數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好是 e？

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我的意思是它和「自然」有什麼關係？為什麼這個數要叫做「自然底數」呢？

好問題，讓我嘗試不用公式，用跨越7000年人類文明的方式，來解讀e的自然之美，爭取有中學基礎的人就能看懂。

e有時被稱為自然常數（Natural constant），是一個約等於2.71828182845904523536……的無理數。

以e為底的對數稱為自然對數（Natural logarithm），數學中使用自然（Natural）這個詞的還有自然數（Natural number）。這裡的「自然」並不是現代人所習慣的「大自然」，而是有點兒「天然存在，非人為」的意思。就像我們把食品分為天然食品和加工食品，天然食品就是未經人為處理的食品。

但這樣解讀「自然」這個詞太淺薄了！為了還原全貌，必須穿越到2500多年前的古希臘時代。

（你也知道，穿越劇都很長(&>﹏&<)，不喜歡長篇大論的，可直接跳到後面看結論。）

「自然」的發明
我們知道，人類歷史上曾出現過很多輝煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比倫、古埃及、古印度河以及古代中國。

但是要說誰對現代文明的影響最大？對不起，四大文明誰都排不上！真正對現代文明影響最大的是古希臘文明，特別是古希臘的哲學、科學思想，是整個現代文明的源頭和基石。這裡並不是要貶低四大文明，現代文明也從各文明繼承了大量的文化遺產，只是相比古希臘要少很多。

現代人的基礎教育，無論是什麼國家、什麼社會制度、什麼民族，在教科書里除了介紹自己的古代成就外（如四大發明），還會大篇幅的介紹古希臘的科學、哲學思想，來啟蒙學生的心智，這是跨越國界的共同做法。

大家都這樣做的原因，就是因為古希臘哲學家發明了科學的思維方法和「自然」（Natural）這個詞，在理論中用自然來取代具體的神靈，這是人類文明史上劃時代的發明。如果沒有這個發明，現代文明可能還會晚出現數千年，所以這是至關重要的進步。

在古希臘文明之外的古文明裡，人們解釋世間萬物的運行時，總是要引入神靈等超自然、擬人化的因素。例如，得病了就認為鬼神附體，洪水泛濫就認為天神發怒，石人一出天下就可以造反了，總有一個超自然的神靈在操縱萬物的運行。人們偏愛形象而戲劇化的解釋，擬人化的神靈恰恰具有形象、戲劇化的特點，最易於接受和傳播。現代喜歡希臘神話的人數，也遠多於喜歡希臘哲學的。電視里最流行各種奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什麼的。古代人也一樣，不同的是我們知道這是假的，古人則認為是真的，這成為他們理解世界運行的思維定勢。

直到公元前624年，泰勒斯的出現，才第一次用自然取代神靈的位置。

泰勒斯被稱為「科學和哲學之祖」、「科學之父」、「哲學史上第一人」！（還有比這更牛的稱號嗎？）

其實泰勒斯是個多神論者，他認為神是存在的，是神讓萬物有了自己內在的規律。但解釋萬物的運行，不能靠憑空的製造故事，要靠堅實的證據來發現這些規律，並用理性的方法解讀。這就是泰勒斯的最大貢獻，開創了一套認識世界的全新思維方法，他關注的是證據、規律、理性，而不是神。

儘管泰勒斯提出的理論現在看起來很粗糙。但是人們不再需要像宗教一樣，把舊理論看成是不可否定的權威結論。只要有堅實的新證據和理性的推理，舊理論可以被修改或推翻，更好的理論就可以建立起來。這是一種可靠的、可進化的理論體系。相反，宗教是停止進化的、只能膨脹的理論體系，例如你只能解讀聖經，但不能否定聖經。

後來的希臘哲學家不斷借鑒和發展泰勒斯的理論，建立了「自然」(φ?σι?)的概念，「自然」代表萬物因為本源而發生自然而然的變化。赫拉克利特還引入了邏各斯（希臘語：λ?γο?，英語：Logos）的觀點，用以說明萬物變化的規律性。邏各斯原來是指語言、演說、交談、故事、原則等，這裡的邏各斯則主要指一種尺度、大小、分寸，即數量上的比例關係。後來對數的發明人納皮爾就用Logos和arithmos（演算法）創造了單詞Logarithm 來命名對數法，經過後人簡化變成了對數符號log。

幾乎和古希臘同一時代，春秋戰國時代的諸子百家也提出過一些相似的思想，例如老子的道。但很可惜，這種蓬勃發展的思想爆炸因為諸多原因戛然而止，只是曇花一現。但是限於篇幅，這裡不再展開，請到最後的推薦閱讀中了解。

「自然」與美
古希臘的學者還給「自然」賦予美的含義，他們認為規律性就是一種和諧感，數學的比例是種超越肉體感官、只能靠心智才能領悟到的美。畢達哥拉斯就是其中最極端的代表，他對數學美的狂熱追求超過了偏執的程度，美像神一樣不可冒犯，畢達哥拉斯主義走向了科學的反面，成了宗教。

畢達哥拉斯主義者慶祝日出

這種宗教的狂熱驅動他和信徒們不斷的去挖掘「自然」之美，並在數學之外的音樂、建築、雕刻、繪畫等領域發現了大量的比例關係，最有名的是畢達哥拉斯定理（中國叫勾股定理）。畢達哥拉斯認為所有圖形中，圓是最對稱的，所以圓是最完美的圖形。參見畢達哥拉斯學派美學思想（朱光潛）

「自然」思想的意義
雷軍說得好，「在風口上，豬都會飛」！就像喬布斯開啟了移動互聯網時代，泰勒斯則開啟了古希臘哲學時代。

古希臘時代是一個科學、哲學大爆炸的時代，原本黑暗的天空中突然爆發出無數的新星：赫拉克利特、畢達哥拉斯、德謨克利特、蘇格拉底、柏拉圖、亞里士多德、阿基米德、歐幾里得、希波克拉底等等，都因為得益於這套思維方法，發現了大量的自然規律，成為各學科領域裡開天闢地的先賢。

古希臘人還把自然的概念引入社會領域，來分析社會中的現象和規律。例如亞里士多德就曾經激烈的抨擊借貸，認為在所有賺錢方法中，利息是最不自然的。

以自然作為基礎，會比人為強制規定作為基礎更穩定和可靠。
例如：
英尺(foot)的長度就是根據人的腳長來人為規定，人的腳長差異太大，歷史上英尺發生過很多次變化，不穩定，這是不自然的。
而海里的長度則接近自然，如下圖，海里是根據地球周長計算的，是1角分的長度，變化就極小。

對比之下，宗教等理論體系的基石並不是自然的，靠的是強制手段來確立的權威，這是不穩定的。當強制手段不再有效時，就會使宗教分裂成各種教派。

自然思想不同於宗教，靠的是堅實的觀察證據和理性思維，任何人都可以反覆驗證，具有可證偽性。這樣打下的基礎就非常的穩固。正是這種穩定性和可靠性，古希臘思想被越來越多的人所接受，對後人產生了巨大的影響，幾乎奠定了現代所有科學領域的基礎。

經過2500多年的不懈努力，終於在古希臘文明所鋪就的最穩固基石上，人類建立起了現代文明的宏偉大廈。

自然數中的「自然」
古希臘認為像1、2、3這樣的數，是事物本身就有的屬性，可以用來描述日常事物的數量和順序，無需過多解釋，就是3歲小孩也能快速理解，所以這些數被稱為自然數（Natural number）。

但這種樸素的自然觀限制了數的範圍，無法解釋0，負數、分數、小數等數。古希臘人認為這些數並不自然，是人為了計算而發明出來的，不是自然的數。

畢達哥拉斯就非常厭惡無理數，無理數的不規律破壞了和諧美。他的門生希帕索斯Hippasus就是因為發現了√2並公布出去，居然被畢達哥拉斯以瀆神的罪名被淹死了，這被稱為數學史上的第一次數學危機。後人認為畢達哥拉斯也發現了黃金分割率，但因為也是無理數，所以一直秘而不宣。

現代我們知道，沒有受過基礎數學教育的人要想理解這些數，不僅需要了解更複雜的概念模型，還要熟悉加、減、乘、除等運算方法，只有這樣才能完全明白。而更複雜的數，例如無理數、代數數和超越數，也需要了解更複雜的運算。

我們的主角e，就是超越數，既然理解e的含義需要理解相關的運算，而這些運算最早都和利息有關，所以我們繼續穿越。從古希臘再往回穿越4000年，穿越到7000年前的蘇美爾文明時代。

利息的發明
7000年前，美索不達米亞的蘇美爾人因為發達的農業和貿易，建立起人類最早的文明和城市，參見問題《為什麼會有國家？》。

蘇美爾人也第一個發明了利息，一起通過一個虛構的小故事來理解利息的起源：

農民張三經常去城市賣糧食、換日常用品，他發現城裡人很喜歡羊奶，這是一個商機！
但是他自己沒有母羊，也買不起，於是他找到牧羊人王二小，想租借他的母羊。
張三想用大麥作為每年母羊的租金，但王二小想了想，不想把母羊租給他。
因為母羊每年都生羊羔，把母羊給張三，雖然有租金，但羊羔的收益就沒了。
張三明白了王二小的顧慮，就承諾他只用母羊產奶，如果母羊生下羊羔，羊羔還是歸王二小。
王二小認為這樣才比較划算，於是就答應了租借母羊。
張三和王二小到神廟，要在神的見證下訂立合同。
公證人用楔形文字把債務合同刻在了泥板上，並明確了租金和羊羔的歸屬。

