怎樣直觀地解釋漲落耗散定理？

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主要想知道的是，為什麼漲落耗散定理（fluctuation dissipation theorem，FDT）可以這麼普遍地適用，另一個就是一些更直觀的感受，特別是怎樣的系統會違反漲落耗散定理。

好問題！

我始終認為物理不像數學，她公式背後直觀的物理圖像同樣是非常重要的東西。

數學證明沒什麼好講的，斷掉網打開書拿起筆自己算，我直接進入直觀解釋的部分。

漲落耗散定理，最重要的結論是：耗散力越強的體系，漲落力越強。

第一次各種積分積出這個結果的時候覺得很沒頭沒腦。不過後來找到一個圖像後就覺得很顯然了。

我們來看什麼叫耗散力？什麼叫漲落力？

假如你坐在一個粒子上看其它粒子，你看到它們從各種方向以各種速度不斷的撞向你。這裡撞一下，那裡撞一下。
那麼這樣沒頭沒腦的亂撞，總的效果會抵消么？
不一定，因為你屁股下的粒子其實是在動的嘛，你想像你坐在車裡面，撞在前面的雨滴是不是要比撞在後面的雨滴要多一些？
所以其他粒子沒頭沒腦亂撞的總效果是提供了一個跟你的運動方向相反的力，這就叫耗散力。

好吧，現在我讓屁股下面的粒子老實呆著，總效果會抵消么？
恩，如果時間足夠長，那就可以抵消。
反過來就是說如果時間不足夠長，總共也沒幾個粒子來得及撞你，效果來不及剛好抵消，屁股下面的粒子會隨機的動來動去的。就好像被一個隨機的力拉著一樣，這叫漲落力。

所以從這個圖像你應該看到：漲落和耗散本質上起源於同一個東西，它們其實是同一個的東西的兩個不同方面。這個東西叫做相互作用。

粒子和其他粒子的相互作用，和這個粒子的具體狀態有關的不可抵消的部分構成耗散力，浮力，重力這類有具體指向的力。和這個粒子的狀態無關的隨機部分構成漲落力。

粒子和粒子之間沒有相互作用的理想氣體，它們不交換能量和動量。顯然這樣的系統既不會有漲落也不會有耗散。

又想像粒子和粒子之間相互作用逐漸增強，單位時間能量和動量交換得越來越快，漲落顯然要跟著變大。而如果一個粒子有一個顯著的和其他粒子都不太一樣的取向，比如在某個特定方向有一個顯著的速度。由於單位時間能量和動量交換得越來越快，這個顯著性顯然要越來越快的消失掉。這就是說耗散也變大了。

所以漲落耗散定理的根在於相互作用。
相互作用是多麼普適的東西。

我想不出反例，希望看到有人補充。

漲落耗散定理是統計物理中非常重要而且有意思的話題，一方面在於深入地理解近平衡體系中響應與關聯的關係；另一方面在於非平衡態體系中的漲落耗散關係。

（註：以下內容均源自Lubensky的Principles of Condensed Matter Physics。該書作為經典，有著極強的邏輯性，但同時又有著異常晦澀的表達。以下可以算作我學習相關章節的一些註記，真要學習相關內容還應該自己去啃原作。）

對於第一點，近平衡態中的（或者說一般意義上的）漲落耗散定理的核心在於時間反演對稱性。
先舉幾個唯象的例子來體現時間反演對稱性在漲落耗散關係中的作用。
1）液體中的單個粒子，比如布朗運動、液體中的簡諧振子等：
其運動方程中有一項黏滯力 $f=-alpha v$ ,即 $frac{dp}{dt} =-alpha frac{p}{m}$
動量p具有負的（奇的）時間反演對稱性，而力f具有正的（偶的）時間反演對稱性，正是這一項的存在使得該方程可以描述系統的耗散。
（註：耗散即能量單方向從一個自由度流向其他微觀自由度，從而定義了時間的方向）

2）密度的擴散
粒子數守恆方程： $frac{d ho }{dt}=- div(J)$
通過唯象模型Fick定律： $J=-Dgrad( ho )$
從而得到擴散方程： $frac{d ho }{dt}=-DDelta ho$
( 手頭沒有書，公式可能有點問題。另外，知乎上的公式編輯器怎麼打梯度算符啊，就是倒三角...)
J 是密度流，顯然有負的時間反演對稱性（類似與前述的動量）；而密度及其梯度自然都是正的時間反演對稱性。至此，該模型可以很好地描述（粒子數）擴散現象。

