數學功底究竟指的是什麼？

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所有的理工科專業都需要紮實的數學功底，那麼數學功底究竟應該達到一個什麼樣的程度？

可能問題有些模糊，舉個栗子，讓問題更加具體一些：

本人工科非數學專業，用《托馬斯微積分》重新溫習高數，眾所周知，國外的教材講授過程特別詳細，從數學史、定理的證明到數學練習題、工程方面的簡單練習題一應俱全。從中科大出的微積分教材，轉移到這本教材，感覺像是重新打開了一個世界，眼花繚亂；不光是高等數學，其他很多學科都是這樣，如果深入學習的話，有學不完的內容，有做不完的題目，有了解不完的背景知識，有證明不完的定理公式，都需要時間和精力；

而數學基礎往往是進階很多理工科專業課的必經之路，理科並不是很了解，但想必對於數學，要求肯定更嚴格。

那麼，數學功底究竟指的是什麼？是建立模型解決問題的能力？是對純數學的理解？是題海戰術後會有的必然結果？還是只要認真思考，保持好奇心和求知慾後，對數學的那種不再懼怕，反而更加喜歡？

我在專業方面和數學方面都並不深入，特別是兩年過去之後，觀念發生了一些變化，感覺之前基礎課程特別是數學課程的學習過於浮躁，真正學到的東西太少，並且對這些學科缺乏一種真正的理解，繼續學習接下來的課程感覺很痛苦，盯著一大堆公式和定理，感覺很陌生，像是來到了一個新的世界一樣手足無措，這種陌生的感覺來源之一，大概就是數學功底的欠缺吧~

所以前一段時間開始，重新拾起來之前草草學過的課程，再走一遍或者跑一遍，數學分析、代數、概率與數理統計、複分析、數理方法、基礎物理等等課程，但是在溫習的時候，也有一些困惑：

從功利主義的角度來說，我需要進一步學習更多的知識去實現初步的創造力，所要求的數學功底到底是什麼，應該達到一個怎樣的層次，有沒有什麼前輩走過的路？對於時間和精力，應該怎樣分配，什麼是重點？想要更多的了解，有沒有必要？

如果加上本身的享受和學習的熱情，單單在數學分析方面，就可以進行更廣泛和深入的了解，（現在正在讀《重溫微積分》），在打造自己數學功底和學習數學的過程中，應該怎樣把握一個度的問題？

說一下自己對這個問題的思考吧：現在自己的學習，無論是基礎學科還是業餘學習的心理學，在學習過程中，都努力把握好一個度，對於每一個知識點、定理和規律，無論是問問題、做練習題還是計算機模擬或者是做實驗，都是去理解和學習它的工具，能夠比較深刻的理解它就好，沒有去嘗試題海戰術（所以內心還有一種錯過什麼的感覺），也不會單盯著不動手。學習完一個科目之後，就畫一張思維導圖，俯瞰一下，學過什麼，大概心裡有數，就算以後忘了，也知道去哪裡快速的拾起來。

我個人暫時還是比較偏向於「消除對數學的恐懼感」這個偏形而上的說法，大概是因為我的數學功底比較薄弱，再加上應試教育的副作用，對數學還有一些心理陰影吧！

這個問題太模糊, 我也不是數學專業的, 很多事情沒有發言權. 但我還是有一些自己的體會.

我很贊同 @周瑤的回答. 我覺得對於理工科大學生來說, 數學首先要搞明白的一件事情就是定義, 所謂數學功底, 可能指的是理解定義, 並運用定義證明命題, 解決問題的能力.

我最近經常幫大一的學弟學妹們解決微積分和線性代數的問題. 我發現現在的高中生普遍沒有我上面所說的"數學功底". 最簡單的, 直接套定義的證明題他們都做不出來, 因為他們對於 $epsilon-delta$ 語言基本不能理解. 我在校內網路答疑社區上竟然見到有這樣的問題:

一個函數的極限 $lim_{x o a}f(x)=L$ 。
感覺這個有好幾種理解方式啊。比如說
version1：如果x向a靠近，那麼f(x)就向L靠近對吧
version2：只要我們把x移動的足夠靠近a，那麼f(x)可以足夠靠近L來達到我們滿意的一個程度
version3：對任意充分靠近a的x，f(x)都能最終以令人滿意的方式靠近L

他們就說著這種不精確的話, 自然最簡單的證明題都做不出來.