羊羔收益成為租借者的應得利潤，這很公平，也很自然。

後來人們發現借錢也應該給羊羔收益，因為這筆錢如果用來買母羊，每年都會有羊羔收益。所以錢借給貸款者，他除了要歸還本金，還要歸還這筆錢本應獲得的羊羔收益。

這個羊羔收益就成為了後來我們熟知的利息，在蘇美爾文字中，利息的單詞mas原本是牲畜幼崽的意思，隨著時間的推移，利息的含義逐漸和牲畜沒有了關係。這和我們漢字中貨幣、寶貝、財產等詞中都含「貝」字是一樣，因為海貝就是3000多年前夏商時代流通的貨幣。

歷史上每次新能源的普及都會引發人類社會革命性的進步，利息就是一種革命性的新能源發明，只是這次驅動的不是機器，而是人。

利息的價值就在於其巨大的激勵作用，驅動人們把自己的資源拿出來，分享給其他人使用。利息的激勵模式也迅速在實物、糧食、金銀等資產借貸上得到普及。金融領域的第二大創新（第一是貨幣）就這樣誕生了。

4000多年前的《埃什嫩那法典》（The Law of Eshnunna）中就有了對利息的規定：
每1謝克爾&<白銀&>（180粒大麥）的利息是36粒大麥（即利率為20%）；
每300塞拉（sila）&<穀物&>的利息是100塞拉（即利率為33.33%）。

來源：

來源：Iraq National Museum

激勵機制設計在經濟、管理、教育等領域有著核心動力的關鍵作用，設計好了就可以把人的自身潛能釋放出來，這一點，喜歡玩遊戲的都有切身體會。正是知乎的激勵機制設計的好，我這篇超長文才寫得出來。XX問答類網站無法讓用戶做到，是因為他們激勵的方向是數量，而不是質量。

儘管利息能激勵交換，但人們對利息還是有著愛恨交加的複雜感情：當急需錢時，人們焦急的不惜一切代價籌錢；等到終於借到錢，需要還利息時，人們又開始憤憤不平。

柏拉圖就曾經主張，人們應該只還本金，不要歸還利息。參見古希臘的債務危機
他的學生亞里士多德在《政治論》一書中也激烈的抨擊利息，認為在所有賺錢方法中，利息是最不自然的。

And this term interest, which means the birth of money from money, is appliedto the breeding of money because the offspring resembles the parent. Wherefore of an modes of getting wealth this is the most unnatural.

來源：http://classics.mit.edu/Aristotle/politics.1.one.html

每個時代的人們都有他們思想的天花板，亞里士多德的天花板就是不能接受金錢可以像生命一樣增殖。他認為這是荒誕的、不是錢原來的屬性、是不自然的。但如果他知道利息的起源，明白利息在經濟系統中的推動作用，他可能會改變觀點，整個人類經濟和政治史都會徹底改寫了。

柏拉圖和亞里士多德並不是第一個站出來抨擊利息的人，但是他們在歷代學者和政治精英中的巨大影響力，這些觀點後來成為了社會的主旋律，後世的社會現象，例如中世紀教會禁止收息放貸、猶太人被歧視迫害，以及馬克思的共產主義思想，都和柏拉圖、亞里士多德有著一脈相承的關係。

好了，先從歷史裡出來一會兒，讓我們來看一下利息和e的關係。

利息中的e
e和圓周率π都是超越數，π的含義可以通過下圖的割圓術來很形象的理解。
假設等邊形的對角線長為1，只要等邊形的邊足夠多，算出來的周長就可以越來越接近圓周率π。

但是解釋e的含義卻很難找到這樣直觀的例子，阮一峰翻譯的文章《數學常數e的含義》說的很好，只是公式太多，並不直觀。
幸好我在原文《An Intuitive Guide To Exponential Functions e》中找到了很直觀的圖，只要理解了這個例子，e的含義就明白了。

假設你在銀行存了1元錢（下圖藍圓），很不幸同時又發生了嚴重的通貨膨脹，銀行存款利率達到了逆天的100%！
銀行一般1年才付一次利息，根據下圖，滿1年後銀行付給你1元利息（綠圓），存款餘額=2元

銀行發善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(紅圓)，1年存款餘額=2.25元

假設銀行超級實在，每4個月就付利息，利息生利息(下圖紅圓、紫圓)，年底的餘額≈2.37元

假設銀行人品爆發，一年365天，願意天天付利息，這樣利滾利的餘額≈2.71456748202元

假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滾利的餘額≈2.7182817813元

這個數越來越接近於e了！
哎呀！費了半天勁也沒多掙幾個錢啊！
對！1元存1年，在年利率100%下，無論怎麼利滾利，其餘額總有一個無法突破的天花板，這個天花板就是e，有興趣可以用這個網上計算器算一下。

我們和圓周率再做個對比：

多邊形的邊數和利滾利的次數是相似的。
對角線為1的n邊等邊形，n趨於無窮，周長就無限接近於π，即π是周長的最大值。
年利率為1（100%）的1元存款，利滾利的次數n趨於無窮，存款就無限接近e，即e是存款的最大值。

換種表述方法：

每個完美的圓，其周長都是π的倍數；
每個理想的存款，其餘額都是e的倍數。

這裡停一停，你好好體會一下。

按照自然的觀點，如果圓是最美的，那最賺錢也是最理想的。

有人問了：為啥銀行不每秒返利息呢？這樣就不是100%回報率，而是171.8%了，還我的71.8%！
銀行哭到：臣妾做不到啊！！！

以上是意淫，銀行不會這樣發利息，洗洗睡吧，下面這個案例才比較現實。

利息的逆運算
還是從一個虛構的故事開始：

有一土豪要去銀行存入大額存款，比如存1元。
銀行經理推薦他投資理財產品，因為年利率高達100%，按照指數運算，bla bla bla……
但土豪的數學只有小學水平，聽不懂有點煩，就問投資多長時間才能到10倍，100倍，1000倍？
經理有點懵，土豪不按常理出牌啊！
一般人都是根據存款時間問收益，例如收益第1年多少、第2年多少、第3年多少……
土豪居然逆向思維，根據收益問時間，多少年2倍，多少年5倍，多少年10倍！
不愧是老闆，不問過程，只問結果！
於是經理就從第1年開始算，把10年內每年的收益都算出來，列成一個收益列表，如下圖：

然後再找出收益最接近10倍，100倍，1000倍的年份指給土豪
土豪一看第4年、第7年、第10年就肯定超過預期收益，非常高興！

經理用這張表查找收益，再找到最接近收益的大體年份的過程，就是利息的逆運算，是最簡單的對數運算，這個表就是對數表的雛形。

其實這和我們根據加法表進行減法運算、根據乘法表進行除法運算是同一個道理。
例如知道了 $3 imes 7=21$ ，就可以很快知道 $21div 3$ 的除法逆運算結果了。

好了，放鬆一下大腦，繼續回來穿越歷史。

對數發明的歷史
據說4000多年前，古巴比倫時代的人們就發明對數和對數表了，但因為我沒找到資料證實，只能從近代開始。

16、17世紀，英、法加入了大航海的行列，開始了美洲殖民地的開拓，遠洋貿易變得日益頻繁。那時的人們已經知道地球是球形，大海上船隻的位置靠經緯度來確定。

緯度測定很容易，幾千年前人們就知道，通過測量北極星的仰角，可以估算出船已經在南北方向航行了多遠。但是經度的測量不是一般的困難。在茫茫的大洋上，如果無法準確測定船隻的經度，代價會極為高昂。

1707年，四艘英國戰艦擊敗法國地中海艦隊回航，10多天的濃霧讓艦隊完全迷失，因為算錯經度，艦隊觸礁，兩千名士兵死亡。1714年英國懸賞2萬英鎊（相當於現代的2000多萬人民幣），尋求精確測得經度的方法。

對於商人來說，與市場上的同類對手競爭，誰的航海定位越準確，意味著風險越低、利潤越高。
對海軍也是，同樣的戰艦，定位越準確，航行的時間越短，在戰爭中速度往往是決勝的關鍵。

經度的精確測量問題直到18世紀才得到有效解決，這歸功於約翰·哈里森發明了高精度機械鐘錶。這段歷史還被拍成了電影和記錄片，推薦一本精彩的書《經度：一個孤獨的天才解決他所處時代最大難題的真實故事》和羅輯思維的節目《擊潰牛頓的鐘錶匠》。
視頻封面

擊潰牛頓的鐘錶匠[羅輯思維]No.23視頻

但是在哈里森之前的數百年里，人們只能求助於天文學家來解決，因為天空就是人們最早、最精確的鐘錶，太陽、月亮、星星等天體就是上面的錶針，讀懂這個鐘錶，就可以知道時間和經度了。

天文學家觀測天體，計算出運行的軌道，來預測未來幾年每個時間點上天體所在的精確位置，英國天文學家以格林尼治天文台的時間為基準，再把時間和天體位置整理成詳細的表格，公開出版發行。這套星表可不便宜，星表加上六分儀售價約20英鎊，相當於現在2萬人民幣，即便這樣也經常脫銷。海上的人用六分儀測量天體，再去查那本高價天文表格，求得當地時間和格林尼治時間，知道兩地的時間差，就知道現在的經度了。

16世紀和17世紀之交，天文學家第谷和開普勒通過大量的觀測，繪製了當時最精確的星圖，解決了天文學家天文數據精度不足的難題。有了高精度的星圖，全歐洲的數學家開始了天體軌道的計算競賽，很多科學家也因此獲得了商業和學術上的豐厚回報。那時的天文學家、數學家可不是像現代這麼冷門，更像當今那些IT、金融等熱門行業里的精英一樣，享受著人人羨慕的不菲高薪。

順便說一下，日心說之所以能取代地心說，也是因為日心說模型更簡潔，不僅計算起來更簡單，而且預測非常準確，可以很好的解釋行星逆行等現象，這是地心說完全做不到的。

即使這樣，要想預測天體的運行，其計算也是極其繁瑣和浩瀚的，在解決計算問題時，數學家們發明了大量嶄新的數學理論和計算工具，包括對數、解析幾何、微積分和牛頓力學等偉大的創新。可以說天文學是當時科學界最閃亮的寶石，是當時的高科技熱門產業。

