現在的大型光學望遠鏡主鏡大都是由眾多正六邊形鏡面拼接，為什麼非要選用正六邊形？有什麼優點？

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圖為美國正在製造的詹姆斯韋伯太空望遠鏡主鏡

感謝凌晨曉驥，提到了最初的研製拼接鏡面的望遠鏡設計是針對地面望遠鏡口徑過大，鏡片自重導致的變形。

地面望遠鏡與太空望遠鏡的運載要求，工作環境，都差很多，所以還是應該分開分析。太空中失重的工作環境使得太空望遠鏡的自重不再是個問題，但是在地球上打磨製造，校準時，也還是得考慮自重的影響。

最權威的關於James Webb鏡片的信息，見NASA官網相關網頁，比如：
The James Webb Space Telescope

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這是一個非常有趣的光學設計問題。但是真正決定James Webb Telescope設計者們選用正六邊形的原因，卻又不是純粹出於光學的角度。更多是由於機械機構的穩定性、馬達控制系統的靈活性、火箭運載內部的有限體積以及總成本控制等其他相關原因決定的。

下文是我自己結合相關資料的理解，定會有不周之處，歡迎交流。

（1）為什麼不做成一大塊鏡子，而要分成這麼多小鏡子？

首先，粗略地說，光瞳的大小，給最後成像系統的解析度設了一個物理上限，（也叫衍射極限 Diffraction Limit）。光瞳口徑越大，解析度就越高。
嚴格而言，解析度取決於入射光瞳和焦距的比值，或數值孔徑（NA），能分辨的最小間距公式為 $Delta =1.22lambda (f/EPD) =(0.61lambda)/NA$ .
作為哈勃望遠鏡的接班人，James Webb 需要更大的口徑，更高的解析度。但是超大口徑的光學器件加工、檢測都是非常困難的。口徑越大，望遠鏡越重，越難加工。地面與望遠鏡在太空的失重工作環境不同，會給加工造成很大困難。打磨製造的費用跟口徑大小几乎是指數級關係。
更困難的是，即使你做出來這麼個超大口徑的鏡子，讓什麼火箭運上天呢？火箭都長那麼苗條，讓火箭胖得能容得下這麼大口徑的鏡子，意味著更嚴苛、昂貴的火箭設計。因為錢和技術有限，不夠讓火箭變胖，只能想辦法讓這個超大鏡子變小。結果就是得分成許多小鏡子。

還有一個同樣相當重要的原因是，分成小鏡子之後，每個小鏡子實際上有一個馬達單獨控制，這樣如果有什麼光學像差，需要調節的話，可以很靈活的控制。
這一點的重要性，從下例可見。哈勃望遠鏡被送上天后，就發現了一些光學像差。花了很多錢，各種找原因才找到，然後矯正。主要原因之一就是哈勃望遠鏡的主鏡（primary mirror）就是一大塊鏡片。檢測主鏡時，有一片校準鏡有誤，最終導致主鏡被非常精確地打磨至一個有誤的形狀。

（2）為什麼是正六邊形？

單純從光學角度出發，簡單的回答是並非一定得是正六邊形，等邊三角形，正方形也可以。但是正六邊形也有它的明顯的優點，細說如下。

如果出於簡化光學和配套的機械部件設計，降低器件質量檢測成本的角度出發，我們決定讓所有的小鏡子都用同一種形狀。那麼根據正多邊形鑲嵌的理論，只有三種選項，等邊三角形，正方形，和正六邊形。

設想一下，如果想要覆蓋相同的主鏡面積，把現有的正六邊形，換成等邊三角形或正方形的話，分鏡片的片數會增加很多，其結果就是需要配套更多動力控制系統。優點是調節起來更細緻，更精確，缺點就是加工檢測的成本要翻幾倍。同時，鏡片及其配套分得越多，就越有可能出各種小故障。在靈活性和穩定性中，從航天角度，穩定性還是更重要一些。更何況，成本控制還像個幽靈一樣老是追著設計者們呢。

從官網上摘的這個圖，很明顯，由於對稱性，打磨和做檢測時，18個鏡片可以分三組做，省了多少錢。。。

那麼可不可以把等邊三角形，或正方形做的大一些，這樣不就不用增加很多鏡片了嗎？
答案是不靠譜。望遠鏡主鏡需要儘可能接近圓形。如果單個鏡片很大的話，最終拼起來的圖案離圓形越遠。這樣造成的後果是不同方向的解析度不同，嚴重影響成像質量。

還有官網和有些知友提到了 filling factor, 這個對正三角，正方，正六邊形，應該是一樣的，都能填滿整個面。之所以提到這個概念是為了和用別的形狀的，比如圓形的子鏡片（sub-aperture）對比。

最後吐槽一句，James Webb望遠鏡的最初預算是16億美元，原定2011年上天。結果現在預算上限是80億美元，預定2018上天。這個差的呀。。。。。。那個最初做出預算的哥們兒，你在NASA活得還好嗎？

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下面關於地面望遠鏡的部分，來自凌晨曉驥的補充。

題主泛指的是所有望遠鏡啊，JWST只是一個例子。回答不能只從太空望遠鏡談。這不讓Keck III, VLT, GTC 一眾望遠鏡哭瞎？

自重過大是研製拼接鏡面的最原始動力。其實單大鏡面也不是沒有。日本昴星團望遠鏡口徑8.2米，不比keck 10米小多少。但是昴星團望遠鏡通過先進的鏡面控制技術，成功使得鏡面厚度薄到30厘米，而且其觀測精度和keck 在一個量級。多鏡面也不是完全好，因為鏡面多，對控制系統的複雜度要求更高。好在現在的工程技術使得這個不是難題。

但是，天文學史上面，Keck 當年為什麼用多鏡面，原因就是因為自重。這個設計來源於天文學家Nelson的設計。

A reflecting mirror with a 10- meter diameter would require an elaborately complex structural support system to keep it from collapsing under its own enormous weight. Also, the larger a mirror"s surface, the thicker it must be in order to withstand gravitational effects that could alter its shape.