我前幾天有幸旁聽過一次大一的微積分課. 課後聽老師答疑, 他們問的問題都是非常不清楚. 造成這種不清楚的根源, 在我看來, 是定義沒有搞明白, 或者說沒有養成從定義出發思考問題的習慣. 回答大一新生的很多問題, 大部分情況下只需要引導他, 讓他自己說明白他的問題究竟是什麼. 比如當他們在說"無窮小", 在說"極限", 在說"趨於"時, 你只需要追問他你的這些詞回歸到最原始的定義究竟是什麼意思. 這樣下去一般只有兩種結果: 他發現他的問題自己就解決了, 或者他自己也不知道定義是什麼.

我以為造成這個現象的原因, 是中學數學教育存在問題. 在中學, 數學是不精確但又直觀的, 他們只需要用似是而非的概念做一些計算. 重要的是做題, 而不是概念本身. 而上了大學, 在高等數學中, 概念突然變得精確而又抽象, 這就導致了很多中學生不能適應, 出現了上面的各種問題.

當然, 第一次遇到新的定義可能會覺得不理解, 大概就是因為太抽象, 或者不能理解背後的 motivation.

對於太抽象的概念, 我覺得可以考慮一些具體的例子, 畢竟再抽象的概念也是從大量具體的例子中提煉出來的. 就像我們在考慮一個拓撲空間時, 或多或少總是在歐氏空間中考慮的. 再比如說, 在學習以抽象而著稱的範疇論時, 如果心中能想著代數拓撲中的諸多例子: 拓撲空間對於範疇(基本群胚), 連續映射對應函子, 同倫對應自然變換, 我想就會覺得範疇論好學很多.

對於定義背後的 motivation, 我覺得遇到一個好的老師/書, 可能在你初次接觸定義的時候就把 motivation 講得很清楚, 讓你覺得這個定義顯得自然. 比如為什麼要這麼定義開集? 因為描述"附近"這個概念, 最簡單直接的方式就是直接指定什麼是"附近". 如果初學時自己不能理解, 慢慢地在學習的過程中, 也會逐漸理解定義的妙處.

在我看來, 數學最大的魅力就在於下定義. 有人說 Manin 說過: "A good definition takes a group of first class mathematicians search in the dark for 30 years. " 恰當的定義可以讓我們用恰當的觀點看問題. 當我們從恰當的觀點看問題, 一切都變得簡單而自然.

你若是反駁我說工科生只需要用數學概念做計算, 解方程. 那我無言以對.

給你講個錢偉長先生的故事吧，這個故事是從戴世強老師那裡看來的（年代久遠出處找不到了，但來源相當可靠）。
錢偉長先生是學物理出生的（清華物理系畢業），在美國期間所做的工作主要是力學方面的，但嚴格的說起來錢先生應該是一位應用數學家。由於政治上的原因錢先生曾長時間無法正常工作，八十年代出來重新開始工作的時候，錢先生打算寫一本格林函數及其在電磁場中的應用的書。錢先生只是在四十年代在加拿大的時候從事過雷達及電磁場的相關工作，在開始寫這本書的時候已經過去了近四十年。錢先生在寫書的過程中沒有參考任何的資料，而是僅僅憑藉紙筆從最基本的微積分出發推導出了書中的幾百個公式。
所謂的數學「功底」和數學「能力」其實並不是一回事，數學能力主要還是體現在對於各種概念的理解上，而數學功底應該是推公式的本事。數學是不依靠記憶的，很多書本上學過的東西需要你能夠在離開書本之後還能夠再重新推導出來，這就是數學功底，這種本事主要還是要靠對基本知識點的紮實的理解和平時多推公式。

多圖慎入。數學研究中一般分為兩類：
氣宗：基礎數學，大概是搞下述研究的（基礎數學中的偉大成果的部分代表）

劍宗：數學的應用
這是一個比較寬泛的話題，我猜可能是題主想問的，還是讓我用例子來說明吧。我在下面文章里
數學到底是什麼？學數學到底學的是什麼，是計算還是數字？ - 張辰LMY 的回答
初步探討了一下，現摘錄部分：

我們有這種感覺，從高手（不一定是數學高手）那裡零散地學個一招半式往往效果不佳，要學就得系統學習。但有些人系統學習之後，效果還是不佳，於是感嘆天賦差距。對這些人追蹤分析發現，他們往往把這些系統方法進行局部修改，美其名曰符合自己實際情況。很多人覺得很正常，但其實沒細想。講個笑話：我覺得歐氏幾何挺好的，但感覺平行公理不合理，得改一改，於是我認為我系統掌握了歐氏幾何。了解非歐幾何的人很容易看出笑點。推而廣之，這也是為什麼外國很多東西經過天朝符合國情的本土化改造之後，往往南轅北轍，事與願違之所在。

