一條無限長的繩子是否打不成死結？
搬運工：Line with a knot in $mathbb R^3$ isotopic to standard embedding $mathbb Rsubset mathbb R^3$?
這純屬定義問題吧。
無限長從此問題看應該理解成射影空間里的，其實就是起個封閉性，等價於圓。
打結的過程應當是同痕變換。
何為死結。應該是不能同痕到原來的曲線，或者說屬於另外的同痕等價類。
如果能打成死結，那麼就必然是同痕變換過去的，也就不是死結了。感覺應該是拓撲的範疇吧，我不是學那個方面的，所以下面只是個人的看法，見諒。
直線如果兩端是無窮遠的話，其實這條線是個環。
一個環在連續映射下的像只能是環。環是不能打結的。
因為無限長的繩子你摸不到線頭啊。中間無論怎麼繞，都不是死結，都能逆著解開。
很有趣的題目。我來拋磚。
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題目太不清楚，我先來簡單補充下。（有惡趣味的請把繩子建成一個參數函數模型，用泛函或其他數學工具來嚴格描述…）
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繩：連續的線，表面摩擦力為零
打結：指保持繩子連續的前提下，通過連續變換到達一個形態，使得若此時將繩子兩端延長至無限長，不存在連續變化會使繩子變回初始狀態。
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證：在如上系統內任何連續變化都存在逆變化，而由於正變化沒有違反無限長的限制，所以逆變化也不會違反。證畢。
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聽起來像沒證啊…
好吧是這樣的。關鍵在於對打結的定義中用到了無限長的概念。如果換一種定義方法可能就需要再繞幾個彎。
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直觀理解為，無限長繩子限制了打結變化的能力。
另一種理解是，無限長繩子，打結只能從中間拉起來，而這樣的話，拉起來的那一點，左邊的繩子和右邊的繩子走過的路線本質上是一樣的。
這個問題挺有意思，我來更精確的解讀一下。
首先，這個繩子的形狀，實際上多邊形最終與圓形是等價的。
所以我們只做兩種假設：直線，圓形。
首先來看直線的情況：如果這根線是水平的話，我們可以有三個不同的觀測點，線的左端，線的中間，線的右端。
由於該直線無限長，所以如果有左端，就沒有右端，有右端，就沒有左端。
如果你位於直線的左端或者右端，則你可以握住線的一端，另外一端在無限遠，你可以打成死結。
如果你位於直線的中間，按照現有的物理規律你無法達到線的兩端，但是你可以將手中的這一段直線對摺，形成一個端點，然後對這個端點（實際上是雙線）打成死結。
然後我們來看圓形的情況。我們知道這根線的長度是無窮大，那麼這個圓的半徑也是無窮大。圓的每處都是直線。
但是這個無窮大的圓，仍然有兩個端點，如果你站在兩個端點處，則你可以同時握住線的兩端，可以打成死結。
如果你沒有位於圓的端點，這種情況與位於直線的中間是相同的情形，已經證明可以打成死結。
所以，在絕大多數情況下，可以打成死結。以下僅提供證明思路
先來解釋一下『死結』，『活結』，如我在某條回答中評論一樣，我認為：
『死結』是指假設繩子摩擦力為0，拉動繩子任意一處向任意位置，均不能使扣環解開的意思，如果逆向解扣那沒有什麼扣環是解不開的吧，同理『活結』指在摩擦力為0情況下，向某一方向拉動繩子一端可以將結消除。死結例圖
死結解不開的原因是內部形成了如此結構
何為死結，中間揪出兩段打個結不就好了。比如一開始線條是「一」。。拿出兩段，做成「M」
我覺得大家對「死結」應該先做一下定義吧。
如果「死結」代表不破壞繩子的情況下，無法用力量打開的結，那這個問題就歸結為摩擦係數、繩的材質特性等的問題了，與長度一點關係都沒有，中間拉一段就隨便打死結了。
