把一張紙捏成一個球，球的大小和紙的大小有什麼關係？

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謝邀。
//按耐不住激動澎湃的心情朝天怒吼：終於有人邀請我了！
大家都知道，球的大小與紙的大小，也就是紙的質量的比例並不是簡單的3次方的關係，而是成一種冪律：
m=D^d 即 log m = d log D
其中D為紙團直徑，m為質量，d為常數，稱為Fractal Dimension分形維度。這個常數顯而易見地在2到3之間。粗淺地說，它刻畫了紙團這種圖形的分形性質。
本來我以為到這裡就為止了，因為我沒有認為會有誰真的無聊的把一堆的紙張搓成團再測量它們的直徑。可是，這些資料還真的有。以下圖像使用對數標度以便於線性擬合。
根據Yale的一項研究 via Fractal Geometry，紙團的分形維度大致為2.5.本研究基於5個樣本。（太少了！）

根據Yale的另一項研究 via Fractal Geometry，基於2張紙製成的4個紙團，可以得到硬的複印紙團，d=2.39;白色條狀作文紙，d=2.78.（這麼少的樣本是在玩嗎！搓個紙團有這麼難嗎！）

被老美玩票態度激怒的我怒搜文獻，終於找到了一項靠譜的，有統計意義的研究：

被老美玩票態度激怒的我怒搜文獻，終於找到了一項靠譜的，有統計意義的研究：Paper crushes fractally ，作者為巴西的M A F Gomes 。這項研究在兩個雜誌上都通過了，一篇17引用一篇42引用。你們這些引用數個位的渣渣們顫抖了嗎？

這項研究共進行了89次試驗，4361次測量。進行如此大規模測量的原因就是他開了一門給大一新生的實驗物理課，可以順便讓他們捏紙團而不用自己捏。總之，結果可以這麼表示：

解釋一下就是，對於89個學生，每個人自己捏的紙團都有著分形的性質，但是匯總起來發現d值不同。上圖表示了d值的頻率密度。雖然不是完美的正態分布，但也基本可以接受為d的平均值為2.51.

解釋一下就是，對於89個學生，每個人自己捏的紙團都有著分形的性質，但是匯總起來發現d值不同。上圖表示了d值的頻率密度。雖然不是完美的正態分布，但也基本可以接受為d的平均值為2.51.
這位Gomes有一個發現，就是這個d不是對所有紙團都固定的，而是與紙的種類有關。比如剛才的那張圖，就是面密度為80g/m^2 的紙的結果。所以他又準備了不同種類的紙，以面密度（單位面積的質量）為標準。結果如下：

其中橫軸為面密度，縱軸為分形維度d。上面的空心點是實驗數據，虛線為擬合結果：

其中橫軸為面密度，縱軸為分形維度d。上面的空心點是實驗數據，虛線為擬合結果：
d=4.06σ^(-0.11)
d為分形維度，σ為面密度。
確實，看起來擬合得相當好，但是要注意這不能算什麼結果，因為不僅數據相當少，而且誤差也很大。但是無論如何，我們也沒有更好的結果了。（其實是沒有更無聊的教授了吧！）
所以，結論就是：紙張質量與紙團的大小的d次成正比，但是d對於不同的紙張不同。若是想計算，可以查詢紙張的面密度套入上面的經驗公式。順便給數據：通常的A4複印紙70g/m2 。

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上面@王瑞揚 引用的Gomes的論文，提供了不少實驗數據，但是並沒有把問題完全解決。我可以列出其中4個主要的：
（1）最後曲線擬合裡面，每一個擬合點的波動都很大，到底是哪些關鍵變數被忽略了？
（2）特別地，紙張除了密度外，其他性質到底會不會影響，比如彈性和可塑性？
（3）在揉成球的過程中，施加的力的大小，會不會影響球的半徑？
（4）「分形維度」和通常所說的空間維度，有什麼不一樣嗎？

將紙揉成球的過程，並不像看起來那麼簡單。其幾何細節是十分複雜和多樣的，這方面有很多的論文（Nature 1999 ; PRL 2008 ; Nature Materials 2008; PNAS 2011 等等）。看幾個圖可能會更有直觀感受：