上面的例子有點抽象，再說一個具體的例子。請看下圖：

試猜測：圖中那一個女孩是著名明星佟麗婭小時候？

答案是右四。難度並不是特別大，關鍵是你的思考方式。我通過三個判斷：1長相好；2男孩子氣質（想想丫爺綽號）；3尖下巴。我是佟麗婭的粉絲，所以知道佟麗婭有丫爺的綽號。

上述三判法的理論基礎來自概率論： $P=1-(1-P_1)(1-P_2)(1-P_3)$

推而廣之，在現實生活中做一個決策，只要能找出三個相互獨立的理由，哪怕每個理由的把握只有70%，三判法的準確性也有97.3%！控制論中，並行設計也是基於上述數學理論。

我想，這兩個例子算是數學的活學活用吧，不同於傳統的數學建模。

類似的例子還有解一些很奇怪的方程，比如

一個看起來很bt的三角函數方程組就這樣用高一方法解決了。

有時候，需要洞悉某些數的更深層次含義，比如

有時候需要洞察背後的主導原因，比如三角求和

當然上面的例子比較簡單，抽象一點是如何去猜結論。例如

最後說說建模吧，最有代表性的例子是利用太陽直射點測量地球周長（經典建模）

另一個看圖估算爆炸能量：

上述兩個例子應該是數學功力運用的經典案例。

與氣宗不同，劍宗多數情況使用的數學工具在氣宗看來很naive，但卻非常靈活。將數學工具運用在A上，必須對數學和A都很熟悉（不是只數學好就OK了），這樣才能化腐朽為神奇。同時不得不指出，現實世界問題更複雜，上述例子還是過於理想化了，但這兩個例子做到了在客觀條件有限情況下，最大可能挖掘數學潛力來破解難題，所以在後人看來仍然是經典。

最後做一個總結：數學功底是什麼？難回答。什麼是數學功底？可以說說：
1、看出問題的主導原因或本質（比如三角級數求和）
2、能進行一些不同「數學語言」的翻譯轉化（如用正弦定理解三角方程）
3、能將現實問題提煉要素，進行建模，並利用已掌握的數學工具解決掉（如估算原子彈當量）。

能很快的在符號邏輯和幾何直覺之間相互轉換，遊刃有餘。可以用很粗糙和sloppy的語言來討論，因為確信坐下來寫幾張紙的話一定能把這些東西嚴格寫出來。

題主，假如你天天在家鍛煉身體，然後來知乎提一個問題說你每天堅持鍛煉，長了很多肌肉，但是不知道怎麼樣才能讓女生滿意，應該怎麼辦呢？

答案是你應該找一個女朋友，然後看她是否滿意，如果她滿意，你就和她滾床單，如果不滿意，你就繼續鍛煉，直到她滿意為止，然後和她滾床單。而不是一邊陶醉於鍛鍊出的肌肉塊數，一邊擔心從未謀面的女孩不滿意。

數學只是工具，不管你學多少都不見底，你真正需要的是找一件事做，把學到的東西用上，如果夠用了就繼續往前，遇到不懂的東西就去找相關的數學理論學習。

人的自信心來自於解決問題，而不是學習工具。如果不是純粹搞數學研究，你現在的基礎在很多工程領域已經足夠了。

如果按照學生的評價體系來看的話，說一個人的數學功底好，基本上指的是他能夠解決大家做不出來的數學難題，能夠在考試中獲得不錯的分數。如果是高中數學的話，這些基本上可以通過合理的練習而達到一個還不錯的水平。如果是大學數學的話，基本上也可以通過高中的一套學習技巧而把自己的數學提高到一個比同齡人高的水平。

如果是以數學工作者的標準來看的話，數學功底一般來說就是這個人解決未知數學難題的能力。在學校的時候，通常習題都有相對標準的答案，花點時間做或者積極與人討論總能夠得到答案。但是在科研工作的時候，你面對的是一個未知的領域，科研難題是否合理，是否正確，是否能夠做出來都是未知的。對於數學功底強的人，他們總會有其他人永遠想不到的idea，在意志力方面總是比其他人更加堅韌，在做難題的速度方面總是超越其他人。普通人可能一年一個不錯的idea，但是對於頂尖高手而言，可能幾個月，幾天甚至幾個小時就有一些不錯的idea。然後能夠把這些idea做成框架，寫成論文發表。

在學校的時候，都是接受知識為主，花功夫學習總能夠學得不錯。但是在科研或者工作中，能夠想出別人想不出來的點子才是關鍵，能夠把這些點子轉化為論文或者生產力才能夠表示自己的數學功底強於別人。