由運動方程和擴散方程可以給出關聯函數。
對於液體中地單個粒子，可以施加一個外力；對於擴散，（廣義的）外力為一個外加的化學勢分布。由此出發可以求出這些模型（在頻域上）的響應函數。從而得到漲落耗散關係。
（註：這裡寫的太過模糊，真實的情況要複雜很多，以後有時間再補充）

我同意 @sym physicheng 的理解，通過粒子碰撞體系去理解漲落耗散定理非常直觀，但事實上，漲落耗散關係可以直接從量子力學出發，用含時微擾的方法，將某個感興趣的微觀自由度對外場的展開到第一階（所以又叫線性響應理論），可以得到Green-Kubo方程：

參看：Kubo formula

更進一步，線性響應理論建立了響應函數與各個微觀自由度之間的對易關係。微觀自由度的時間反演對稱性決定了能量傳遞的方向（即耗散），對易關係決定了相關性（即漲落）。

對於第二點，非平衡態體系中的漲落耗散關係為該體系定義了一個有效溫度。
我們知道普通的漲落耗散定理中，連接漲落與耗散的是溫度；對於非平衡態體系，熱力學的溫度不再決定體系的統計性質；如果漲落耗散關係仍然成立，可以通過其定義一個有效溫度，從而為非平衡態統計建立一個類似與平衡態統計的出發點。
至於為什麼在很多非平衡態體系中漲落耗散關係仍然成立，我不知道，也許 @孤子波的回答給出了正確的理解。

前面的回答都是非平衡統計力學的內容。不過最簡單的平衡態中也會出現對於漲落耗散定理的理解具有啟發的例子。
從正則系綜的配分函數開始： $Z=Sigma _{n}e^{-eta E_n}$
系統的能量的平均值為： $langle E angle=Sigma_n E_{n}P_{n}=Sigma_n frac{E_{n}e^{-eta E_n}}{Z}$
整理得到 $langle E angle=-frac{partial lnZ}{partial eta}$
漲落的定義為方差， $Delta E^{2}=langle E^{2} angle-langle E angle^{2}$
應用簡單的求導法則：
$frac{partial^{2} lnZ}{partial eta^{2}}=frac{1}{Z}frac{partial^{2}Z}{partial^{2}eta}-frac{1}{Z^{2}}(frac{partial Z}{partial eta})^{2}$
發現它就是漲落 $Delta E^{2}$ , 因為 $C_{V}=dlangle E angle/dT$ ,

漲落和熱容有如下關係， $Delta E^{2}=k_{B}T^2C_{V}$
上面的推導沒有任何的特殊假定
都是統計物理裡面最基本的推導。
但是結論卻是有啟發意義的，能量漲落和描述吸收放出能量能力的熱容有一個正比的對應，也就是說在溫度一樣時，系統吸熱放熱的能力越強，其能量的漲落也就越大。算是漲落耗散定理在平衡態下的一個直觀的說明吧。
拋磚引玉。。。

1..依據我最近的小小了解來說
漲落耗散定理就是:

已知漲落的性質(漲落的自相關函數) 與系統溫度
就可以求得系統的耗散係數 b
當有一恆定外力f0 推動其中的物體則物體移動的終端速度Vd= f0 /b

反過來說已知系統的耗散性質也可以通過漲落耗散定理求得系統的漲落

2..而為什們漲落耗散定理會成立如果以物理直觀來理解
我是這樣了解的:

當一個布朗粒子受到的漲落力越大就表示周圍水分子對它的碰撞力道就越大
所以當我用外力去推動此布朗粒子使他前進時前方來撞擊它的水分子力道也會比較大
因此阻力就會比較大
故漲落大阻力就大而且他們的大小都是來源於同一個原因(即周圍的分子碰撞力道大小)
故漲落耗散定理成立

3..漲落耗散定理的內涵是說 :

用不同的角度去看"分子的碰撞力力道" 會看到不同的現象
從阻力的角度去看它就是造成耗散的原因
從推力的角度去看它就是造成漲落的原因

既然耗散與漲落都是同一個東西"分子的碰撞力力道"
只是看的角度不同

那麼漲落和耗散間有一固定的關係(漲落耗散定理) 也就不會覺得奇怪了!!

4..但是
究竟如何在已知漲落的性質下推算出阻尼係數我也還在苦惱中
因為我對漲落耗散定理還不太了解也不知道如何使用它

有夠苦惱的所以現在也正在知乎發問中!!!!