其中，對數的發明人就是約翰·納皮爾。

納皮爾是天文學家、數學家，在計算軌道數據時，也被浩瀚的計算量所折磨。

"看起來在數學實踐中，最麻煩的莫過於大數字的乘法、除法、開平方和開立方，計算起來特別費事又傷腦筋，於是我開始構思有什麼巧妙好用的方法可以解決這些問題。"
--約翰·納皮爾，《奇妙的對數表的描述》（1614）

《e的故事：一個常數的傳奇》

但納皮爾不是一般人，不想像IT民工一樣苦逼的重複勞動，於是用了20年的時間，進行了數百萬次的計算，發明了對數和對數表，堪稱學霸中的戰鬥機。

為了理解對數計算的優勢，我們通過案例來說明，下面的表格里有兩個數列：

第1行是自然數，他們是等差的；

第1行是自然數，他們是等差的；
第2行是2的倍數，他們是等比的；
要計算第2行的等比數列中任意兩個數的乘積，例如 $16 imes 64$ ；
先到第1行的等差數列，尋找對應的數，16對應4，64對應6；
然後做加法， $4+6=10$ ，再查找10所對應等比數列的1024；
得到計算結果就是 $16 imes 64=1024$

藉助這個表，僅靠心算就可以用 $4+6=10$ 的加法，完成麻煩的16×64乘法。
同樣也可以進行除法變減法的運算，把 $1024div 128=$ ，變為 $10-7=3$ ，對應結果為8。
把這個表變的更長，就可以計算數值更大的乘法，這個表就是極度簡化的對數表。

以上僅僅是對數的優點之一，對數的易於計算，大大減少了數學家、天文學家的計算量。
拉普拉斯認為「對數的發現，以其節省勞力而延長了天文學家的壽命」
伽利略說過「給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。」

如果把對數表的數列設計成尺子，就成了計算尺。有興趣可以讀果殼網的《如果沒有計算器，我們就用計算尺吧》

把直尺掰彎了就成了柱狀算尺，像不像風水大師的道具？

微積分中的e
有人說：我不懂微積分，估計看不懂！

沒關係！你可以這樣理解，積分是升維的過程，微分是降維的過程。
例如
把一張張紙疊起來變成厚厚的詞典，這是從2維變成3維的升維，這是積分；
把一大塊羊肉，切成一片片羊肉片，就是從3維為變2維的降維，這是微分。

在微積分中，底數為e的指數函數 $e^{x}$ ，其導數還是這個函數 $e^{x}$ ，也就是不論求多少次導數，其導數就像一個常量一樣永遠是恆定的。不知道別人的感覺如何，反正我第一次知道時是很驚奇的。

舉個例子：
西瓜都切過吧？
無論你怎麼切一個實心球，其橫截面都是圓面，也就是3維降2維，還是和圓有關。
2維的圓面也是有很多1維的同心圓組成，也就是2維降1維，還是和圓有關。
如上所說，球被降維了2次還是和圓有關，π這個常數你是甩不掉的。
這一點對更高維度的球也適用，參見n維球面。

$e^{x}$ 也是這樣，而且比球面更厲害
無論如何降維， $e^{x}$ 總是老樣子，一點兒都沒變！
就好像你切掉孫悟空的一部分，你以為是一小片肉，睜眼一看，居然是另一個孫悟空，而且一樣大！
這種自相似或全息性太匪夷所思、太好玩兒了！
大劉！我知道怎麼化解《三體》外星人的降維攻擊了！

下面就是 $e^{x}$ 在直角坐標系中的樣子

美妙的螺線
在上面的部分中，指數函數 $e^{x}$ 的美並沒有真正的體現出來。
讓我們換一個視角看，你一定會大吃一驚。

我們知道二維坐標系除了直角坐標系外，還有一種常用的是極坐標系，如下圖

我們把指數函數 $e^{x}$ 換成極坐標，就變成了 $e^{ heta }$ ， $heta$ 是點與極軸的夾角。
這時的指數函數就會變成下圖的樣子，這個螺線叫對數螺線（Logarithmic spiral），又叫等角螺線。
之所以叫等角螺線，是因為在極坐標中，螺線和射線的夾角始終是一個固定夾角，如下圖所示，藍線每次穿過射線時，其夾角是固定的，也就是等角，我們在後面會用到這個等角特性。

有人說：等等！我好想在哪裡見過這貨？

不對，這個圖，好像有什麼東西亂入了！&>_&<#
這就是人體曲線，啊不，是斐波那契螺線，網上很流行玩這種攝影，都快被玩壞了。

柯南的搞笑甩濕發秀 Conan Wet Hair視頻

柯南的表情好賤！

斐波那契數列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……這樣的數列。
其特點是前兩個數加起來就是下一個數，例如
1+1=2
1+2=3
2+3=5
……
34+55=89
……
用這些數畫出來的半圓，可以拼接成下面的螺線形狀，這就是斐波那契螺線。

套用在美女圖片上就可以這樣玩，雖有過度解讀之嫌，但可以獲得極好的傳播效果。

有趣的是這個數列還和黃金比例有關，例如55/34≈1.6176，接近黃金分割比例1.618，數列的數字越到後面，結果就越趨近於黃金分割這個無理數，如下圖

不過斐波那契螺線僅僅是對一種叫黃金螺線（Golden spiral）的近似，黃金螺線是一種內涵黃金分割比例的對數螺線 $e^{ heta }$ ，下圖紅色的才是黃金曲線，綠色的是「假黃金螺線」（斐波那契螺線），近似卻不重合。

很多科學家發現對數螺線 $e^{ heta }$ 在自然界中廣泛存在。從大如星系、颱風，到小如花朵、海螺……宇宙中到處都是對數螺線 $e^{ heta }$ 的身影

原來e以這種特殊的方式隱藏在自然之中。需要注意的是，這不是e被稱為自然底數的原因，這和大自然沒太大關係。

為什麼自然界中存在這麼多的對數螺線呢？
因為對數螺線具有等角性，受環境影響，很多直線運動會轉變為等角螺線運動。

我們以飛蛾撲火為例
億萬年來，夜晚活動的蛾子等昆蟲都是靠月光和星光來導航，因為天體距離很遠，這些光都是平行光，可以作為參照來做直線飛行。如下圖所示，注意蛾子只要按照固定夾角飛行，就可以飛成直線，這樣飛才最節省能量。

但自從該死的人類學會了使用火，這些人造光源因為很近，光線成中心放射線狀，可憐的蛾子就開始倒霉了。

蛾子還以為按照與光線的固定夾角飛行就是直線運動，結果越飛越坑爹，飛成了等角螺線，最後飛到火里去了，這種現象還被人類稱為昆蟲的正趨光性。

蛾子說：
趨你妹的光啊，傻瓜才瞪著光飛，不知道會亮瞎眼啊？！！
我們完全被人類誤導了，億萬年才演化出的精妙直線導航方法，被人類的光污染干擾失效了！
不用假慈悲的飛蛾撲火紗罩燈了，凸(#‵′)凸，趕緊把燈關了吧！

注意下圖飛蟲都在做螺線飛行，如果昆蟲有趨光性。直飛不是更好嗎？

不要以為只有蛾子會這樣，人在用指南針導航時也有同樣的問題，因為篇幅太長就不展開了，有興趣請移步《

不要以為只有蛾子會這樣，人在用指南針導航時也有同樣的問題，因為篇幅太長就不展開了，有興趣請移步《既然昆蟲有趨光性，為什麼昆蟲不齊刷刷地奔向太陽？》。

根本原因是原來作為參考的平行場變成了中心發散的場，導致直線運動變成了螺線運動。

我們也知道，絕對平行的場在自然界中是不存在的，只是我們為了計算方便，在小範圍內近似認為平行而已。如果把尺度放大了看，更多的場是不平行的、是發散的，所以自然界中大量存在等角螺線現象就很正常了。

例如理想狀態下，流體應該是直線運動的，但在發散場和地球自轉的作用下，就會像飛蛾一樣走出類似等角螺線的形狀，天上的颱風和水中的漩渦就是這樣形成的，不過實際情況遠比這要複雜，只能近似這樣考慮。

關於對數螺線還有一個小笑話。
對數螺線是笛卡兒在1638年發現的，雅各布·伯努利也做了研究，並發現了許多非常優美的特性，經過各種變換，結果還保持原來的樣子。
他十分驚嘆和欣賞這種美，要求死後自己的墓碑上一定要刻上對數螺線，以及墓志銘「縱使改變，依然故我」(eadem mutata resurgo)。
結果石匠同志誤將阿基米德螺線刻了上去，雅各布九泉有知一定會把棺材掀翻的！
（╯￣皿￣）╯︵┴─┴

阿基米德螺線是這樣的：

常人的確看不出區別，你能看出來嗎？千萬不要搞混啊！

好了！長篇大論快結束了，能堅持到這的都是Winner！下面開始講為什麼叫自然底數了。

對數的底數
對數中最常用的底數是10、2和e

為什麼要以10為底數？
因為我們使用10進位，數量級和科學計數法也是10的倍數，例如阿伏伽德羅常數 $6.02 imes 10^{23}$ 。
所以 $10^{x}$ 的逆運算，以10為底的對數 lg x最常用、最方便，所以又稱常用對數。

10進位是數字表示法中最容易普及的，根源是我們有10個手指，人們初學數字時都喜歡藉助10個手指學習1、2、3……10。到了學加減運算時，更是喜歡藉助手指計算。不僅老師認為這樣教學直觀，學生也認為這樣練習方便。通過教育，這個強大的習慣，被最廣泛的傳播和固化下來。但如果是8個腕足的章魚發展出了文明，可能更喜歡8進位。