如果「死結」代表只拉兩頭、不動中間而打不開的結，那絕對光滑的圓環形繩子更有代表性，是打不出死結的。
至於無限長繩子，除了引出打結需要的時間無限長外，還真沒什麼存在的價值。
必須必須必須可以打成的！
既然無限長，那麼它也可以無限重。當它攢成比地球還大還重的球即便絕對光滑，地球那麼大的向心力等於在宇宙中形成了一個星球，請問誰能拉動星球？更別說解開了。
如果有絕對光滑的東西什麼東西能拿住它？還系它？哈哈，看似自相矛盾的兩個答案。
對於打不成死結，由於結本身就是所謂死的，所以也就沒有死結一說。這是個誤區！若是把死結說成是「結」或是「扣」可能就比較容易理解了。因為「結」與「扣」是截然不同的兩個事物。「扣」是分死扣與活扣的。被系扣的兩個繩頭能解開叫「活扣」，解不開的叫「死扣」。而這個扣至少由兩段繩線組成。其還可能由更多條繩線組成的。
若從摩擦力角度說，理論上沒有摩擦力 兩條繩線不管怎麼系都無法在一起，從而不能形成扣。所以說要想形成扣就必須是有摩擦力的。因為那是把兩條繩線由力的作用構造形成一條帶扣繩線的基礎。
然而「結」是由一條繩線形成的，即便這條繩線沒有摩擦力(絕對光滑)，但其自身有結甚至無數個結也是可以的，這與摩擦力是豪無關聯的。只有系扣才需要摩擦力。所以沒有死活結一說。
平時人們常說的「系扣」 與「打個結」應該是其區別吧。概述總結，多條繩可以系扣，單條繩可以打結。
於是接下來可以重新解析這個題問的題幹了。
1.一條無限長的繩子是否打不成結。答案，否。雖其無限長卻沒說手裡是否有繩端,所以只要有繩端就可以將其纏個結。
2.一條無限長的繩子是否打不成扣？答案，否。隨便扯出兩段就能將其打個扣。
3.一條無限長的繩子是否打不成死扣？答案，否。死扣只與摩擦力有關，與繩長是否無限無關。
4.一條無限長的繩子是否打不成死結？請題主解釋死結是什麼？還有活結是什麼樣子？
5.一條無限短的蒼蠅拍是否打不成蒼蠅肚子上的一根毛？*~**！￥！#…%#。在我給前面的答案點了無數個『反對』之後來自己回答這個問題。
先說自己的答案：不能。
我無法用專業的知識來解答，比如排名最高的那個答案，完全看不懂的說。但是我可以換一個思路來做解答。下面用2種不同的思路來解釋。
一：把題目換成：『一根無限長的繩子中間有一個死結能否解開？』
借用 @王奉理 答案中的圖，圖中上下兩端都是無限長的。
從這個圖中可以看出，是不能解開的。所以按照『還原論』的說法，無限長的繩子不可以打成死結，否則相應的死結必然可以通過還原論解開。還原論確實有其局限性，但是在機械方面還未發現。
但是這個思路有特殊的問題：死結只有這一種么？這個答案我就不知道了，但圖中是最簡單的一種。
對此可能難以直接理解，因為一維上面有很多特殊的變化，比如我自己就拿了一根繩子嘗試了半天最後失敗了。
讓我們把題目擴展為『二維空間摺疊之後是否可以通過拉伸空間解開？』。這個問題可以拿一張紙做實驗。紙的摺疊方式很少，所以應該很容易就發現，無論中間怎麼樣摺疊，都可以通過拉扯邊界使紙撫平。
什麼？二維的紙怎麼打死結？看圖：
1：首先是在一維上簡單擴展二維，即第二維度長度很短，這是打死結如一維情況。
1：如下圖所示了
2：第二維度擴展開來。採用『摺扇子法』
2：如下圖所示
最後一步把兩邊的紙展開，就得到一個二維空間的死結。不論扯哪一邊都不能扯開。
二維空間雖然不能直接推到一維空間上面去，但是有一定參考作用。
～～～～～回答分割線～～～～～
下面開始反駁前面答案中所提到的死結情況。
一根無限長的繩子，中間摺疊一下便形成了所謂的『線頭』。
然後用這個線頭打上一個結。但是注意，這個結不是死結。這樣來說明，設左邊（圖中為上面）一根線為A，右邊（圖中為下面）一根線為B，AB上各有一個螞蟻（
但是對這樣的死結來分析，兩個螞蟻（螞蟻用身長）在中間交叉時卻發現不能在同一平面上。
但是對這樣的死結來分析，兩個螞蟻（螞蟻用身長）在中間交叉時卻發現不能在同一平面上。
～～～～～～反駁完畢～～～～～～
