首先，既然已經有重新再定價模型了，又為什麼需要久期模型呢？
Repricing model主要基於賬麵價值（book value accounting），也就是說它會記錄已購入證券，貸款以及負債的歷史價值。而久期是基於市場價值的方法（market value accounting），反映了當下的經濟現實或者是當投資組合按照當下的證券價格變現時的真實價值，而不是資產被買入的時候的價值。它不但考慮的金融機構資產負債表的槓桿程度，而且考慮到了利率的變化對資產或者負債的市場價值的影響，因此被很多銀行用來作為風險測量模型。

從定義上來看，久期是一種以現金流量的相對現值為權重的加權平均到期期限。從貨幣的時間價值角度來說，久期計算的是需要償還最初貸款投資所需要的時間。也就是說，在久期之內收到的現金流反映的是初始投資的償還，久期之後，到期之前收到的現金流就是利潤或者回報了。打個比方，年中收到的100塊錢和年末收到的100塊的重要性是不一樣的。一般來說，久期都是小於貸款期限的（只有當貸款期限內沒有現金流發生的時候，久期才等於貸款的期限，比如零息票債券，其他任何到期前有現金支付的債券的有效期都會小於其久期），這是因為按照現值的形式，又超過一半比重的現金流是在年中發生的。
一般用這個公式來計算任何固定收入債券的久期：
$D=left( sum_{t=1}^{N}({PVt) imes t} ight) div sum_{t=1}^{N}{PVt}$
其中：D = 以年為單位的久期
PVt = t時期末現金流量的現值
N = 現金流量發生的最後一個時期
PVt = CFt $imes$ DFt (CFt就是在t時間內收到的現金流量，DFt=貼現因子= $1/left( 1+R ight) ^{t}$ ,R是年收益率或者當前市場利率的水平。）
公式中，分母等於債券現金流量的現值，分子等於債券收到的每一筆現金流量的先知乘以現金流量所需的時間。

久期有三個特點：
1、固定收入的資產或者負債的有效期隨著到期期限的增加而增加，但是增加的速度是遞減的。
2、久期隨收益率的提高而減少。這個比較符合大家的直覺，因為貼現率越高，對靠後的現金流的貼現程度就越重。也就是說，資產或者負債靠後的現金流量相對於早先的現金流量來說，它的權重或者重要性會下降。
3、證券的息票利息或者承諾支付的利息越高，久期就越短。這是因為利息越高，投資人就可以更快的收到現金流，在計算中，這些現金流的現值的權重就越大。

除了以上說的，久期還是一種直接衡量資產或負債的利率敏感性高或者利率彈性的方法。也就是說有效期的數值越大，資產或者負債的價格隨利率變化的敏感性就越大。
也有其他答案談到修正久期（modified duration）MD=D/(1+R),這個是如果每年計算一次複利的情況。這種形式更直觀，因為直接用利率的簡單變化乘以MD，而不是像一般久期模型那樣用利率變化的貼現值乘以D。（推導公式有點長，有需要的話我貼圖吧，直接寫結果的話有點破碎）

總的來說，雖然在現實生活的應用中會遇到一些問題，但是久期還是相當有說服力的，它可以處理很多現實世界的複雜問題，比如信用風險，凸性、浮動利率還有不確定期限etc.
能想到的就是這些了，有些公式我打不上去，需要的話我可以把圖片傳上來。
------------------------------------------------更新 2016.9.10----------------------------------------------------------------
MD推導，圖片怎麼轉過來啊。。崩潰，手寫的

本質是一個加權平均數，字面上理解就是你平均等多久會收回一定期限內的所有現金流。

法博齊第六版《固定收益證券手冊》，久期是指債券價格對收益率改變敏感性（以初始價格百分比的形式）的一般描述。
從本質上講，個人理解久期是一個利率風險的量度指標，簡單可看作利率波動的貝塔係數。

如果投資債券是商人做生意，那久期就是回本的時間。同一收益率時，回本時間越短越好。

前兩名的回答都非常之清楚。我賣弄一點點關於久期的應用方面的知識（剛學）。。

債券的利率風險是可以規避的。只要你持有的時間長度等於久期（久期的單位是年), 並將每年得到的利息收入以無風險利率投資出去，以達到利率風險免疫（immunization）的目的。

小明和小紅都借了你1000塊,小明第二天還了你999.99,一年後還了你剩下的0.01元,而小紅第二天還了你0.01元,一年後還了你剩下的999.99元,雖然小紅和小明都用了一年來還相同的債,但對你來說小明相當於第二天就還清了,而小紅卻用了一年。
假設還錢所需時間相當於t,那小明還999.99元所用的一天就佔t的99.999%（該期內還錢量佔總債務的比重）,而小紅的還999.99元所用一年佔t的99.999%,就近似於小明的t為一天,而小紅的t為一年.而這裡的t,便是久期。即是每一期現金流的時間長度的加權平均後形成的總時間,而權重就是每一段時間內還錢的量占債務總量的比重(現金流越大,這段時間佔總時間的比重越大)

歡迎大家關注我的微信公眾號來跟我一起交流：徐斌說投資（xubinshuotouzi）

這個問題比較專業。

學術上，久期的定義是債券價格對市場利率的敏感度。舉個例子，假設久期是3，央行加息0.1%，則債券價格下跌3*0.1%=0.3%（注意，市場利率升高，債券價格會下跌）。