為什麼要以2為底數？
因為2倍或成倍式的增長，即 $2^{x}$ ，是我們日常中最簡單的指數式增長。我們經常說數量成倍、翻倍、翻番、翻兩番，都是2倍率的增長。
你可能也發現了，前面的存款例子實際上都是 $2^{x}$ ，因為這樣的例子最容易理解。所以 $2^{x}$ 的逆運算，底數為2的對數 lb x 也會比較常見。

雖然對數的底數2和10是人們使用體驗和認知體驗最好的對數，但是在數學中，這兩個數卻是不自然的，因為都是在方便人的需要。

為什麼e被稱為自然底數？
用e做底數的對數表達方式是 ln x

按照古希臘哲學家的自然思想，自然是指萬物的內在規律，就像自然數一樣，是事物本身的屬性，不以人的喜好而變化。

前面在講「利息中的e」時，曾拿π和e做過對比。

邊數越多越接近圓，利滾利越多越接近最大收益
一個對角線為1的多邊形，其周長最大值是π
一個本金為1利率為1的存款，其存款餘額的最大值是e

按照古希臘的自然思想來看：

對於一個完美的圓來說，π才是自然的，是圓本身的屬性，儘管從數值上是一個「無理」的數。
對於最快速的指數增長來說，e才是自然的，這是指數增長本身的屬性。

而科學家們也發現，在做數學分析時，用e做底數的對數 ln x 做計算，其形式是最簡約的，用其他對數例如lg x 做計算，都會畫蛇添足的多一些麻煩。

ln x 就像美學上的「增之一分則太長，減之一分則太短」。

對數學家來說，最簡就是最美。這是一種純理性的美，通過感官是無法欣賞的，只有熟悉數學的人才能深刻的感受到。這種美令無數數學家為之痴迷，雖然不會像畢達哥拉斯那樣狂熱，但也終其一生孜孜以求。

結論

歷史上，"自然"是一種劃時代的思維方法，自然還有和諧、完美的內涵
隨著利息、對數、指數的發明，人們發現了e的存在
1元存1年，在年利率100%下，無窮次的利滾利就會達到e
e和π一樣都是內在規律，反映了指數增長的自然屬性
大自然中到處都有對數螺線 $e^{ heta }$ 的身影
其他底數都是發明出來方便人使用，只有e為底數是被發現的
數學家發現以e為底數的對數是計算中最簡、最美、最自然的形式

把e冠以自然底數、自然常數之名，把e為底數的對數稱為自然對數，是數學家們用自己的方式對e所進行的美學評價。

2004年Google公司IPO上市，創始人Larry Page和Sergey Brin決定上市融資總額為2718281828美元，也就是e的前10位數字。因為他們都精通數學，很喜歡e的自然之美，當然也希望公司能像 $e^{x}$ 一樣實現指數型高速增長。
Google其實是Googol的錯誤拼寫，Googol代表 $10^{100}$ 這樣的天文數字，實現這樣大的數看來也只能靠 $e^{x}$ 指數增長了。

為什麼寫這個超長的文章？
因為現有的解答我都不滿意，有人只說e的數學含義，有人只說自然的表層意思，不能很好的解讀e與自然之間的關係。
用公式解讀e當然是簡潔的，但也不是我喜歡的方式，這樣不僅丟失了太多有價值的信息，還會把很多人拒之門外。

我相信從大歷史尺度，用生活的案例來還原e的全貌，可以讓更多人來欣賞e的自然之美。耐心的讀完全文，你一定會有驚喜。

#以下為補充介紹

對數為什麼叫對數？
根據前面所說，納皮爾將對數命名為Logarithm，拉丁文中logos的意思是『比率』，他用一種幾何的方式發現了比例對應關係。

1653年，清代順治年間，對數傳入中國，薛鳳祚與波蘭傳教士穆尼閣編寫了《比例對數表》。康熙時的《數理精蘊》解釋了『對數』中文名的來源：『對數比例乃西士若往納白爾所作，以借數與真數對列成表，故名對數表』。

為什麼對數發明早於指數？
有趣的是，歷史不走尋常路，對數的發明居然是早於指數！
這就相當於先發明減法符號，再發明加法符號。

1614年，納皮爾發明了對數和對數表。
1637年，法國數學家笛卡兒發明了指數，比對數晚了20多年。
1770年，歐拉才第一個指出：「對數源於指數」，這時對數和指數已經發明一百多年了。

我認為造成這個現象的原因有三個：

納皮爾首先發現的是大數運算中有對應比例關係，這種關係可以用來簡化計算，而不是考慮求指數逆運算的。
指數運算大家一直用，不過是用自乘的方法算。笛卡爾發明的是指數運算的符號和規則，簡化了這種運算。對數和指數是不同目的下的發明，一開始人們就沒有意識到兩者之間的關係，直到一百多年後，歐拉才把這種互為逆運算的關係明確下來。
後人喜歡把容易的運算說成正運算，難的運算是逆運算，例如加法易，減法難，這是認知路徑的先後造成的。

我們現代人是這樣學習的：
先學指數，再學對數，指數是正運算，對數是逆運算。我們直接學習了結論，一開始就明確誰正誰逆。但其實兩者互為逆運算，誰做正都行。
歐拉發現兩者關係後，人們在教授數學時，為了認知體驗更好，把簡單的指數放到了前面，不容易理解的對數則放到了後面。

這就是後人才有的疑惑，就像亞里士多德認為利息的不自然，中國人奇怪「貨幣」有貝字一樣，因為歷史斷層，我們也會驚訝於指數的發明居然會晚於對數。

後續閱讀

干擾昆蟲導航會發生什麼樣的趣事：《既然昆蟲有趨光性，為什麼昆蟲不齊刷刷地奔向太陽？》
發明利息是處於什麼樣的時代背景：《為什麼會有國家？》
無限的指數型增長會引發什麼陷阱：《為什麼春秋時大國間的戰爭還是爭霸戰爭為主，到了戰國就轉向更殘酷的滅國統一戰爭？》
百家爭鳴是如何幻化成曇花一現的：《怎麼評價重農抑商政策對中國傳統社會的影響？》

推薦閱讀
本文力求通俗，沒用數學公式，但這樣e更多的美就無法展現，目前所講的僅僅是九牛一毛而已。在數學家的眼睛裡，還可以看到e有無窮多的美妙特性。
有高等數學或數學分析基礎的人可以系統閱讀下面3本書：

馬奧爾的《e的故事》
陳仁政的《不可思議的e》
堀場芳數的《e的奧秘》

我認為讀數學史更能激發對數學的興趣，下面的資料推薦閱讀

《古今數學思想》4卷冊
《數學大師》
《天才引導的歷程》
《數學：確定性的喪失》
還有羅輯思維推薦的《費馬大定理》

都看到這裡了，這場思想馬拉松能跑下來可真不容易啊！
給這篇長文、也給自己點個贊吧！

以下是不完整參考資料，有興趣的可以閱讀

A Brief History of Interest
Have we caught your interest?
A Description of The Admirable Table of Logarithms
The Internet Classics Archive
那些貨幣金融史上的神人
《數學傳播》- 對數與約翰．納皮爾(John Napier)
中學數學與數學美
對數傳奇：化乘為加
走進無限美妙的數學世界
納皮爾
e，一個常數的傳奇
交通大學，代數學分支，對數
對數符號
幾種簡單平面勢流的疊加勢流

看到評論區還是有人不太明白，讓我再仔細寫一下這個式子。
假設，一根竹子，第一天是1米，第二天長了1米，然後這根柱子的長度變成了2米。相當於 (1+1/1)^1.
上面這個假設，如果仔細想下是錯誤的，因為在原來的回答裡面我已經說過了，植物的成長是新舊一起長的，而且是時時刻刻在長的，ok,然我們把時間分細點，看看如果是每小時成長會怎樣，於是變成了： (1+1/24)^24=2.66 米
好了，如果這個時間間隔變成分鐘會怎樣？ (1+1/1440)^1440=2.717米
如果，變成秒級呢？ (1+1/86400)^86400=2.718米。
在下去，如果是毫秒呢？如果是納秒呢？ OK, 看到了吧，這就是e了啊， lim (1+1/n)^n (n-&>無窮).

這個式子，只能告訴你，如果細胞分裂的速率是某個固定的比例，那麼一天以後竹子有多長，至於一年以後有多長，還是不知道的，因為評論區裡面有朋友說了，什麼分節的問題啥的，這我就不懂了，但是肯定不會長到天上去的。

############## 華麗的分割線, 作為bash碼農，我就喜歡用井號分隔，啦啦啦###############
因為自然是記複利的！比如，植物的生長，新長出來的部分在長，舊的部分在生長，更舊的部分也在生長。比如一根竹子本來長一米，一天以後長了0.1米變成1.1米，第二天原來的一米又長出0.1米，新長出來的0.1米變成了0.11米，整根竹子長1.1+0.11＝1.21米。但是考慮到竹子是每時每刻都在長的，所以上面的演算法不精確。我們來看如果竹子是每小時生長會怎樣，再分下去，如果是每秒生長會怎樣，有興趣的話，可以列式子算下，總之，如果一直這麼細分下去，最後得到的極限就是（1+1╱n）的n次方，也就是e
(爪機太累，有興趣的朋友可以算下)。
類似的規律，在自然界隨處可見，也不止植物，動物生長也一樣，所以就叫自然對數了

【純圖預警。就三張。】

咦？這麼神奇！你就叫「e"吧。

先維基一下。
維基百科說：「 e，作為數學常數，是自然對數函數的底數，... 」
那自然對數又是個啥玩意？
維基百科又說：「自然對數（Natural logarithm）是以e為底數的對數函數（lnx），...」

