圓錐體的體積公式是怎麼推導出來的？

11-17

設 $B$ 為底面閉圓盤， $K$ 為高度為 $h$ 的椎體，用勒貝格積分有
$lambda_3(K)=int_0^h f(z) mathrm{d}z$
其中 $f(z)$ 為縱坐標在 $z$ 處截面的二維測度。根據椎體的定義我們有
$f(z)=lambda_2 [(1- frac{z}{h})B]=(1- frac{z}{h})^2lambda_2(B)$
因此
$lambda_3(K)=int_0^hleft(1-frac{z}{h} ight)^2lambda_2(B) mathrm{d}z=frac{h}{3}lambda_2(B)$
QED.

$V = int_{V}{ m d}V = int_{V}{ ablacdotvec{r} over 3},{ m d}V = {1 over 3}int_{S}vec{r}cdot{ m d}vec{S}={1 over 3}int_{mbox{base}}hleftvert{ m d}vec{S} ightvert = {1 over 3}hA$

巴普斯定理

根據體積定義，對橫截面積線積分即可得到體積。
在此題中，選取圓錐與底面平行的橫截面對高積分。

$V = int_{0}^{H} dS = int_{0}^{H} S(h)dh = int_{0}^{H} pi r^2(h)dh = int_{0}^{H} pi (frac{Rh}{H})^2dh \ = frac{pi R^2}{H^2} int_{0}^{H} h^2 dh = frac{pi R^2}{H^2} frac{1}{3} h^3 |_{0}^{H} = frac{1}{3} pi R^2H = frac{1}{3} S_0 H$

其中 R 為底面半徑, H 為圓錐高.
當從頂點計算高為 h 時, 截面半徑為 Rh/H

最後式中的 $S_0$ 為底面面積

封閉曲線 c 處於一個平面中，該平面外一點 V 到該平面的距離為 h ，點P為曲線c上的一動點，線 VP 為發生線，點P沿著曲線c運動一圈，線VP掃掠出的曲面與曲線c圍起來的面構成一個體，這個體的體積為V，曲線c圍起來的面積為A，則有以下關係
$V=frac{1}{3} Ah$

至於證明，用微積分，目前還沒想到不用微積分的證明方法。

各種稜錐體積公式是上面的特例。圓錐，不管是直圓錐還是斜圓錐都可從上式來。

對於這種中學類問題，我發現在知乎會出現一些很個性的回答，這讓我想到一個故事：

不必微積分。初等證明是有的 ( http://www.docin.com/p-204705682.html )，高中課本或者某疑似教輔上就有，關鍵詞是祖暅原理 ( http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%A5%96%E6%9A%85%E5%8E%9F%E7%90%86 )。祖暅是祖沖之的兒子，比微積分爺爺年長一千多歲。

關於能不能用微積分的初等方法得到圓錐的體積，我認為是不可能的。

在此我覺得應該給初等方法下一個定義。

我認為可以稱之為初等方法的只能用到以下幾條性質：

1.單位邊長的正方形面積為1，正方體體積為1。
2.一個幾何形狀的面積或者體積，等於各部分的面積或體積之和。
3.全等圖形的面積相等。
4.相似幾何圖形的面積的比例，等於對應邊長比例的平方。相似幾何圖形體積的比例，等於對應邊長比例的立方。
並且在用2的時候，「各部分」的數量只能是有限的，不能分成無限個部分，不然涉及無限就不是初等方法了。

用以上性質，在初等範圍內，可以得到長方形的面積(用兩個全等長方形加上另外兩個正方形，組成另一個大正方形。用性質1234求面積)。可以得到直角三角形的面積（兩個全等直角三角形組成一個長方形，用到2和3）。可以得到任意三角形的面積為底乘以高(任意三角形加上一個直角三角形可以組成一個直角三角形，性質2來求面積)，等等。

但應該無法得到圓的周長，面積這些量。

如果用超出此外的知識，我認為就不能稱之為初等方法了。

這個問題，我們讓美游幫你解釋一下。

來源於：Fate／kaleid liner プリズマ☆イリヤ

把圓錐看成用直角三角形旋轉形成的旋轉體，則體積等於直角三角形重心走過的距離乘以直角三角形面積，即

這個不需要用到微積分的，有一個非常好的初等證明在《幾何原本》中。
補充：是第十二卷的第10個命題。

首先需要證明，所有底面積相同，高度相同的椎體體積相等。就是稜錐圓錐其實是一回事。
然後證明稜錐的體積是1/3 的柱體，即可。

h/H=r/R，所以r=hR/H

h/H=r/R，所以r=hR/H
以r為半徑的圓，面積S=πr2=π(hR/H)^2
所以以r為半徑的薄片的體積dV=S*dh=π(hR/H)^2*dh
所以這些薄片從0（頂）至H（底）累積起來，為π(hR/H)^2*dh在0至H上的定積分。

設圓錐的底面面積為S，底面半徑為R，高為H。任取一橫截面，設此橫截面的半徑為r，距頂點的高為h。

設圓錐的底面面積為S，底面半徑為R，高為H。任取一橫截面，設此橫截面的半徑為r，距頂點的高為h。
則所選取的橫截面面積Sr=S*（h/H）^2
對高做積分得體積=做Sr的積分（從0到H）=1/3SH
直接上圖看得明白

題主如果不是特別理解微積分，我用無窮級數的思想給你解答一下，現以高為1，底面半徑為1的圓錐來推導。無窮級數，類比於高中的數列求和。

這個問題只需要一點簡單的微積分知識。去翻翻高等數學課本吧。

祖暅原理。首先等底等高的一切錐體體積相等可以輕鬆用此原理證明。再將一個三角柱劈兩刀，成為三個兩兩等底等高的三角錐，那麼一個三角錐的體積是等底等高柱體的三分之一也沒有問題了。

在微積分面世之前，可以用「把一個圓錐體按進相同底面積圓柱形裝滿水的水桶，然後測量溢出水量」的方法求得圓錐體體積公式。或者說近似公式？

這個是小學六年級下冊的知識內容（別問我我怎麼知道）
已知V長=長×寬×高=a×b×c
相當於算出長方形的底面積再×高
由此可以推導出圓柱的體積公式
V圓=兀×r×r×h=兀×半徑的平方（相當於圓柱的底面積）×高
由把兩個等底等高的圓柱和圓錐放在一起，把水灌滿圓錐後，講當中的水倒入圓柱發現水占圓柱的三分之一。
得出：兩個等底等高的圓柱和圓錐，圓錐的體積是圓柱的三分之一，圓柱的體積是圓錐的三倍。
所以V圓錐=兀×r×r×h（圓柱體積公式）×三分之一（或者÷3）

圓柱體的體積公式自然是很好理解了，然後圓錐嘛……我記得我的老師當時是拿著底面積和高相同的圓錐和圓柱的容器，用圓錐舀了滿滿的水，三次，圓柱的容器滿了……