其實，大家完全沒有必要被這個概念，只要記住以下兩點就夠用了：

第一，一般來說，債券的期限越長，久期就越大，比如，10年期國債的久期比1年期國債大。

第二，久期越大，債券的價格就對市場利率越敏感（央行加息/降息，貨幣寬鬆/緊縮等）。因此，10年期國債的價格波動往往比1年期國債大。

當利率上升時，我們持有的債券的現值下降。但面對不同的債券（面值、票息率、到期時間），哪種債券對利率變化的反應大，哪種債券對利率變化的反應小? 久期就是評判債券對利率的變化有多敏感的工具。久期是收到債券現金流的加權平均時間，權重是各期現值在債券價格中所佔的比重。

如果我們從投資者的角度來看一種債券，我們就可以參考久期，「恩，我需要多久才能收回全部的現金流？」我們也能通過久期來比較不同的債券，久期越長，債券對利率的變化就越敏感。

這是計算久期的公式：

舉個YouTube上的例子來幫助理解公式。假設一個面值1000美元的五年期債券，年息票率4%，目前的市場利率是4.5%：

每一年的現金流是40美元（第五年是面值1000美元+40美元），用目前的市場利率4.5%來對現金流貼現，可以算出每年的貼現現金流（美元）：38.28 36.63 35.05 33.54 834.55。

每一年的貼現現值除以總貼現現金流，得到每一年貼現現金流的權重：0.0391 0.0374 0.0358 0.0343 0.8533。

每一年現金流的時間乘以每一年貼現現金流的權重，得到每一年貼現現金流的加權時間（年）：0.0391 0.0748 0.1074 0.1372 4.2665。

將每一年貼現現金流的加權時間相加，得到債券的所有貼現現金流的加權時間4.635年。

所以，久期是收回現金流的加權時間。久期大，收回現金流的時間就長，利率風險就越大。

但是，這個利率風險是以年計算的，面對不同的債券，我們可以算出不同的久期，但是利率上升1%的時候，每種債券價格到底變化了百分之幾呢？我們可以用久期除以1+利率對其加以修正，就得到了修正久期：

繼續引用上述例子：
面值1000美元的五年期債券，年息票率4%，當市場利率是4.5%的時候，久期是4.635年。
現在，市場利率上升1%，為5.5%。債券的價格變化了百分之幾？

用久期4.635除以1+4.5%，算出修正久期為4.435所以當利率上升1%，債券價格變化的百分比就是4.435%。由於利率與債券價格呈反向關係，於是債券價格下降4.435%。

修正持久期是衡量價格對收益率變化的敏感度的指標。在市場利率水平發生一定幅度波動時，修正持久期越大的債券，價格波動越大。
修正久期大抵抗利率上升風險弱，抵抗利率下降風險能力強；久期小抵抗利率上升風險能力強，抵抗利率下降風險能力弱。

看完樓上各位前輩的解答, 金融小白決定也來解釋一波..

當我們持有一個債券, 這個債券會受到市場利率的波動, 因此會產生兩個主要的影響.
1.債券價格的影響
2.Coupon Reinvestment(息票的再投資)的影響
如果市場利率上升, 債券的價格會下降(來反映債券的真實價值), 同時你息票的再投資會增加.
如果市場利率下降, 債券的價格會上升("更值錢"了),同時你的息票的再投資會下降.

所以在此我們可以利用久期來免疫掉這個市場利率的波動,讓你所持債券的價格下降=息票再投資收益的上升, 或者讓你所持債券的價格上升=息票再投資收益的下降, 這樣無論這個市場利率如何變化你都能達成你的預期回報率.
這裡就體現了債券對於利率變化的敏感性.

舉個栗子..
假設一個保險公司給他的客戶提供5年8%年化收益(無息票)(久期=5年)的投資機會, 然後客戶決定投資10,000元.
5年後到期需付10,000*(1.08)^5=14,693.28元
這時, 保險公司要用這10,000來投資債券保證在5年後能達到14,693.28(假設不盈利)
如果投資8%年化收益20年到期的有息票債券(久期=10.6年), 如果市場利率保持不變(8%), 在第五年賣掉債券+息票再投資=14,693, 但是如果利率上升到9%, 在第五年賣掉債券+息票再投資=13,982 不能達到我們預期的投資回報.
如果投資8%年化收益6年到期的有息票債券(久期=5年,與債務久期相符), 如果市場利率不變(8%), 在第五年賣掉債券+息票再投資=14,693, 但是如果利率上升到9%, 在第五年賣掉債券+息票再投資=14,696, 等於我們的投資預期回報.
這裡就體現了在投資時利用久期來免疫市場利率的好處, 題主可以自己嘗試一下我這個例子中各個數據的計算來加深印象.

另外樓上各位提到的久期可以體現加權平均投資回報時間是另外一種理解方式, 假設你持有一個很奇怪的債券這個債券包含一筆明年給你一萬塊的支付和10年後給你一毛的支付..雖然你這個債券10年才到期..但是你在一年後拿到這一萬塊基本就回本了..這個債券的久期也約等於1年..

當然了,久期還有一種玩法, 如果你預期市場利率要下降你可以選擇一些久期長的債券, 如果預期利率要上升,你可以選擇久期短的債券..

PS:由於答主學的是英文版的...好多專業名詞都是根據百度和自己的理解翻譯的..如果有不合理的地方還請各位斧正...