我不同意某些人的說法，所謂的數學功底並沒有什麼統一的標準，至於要轉化成論文和生產力就更是功利之言。Oka和Sato一輩子只寫十篇文章，難道他們的數學功底不行？Kontsevich也很少寫論文，而且很少嚴格證明定理，難道他的功底不行？

學數學，最重要的就是要快樂。只要是花了足夠多的時間，無論你是一直憋在屋裡做習題，還是滿世界跑參加seminar，都能夠在某些方面達到別人不能企及的水平，這就是我認為的數學功底。反之，如果你不願意花時間，心思都在別的事情上，就算你到處抱大腿，寫paper吃飯，我也沒辦法尊重你，因為你毫無功底可言。

不少人老喜歡講要解決問題，還是什麼前人未知的問題。這些人應該捫心自問，你們解決過這樣的問題嗎？古往今來的數學史上，又有幾個人真正解決過一些有意思的問題？某些人嘴上說要解決困難問題，私底下加了一堆沒辦法驗證的假設，或者改了幾個係數，就和兩三個不知所謂的人粗製濫造了幾篇文章發表，還美其名曰解決了問題，轉化為了生產力，實在是太可笑了！這就是你們所謂的功底？

據我所知，大多數人解決的所謂問題，專家essentially都是知道怎麼做的。非要寫篇文章發表，只是為了滿足吃飯這個需求而已，根本就談不上對數學做了貢獻。自己都不能做到問心無愧，卻大言不慚地教育年輕人，要多解決問題，多寫paper，轉化為實際生產力，真是看不下去。

你們去Youtube上找幾個Kashiwara或者Siu給talk的視頻，看看什麼叫數學功底。那麼複雜的數學，他們左手插口袋裡，右手用粉筆寫黑板，什麼參考材料都不看，行雲流水般講出每一個細節，而其他人連聽懂的能力都沒有。什麼時候數學能做到完全沉浸在自己的世界裡，什麼時候也就算有了數學功底。整天考慮怎麼發paper，那都是屌絲吃飯那一套，說白了就是能力差才只能搞點商業活動，還談什麼功底呢？

什麼是對於數學的適應性呢？Kolmogorov 總結為以下三點：
(1)演算法能力：即對於複雜式子作高明的變形，對於用標準方法解不了的方程式作巧妙的解決的能力（僅記住許多定理、公式是不行的）。
(2)幾何學直觀：對於抽象的東西，能夠在頭腦中像畫畫一樣描繪出來並加以思考。
(3)一步一步地作邏輯性推理的能力：例如能夠正確地應用數學歸納法。

引自：伊藤清《Kolmogorov的數學觀與業績》

謝妖~

首先，說一下，數學功底分很多種，純數學方向和應用數學方向要求的功底肯定是不一樣，以下回答我只對純數學方向的負責，剩下都是我瞎猜的。

就純數學而言，數學功底會指你對於一些基本定理的熟悉程度（包括證明和運用）。對於其他比如工科，可能指你運用數學解決問題的能力（比如建模？），相比之下一些東西怎麼證明並不是那麼重要，只要你「知道」就好。

我給知道打了個引號，是因為這個知道不是指你記住了這個公式，而是指你會使用它，你知道什麼時候可以用，什麼時候不能用，你知道用了它你可以得到了什麼，你知道為什麼這裡要用公式A而不是公式B。

數學是一種語言，一套思考方式（注意是一套不是一種），一個只在你腦子裡的邏輯體系。學習數學，就是為了構建這個體系，在你的腦子裡硬生生的造一座高樓出來。

對於繼續搞數學的人來說，我們要確保自己腳下的樓房地基是紮實的，這樣我們才能往上繼續蓋樓。
對於不搞數學的人來說，你們要確保自己所在的那一層窗戶是乾淨的，視野是開闊的，這樣你才能靠數學大廈看到更廣闊的風景。

數學能力據本人理解大致為以下幾種能力
一、抽象能力：產生一種數學模型化思考問題的習慣，在研究各種問題時會有意識無意識的去將它進行抽象化思考，會留意變數，常量，函數關係，參數敏感度，趨勢等等數學特徵

二、計算能力：微積分，常偏微分方程，線性代數等等

三、邏輯推理能力：明確充分非必要，必要非充非，充要條件，以及其他簡單基礎的集合論知識；可以進行簡單推理，從已知到未知（不過據說別的學科有很多結論是從實證中直接得出？本人學數學，不太了解）