～～～～～～引申內容～～～～～～
換一句話來說，打死結必須改變當前所在空間『維度』。
繼續引申：無限長的繩子是幾維的？
實際中我們見到的繩子是存在在三維空間中的。只有另外兩個維度對於第三個維度來說很小而已。
那麼我們假設一個一維的繩子，中間可以打死結么？
答案是：可以。只要把繩子拉入二維空間中。
這個不好理解，繼續修改問題：假設一個二維的繩子（沒有厚度），中間可以打死結么？
答案是：可以。只要把繩子拉入三維空間中。
把上面的那個圖做成二維投影。
這就形成了一個二維的繩子，把這個繩子拉成三維的就成了上面的死結。
然後才能理解上面一個問題：假設一個一維的繩子，中間可以打死結么？
上圖就是一個幾維的死結呢？這是一個好問題。我們想一想：這個二維的圖是三維中哪個維度無限縮小而成的？我們可以知道是垂直紙面的那個維度。所以這是一個既有長度又有寬度的線。在二維中這應該不是一條線，而在一維中可以。所以這是一個一維的死結（感覺這一段把自己繞進去了，等自己整明白之後再改）。然後把其投影到一維去就是下圖這樣的。
這就是一個一維的繩子，拉到二維可以形成一個一維的死結，拉到三維可以形成一個二維的死結。
這就是一個一維的繩子，拉到二維可以形成一個一維的死結，拉到三維可以形成一個二維的死結。
所以，要想給一條無限長的三維的繩子打死結，拉到四維去就好。
～～～～～回答分割線～～～～～上面答案都是胡扯的！
因為剛剛看完《球狀閃電》，裡面提到的『所有物質都是空間的褶皺』這個觀點聽起來好像很厲害的樣子，所以就腦補了以上的全部答案。
切勿模仿！
＂難道不是因為找不到兩頭嗎？＂
實在忍不住，進行一下不嚴肅的吐槽???????繩子對摺一下，就可以打雙股死結了。
這個問題的答案是無解。
由於題目中沒有關於摩擦力的假設和限定，所以先不管這根繩子有沒有摩擦力。對於死結的定義上面的回答中也有諸多爭議，但請大家先看看能不能打結再說吧！有一個回答中提到：既然是無限長，也就是無限重。這一點十分有理，也就是說，無論是想要打死結還是打活結，首先要有足夠的力來改變這根繩子的一部分所在的位置對吧？既然有無限重，就需要無窮的力量來牽扯這根繩子，目前沒有人擁有這種力量，也就無法證明這根繩子到底能不能打成死結。
有的人就會說，無限長的繩子也是不存在於現實中的，只是一種假設而已。那麼是不是可以假設有無窮的力量呢？這樣的話這個題目就可以繼續證明下去了。的確可以做這個假設，不過還有一個問題，這個無窮的力量什麼時候可以牽動無限重的繩子打好一個結呢？
意思就是無法接觸到繩子的兩頭吧？那樣的話肯定打不了死結
狡辯：將無限長的繩子打結時用的時間為無限長時，無法進入判定階段，結論處於無限等待被證明的不可知狀態。暴力破壞題目的前提保證了結論無法被證明，即得到了出題者失敗的結論。
可以打死結！這根繩子隨便挑兩段，這兩段繩子分別從中間摺疊，分別擰成兩根繩子的頭，就可以隨便打結了。所以lz的題是偽命題。
有人不明白，這麼說吧：把這根無限長的繩子，隨便找個點打折，你是不是可以得到一個頭（端點，把繩子看成線，那麼這就是射線）？ 有了這個頭， 就可以在繩子上打死結了。 無限長的繩子，你可以得到無限個頭，打無限個死結。
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update： 以上打的不是死結。。。蝴蝶結。好吧，也不是命題， lz的只是個問句， 我錯了。
那要看無限長是單向的還是雙向的，單向的是可以的，雙向的不行。
剛剛用紗巾試了一下，貌似可以。
沒限制摩擦力,談死結活結的都是耍流氓!
為什麼我覺得是相反的？
因為繩子如果交叉打結，需要繩子的一個頂端從結內穿過來解開但是繩子是無限長的，無限長的繩子的一半也是無限長的。
那這樣，繩子的「頂」端是永遠都沒得頂端的了？
那繩子的頭頭穿不回去
結怎麼解？
1.既然是繩子，那就有兩個頭吧
2.捉住繩子的一端
3.打個死結
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