這不就是一個赤果果的 tautology （同義反復）么？耍人呢。
好吧，別理書本和維基的胡說八道。用例子來說明。

簡單的說，e就是增長的極限。

寫了兩段發現舉例子部份各種公式要貼圖實在是太瑣碎了。強烈要求知乎加強編輯器的功能！！

投降了..還是把果殼的文章搬過來吧..
http://www.guokr.com/article/50264/

假定有一種單細胞生物，它每過24小時分裂一次。
那麼很顯然，這種生物的數量，每天都會翻一倍。今天是1個，明天就是2個，後天就是4個。我們可以寫出一個增長數量的公式：

上式中的x就表示天數。這種生物在x天的總數，就是2的x次方。這個式子可以被改成下面這樣：

其中，1表示原有數量，100%表示單位時間內的增長率。

我們繼續假定：每過12個小時，也就是分裂進行到一半的時候，新產生的那半個細胞已經可以再次分裂了。
因此，一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段都在前一個階段的基礎上增長50%。

當這一天結束的時候，我們一共得到了2.25個細胞。其中，1個是原有的，1個是新生的，另外的0.25個是新生細胞分裂到一半的。
如果我們繼續修改假設，這種細胞每過8小時就具備獨立分裂的能力，也就是將1天分成3個階段。

那麼，最後我們就可以得到大約2.37個細胞。
很自然地，如果我們進一步設想，這種分裂是連續不斷進行的，新生細胞每分每秒都具備繼續分裂的能力，那麼一天最多可以得到多少個細胞呢？

當n趨向無限時，這個式子的極值等於2.718281828...。

因此，當增長率為100%保持不變時，我們在單位時間內最多只能得到2.71828個細胞。數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

這個值是自然增長的極限，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。

文章出處：阮一峰：數學常數e的含義 http://ruanyifeng.com/blog...
原文來源：http://betterexplained.com/articles...

樓上很多人提到複利，實際上說了高等數學對e的定義，但是作為自然對數的底，e更重要的作用是定義了1/x的原函數，解決了冪函數積分完整性的問題，同時渺小的人類只能完全解出線性方程（非線性方程基本都是化歸思想），這樣許多物理公式中就自然的引入了e,在這個意義上說，這才是自然的本意吧

難道長的答案一定就是好嗎……
自然對數底來源於自然對數，所謂的自然對數就是這樣一種函數：
一個物體沿直線運動，運動的速度跟時間成反比，物體的運動距離與時間的關係就是自然對數

用微積分的觀點來看就是
$ln x = int frac{1}{x} dx$
為了方便規定 $ln(1) = 0$

雖然我們一般都是把對數跟指數聯繫起來考慮的，但這個階段實際上對數跟指數完全沒有建立關係。反過來也可以定義所謂「自然指數」：物體運動的速度跟已經走過的路程成正比。顯然這個定義很違背人的正常思維，所以指數比對數晚出現其實是很正常的。直到極限的體系建立起來，從整數指數 =&> 有理數的指數 =&> 實數的指數的完整路徑才建立起來，人們才會覺得指數函數的出現很自然，而對數函數實際上是指數的反函數。

至於自然對數的底，也是在建立起自然對數與指數聯繫的時候才有的概念。 $10^x$ 的反函數是 $log_{10}(x)$ ，那麼作為對數的祖宗自然也有一個指數函數跟它對應，有指數函數就有底數，這個底數就記作e。
那麼怎麼求出這個數呢？我們知道 $e^1 = e$ ，而 $e^x$ 是自然對數的反函數，那麼其實就是：
求e使得 $ln(e) = 1$
我們知道對數函數有一個特性：
$ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
所以
$ln(a^N) = Nln(a)$
注意N是整數，所以這裡是普通的乘冪，不需要用到指數函數的概念
這樣我們既然求e有困難，也就是說難以求出 $ln(e)=1$ 的值，我們先求某個a使得
$ln(a) = 1/N$
這樣就有
$ln(a^N) = 1$
也就是
$e = a^N$
當N足夠大的時候，根據自然對數的定義，物體運動的距離足夠短，時間也足夠短，可以近似成勻速直線運動（這其實是微積分的概念了），而t = 1時速度也為1：
$ln(1 + t) approx t cdot 1$
所以得到
$a approx 1 + frac{1}{N}$
也就是
$e approx (1 + frac{1}{N})^N$
當N足夠大的時候這個值也足夠精確，也就是：
$e = lim_{N ightarrow +infty}{(1 + frac{1}{N})^N}$
這也就是微積分書上對於e的定義了，但實際上這個定義是源於自然對數函數的。

因為 d/dx y = y 的解...有這個數之後線性微分方程會寫起來好看

或者說，Taylor展開後好看

我現在所知有用的函數中唯一的和它導數相等的函數 e^x, 我個人認為這就是它的價值所在。

綜上，e的最簡練最嚴格的描述應當是:

e是二分法在一個周期內理論上的增長極限。

任何不加限定條件的都是耍流氓。

我一直認為這裡的自然是自然而然的意思，而不是大自然的意思：

考慮a^x求導，導數是(log a)a^x.

現在問有沒有一個natural choice讓這個指數函數的增長率恰好就是自己，顯然這個natural choice是選取基地e，那麼這個數就叫做natural constant

數學裡natural這個詞太多個，意思都是比較自然，比較顯然，而不是和大自然有什麼關係，只能說是翻譯問題

別把什麼玩意都和大自然扯，雖然log exp這倆函數在應用中用的很多

自然底數在金融領域裡也有一個非常有意思的應用，就是連續複利。

假如A公司推出一個金融產品的年收益率是100%(當然實際肯定不會這麼高，主要是為了方便展現最基本的結果)。那麼一年的本金加收益就是：
1+100%

但是這個金融產品有個特定就是必須存滿一年，這樣的話在這一年中賺的錢就無法繼續投資來獲得收益。

現在B公司也推出一個年收益率為100%的金融產品，但是投資者投資這個產品在上半年末就可以取出錢來，並且獲得50%收益。這樣如果投資者將得到的本金和收益繼續投資於這個產品半年，那麼實際一年的本金加收益就是：

以此類推，如果投資者可以在一年內提取本金和收益 $n$ 次，並且每次都是用所得的本金和繼續投資，那麼實際一年的本金加收益就是：

這個表示投資者可以在極短的時間 $1/n$ 把本金和收益取出來，這樣一年期可以計算 $n$ 次複利

當取極限時，本金加收益就是：

這個收益率表示了一種極限的投資方式，就是在極短的時間內取出本金和收益進行再投資。那麼年初1元錢就可以在年末變成 $e$ 元錢，約2.7元。

一般的，收益率用 $r$ 表示，產品年限不是一年，而是 $T$ 年。這個時候就得到了很多金融模型里所使用的連續複利：

如果老老實實自己推到微積分的所有細節，你會發現對數函數求導時候會遇到一個極限（1+△x/x）^（x/△x），研究這個極限就是e發現由來。
別民科似得品味這個東西多呢神奇，先證明下這個序列的是收斂的先

大家說得都很專業，我從哲學角度談談吧。人類認識世界靠抽象和聯繫，把一些事物抽象成數字，進而抽象出變數。而變數之間的最基本聯繫，主要體現在加法和乘法法則上（減法和除法可以看成逆運算）。而乘法的不斷迭代，形成一種自相似運算（這個世界很多事物具有自相似的分形結構），這就是冪運算，這是科學界最基本的法則了。而自然數e就是冪運算的一種極限，具體見其它網友的帖子e = lim (1+1/n)^n。當然，從哲學角度，似乎加法運算更基本，冪級數的出現解決了這個困惑，在級數意義下，加法和乘法相生相合，好比陰陽一樣，數學世界就這樣展開了……

貢獻一個辭源學的答案。大致結論是，「自然」一詞在此可能包含兩層意思，一是這個底數與自然哲學有淵源（比如天體運動中的計算），二是它特指一種定義的對數。特別地，很難說這裡面包含了用e作底數是自然而然或者最優美的那樣的意思——至少不會是初衷。自然底數及其常用記號e形成於17世紀到18世紀，在Leonhard Euler以後逐漸廣泛傳播。

以下是一些記號和術語的初步追查。

一、對數（logarithm）。術語由其發明者John Napier引進於《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》（1614），是希臘文logos（比率）和arithmos（數）合成。在引進這個詞之前的著作中，Napier用artificial number（人造數）來稱一個自然數（natural number）或一個正弦值的對數。在人們認識到對數和指數是互逆函數之前相當長的時間內，對數一直是只被當作自然數的比率量度來理解的，用於輔助計算。在這樣的理解下，一方面出現了不同版本的對數（如Henry Briggs的常用對數），另一方面底數的概念沒有形成。

二、自然對數（natural logarithm）。術語首見Nicholas Mercator所著《Logarithmotechnia》（1668）。按Carl Boyer在《A History of Mathematics》中的說法，Mercator曾稱這個詞來自Pietro Mengoli。又按Bob Stein在綜述文章「The fascinating history of logarithms」的說法，使用這個詞可能是因為這種對數來自圓錐曲線的研究：

... it seems to refer to the fact that these logarithms arise from the study of a conic section, a kind of curve that even the ancient Greeks would consider natural, in contrast to other logarithms, which are contrived or, as Napier originally called them, "artificial" numbers.