四、知識遷移：非數學愛好者研究者學數學最最重要的一點是，你學了要會用，能把數學知識和你要解決的問題聯繫起來，能正確使用數學概念，定理，公式，推導。

良好的數學直覺。

這裡的直覺指的不是一無所學還是一張白紙的時候憑藉生活經驗得出的直覺，而是經過訓練後得到的對數學的感覺，拿到一個新問題以後能夠敏銳地意識到答案應該是什麼（不是所謂的三短一長選最長之類的考試技巧，而是已經在大腦里建立了一個大致的證明過程，這類問題的XXX性質要求答案必須是這樣），或者什麼方法可以求解。如果不能做到這一步，也能夠大致把握問題的難度（比如這個問題可以規約到某個open problem/這個東西在ZFC公理體系下不可判定/這題雖然我暫時沒有什麼頭緒，但是看上去是可解的，算幾頁紙應該能算出來等等）。

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最後，我以為一切層次的數學教學，其終極目的都應該是培養良好的數學直覺。

既然不是數學專業，我覺得對於非數學專業有個好的數學功底會這樣

1. 在自己領域的論文里看到數學公式不會發怵，哪怕是新的理論沒見過。看數學語言心理狀況和看文字一樣自然。

2. 知道自己領域可能會用到的數學知識，這樣看到自己領域的論文經過自己琢磨能夠看明白。微積分線性代數概率論自然是必須，EE也許要學傅立葉小波等等，我不是工科專業具體不了解。

3. 前面很多人答分析問題能力什麼的說起來太虛，我覺得學數學最大的收穫就是培養了自己的耐性，能夠堅持看下去。剛拿到一本數學書覺得是天書，讀到後來揣摩出其中的結構，這種感覺很棒。

4. 至於說需要到什麼地步，根據你的專業定吧。在看你的專業書/論文數學不是最大的障礙即可。數學每個方向都是無底洞，有針對地學你需要的數學方向學到你需要的深度。

5. 說到底，見得多了，不怕。

匆匆答題，有點文不對題，見諒。

/*
不做點題恐怕學不好數學，看明白書上的推導和能做出來後面的題是兩碼事
*/

提供一個不同的觀點，「數學功底」這個說法已經脫離了作為學科的數學，它已經是一個消費社會的新符號。
這要從這幾年機器學習的火熱說起，眾所周知機器學習雖然需要那麼點數學，但主流的那些東西用到的數學在純數學出身的眼裡基本上是不夠看的。但為什麼那麼多人吹鼓機器學習需要「極其深厚的數學功底」？然後你再看一看csdn那麼多的技術博客掛著一個叫什麼數學之美的專欄然後放一些和數學基本搭不上邊的東西（尤其喜歡引用某本打著數學之美的旗號寫的全是NLP的書），在看看知乎live里那些「十分鐘理解線性代數」，你就知道了這又是成功人士的一場收割，「數學功底」、「數學之美」的本質和羅輯思維，和李笑來成功學是一致的。也有一些數學系出身的人吹鼓數學思維（數學背景）讓他們轉行更成功，雖然這些人沒人能準確地說出深刻培養他們數學思維的泛函課是如何指導他寫了幾百道數據結構題拿到互聯網公司offer的。
現在你看到了兩個極端，一方面是啥都不會也不知道怎麼去學，另一方面是學了太多對自己工作沒用的東西，他們的共同點是被一種意識形態而不是實際需求所驅使。所以說，至於如何把握這個度的問題，當然要誠實地問你自己，並謹慎對待他人的觀點。

謝邀@optimization。作為一隻數學菜鳥，在我看來，數學直覺是一種非常玄的東西，他是你對於數學的理解在足夠深時候才能擁有的一種感覺。

很多的數學證明都是有一種範式，或者複雜或者簡單，但是往往閱讀證明本身並不能得到一個直觀的證明感覺。這裡直觀與所謂的物理直觀沒關係，數學上更喜歡所謂的幾何直觀。雖然往往一個問題的幾何直觀描述並不是證明，但是卻指明了一條道路。就好比在暴風雨中看見了燈塔，你知道怎麼走，但是路卻很難走。而數學直覺我覺得就是發現幾何直觀的能力。一旦你能獨立的發現幾何直觀，並且將之轉化為嚴謹的數學語言，那麼數學可能就入門了吧。