這是模擬的摺疊過程。

這是模擬的摺疊過程。

這是不同性質的薄片摺疊的剖面圖。

這是不同性質的薄片摺疊的剖面圖。

多數人應該都能認同，S和R的基本關係是：

其中，S紙面積，R紙球半徑，d是分形維度。主要的問題是d取決於哪些因素。

下面是從文獻中整理出來的看法：

紙球的分形維度d不是一個單一值，而是一個範圍，介於2和3之間。許多因素會對d值有影響：完全彈性和帶有不同程度塑性的紙張（或薄片）摺疊的力學過程和幾何性質是有差異的；同一張紙片，施加的力是可以控制的，以達到不同程度壓縮的球體。

d接近2的情況是：紙張很硬，只能鬆散地搓成一大團；
d接近3的情況是：紙張塑性很好（想像一下橡皮泥），很容易壓縮成緻密的球體；
大多數紙張，都是處在這兩種極端情況之間的某個過渡狀態。

因此，如果有科學狂人，不考慮紙張類型和所施加的壓縮力，純粹稀里糊塗地去搜集上百堆紙張，白天黑夜地做實驗，估計出d，去試圖畫出一個經驗分布曲線——這就不僅不現實，而且也沒有多大意義！因為沒有將壓縮力大小（e.g. 小孩vs大人）和紙張類型（硬紙板vs列印紙vs面巾紙）這兩個關鍵變數給拎出來，最後的結果必然是不可靠的——不同人拿不同紙張去做實驗，完全可以得出不同的分布曲線。

所以，結論是：
紙張的材料力學性質和壓縮力決定了最後的d的具體數值。紙張的密度看起來並不是關鍵因素。

另外，分形維度，個人覺得和平常所說的空間維度是不一樣的，因為只是描述空間填充複雜度的一個統計比值。而且，定義上也不完全一致@陳浩 ，維基百科詞條下面就有好幾種：Fractal dimension 。

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據說一張紙和一個球是不存在雙射的，所以你要先告訴我怎麼個捏法，原諒我不羈放縱愛數學！

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拋磚，希望哪位知友有空詳答一下
Fractal Geometry

S 為紙面積，D為紙球半徑。

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如果這個球的大小是一個函數，那麼該函數是一個多變數的函數，變數包括且不限於紙張大小、紙張厚度、紙張硬度、捏成球時所用的力度，捏球人的情緒穩定程度…

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題設不清楚的情況下，取決於你施加了多大的力。

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球的大小肯定是和紙張大小和厚度相關的，當然還包括紙張的柔軟程度。

理想情況下，假設你將紙捏成一個球，而球內部沒有任何縫隙，並且紙張沒有被壓縮的話，那麼很明顯，球的體積與紙張的體積相同，可以得到V=(4πr^3)/3=a*b*h。其中r為球半徑，a、b、h為紙張長度、寬度和厚度。

但是，實際情況下捏成球后里面肯定還是有縫隙的（導致球體積比理論大），並且你在捏的過程中肯定會壓縮紙張，紙張的長和寬應該是不會改變，但是厚度肯定是會變化的（導致球體積比理論小）。

這樣一來，實際球的體積大小就很難衡量了。

所以，關鍵還是看你的力氣有多大，手捏的話球體積稍大於上面理想情況下的體積，但如果上機器的話，估計能壓縮到更小。

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比同質量材質的球要大，比僅外殼全空心的球要小。
接下來就交給單身多年的功力了。

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同比之下，紙大球也會增大。

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這個問題我們國際化課程的一個老師（美國一個大學的教授）專門講過，具體公式記不起來了好捉急！！！他當時就是給每人發一張A4紙，看讓大家捏成球。討論最小能捏多小，最後捏得最小的是一個女生，但是其實大家捏的大小都差不多老師說大小取決於直徑d，d可以確定體積v，當質量一定時就要看密度，最後全班就開始討論怎麼測紙的密度。貌似是很多張紙疊在一起來測高度然後再算一張紙的高度進而可以得知體積再算密度（七月的課基本記不起來多少了哭）老師最後還轉移到幾個公式上了。。總之和紙是有關係的。。

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難道不是這樣… 如果紙是正方形

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簡單考慮：
假設捏成的球密度差不多，約等於，球體積為,紙張厚度為，面積為，紙張密度為這樣可得，所以

所以約是關係線性的

複雜點：
假設捏球的力差不多且分布均勻，球半徑為，這樣可得球的密度滿足
(約為一常數)
且

代入上式可得

所以體積

也就是說在此情況下，紙的面積大一點的話，體積會大好多~

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覺得主要取決於你手力有多大

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