[HPM2004 ESU4, p. 146]

三、記號e。今天廣泛使用的自然底數記號e初見於Leonhard Euler在1731年寫給Christian Goldbach的信中。在更早的1690年，在Gottfried Leibniz給Christiaan Huygens的信中，用了字母b表示這個常數。關於為什麼用字母e，最有可能的回答是它正好是Euler信中的記號里的第二個，所以被記作a之後的第一個母音字母。一說這是單詞exponential的首字母。

四、記號ln。屬於晚出記號，據說是1893年Berkeley教授Irving Stringham引進的。

我覺得對於一個普通人最好的理解方式就是

一個比1大一丟丟的數的很多很多次冪就是e咯

比如1.00000000001^99999999999約等於e

更新一下
即（1+1/x）^x當x趨近於無窮的時候等於e。

作者：SaBoLi MONTAGE
鏈接：數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好是 e？ - SaBoLi MONTAGE 的回答
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

作者：SaBoLi MONTAGE
鏈接：自然底數e的意義是什麼？ - SaBoLi MONTAGE 的回答
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

原因很簡單，因為e和自然數0,1,2……一樣自然。
e的故事上
第一章神秘的自然
1
可以說，數學整個學科都是人為創造出來，被用來了解自然和了解人類本身的。
由於人類有可數的十根手指，於是我們用了十進位。不過如果有一個外星人有四根手指呢？他們是不是就使用四進位呢？
如果外星人是有無法數清的觸手的觸手怪呢？
所以數學的很多分支都是為了了解人類本身被研究的，它不自然。
自然的事物中，其中的一種是世界上正在發生的一切。
2
為了研究世界上正在發生的一切，人類在數學之外又創造了物理、化學、生物等等學科，它們被稱作「自然科學」。顯然在這些課本中，數字到底是十進位還是四進位並無大礙，人類正在脫離了解人類本身這一範疇，開始了解自然。
儘管人類對自然的了解不是一帆風順的，但人類自誕生起就開始思索自然的終極奧義。
一直研究到現在。
人類對世界的最深層次的疑惑，在誕生之日就一直是是：
在下一個時刻會發生什麼？
自然，有沒有什麼規律可循？
3」
這一疑惑貫穿了人類的全部歷史，引發了各種哲學的思索，在此不深入研究。
然而和這個問題相伴相生的情況下，人類發現：
儘管自己能夠對一些東西做出改變，但是對另一些東西卻無能為力。
如果你推一個東西，這個東西就會動。如果愚公願意，他可以和他的子子孫孫無數代一起把太行山和王屋山搬走。
但是愚公會死，他的子子孫孫都會死。
時間，事物的變化，或許真的如同某些神諭一樣，是上天安排的。
4
在人類對這兩種變化感到深深地迷茫的時候，人類的數學卻在糾結著十進位和四進位的事情，把畢達哥拉斯以後的近兩千年的時間讓位給了宗教。
然而人類不可能徹底把對自然的理解交給神。數學將以一種最新的形態回到我們對自然的理解中。
跟著新的數學而來的，還有物理，化學，生物等等自然科學。
是的，不管你如何討厭它，沒有它，或許現在的世界依然沒有走出教會的中世紀，我們對世界的了解，依然是所謂的神諭。
5
了解世界的過程中，我們傾向於研究可測量的量。
然而在神學統治世界的兩千年中，變化的特別要素，時間，只能以日晷上的小時來測量。
或許是哪位在封建主的領地里放羊的小孩，在路過潺潺的山泉的時候的發現吧。
那些一滴一滴，時間間隔相同的緩緩滴落的水滴，敲響了萬能神的喪鐘。
人類通過這些等時滴落的水滴，意識到：
身邊一直正在發生的所謂變化，是可以測量的。
6
鉛球從比薩斜塔的五樓落下，用了六滴水的時間。
而從二樓落下，也要用三滴水的時間。
這是人類對那一種「自己能夠掌握」的變化的初步研究。
也正是在這一次研究中，人類知道了：
我們身邊的一切事物的特徵，除以無時無刻不在流逝的時間，不就是他們的變化嗎。
7
在自然數、幾何之後，數學跑偏兩千年之久。
而在這個我們開始把時間稱作「滴答滴答地流逝」的文藝復興的時代，自然數學盛裝歸來。
和很多人的認識不同，這門新的數學是比代數自然得多的學科。
因為它研究的，就是兩千年來被神掌握的「變化的規律」。
這一自然規律，由於時間的測量技術變得可測量。
也正是這門科學，打破了人類對自然認識的最後一道，也是最難被逾越的一道障礙。
相信不用我說，大家都知道，所謂自然數學有一個更響亮的名字，叫做微積分。
8
人們知道，時間是無時無刻不在流逝的，相應的變化也無時無刻不在發生。
對於變化的研究，先從最容易測量的物體的位置開始。
因為我們已經通過對變化的理解，定義了速度和加速度。
就在水滴旁的男孩將鉛球一次又一次從比薩斜塔上扔下去的時候，他驚訝地找到了一個不變數：
地球給鐵球的加速度。
9
後來，人們發現了所有的位置變化速度的變化，都是人類可以通過自己的力量施加給自然的東西。
此時，人類對自己能夠改變的未來，已經有了初步的理解。
不過人類並不甘心，因為為什麼還有不可掌握的未來存在？

第二章物理學家和生物學家
10
一杯熱水什麼時候冷掉？
大火什麼時候熄滅？
植物什麼時候長成？
動物什麼時候繁衍？
很多問題，人類最多只能改變進程，不能改變結果。
後來，人們發現：
熱水自然會冷掉。
大火自然會熄滅。
植物自然會長成。
動物自然會繁衍。
這裡的「自然」，
就是自然本身賦予事物的有關變化屬性。
11
力，稱為人類改變外界的媒介的東西，是事物隨著外界環境變化的一種屬性。
我們可以表示為：
A物體速度的變化=外界的力
而外界的力和A物體速度無關。
然而熱水的冷卻不一樣。
經過測量，我們發現：
熱水冷卻的速度只和熱水與環境的溫度差正比例相關。
於是我們得到了：
熱水溫度的變化=確定數量×（熱水溫度-環境溫度）
這是自然本身賦予熱水的變化屬性。
與外界無關。
12
於是通過上面熱水的例子，我們把自然本身賦予事物的有關變化屬性抽象一下，總能得到一個等式。
那就是：
A的變化=A本身的某種性質
當然，最簡單的情況當然是：
A的變化=A的數量×確定數量。
為了研究這個簡單的問題，人類又把目光放在了自然界。
13
這時自然研究者已經分成了兩隊，一隊前往大自然尋求這個問題答案，只因為他們知道：
自然界很多生物的性質，決定了他們的生活、習性，當然包括了變化。
一堆前往實驗室尋求這個問題的答案，只因為他們已經在實驗室中找到了幾個符合這個問題描述的變化。
我們叫第一種人生物學家，第二種人物理學家。
不過，他們的目標是一樣的。
那是因為，他們都知道：
熱水自然會冷掉。
大火自然會熄滅。
植物自然會長成。
動物自然會繁衍。
14
懷著對自然的敬畏，他們上路了。
我們先講生物學家的故事，因為他們很久以前就發現了一些規律。
一對兔子一年生一窩，一年10對兔子存活，t年後一共有多少兔子？
這是一個連小學五年級的學生都會得算數，答案是10的t次方。生物學家在看到
A的變化=A的數量×確定數量
的時候，一下就想到了這個題目。
可以看到，t這個數字，在計算的結果中跑到了10的指數的位置上。
一聲嘆息。生物學家知道，這個老掉牙的題目在幾千年前，人類就已經知道答案了。
如果人類在當時就有所思考，也就沒有所謂的黑暗的中世紀了吧。
但是生物學家知道這並不是問題的答案。
因為，兔子的數量是每年變化一次的，而自然，則要求時間無時無刻不在流逝。
思忖良久，生物學家將「指數」兩個字記在本子上，開始尋找更多的證據。
15.
此時物理學家正在對著自己誤差巨大的數據發愁。
儘管已經能精確地測出距離和時間，但對於溫度的測量還是一籌莫展。
雖然知道最終的正確數值是一條弧線，但他還要用已知的變化關係去和這一關係對照。
如果能夠得到熱水冷卻的這一條弧線，一切的問題都能迎刃而解吧。
此時，物理學家腦中蹦出一種想法。
推動冷卻的會不會是一種力呢？
可不可以用變化率、變化率的變化率等等來表示呢？
即使它不是一種變化率的疊加，那可不可以用這種變化率來近似呢？
16.
生物學家找到了更多比兔子繁衍更快的物種。
蘑菇、酵母、細菌……
到了最後，甚至找到了幾秒就能複製一次的病毒。
他的筆記中，底數在不斷地改變，但是t在指數的位置卻沒有改變。
有一天，在睡夢中，他突然夢見了什麼。
他猛然驚醒，打開床頭櫃，開始計算了起來。
A病毒的性質如果是1分鐘分裂成2倍，那它5秒鐘分裂成多少倍？
1秒鐘呢？
那麼它到底具有怎樣的分裂性質呢？
算到最後，他列出了一個算式。
如果它有1分鐘分裂成2倍的性質，
那麼當它分裂成1.10倍的時候，過1分鐘應該分裂成2.20倍。
分裂成1.20倍的時候，過1分鐘又應該分裂成2.40倍。
所以最後的結果，和2倍肯定會有很大的偏差。
經過計算之後，生物學家困意已消，他抹去了頭上的汗水。
天空泛起了魚肚白，而這個世界已然沒有睡意。
他的草稿本的最後一行是：
自然的底數：limx→+∞ (1+1/x)^x
17
物理學家研製了越來越精確的儀器和設備。
他知道，所謂推動上一層的「力」，也就是變化率是常數罷了，而表現在公式中，則是要多乘上一個時間和時間的係數。
最終的結果，自然是一堆有關時間t的冪的集合。
有一次物理學家突發奇想，於是控制變數之後，物理學家把確定數量值變為了1，把環境變為了0度。也就是說現在熱水溫度的變化率變成了它自己。他堅信這樣可以更方便地測出真正的規律。
此時物理學家突然意識到了什麼。
我們都知道，如果位置變化是t的2次方，那麼它的變化率也就是速度就是2t，變化率的變化率就是2。
那麼如果位置變化是t的7次方呢？
那位置的7重變化率就是1×2×3×4×5×6×7。
那麼由於這一變化由無數的「變化率的變化率」組成，顯然這些「力的推動力」的變化率，是「被這些力推動的力」的整數倍。
而又由於熱水溫度的變化率是它自己，所以每個力都和被它推動的力有確定的倍數關係！
物理學家飛速地列出了最終唯一的關係式，並且當他做完實驗的時候，結果竟然和關係式完全符合！
他笑了，因為他的努力終究有了成果。
他的之上留下了一行算式：
自然公式取1的值T(1)=1+1+1/2+1/(2×3)+1/(2×3×4)+1/(2×3×4×5)……
18
物理學家和生物學家相聚了。
「我已經找到將不可掌握的未來，用自然的公式表達出來了。」
「我也是。」
「自然的公式是指數。」
「不，自然的公式是冪的和。」
物理學家的黑板上寫著Σx=0 +∞(t^x)/x!
而生物學家的黑板上則寫著limx→+∞ (1+1/x)^xt
兩人相視而笑。
是的，自然的公式只有一個，兩個公式事實上完全等同。
19
給它命個名吧，
「我建議用e^x，因為這是一個顯然的指數函數。」生物學家說。
「聽我說，我建議用exp(x)，來表示它的自然和連續性。」物理學家說。
兩人離開，留下了兩塊被拼在一起的黑板。
物理學家那邊，寫著：
exp(1)=Σx=0 +∞1/x!≈2.71828
生物學家那邊，寫著：
e=limx→+∞ (1+1/x)^x≈2.71828
而拼起來的黑板，則組成了：
dy/dx=y的方程。
20 尾聲
上面的內容，對科學史有點了解的人都應該知道，全都是我杜撰的。
e的存在和數值，數學家早已在物理學家和生物學家之前給出了答案。
不過無論如何，人類終於邁出了認識未知自然的一步。
從此，即便是自然本身的規律，也已經被人類瞭然於心。
不過，正當人類自認為已經窮盡自然的真理的時候，發生了另一件大事。
這又是一個觀星人和一個工匠的故事了。