就這樣嗯

證明沒意思知道定理為什麼對才重要
然後比較重要的就是會玩toy model能算

作為一個二本院校數學系大三考研黨，這個問題也曾思忖好久，一家之言難免片面，不過還是要分享給大家。

數學功底實際上是一個很模糊的概念，對不同行業的人有不同的意義，題主是工科專業，那麼我想好的數學功底對你來說就是：

1.看見一個函數能迅速準確寫出它的導數，積分，展開式（taylor或者fourier或者其他工程用特殊函數）；

2.基本知道所用的工具的來源，適用範圍，計算複雜度，模型符合準確度等；

3.會做一些簡單的證明，會對已有數學知識進行組合，會玩出簡單新花樣（歷史上這樣的例子太多了，比如歐拉自信意識流π^2/6無窮乘積展開，比如fourier無腦三角級數展開，這只是舉個例子，當今世界幾乎沒有人能達到這種高度）；

4.建模能力（作為數學專業的我最害怕就這個），就是對具體問題數學化，展開說就是明確系統的因果，自變數和因變數，抓主要矛盾，變數變化關係數量化，求解，討論適用範圍及誤差；

5.最重要的，弘揚和培育數學精神。

可能對第五點題主有些困惑，實話實說，第五點其實是前四個的總結和深化，直接說內涵不好講，先說點別的。

現在我們學數學，或者任何學習，有一個很大的目的，就是「學以致用」，學了就要用。這在其他應用行業是一個很了不起的行業精神，就好比金融就是為了資金流動，工程就是為了發展等等。但是數學如果也這樣就似乎有些不妥，因為世界上學數學的人，比真正用到數學的人多得多，學數學一共三種人，第一是社科人士，高數考試鈴聲打響後，他們可能一輩子用不到數學；第二是像題主這樣理工人士，行業中數學無處不在，這就是真正用到數學的人；

而第三種就是我們這樣搞純數學研究的，我們對數學的興趣遠遠大於怎麼使用它，我們學數學不是為了用它，而是為了發展它。

那為什麼幾乎所有的人都要學數學，尤其是跟數學幾乎不沾邊的第一種人呢？

你以後可能遇不到數學問題，但是你不可能遇不到其他問題，而你解決其他問題的時候，其實跟解決數學問題沒什麼兩樣。

第一，你遇見一個問題，首先要知道這究竟是個什麼問題。你做數學題就遇見過這種情況，這叫「審問題，明確題目所求」。

第二，明確問題所求之後，你要知道你現在手裡有什麼資源，這些東西在你手裡能發揮多大作用，發揮作用以後離真正解決還有多遠，在數學問題中，這叫「審條件，聯繫條件與問題」。

第三，在明確你手裡有什麼資源之後，你要將它們科學統籌有機地結合在一起，爭取發揮最大效果，這在數學上叫做「明確條件定理作用及使用範圍，合理論證」。

第四，如果解決了問題，回顧整個過程，是不是有哪些方面有什麼不妥？是不是什麼地方分配資源有些過剩，有些地方不足？是不是有些地方理解錯誤？以後怎麼避免？等等，做數學題這叫「回顧總結整個數學過程，達到情感態度價值觀要求」。

雖然解決問題時候沒有用到一丁點數學知識，但是卻用到了數學的思維方式，用到了只有通過數學訓練得來的能力（或者保守點說這種能力通過數學訓練是最高效的）。真正的數學精神，我想就是這個，我相信這也可以作為「數學功底」來理解。

數學有得天獨厚的優勢。前面有知友回答提到數學的嚴格性，的確，這可能是數學給踏入數學大門初學者的第一印象，但這僅僅是一個方面，或者不妨稱之為數學行業標準。數學還有其他特點，我最欣賞的是數學的自身完備性，就是數學的建立和發展不依賴於其他任何學科，自成體系，數學理論的正確可以用自身的理論去驗證（這時候別跟我提哥德爾不完備性），就是所謂數學證明。而其他學科像物理化學，要驗證什麼理論的正確就必！須！做！實！驗！實驗說明一切，而實驗就受各種各樣條件的限制，比如場地資金時間人手等等。反觀數學，一張紙一支筆就夠了，最多一台電腦。

題主是理工科人士，除了一開始一些很實際的幾點之外，我想最重要的是千萬別厭惡了數學，要將數學作為最後手段和最終武器，只要你用對了，數學任何時候任何地點絕對不會背叛你。學好數學當然還要注意其他一些方面，挑最重要的說：動手做。舉個不恰當的例子就是你看lol大神對線刷兵貌似很輕鬆，但是你就是怎麼也做不到十分鐘八十刀（哈哈，我也是lol的一個小小愛好者），因為你不做，你就不知道冰山下面有多大。