感謝多人邀請。

我把 @傅渥成在評論里的補充加到了問題補充，而且添加了兩個「話題」。

我覺得目前這個是一個話題（topic），不是一個問題（至少不是一個「知乎式」的問題），因此不是一問一答可以完整解答的，除非我在答案里寫了一整章書。作為一個話題，這更適合workshop探討和相互學習。我個人知識也有限，只能談我的不完整的理解。哪怕是這點理解，也實在沒有時間一次性講完，所以我會慢慢地把這個答案補充起來。

為什麼要對這個定理的「普遍適用性」產生驚訝？

可以特別無聊地解釋：漲落耗散定理是一個非平衡的理論，但適用的是很輕微的非平衡。輕微到什麼程度？輕微到漲落耗散定理能適用的程度。所以它顯得總是適用。

換句話說，這個定理本身的限定就是在一個無限接近平衡的領域內，只要這個偏離平衡的擾動小到不改變體系鬆弛速率這個定理的一切就成立。可是到底多小的擾動才不改變體系的鬆弛速率？一個更加general的想像應該是，哪怕多小的擾動都或多或少地會改變體系的鬆弛速率。漲落耗散理論嚴格來講就只是一個asymptotic case。

不適用的情況更普遍。

但是，確實仍然有值得驚訝的例子。那就是遠離平衡的體系，似乎也有類似漲落耗散定理的關係。我可以從我研究的領域舉兩個例子，一個是自身遠離平衡體系，另一個是外驅動（driven）遠離平衡的體系。我只介紹漲落耗散關係（fluctuation-dissipation relationship）怎樣體現在這兩個例子當中。我感覺，學界真正會take it seriously的、值得探討的所謂FDT適用性的「驚人普遍性」，應該是指這種遠離平衡的情況。

待續（04-10-2014）。

贊同上面博士，還有師弟 @sym physicheng的回答
我補充兩個具體的例子：
Cv與能量漲落成正比
系統的能量總是一個帶極小展寬的高斯分布，由於碰撞，會有一種將展寬變大的趨勢（漲落），而當一些點跑出原來分布時，由於碰撞又很快被拉回去了（耗散），如果漲落大於耗散，那麼能量展寬就會越來越寬，根本不會平衡，不物理。所以耗散與漲落就是在競爭中平衡的。
如果我們將孤立系統分成A,B兩部分，Ea+Eb是一個常數，但是Ea本身會有漲落，如果A的能量變為Ea+DeltaE,那麼B的能量就是Eb-DeltaE，那麼溫差正比於DeltaE/Cv, 恢復平衡的速度與溫差相關。為了平衡，A得將DeltaE的能量傳給B，如果Cv比較小，AB溫差大，那麼B吸熱非常快，A放得也快，那麼當稍有一點能量不均衡DeltaE，就立馬被扼殺在搖籃里，這樣漲落就大不起來了。反之，Cv很大，AB溫差小，A放熱非常慢，B吸得慢，那麼A B之間的能量差就會積聚，使得漲落也增大。所以比熱大小決定耗散速度。
對於擴散也差不多，分A,B兩部分，如果A的濃度高了，B的低了，那麼粘滯係數越大，那麼恢復平衡就越難，那麼貧富差就比較容易維持，導致大的濃度漲落。

sdasfafa

雖然非平衡態熱力學並非我的研究方向，但是我對這個問題非常有興趣，然後想從另一個角度去討論這個問題。
樓主的問題是：漲落耗散定理本來是一個描述接近平衡狀態的理論，但是在很多非平衡或是遠離平衡的狀態下卻依然有實用性，這是為什麼呢？

解答這個問題，我想提到一個人以及他的相關工作，那就是普里戈金的耗散結構理論。

耗散結構理論，簡單說就是如果我們將系統推向離平衡態更遠的地方，系統可能演化出更多新的穩定有序結構。而漲落耗散定理是一個橋樑，描述了不可逆過程中能量耗散和熱平衡狀態熱漲落之間的關係。

簡單地說，耗散結構理論告訴我們，我們這個世界存在著很多有序的結構，這是一個普適理論。而漲落耗散定理是描述這些有序結構其中的能量關係的理論，所以這也是一個普適理論。

舉個例子，我們知道大自然的溫度差引發了壓力差，有壓力差，就形成了常見的"風"，耗散結構理論解釋了在壓力差比較極端的情況下會形成新的有序結構----」龍捲風「。既然有序，那麼我們自然可以用漲落耗散定理這種基本理論去描述這種現象。

因為漲落和耗散的起源是一樣的，比如Brownian motion中，diffusion coefficient （D）和粘滯係數（ζ）之間有D=kT/ζ，這就是一種漲落耗散關係，很顯然二者之所以能聯繫在一起，是因為有共同的起源（driving force），即thermal agitation kT

臨界點附近的漲落不符合，因為這個時候的擾動是發散的