e的故事下

第三章路徑和車輪
21
上面我們說的是一個少數人的故事。
然而，不可能所有的人類都去思考什麼是自然，因為在工業革命之前，大多數人類是一種和其他動物一樣，在死亡和溫飽線上掙扎的動物。
儘管這些人可能已經不包括我們，不過當我們還沒有拋棄我們的形狀的時候，我們還是要問自己一句：
下一頓飯從哪來？
22
形狀，位置，距離，大小。
或許在開創數學這門學科以來，我們的本能中就已經有了幾何的元素了。
或許在你受到數學教育之前，就能指出平行和垂直兩種關係是比其他所有關係都特殊的；
或許在沒有識字的嬰兒時代，高度對稱的圖形就能吸引到你更多的關注。
或許和人類的誕生同時，我們已經把一條直線和一個圓刻在了腦子裡。
23
所以儘管我們已經脫離了溫飽線，但對於很少站在高處思考自然的人而言，我們是在生活中拼搏掙扎的人。
在這個方面，我們和以前那些在溫飽線上的人沒有什麼區別。
直線，被人類繪製成路徑，代表著最短的距離；
而圓，被人類加工成車輪，則代表著最節省的人力。
顯然這才是人類對自然的第一認知。
那麼人類有關的第一個問題就來了。
車輪要滾一圈能在道路上滾多遠？
24
這根本就不是一個需要計算的問題，碾過去就是了。
不過，當人類發現輪子在滾完之後不一定能回到原來的狀態的時候，事情好像在起變化。
我們的祖先數著自己的手指，把輪子的高度分成十份，
發現依然有偏差的時候把有偏差的那部分高度又分成了十份。
然後一對比，記下了三倍又十分之一倍又百分之四倍這一個數據。
於是我們把它稱作圓周率。
25
如果你指望著我把故事講下去，那你就錯了。
因為車輪和道路的故事已經結束了。
一直到「時間滴答滴答地流逝」的那個時代，這個故事只有幾個進展：
A.阿某某某覺得這個數據不準，又用手指分成10份，多加了一位比率。
B.劉某還是覺得這個數據不準，又用手指，並且藉助各種儀器分成10份，多加了一位比率。
C.祖某某覺得這個數據不準，又用手指和各種更花式的儀器分成1000份，多加了三位比率。
D.卡某覺得這個數據不準……
26
並不是那些尋找自然的人不忘這個看起來自然到爆表的比率上尋找答案。
因為無論對如何用直線和圓進行組合，計算任何由圓和直線組成的圖形和物體的數據，這個比率永遠存在於圓弧之上。
比如說，直徑和圓周的比率是圓周率，那麼在提到面積的時候呢？
答案是半徑平方再乘圓周率，而並沒有出現圓周率的平方。
那麼球體的體積呢？
圓周率依然單獨在公式中出現，沒有出現圓周率的立方。
或許這個值是3.14，3.142還是3.1415927，對於人類了解自然並不那麼重要。
與其說這個比率如同夢魘一般永遠留在圓弧中，倒不如說它像是一個被封印的魔鬼，所有人都知道它的存在，也絕對明白它目前看來不可能踏出圓弧半步。
包括物理學家和生物學家在內的人，都傾向於把這個數據，永久地在人類踏出了解自然的第一步的紀念碑上。
27
然而此時，他們不知道的是，和他們不同，底層的人根本並沒有邁出了解自然的第二步。
他們和兩千年前一樣，奔波在生死之間。
和他們相伴的，只有直線和圓。
圓周率對於平民的意義，不用說，大家也明白。
直到現在，我們的主流世界觀里，依然存留著這個人類幾千年艱辛走來的痕迹：
完美、無瑕、對稱，這是我們對圓至高無上的崇拜。
28
或許如同黑暗的中世紀那樣，低賤的平民永遠都無法跨過貴族的門檻吧。
圓周率右面的車輪，看似封閉，卻一直在旋轉。
歷史的車輪滾滾碾過，碾過的是無數為了生計而掙扎的人的心酸。
不過這個時候，一門盛裝歸來的數學走到了低賤的平民身邊。
它號稱能夠揭開兩千年來被神掌握的「變化的規律」。
不用我說，大家都知道，它的名字叫做微積分。
29
微積分解決了平民的疑惑嗎？
看著物理學家和生物學家留下的黑板，即使是最聰明的平民也會一臉茫然吧。
而最粗鄙的平民，一定會罵道：
「XXX，這XX的道理，值幾個X錢？」
不過他們不知道：
歷史的車輪在碾過這個世界的一切的時候，卻無時無刻不被自然碾過。

抱歉，昨天沉迷學習了。。。
第四章觀星人和工匠
30
和主動去找自然規律的那些上層人士不同。
觀星人和工匠，是被迫去尋找自然規律的。
對於觀星人來說，天空中的星辰在運動一年之後回到原來的位置，月亮則要一個月，而太陽只要一天。
這一職業，只會比最早的立法更加古老。
他們的工作，就是在地平線上，尋找圓形的軌跡。
而工匠更不必說——只要有前面提及的圓和直線，就會有工匠的身影。

31
在這個變革的年代，觀星人找到了幾千年來自己畫出的星圖。
星星，月亮，太陽。
那一道道漂亮的圓弧，貌似在訴說著什麼故事。
或許自然就是這樣吧。
觀星人此時驚訝地發現了一件事情。
或許圓弧里的秘密，已經在第一章第8節給出了提示：
「就在水滴旁的男孩將鉛球一次又一次從比薩斜塔上扔下去的時候，他驚訝地找到了一個不變數：
地球給鐵球的加速度。」

32
在這個變革的時代，工匠找來了幾千年來自己做的物件。
其中有一個小小的物件，引起了他的注意。
這個物件很簡單，僅僅是一條由牛筋粗加工製成的條狀物而已。
原因無他，彈性而已。
被壓縮時重新伸長，被伸長時再次壓縮。
有了這個，才有了動物體的柔韌。
或許自然就是這樣的吧。
工匠此時驚訝地發現了一件事情。
將重物掛在牛筋下段，牛筋會不停上下振動，直至停止。

33
在星空中，觀星人發現了轉動。
而在牛筋里，工匠則看到了振動。
一個是循環不息，一個是搖擺不止。
一個是周而復始，一個是去而復回。
一個是圓，一個是直線。
在工匠和觀星人再一次見面的時候，他們隱約意識到：
這兩種運動的聯繫，
或許就是圓和直線超越圓周率的一種聯繫？
又或許，是人類和自然的一種聯繫？

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問題的解決一帆風順，因為根本不需要去解決。
儘管在過去的兩千年內，上層的社會沉浸在神學中，不過掙扎在死亡線上的平民，卻能夠製作出很多他們自己也不理解但是卻非常管用的東西。
通過水磨，他們知道轉圈是一種向心的運動，速度不變，離心的趨向就不變；
通過彈簧，他們知道所有的彈性都和彈性物體變化的幅度相關。
工匠笑了，他在觀星人的星圖中畫了一條線。觀星人發現，在這條線的視角看，星辰的旋轉和振動一模一樣。
於是觀星人也笑了，他抄起皮筋甩了起來。工匠發現，在觀星人旋轉速度不變的時候，皮筋的長度是完全沒有變化的。

35
於是，下一個關係簡直是一瞬間得到的：
皮筋，不管在旋轉還是在振動，它對物體的力和它偏離原長的距離方向相反，但是大小正相關。
工匠點了點頭，在星圖上寫下了F=-kx
觀星人也點了點頭，在星圖上寫下了x""=-kx