數學功底體現在面上可能就是所謂快准狠，但是實際上又遠不止這些。

先不說了，題主有想法咱再討論，私信也ok。

看題主你對問題的描述中，隱約能感受到你的焦慮，而你現在最想知道可能是如何學習數學，錯過前兩年數學基礎課學習，基礎沒打好，得花多大的時間精力去補，補到什麼程度。

總體上來說，題主你無需過多擔心。

對於你這種情況，最好的方式是補救方式不是回頭去從頭到尾系統的滾一遍那些數學分析，線性代數，概率論，複分析……而是當你在目前某門數學課程（比如說泛函分析，傅里葉分析）學習過程中所遇到的那些可能涉及到上述那些基礎課里的內容，而你又不太清晰時，比如說某些定義，定理，性質，計算方法。這時你j可以試著把你不清晰，不理解的東西寫成一個問題列表，然後翻回那些書，看具體內容，在看這些內容時可能又出現一些問題牽涉到這門課其他章節的內容，試著不斷擴展你的問題列表，最後隨著你反覆的前後翻看這本書直到理解問題，最終解決列表大部分問題。剩下的問題是最有價值的，拿去問那些數學專業的學生或教授，他們會對你刮目相看。

舉個簡單的例子解釋這種方發。假設你現在有門課要考試，而你完全沒有好好學，現在我丟幾套試卷你，你瞄著問題去看書，也能掌握這本書或是這門課60%的內容。這種以問題驅動的方式去學習不僅能給你帶來巨大的樂趣，還能讓你專註精力在你目前的數學課程上。大學數學課程有很多，沒有必要門門都精通，只要你哪怕是一門學得特別厲害，考試全班第一或者是滿分都足以讓你擺脫你對數學的恐懼。所以你可以試著先專註精力在某門你最最感興趣的數學課上，努力把它學到最好。

然而，以上只是緩衝期。當你斷斷續續補救了些分析，代數的知識，回翻了幾本書後。你完全可以非常愉快的系統的仔細的去回讀那幾本書，因為在緩衝期補救的時候，你大致應該看完那幾本書的1/3,，看某些定理的大段的證明，花費的時間也比上次少。對於系統複習那幾本書的時間，會隨著你對它的不間斷回翻，而收斂到一個你能接受的值。

當然，如果你悟出了，定義--定理--性質+典型正例反例的套路，開始思考什麼條件下定理成立，條件是否充要，怎樣減弱條件有同樣結論，加強條件後又會有哪些有趣的結論產生時，數學專業歡迎你O(∩_∩)O哈哈~。

最後我想強調的是，方法不是萬能的，萬能的是人的大腦。
借用我在普利斯頓大學師兄的一句話：如果你是聰明人，學什麼不重要，做多少知識預備也不重要，我丟給你幾本書，你就能想盡一切方法去理解，弄懂它。

**********************************跑題的割一刀*******************************************************

似乎還是沒有回答數學功底指什麼這個問題。

個人認為不同領域有不同看法吧。作為一個學數學的，個人的理解是尋找問題的充要條件思維方式 + 堅實的基礎課程訓練。

如果你不是以數學為職業，靠數學吃飯的話，數學只是一門工具。如果你足夠聰明，或者是足夠需要這件工具，你會不顧一切的去理解，哪些你需要的內容，有取捨的去攝取哪些你覺得有趣或重要的內容。

說得有點亂，望輕拍

我與幾個高票答案想法有所不同，我覺得數學基礎首先是知識，是你學過什麼
首先我覺得題主經事尚少，我在大一大二的時候也曾迷惑過「數學基礎「的問題，如今走到現在，多少有點感悟。
因為對金融工程和機器學習都有興趣，我開讀R. Durret 的Probability Theory and Example。前兩張幾乎被虐掉了，每一點內容都能看懂，但是時間長了基本就暈了，後來覺得是自己測度論基礎太差，本人看了royden前面部分實變函數考完拿個了A之後就再沒想過它，後來自打50大板重讀周民強實變前五章，回過頭來再看概率，舒暢不少。

後來開始做research，開讀兩本discontinuous galerkin 和 finite element theory的理論書籍，幾乎是看不懂的狀態，讀了兩三章就基本放棄了，看相關的paper 也是只看演算法，不看analysis。究其原因，是自己泛函功底不行，拓撲沒學過。。。sobleve space 基礎也沒有。後來補了泛函和拓撲，跟著老師上了點課學了點sobleve space 的皮毛，現在總算舒服點。