Keck Revolution in Telescope Design Pioneered at Lawrence Berkeley Lab

謝謝 @袁霖邀請！

@曹粲的故事不錯，漲姿勢了，但對為什麼六邊形最常見解釋的讓我不太滿意。各個鏡子並不是一個形狀的，不然拼不成一個曲面，中間會有縫，這個縫很影響成像結果。實際情況是把18面小鏡子分成了三組（內層6個一組，外層6個頂點一組，外層6個邊一組），分別製造。另外，三角形或正方形會增加碎片量，這個說法也不太合適，三角形也有大三角形和小三角形啊，不能說三角形面積就一定是六邊形的六分之一吧。如果有面積跟六邊形差不多的三角形或者正方形碎片，為什麼不行呢？

採用六邊形，原因主要有三個（James Webb Space Telescope項目里工作人員的解釋Why does the James Webb Space Telescope use hexagonal mirrors? Why not squares? : space，lovelyrita_mm的答案）：

第一，六邊形拼接在彎成曲面時產生的縫隙最小（high filling factor）。雖然各個碎片本身是按能拼成大麴面來設計的，但還是要微調的，調一次能管幾天。有微調就意味著各個碎片之間會有縫隙產生，而這個縫隙是影響成像結果的。六邊形拼接在微調時產生的縫隙最小，成像效果也最好。

第二，六邊形對稱性好。對於中間空心，外面拼兩層形成一個大麴面的情況，六邊形需要三種不同的碎片，四邊形需要五種不同的碎片，三角形不太好定義怎麼算拼兩層，但碎片種類肯定更多。碎片種類越多，意味著製造時需要的模具越多，也就越貴。

第三，六邊形拼成的大正六邊形最接近圓形，有最好的聚焦效果。別的形狀衍射效應比六邊形鏡子強，聚焦效果不如六邊形好。

其實四邊形和六邊形容易比較，三角形和六邊形的比較則容易把人弄糊塗，因為三角形其實也能拼成六邊形。但換個角度想就明白了，如果三角形要做成小塊而且得拼成六邊形才好用，那為什麼不直接以大塊的六邊形為單元呢？

// 謝 @袁霖邀。
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來說點望遠鏡的故事。

1608年，荷蘭眼鏡製造商Hans Lippershey把玩鏡片的時候，無意中把兩片鏡片放在一起，竟然發現遠處的物體被拉到了眼前。然後，他在一個圓筒兩邊放上兩塊鏡片，做成了世上第一個望遠鏡！

第二年，伽利略聽說了，當年就做了一個放大倍數32倍的望遠鏡。然後，他把望遠鏡對向天空，從此一個新興的天文學時代誕生了。他觀察了月球，太陽，發現了後來被人們稱為「伽利略衛星」的木星的衛星。還寫了一本《星際使者》。（多說兩句，話說第一個望遠鏡是那個大家都記不住名字誰誰發明的，但是伽利略華麗麗的逆襲了。騷年，所以還不放下手機，回去多讀點書吧。）

後來經過無數次的改進，望遠鏡越做越好，同時也越來越大。咦，為什麼越來越大呢？

人眼「看到」遠處的物體被拉到眼前，望遠鏡主要做了兩件事：第一個就是放大了遠處物體的張角。眾所周知人眼是有一定解析度的，望遠鏡通過光學系統把遠處物體拉到眼前，原先處於解析度以下的物體現在可能大於這個解析度了，那麼原來憑肉眼看不到的東西就看得到了；第二個是聚光，人眼瞳孔一般3--4mm（謝評論里的阿茶提醒），而望遠鏡孔徑尺寸比它大，可以收集大於人眼瞳孔直徑的光束，使人看到原先比較暗而看不到的物體。

天文望遠鏡關心的參數有效口徑和解析度，兩者都是越大越好。令望遠鏡孔徑為D(mm)，
有效孔徑=D/F（F是焦距）
解析度=120""/D
於是，望遠鏡被越做越大。

後來發現，望遠鏡口徑越來越大，製作起來越來越難，使用過程中也會因為自身重力而容易變形。

所以就出現了多鏡面拼接技術了。一個大鏡子我做不好，但是小鏡子我會做啊。
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本來鏡頭做成圓形是最好的，但是圓形拼接，圓和圓之間拼起來只能相切啊拼不上啊有縫隙啊。正三邊形，正四邊形和正六變形是滿足條件的最好選擇。暫且不談六邊形的蜂巢結構的優點，第一個考慮成本和控制問題，每一個鏡面邊數越多，則相同面積下所需要製作的和控制的鏡片數就越少；第二個是前面提到的圓形結構，盡量把不是圓形的鏡片拼接成圓形是最終目標啊。上圖：

比較術語的說法是，六邊形形狀允許分段鏡具有高填充性和六重對稱性，參見參考2。