36
在徹底解決這個問題之前，兩人決定還是先研究一下這個圖形。
根據前面對振動的討論，兩人覺得是時候把「圓周率」這個值趕下神壇了。
觀星人決定把星辰旋轉的弧度在皮筋上對應的坐標標記下來。顯然地由於所有的圓長相都一樣，所以旋轉弧度和皮筋坐標的比是完全一樣的。
「就叫這個比cos(x)吧。」觀星人說。
「等一下！」工匠驚呼。
他驚訝地發現，當x是圓周率的整數倍的時候，cos(x)居然是一些特殊的有理值。
特別地，當x除以圓周率的小數部分是0.5的時候，cos(x)是0。
當x是奇數倍圓周率的時候，cos(x)是-1。
當x是偶數數倍圓周率的時候，cos(x)則是1。
「沒錯，這個弧度，就是你們常用的角度的一種說法。
而cos這個函數，就是你們常用的餘弦的表達方式罷了。」

37
不過弧度對於角度而言，特殊性已經不言而喻。
力和偏離距離方向相反，大小正比，這就意味著：
偏離距離的變化率的變化率=-（確定數值×偏離距離）
而當我們把確定數值調成0的時候，如果物體在偏離距離為1的位置從靜止釋放，物體的偏離距離就永遠是偏離距離的cos值。
是不是覺得這個公式很眼熟？
自然的身影，在人類並未去尋找的時候，在人類僅為了自己而奔波的時候。
已經來到了人類的身邊。

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直到這時，圓周率這個數，已經如同夢魘一般，刻在了cos這個關係里。
雖然兩人不關心什麼自然，但是他們非常，非常想知道，困擾自己幾千年的圓周率到底是個什麼東西。
他們先知道了這個答案的解，卻不知道這個解從何而來。
「是時候解決這個問題了。」

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突然想起還有這個第五章沒更新。。。
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e的故事終章幻想的自然

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cos這個函數的關係式使我們順利地把圓周率這一數值從無可辯駁的位置拉到了一個函數關係中。
而這一函數關係，又是一個很簡單的方程：
A變化率的變化率=-A
然而cos是什麼？
對於圓周率的最終研究，將由物理學家和生物學家共同完成。
因為他們敏銳地發現，而在這一項研究中，真正的自然，正在向他們招手。
40
物理學家仍然堅信cos是冪函數的和。
和上次一樣，這次他準備繼續通過測量來證明這一點。
他向觀星人借瞭望遠鏡，每夜，他的之上都多了一個點。
每過去一年，他的冪函數就會多一項。
終於有一天，他笑了。他覺得，他已經掌握了自然的規律。
紙上出現了一個算式：
cos(x)=1-x^2/*(1×2)+x^4/(1×2×3×4)-……
他非常欣慰地看著自己的算式。
公式里的每一項，經過兩次的求變化率計算，都會成為它的前一項，而第一項則自動消失。
而由於這個和無限延伸沒有最後一項，所以總能達成：
A變化率的變化率=-A
41
生物學家這裡的進展就有點麻煩了。
因為他根據上次的經驗，依然斷定cos是一種指數函數。
換句話說，他堅信所有的變化率僅本身相關的函數，都是自然的指數函數。
上次他知道，如果變化率是本身的k倍，那麼它在t時刻的值就應該是e^kt。
那麼如果變化率的變化率是本身的k^2倍呢？那麼如果在開始並沒有變化，它在t時刻的值就應該是e^kt。
不過，在這個項目里，變化率的變化率，卻是本身的-1倍。
-1，是不能等於k^2的。
42
這天，生物學家來到了一個桃花源般的農村。
或許環境看起來很落後吧，村裡最氣派的建築是學校的三層教學樓。
生物學家從教室走過。
「老師，為什麼負數不能開平方呢？」
「因為不管正數還是負數，它乘上自己都是一個正數，而0乘自己是零。」
「那有沒有不是正數也不是負數也不是零的數呢？」
教室里開始騷動，已經有人嘲笑這個同學了。
而此時，生物學家停下了腳步。
「沒有這樣的數。」
「老師，這樣的數肯定有的，我們沒發現而已。」
教室里哄堂大笑。
43.
「這樣的數肯定有的，我們沒發現而已。」
在之前那塊黑板上，面對著物理學家的質疑，生物學家斬釘截鐵地說。
相比於物理學家的那一長串，生物學家只有一個分式：
cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2
還有一個解釋：
i^2=-1
「朋友，我們應該用科學的方式來解決這個問題，而不是幻想的方式。」物理學家不滿地說。
「沒錯。」生物學家說，「但是如果你把這個值帶入你求到的exp和cos的公式試試看呢？」
物理學家聳了聳肩。
計算完畢之後，他的表情驚訝地無以復加。
所有虛擬的i在計算完畢之後全部消失，也就是說，只要知道cos和exp的任何一個，通過這個虛擬的i，都可以得到另一個中不含i的關係式！
「朋友，i他雖然不真實。」
「但它很自然。」

44 故事的結尾
在這塊叫做數學的黑板上。
無數潦草的、工整的字跡，一步一步地將人類和自然拉進。
終於，最後一個算式，徹底毀滅了所謂超自然的神，對人類的最後一點控制。
那是一個幼稚的字跡，甚至有一種爬蟲的感覺。
他的未來，可能是一名頭戴禮帽，舉止優雅的紳士，也可能是一位面朝黃土，為自己的未來耕耘的農民。
就和算式里的那個平方為負數一樣的值充滿著想像力，又和算式里其他的那些值一樣富含著人類偉大的智慧和自然對我們的教誨。
所有看到這個算式的人，無不匍匐在自然的足下。
世界自此走向光明。
是時候揭示這個算式是什麼了。
這時黑板最醒目的地方，赫然寫著：
e^iπ+1=0

感謝大家的茲磁！~

我也許明白了「自然」到底意味著什麼知乎專欄

不是這個數自然，是一個函數很自然，這個函數就是指數函數。

說到指數函數的時候，我一般都是指自然指數函數。定義

f(x)=sum(x^n/n!)

這個函數的自然之處在於f"(x)=f(x)，f(0)=1。

利用簡單的冪級數乘法，我們只到f(x+y)=f(x)f(y)，如果xy=yx的話。

用歸納法容易知道f(xm)=f(x)^m，如果m是整數。

好了，這個函數看起來有我們需要的「指數」性質，因此命名為「指數函數」。

接下來定義形式記號e^x=f(x)。從美學角度，e應當是e^1，於是e=f(1)，大約是2.71828183...

這個函數非常有用，例如它的反函數可以定義為lnx，也就是lne^x=x，e^lnx=x。

用它定義三角函數，cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2，其中i是虛單位。我們只直接定義一個這樣的三角函數，叫做「餘弦函數」，正餘弦中，比較自然的一個函數是餘弦函數。

定義正弦函數：sinx=-(cosx)"。

用指數函數定義雙曲函數：coshx=(e^x+e^(-x))/2，sinhx=(coshx)"。

現在你可以看出這個函數美的地方了，同時你還理解了弧度制的美，因為只有弧度制，只有這個和（自然）指數函數相通的餘弦函數，才能求導數的時候不會在函數外面出現亂七八糟的常數因子。

（指的是(2^x)"=2^x*ln2等等）。

真正美的不是e，是指數函數。

我們數分課的助教說：

e是增長率的「極限」。

假設你有一團東西，比如說細胞，它每時每刻都在分裂，而且每次分裂出來的新細胞也按同樣規律地分裂，它的增長率就是e

大概就是這個意思吧，若有誤請輕拍。。

維基百科的定義沒有同義反覆，「自然」二字是因為以 e 為底的對數是反映客觀規律所必然需要，也只能是以 e 為底的，故而以 e 為底的對數被稱為「自然對數」，這裡的「自然」更多是「自然而然」的意思，e 則作為這個對數的底被稱為自然對數的底（the Base of Natural Logarithms），或自然底數。

科學出版社《好玩的數學》叢書中有一本《不可思議的 e 》（http://book.douban.com/subject/1311879/），這本書重點介紹了自然對數和 e 的知識，在 4.3 節「自然對數——不只是大自然的選擇"中談到「為什麼科學家要用 e 作對數的底？以 e 為底的對數為什麼叫自然對數？」。

為什麼科學家要用 e 作對數的底？

因為科學家們在科學研究中發現，「很多重要的函數，極限，微分和積分．．．都與自然對數有密切的關係」，因為「以 e 為底才會簡潔，而用其他數做底，形式就會複雜些」，「是 "自然" 選擇了 e 做自然對數的底，數學家們不過是『發現者』，『執行人』罷了。」

以 e 為底的對數為什麼叫自然對數？

因為「反映自然規律的函數關係，如果是以指數形式或者對數形式出現的話，必定是、而且是只能以 e 為底的，而不會有其他正數為底的指數或對數出現。」

維基百科上 e 的歷史簡介 : http://zh.wikipedia.org/wiki/E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0)。當 n 趨於無窮大時，(1+1/n)^n 的極限是一個常數，這個常數被用 e 來表示。最先提到這個常數的是 1618 年 John Napier 著作中的一張以這個常數為底計算出的對數表，但裡面還沒有記錄這個常數，第一次發現這個常數本身的是 Jacob Bernoulli（1654-1705）（http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_Bernoulli），他在研究一個複利問題時需要計算 (1+1/n)^n 當 n 趨向無窮大時的極限。

lim(1+1/n)^n 這個極限的本質可以概括為複利律：利息加入本金在下期一起作為本金生息，即所謂「利滾利」，取極限就好比每一瞬間都作為一個計息周期，每一瞬間都產生利息並計入本金參與下期生息。Bernoulli 計算這個極限就是出於要研究複利問題，巧的是大自然和日常生活中很多問題都有和複利問題相同的本質，比如植物的生長，放射性物體的衰變，人口增長，包括阮一峰所舉細胞裂變的例子。但這些都只是後來發現的 e 和大自然以及社會的密切關係，並非 e 的由來，更非 e 被稱為"自然底數「的原因。