上面兩個都是我慘痛的經歷，當然我也有舒服一點的時候，我本科畢業論文是做用markov 來model credit rating 然後做option pricing，我之前只學過本科calculus-based的概率論，隨機過程沒學過，數理金融也沒學過，然後我使用了一個星期時間讀完了ross 和 john hull 書的相關章節學了markov chain，brownian motion，BS formular， stochastic calculus，option pricing ，然後看paper 順暢無比。究其原因，我數學分析學得太熟了（大一時候陳紀修默默刷完兩遍）。。。

numerical pde做久了，我現在翻了一些machine learning里的optimization里的東西，覺得至少裡面的數學不是特別難，可能內在的intuition 很難理解，但是至少數學不會吃虧。

我覺得我經歷的所謂數學基礎的層次軸心就是數學分析線性代數----實變函數/測度論---泛函分析-----sobleve space，從此軸心向外延伸出各種分支。題主所提的概率論數理統計，數學物理方法基本是按第一層次就是數學分析和線性代數基礎來的。

因為學科的不同，我不知道題主要用什麼數學。題主一直在刷各種微積分，首先還是在不斷熟練數學分析，知識在一個層面擴展，未曾上升。我的建議是，如果沒有考研壓力，題主應該多接觸自己專業的專業課，程度更好的話接觸現在科研的相關論文，看裡面用到什麼數學，然後再去補。如果用高等概率論就去學實變然後學概率，用linear operator 就去學泛函，可能還有一些會用到傅立葉啊，numerical algebra啊，會有抽象空間的內容，題主如果ode pde 學過也能應付。總之沒必要繼續刷數分。個人覺得數分的內容課本上學兩遍就夠了，剩下的功夫要在實踐中獲得（ps 其實積分都不怎麼用啦，我現在給大一ta 積分題我都不會做，我現在research 里全是數值積分。刷題這種都是為了過考試啦，能提高怎樣的數學思維？題目都是設計出來為了檢查鞏固對知識的理解，數學功底要靠讀書，鄙人刷過菲赫金格爾茨的敢亂說么）。如果樓主真的想提高數學基礎，就多讀點更高層面的東西吧。

等你讀了n偏paper 自學了好幾門課肚子里有東西的時候，你自然你知道數學功底是什麼

哲學。

試著回答一下這個問題吧。我覺得，是從物理意義中提煉出抽象的概念，所以具備了反過來從抽象的數學看到直觀的物理意義的能力。我這裡說的物理不是特指物理學，而是相對於數學來說的直覺的素材。如果有了這個能力，就能從物理提煉數學，從數學回到物理。數理不分家。舉個例子，很多人覺得線性代數不好學，事實上，我剛開始學的時候也痛苦，不知道書上唧唧歪歪想表達什麼，所以只能形式邏輯地學，很不接地氣。後來學到了後面，有些內容，我通過還原他們的物理意義，接地氣了，才把它學透徹。我簡單說說吧，不展開來講。比如說，我把矩陣看作方程組的係數，那麼，矩陣其實是對未知數的一種描述，所以，矩陣就是信息，秩就是描述獨立的方程的個數，所以是信息的一種度量。線性變換就是對方程做等價的變換。這樣就豁然開朗了。數學功底好，我覺得應該是融匯了物理直覺的理解，而不是脫離於客觀實踐的純粹形式邏輯。這樣，才能從實踐中來，到實踐中去。能夠看到物理世界的數學本質，不止於膚淺。能夠從數學符號中看到背後的物理意義，不流於空洞。
最近在學習實變函數論，看完了以後，會繼續看泛函分析等。有興趣的朋友可以和我交流。補充一下，我今年32了，工作了。雖然工作很累，我已經連續加班兩個禮拜了。我都是在地鐵上，還有失眠的時候看數學。所以畏難的朋友不妨想想我。希望我能貢獻一點正能量。當然，學數學需要天賦，實在不適合學數學的，也別難為自己。
數學雖然晦澀了點，但是，其實一門課程往往只有很少的幾個難點，弄透徹了，基本也就所向披靡。弄透徹的方法就是剛才描述的方法。
我因為比較喜歡內省，所以元認知能力很強。我能清晰地回顧並總結我的學習過程，甚至是從三四歲到如今世界觀的演變。也包括數學。最近在整理一些元認知的素材，也寫了一點博客。甚至我有製作一些講解數學的視頻，用普通人的智商就能看懂數學的視頻。主題就是，既要陽春白雪，也要下里巴人。絕不用看似高深的符號來嚇唬人。而是要用大白話來演繹數學。數學本來就來源於生活，所以他不應該如此面目可憎。
末了，再啰嗦一句，數學功底好，會有這樣一種外在表現，那就是，無論哪門課程，都可以用最簡單的語言描述他的精髓。面對複雜的問題，能用一句話刻畫它的本質。大道至簡！